容概述
23458911整数数字特征相关整数组成补填问题积末尾零数计算．
1整数a整数b(b≠0)商正整数没余数说ab整(说b整a)记作b︱a．15÷53155整(5整15)记作5︱15．
反称整表示715
果整数a整数b(b≠0)整称ab倍数ba约数．155倍数515约数．
特注意0÷b0(b≠0)说零非零整数整零非零整数倍数．
0÷10说1整整数1整数约数．
整均整数范围考察指数特加说明均指整数．
2．整性质：
性质1果c︱ac︱bc︱(a±b)．
果abc整差C整．
性质2果bc︱ab︱ac︱a．
果bc积整abc整a．
性质3果b︱ac︱abc互质bc︱a．
果bc整bc互质bc积整a．
性质4果c︱bb︱ac︱a．
果c整bb整ac整a．
3质数整数字特征(约数1身数称质数)：
(1)2整数末位数字02468
(2)3整数位数字3整
(3)5整数末位数字05
(4)7整数末三位前面隔开末三位差(减)7整(7整7︱7︱)
(5)11整数末三位前面隔开末三位差(减)11整(11整11︱11︱)者差11整
表示位数qpocba等数积．
4．合数先合数分解质数考察．样化质数整问题分解质数详见质数合数分解质数．
5．特殊合数判断方法．
4整数末两位数4整
8整数末三位数8整
25整数末两位数25整
125整数末三位125整
9整数数字定9倍数．
范例1 公元9世纪印度数学家——花拉子米写花拉子米算术计算时通常铺沙子土板进行害怕前计算程丢失常检验加法运算否正确．种算法称土盘算法．
：1234+1898+18922+678967+178902889923．1234数字109余11898数字9余818922数字9余4678967数字9余7178902数字9余0余数9余2等式右边8899239余数3．面加法算式定错误．
什呢
6．干数相求末尾少连续0积中数25数分找出中较少数数积末尾连续0数．
范例2 试求1981×1982×1983×1984×1985×…×200525数相积末尾少连续0
分析解中19851990199520002005含数5分11131l+1+1+3+17数5
中198219841986198819901992199419961998200020022004含数2分1612131214121+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+225数2．
中数5较少含7题中25数积末尾连续0数7．
评注：数情况干连续数相需求末尾连续0数．数2数远数5数考虑数5数．
7种重方法：试法．典型问题12356等类问题试法．
果数时整数整定数公倍数整求数公倍数采两种方法：
①短法
求两数公倍数短法．
范例3 试求120180300公倍数．
分析解
(120180300)30×2×2×3×51800．
②分解质数
组数数严格分解质数然提出质数高次应数提出数相求出积公倍数．
8．时问题视数字谜问题典型问题56类问题．
1．173口四位数．数学老师说：中方框中先填入3数字3四位数：次9116整．问：数学老师先填入3数字少
分析解方法：利整特征
注意9116整数特征：
9整数数字9倍数
11整数差11倍数三位前隔开新组成两数作差11倍数
6整数数字3倍数末位02468中
1+7+3ll口填入7时1735数字189倍数口填7组成数9倍数
173口奇数位数字7+口偶位数数字1+34口填11+478时差11组成数11倍数
1+7+311口填入l47时3倍数4偶数口填入4组成数6倍数．
三种情况填口数字7+8+419．
方法二：采试法
1730试1730÷9192……21730÷1l157……31730÷6288……2．
次添(92)7(113)8(62)4173717381734次9116整．
三种情况填入口数字7+8+419．
2．果六位数1992口口105整两位数少
分析解 1053×7×5六位数时满足375整数特征．
7整数数三位前隔开新组成两数作差7倍数
5整数数末位05．
方法：利整特征
末位05．
① 果末位填入0数字1+9+9+2+口+021+口求数字3倍数口0369验证均20019912301993126019961290199919l7倍数1992907倍数题中数字末两位90．
②果末位填入5解法验证没数时满足375整特征．
题中数末两位90．
方法二：采试法
199200试199200÷1051897……15余15成足(10515)90．补90末两位方格填90．
3．某七位数1993口口口够时23456789整三位数字次少
分析解 方法：利整特征
数5整末位052整末位偶数0．
满足条件情况4整末两位20406080．
时9整数数字应该9倍数数字分24+A26+B28+C30+D应ABCD3186．末三位320140860680．
3206808倍数验证19933201993680中19933207倍数．
时245789整数定时23456789数整1993320求数．
