第二章 §2.4　指数与指数函数

§24　指数指数函数
考试求　1解指数函数模型实际背景2理解理数指数幂含义解实数指数幂意义掌握指数幂运算性质3通实例解指数函数实际意义描点法助计算工具画指数函数图4理解指数函数单调性特殊点等性质简单应．


1．根式
(1)般果xn＝ax作an次方根．
(2)式子作根式里n作根指数a作开方数．
(3)()n＝a
n奇数时＝a
n偶数时＝|a|＝
2．分数指数幂
正数正分数指数幂＝(a>0mn∈N＋n>1)．
正数负分数指数幂a－＝＝(a>0mn∈N＋n>1)．
0正分数指数幂00负分数指数幂没意义．
3．指数幂运算性质
aras＝ar＋s(ar)s＝ars(ab)r＝arbr(a>0b>0rs∈Q)．
4．指数函数性质
(1)概念：般函数y＝ax(a>0a≠1)作指数函数中指数x变量函数定义域Ra底数．
(2)指数函数图性质

a>1
0图


定义域
R
值域
(0＋∞)
性质
定点(01)x＝0时y＝1
x>0时y>1
x<0时0x<0时y>1
x>0时0R增函数
R减函数

微思考
1．函数y＝k·ax＋b指数函数akb满足什条件？
提示　k＝1b＝0a>0a≠1
2图示指数函数(1)y＝ax(2)y＝bx(3)y＝cx(4)y＝dx图abcd1间关系什？

提示　c>d>1>a>b>0

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)＝－4(　×　)
(2)2a·2b＝2ab(　×　)
(3)函数y＝3·2xy＝2x＋1指数函数．(　√　)
(4)am0a≠1)m题组二　教材改编
2．化简(x<0y<0)(　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
答案　D
3．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0a≠1)图恒定点________．
答案　(13)
4．已知a＝b＝c＝abc关系________．
答案　c解析　∵y＝xR减函数
∴>0a>b>1
c＝<0＝1∴c题组三　易错纠
5．函数f(x)＝(a2－3)·ax指数函数a＝______
答案　2
解析　题意解a＝2
6．函数f(x)＝ax[－11]值2a＝______
答案　2
解析　a>1时f(x)＝ax增函数
a1＝2∴a＝2满足题意
0a－1＝2∴a＝满足题意
综a＝2


题型 指数幂运算

1．计算：－0＋＋＝______
答案　π＋8
解析　原式＝－1＋|3－π|＋
＝4－1＋π－3＋23＝π＋8
2．计算： ·＝________(a>0b>0)．
答案　
解析　原式＝＝
3．＋＝3＝________
答案　
解析　＝3两边方x＋x－1＝7
方x2＋x－2＝47
∴x2＋x－2－2＝45

＝3×(7－1)＝18
∴
思维升华　(1)指数幂运算首先根式分数指数幂统分数指数幂便利法计算应注意：
①必须底数幂相指数相加．
②运算先序．
(2)底数负数时先确定符号底数化正数．
(3)运算结果时含根号分数指数分母含负指数．

题型二 指数函数图应

例1　(1)已知实数ab满足等式2 021a＝2 022b列