显然末三位次320．
方法二：采试法
数时23456789整数分解质数：
数定××5×78×9×5×72520整．
1993000试1993000÷2520790……2200余2200成足25202200320末三位方格填入320．
4．0l2345678910数字中选出5数字组成五位数35713整数少
分析解 [35713]13651000001365倍数99645(100000÷136573……35510000035599645)9964513659828098280136596915．96915136595550．95550136594185．
满足题意5位数94185．
5．修改31743某数字823倍数．问修改数少
分析解 方法：采试法
823质数掌握较整数特征适31743÷82338……46931743823成余469成足(823469)354改动某位数字新数原354354+823n满足题意改动．
n1时354+823：1177
n2时354+823×22000千位增加2改3时修改五位数33743823倍数．
方法二：视作数字谜
假设改动数位首位末位考虑3口口口3823商：
30003÷82336……37539993÷82348……489．
商37～48间823位31相积3商尾数1样数字37～48问41．
823×4133743．改动31743千位3．
6．六位数11口口11中两方框填入数字数1719整方框中两位数少
分析解方法：采试法
果数时1719整定323整．
110011÷323340……191余191成足(323191)132．
132+323n100倍数时保证改动110011千位百位数字323倍数．
323n末位1028n61626…
验证n16时132+323×165300原题方框中填入53115311满足题意．
方法二：视数字谜
[1719]323：
注意第3行位数字1数位数字7第3行323×72261
第4行末位10+165数十位数字5第4行323×51615
第5行(110011161502261)91600～(119911161502261)101500间323×100倍数32300×396900
终
题中方框应填入53两数字．
7．已知四十位数55…5口99…9(中5920)7整中间方格数字少
分析解 知道样六位数定整71113
面性质试着求解：
知末6位数999999必定整7
×1000000+999999考察：
×100000010000007互质1000000整7没影响求定7倍数．
注意实际已末尾69
样数字95均6组剩数口55口99．
计算55口99口取值时7整口6时满足
评注：含类似位数考察整71113情况时组组直接考察剩数．
8．数字678两组成六位数168整．六位数少
分析解 16820×3×7组成六位数837整．
够8整数特征末三位组成数定8倍数末两位组成数定4倍数末位偶数．
题中条件验证6887688倍数末三位688768求7倍数题知形式数定71113倍数768768定7倍数口口口688口填7倍数．
否3整验证整3数规律数字3倍数题中定条件填数字定值必须满足然题解．
然验证确满足．
768768168整验证没满足条件六位数．
9．然数123…次写组成数：12345678910111213…．果写某然数时组成数恰第次72整然数少
分析解 72×数必须8倍数三位必须8倍数(定二位4倍数末位偶数)数字9倍数
456312516920324728132536…均4倍数4569207285368倍数．
验证数应然数数字：
456应123456数字2l
920应123…91011…1920数字102
728应123…91011…192021…28数字154
536应123…91011…192021…293031…36数字207
面数中536应123…91011…192021…293031…368倍数9倍数．
满足题意然数36．
10．199数字图41示次序排成圆圈．请某两数字间剪开分时针逆时针次序形成两九位数(例l7间剪开两数193426857758624391)．果求剪开两九位数差396整剪开处左右两数字积少
分析解 解道题前先规律：
差定
(：12365原序数应反序数56321差4395699倍数．面规律想想什)
互反序两九位数差定99整．
39699×4考察否4整．
观察原序数反序数末两位数字差否4整显然剪开处两数奇偶性相时．
注意图中具体数字(34)处(85)处两数字奇偶性均相定满足．
剩位置奇偶性相满足．
进步验证(93)处剪开末两位数字差431924(42)(26)(68)(57)(71)(19)处剪开末两位数字差62328．864244582632851768915734713932．
(93)(42)(26)(68)(57)(19)处剪开两互反序九位数差396倍数．
(93)(42)(26)(68)(57)(19)处左右两数积2781248359．
11．15位学位学编号l号15号．1号学写然数2号说：数2整3号说：数3整……次位学说数编号数整．1号作验证：编号连续两位学说余学．问：
(1)说两位学编号两连续然数
(2)果告诉1号写数五位数请求出数．
分析解 (1)列出14数：
2345 67 89 1011 12 13 14 15
注意果数2整定46810…等整显然超两然数类似种情况3～69…4～812…5～1015…6～12…
7整定14整两然数连续
12整43中少整1号说然数1234均连续类似种情况10(应25)14(应27)15(应35)
样剩891113连续89．
说两位学编号89两连续然数．
(2)(1)知五位数234567101112131415整．
[234567101112131415]×3×5×7×11×1360060．
1号写出五位数60060．
12．找出4然数中两数总差整．果求4数中数数4数里中间两数少
分析解 设四数中数a求4数数先量a．
a1设4数中外三数中某数b等必须整数1+2(b1)整显然(b1)21应b32题中求a少三数存差整关系满足．
a2设4数中外三数中某数c必须整数l+4(c2)整(c2)421应c643．
验证6432满足条件数组中间两数4+37题中条件．
试求6正整数中意两数积两数整．
试题分析 取六数123456两两相加15：
1+2l+3…5+6．
15公倍数：
×××5×7×1127720．
次取六数：277205544083160110880138600166320六数满足题目求．
13．干然数123…起果已知积末十三位恰零出现然数应该少
分析解 方法：求积末十三位均0积少含13质数213质数5．
连续然数中2倍数数远5倍数数．考虑质数5数：13×5651～65中2550均含2质数5．
需连(132)×555．说1×2×3×…积末十三位均0出现然数应55．
方法二：分段考虑质数5出现情况：
19中5身出现1次数5
1019中1015出现2次数5
2029中2025255×55出现2次出现3次数5
30394049中出现2次5子出现l+2+3+2+210次5子．
5059中5055502×5×5出现两次5次子里35子．
55止出现13次5子55出现然数2结果中末尾130．
14975×935×972×口连积4数字0方框应填什数
分析解 975含2质数5935含1质数5972含2质数2．975×935×972×口积4数0．
少需4质数54质数2．
口少含1质数52质数25×2×220．
15．图42次排列5数1312152520．相邻两数相4数．4数相邻两数相3数．3数相邻两数相2数．2数相1数．请问：数位起左数．连续数出零
分析解 图图中标出数含质数25数第行外数行左右方两数积数含质数25数行左右方两数含质数25数．
行数含10质数215质数5．
数末尾含连续0数决定质数25数值行数末尾含10连续0．
题1 1～9九数字图43示次序排成圆圈请某两数间剪开分时针逆时针次序形成两九位数．果求剪开两九位数差396整应处剪开
题2 20位学位学编号1号20号．1号学写然数2号说：数2整3号说：数3整……次位学说数编号数整．1号作验证：编号连续两位学说余学．问：
(1)说两位学编号两连续然数
(2)果告诉1号写数七位数请求出数．
题1
分析解 解道题前先规律：
差定
(：12365原序数应反序数56321差4395699倍数．面规律想想什)
互反序两九位数差定99整．
39699×4考察否4整．
观察原序数反序数末两位数字差否4整显然剪开处两数奇偶性相时．
注意图中具体数字(38)处(81)处(16)处(49)处(92)处(25)处两数字奇偶性均相定满足．
(64)处(57)处(73)处奇偶性相满足．
进步验证(64)处剪开末两位数字差9416784倍数满足．
(57)处剪开末两位数字差3725124倍数满足．
(73)处剪开末两位数字差8357264倍数满足．
57处剪开两互反序九位数差396倍数．
题2
分析解(1)列出19数：
234567891011121314151617181920．
2468101214161820定2整
369121518定3整：
48121620定4整
5101520定5整
61218定6整
714714连续定7整
816816连续定8整
918918连续定9整
10201020连续定20整：
11保留
1234整连续定12整
13保留
1427整连续定14整
1535整连续定15整
16保留
17保留
1829整连续定18整
19保留
2045整连续定20整．
中保留数11131617191617两数连续说两学编号1617．
(2)(1)知七位数23456789101112131415181920整．示：
[23456789101112131415181920]××5×7×11×13×196846840．
1号写出七位数6846840．
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23458911整数数字特征相关整数组成补填问题积末尾零数计算．
1整数a整数b(b≠0)商正整数没余数说ab整(说b整a)记作b︱a．15÷53155整(5整15)记作5︱15．
反称整表示715
果整数a整数b(b≠0)整称ab倍数ba约数．155倍数515约数．
特注意0÷b0(b≠0)说零非零整数整零非零整数倍数．
0÷10说1整整数1整数约数．
整均整数范围考察指数特加说明均指整数．
2．整性质：
性质1果c︱ac︱bc︱(a±b)．
果abc整差C整．
性质2果bc︱ab︱ac︱a．
果bc积整abc整a．
性质3果b︱ac︱abc互质bc︱a．
果bc整bc互质bc积整a．
性质4果c︱bb︱ac︱a．
果c整bb整ac整a．
3质数整数字特征(约数1身数称质数)：
(1)2整数末位数字02468
(2)3整数位数字3整
(3)5整数末位数字05
(4)7整数末三位前面隔开末三位差(减)7整(7整7︱7︱)
(5)11整数末三位前面隔开末三位差(减)11整(11整11︱11︱)者差11整
表示位数qpocba等数积．
4．合数先合数分解质数考察．样化质数整问题分解质数详见质数合数分解质数．
5．特殊合数判断方法．
4整数末两位数4整
8整数末三位数8整
25整数末两位数25整
125整数末三位125整
9整数数字定9倍数．
范例1 公元9世纪印度数学家——花拉子米写花拉子米算术计算时通常铺沙子土板进行害怕前计算程丢失常检验加法运算否正确．种算法称土盘算法．
：1234+1898+18922+678967+178902889923．1234数字109余11898数字9余818922数字9余4678967数字9余7178902数字9余0余数9余2等式右边8899239余数3．面加法算式定错误．
什呢
6．干数相求末尾少连续0积中数25数分找出中较少数数积末尾连续0数．
范例2 试求1981×1982×1983×1984×1985×…×200525数相积末尾少连续0
分析解中19851990199520002005含数5分11131l+1+1+3+17数5
中198219841986198819901992199419961998200020022004含数2分1612131214121+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+225数2．
中数5较少含7题中25数积末尾连续0数7．
评注：数情况干连续数相需求末尾连续0数．数2数远数5数考虑数5数．
7种重方法：试法．典型问题12356等类问题试法．
果数时整数整定数公倍数整求数公倍数采两种方法：
①短法
求两数公倍数短法．
范例3 试求120180300公倍数．
分析解
(120180300)30×2×2×3×51800．
②分解质数
组数数严格分解质数然提出质数高次应数提出数相求出积公倍数．
8．时问题视数字谜问题典型问题56类问题．
1．173口四位数．数学老师说：中方框中先填入3数字3四位数：次9116整．问：数学老师先填入3数字少
分析解方法：利整特征
注意9116整数特征：
9整数数字9倍数
11整数差11倍数三位前隔开新组成两数作差11倍数
6整数数字3倍数末位02468中
1+7+3ll口填入7时1735数字189倍数口填7组成数9倍数
173口奇数位数字7+口偶位数数字1+34口填11+478时差11组成数11倍数
1+7+311口填入l47时3倍数4偶数口填入4组成数6倍数．
三种情况填口数字7+8+419．
方法二：采试法
1730试1730÷9192……21730÷1l157……31730÷6288……2．
次添(92)7(113)8(62)4173717381734次9116整．
三种情况填入口数字7+8+419．
2．果六位数1992口口105整两位数少
分析解 1053×7×5六位数时满足375整数特征．
7整数数三位前隔开新组成两数作差7倍数
5整数数末位05．
方法：利整特征
末位05．
① 果末位填入0数字1+9+9+2+口+021+口求数字3倍数口0369验证均20019912301993126019961290199919l7倍数1992907倍数题中数字末两位90．
②果末位填入5解法验证没数时满足375整特征．
题中数末两位90．
方法二：采试法
199200试199200÷1051897……15余15成足(10515)90．补90末两位方格填90．
3．某七位数1993口口口够时23456789整三位数字次少
分析解 方法：利整特征
数5整末位052整末位偶数0．
满足条件情况4整末两位20406080．
时9整数数字应该9倍数数字分24+A26+B28+C30+D应ABCD3186．末三位320140860680．
3206808倍数验证19933201993680中19933207倍数．
时245789整数定时23456789数整1993320求数．
显然末三位次320．
方法二：采试法
数时23456789整数分解质数：
数定××5×78×9×5×72520整．
1993000试1993000÷2520790……2200余2200成足25202200320末三位方格填入320．
4．0l2345678910数字中选出5数字组成五位数35713整数少
分析解 [35713]13651000001365倍数99645(100000÷136573……35510000035599645)9964513659828098280136596915．96915136595550．95550136594185．
满足题意5位数94185．
5．修改31743某数字823倍数．问修改数少
分析解 方法：采试法
823质数掌握较整数特征适31743÷82338……46931743823成余469成足(823469)354改动某位数字新数原354354+823n满足题意改动．
n1时354+823：1177
n2时354+823×22000千位增加2改3时修改五位数33743823倍数．
方法二：视作数字谜
假设改动数位首位末位考虑3口口口3823商：
30003÷82336……37539993÷82348……489．
商37～48间823位31相积3商尾数1样数字37～48问41．
823×4133743．改动31743千位3．
6．六位数11口口11中两方框填入数字数1719整方框中两位数少
分析解方法：采试法
果数时1719整定323整．
110011÷323340……191余191成足(323191)132．
132+323n100倍数时保证改动110011千位百位数字323倍数．
323n末位1028n61626…
验证n16时132+323×165300原题方框中填入53115311满足题意．
方法二：视数字谜
[1719]323：
注意第3行位数字1数位数字7第3行323×72261
第4行末位10+165数十位数字5第4行323×51615
第5行(110011161502261)91600～(119911161502261)101500间323×100倍数32300×396900
终
题中方框应填入53两数字．
7．已知四十位数55…5口99…9(中5920)7整中间方格数字少
分析解 知道样六位数定整71113
面性质试着求解：
知末6位数999999必定整7
×1000000+999999考察：
×100000010000007互质1000000整7没影响求定7倍数．
注意实际已末尾69
样数字95均6组剩数口55口99．
计算55口99口取值时7整口6时满足
评注：含类似位数考察整71113情况时组组直接考察剩数．
8．数字678两组成六位数168整．六位数少
分析解 16820×3×7组成六位数837整．
够8整数特征末三位组成数定8倍数末两位组成数定4倍数末位偶数．
题中条件验证6887688倍数末三位688768求7倍数题知形式数定71113倍数768768定7倍数口口口688口填7倍数．
否3整验证整3数规律数字3倍数题中定条件填数字定值必须满足然题解．
然验证确满足．
768768168整验证没满足条件六位数．
9．然数123…次写组成数：12345678910111213…．果写某然数时组成数恰第次72整然数少
分析解 72×数必须8倍数三位必须8倍数(定二位4倍数末位偶数)数字9倍数
456312516920324728132536…均4倍数4569207285368倍数．
验证数应然数数字：
456应123456数字2l
920应123…91011…1920数字102
728应123…91011…192021…28数字154
536应123…91011…192021…293031…36数字207
面数中536应123…91011…192021…293031…368倍数9倍数．
满足题意然数36．
10．199数字图41示次序排成圆圈．请某两数字间剪开分时针逆时针次序形成两九位数(例l7间剪开两数193426857758624391)．果求剪开两九位数差396整剪开处左右两数字积少
分析解 解道题前先规律：
差定
(：12365原序数应反序数56321差4395699倍数．面规律想想什)
互反序两九位数差定99整．
39699×4考察否4整．
观察原序数反序数末两位数字差否4整显然剪开处两数奇偶性相时．
注意图中具体数字(34)处(85)处两数字奇偶性均相定满足．
剩位置奇偶性相满足．
进步验证(93)处剪开末两位数字差431924(42)(26)(68)(57)(71)(19)处剪开末两位数字差62328．864244582632851768915734713932．
(93)(42)(26)(68)(57)(19)处剪开两互反序九位数差396倍数．
(93)(42)(26)(68)(57)(19)处左右两数积2781248359．
11．15位学位学编号l号15号．1号学写然数2号说：数2整3号说：数3整……次位学说数编号数整．1号作验证：编号连续两位学说余学．问：
(1)说两位学编号两连续然数
(2)果告诉1号写数五位数请求出数．
分析解 (1)列出14数：
2345 67 89 1011 12 13 14 15
注意果数2整定46810…等整显然超两然数类似种情况3～69…4～812…5～1015…6～12…
7整定14整两然数连续
12整43中少整1号说然数1234均连续类似种情况10(应25)14(应27)15(应35)
样剩891113连续89．
说两位学编号89两连续然数．
(2)(1)知五位数234567101112131415整．
[234567101112131415]×3×5×7×11×1360060．
1号写出五位数60060．
12．找出4然数中两数总差整．果求4数中数数4数里中间两数少
分析解 设四数中数a求4数数先量a．
a1设4数中外三数中某数b等必须整数1+2(b1)整显然(b1)21应b32题中求a少三数存差整关系满足．
a2设4数中外三数中某数c必须整数l+4(c2)整(c2)421应c643．
验证6432满足条件数组中间两数4+37题中条件．
试求6正整数中意两数积两数整．
试题分析 取六数123456两两相加15：
1+2l+3…5+6．
15公倍数：
×××5×7×1127720．
次取六数：277205544083160110880138600166320六数满足题目求．
13．干然数123…起果已知积末十三位恰零出现然数应该少
分析解 方法：求积末十三位均0积少含13质数213质数5．
连续然数中2倍数数远5倍数数．考虑质数5数：13×5651～65中2550均含2质数5．
需连(132)×555．说1×2×3×…积末十三位均0出现然数应55．
方法二：分段考虑质数5出现情况：
19中5身出现1次数5
1019中1015出现2次数5
2029中2025255×55出现2次出现3次数5
30394049中出现2次5子出现l+2+3+2+210次5子．
5059中5055502×5×5出现两次5次子里35子．
55止出现13次5子55出现然数2结果中末尾130．
14975×935×972×口连积4数字0方框应填什数
分析解 975含2质数5935含1质数5972含2质数2．975×935×972×口积4数0．
少需4质数54质数2．
口少含1质数52质数25×2×220．
15．图42次排列5数1312152520．相邻两数相4数．4数相邻两数相3数．3数相邻两数相2数．2数相1数．请问：数位起左数．连续数出零
分析解 图图中标出数含质数25数第行外数行左右方两数积数含质数25数行左右方两数含质数25数．
行数含10质数215质数5．
数末尾含连续0数决定质数25数值行数末尾含10连续0．
题1 1～9九数字图43示次序排成圆圈请某两数间剪开分时针逆时针次序形成两九位数．果求剪开两九位数差396整应处剪开
题2 20位学位学编号1号20号．1号学写然数2号说：数2整3号说：数3整……次位学说数编号数整．1号作验证：编号连续两位学说余学．问：
(1)说两位学编号两连续然数
(2)果告诉1号写数七位数请求出数．
题1
分析解 解道题前先规律：
差定
(：12365原序数应反序数56321差4395699倍数．面规律想想什)
互反序两九位数差定99整．
39699×4考察否4整．
观察原序数反序数末两位数字差否4整显然剪开处两数奇偶性相时．
注意图中具体数字(38)处(81)处(16)处(49)处(92)处(25)处两数字奇偶性均相定满足．
(64)处(57)处(73)处奇偶性相满足．
进步验证(64)处剪开末两位数字差9416784倍数满足．
(57)处剪开末两位数字差3725124倍数满足．
(73)处剪开末两位数字差8357264倍数满足．
57处剪开两互反序九位数差396倍数．
题2
分析解(1)列出19数：
234567891011121314151617181920．
2468101214161820定2整
369121518定3整：
48121620定4整
5101520定5整
61218定6整
714714连续定7整
816816连续定8整
918918连续定9整
10201020连续定20整：
11保留
1234整连续定12整
13保留
1427整连续定14整
1535整连续定15整
16保留
17保留
1829整连续定18整
19保留
2045整连续定20整．
中保留数11131617191617两数连续说两学编号1617．
(2)(1)知七位数23456789101112131415181920整．示：
[23456789101112131415181920]××5×7×11×13×196846840．
1号写出七位数6846840．
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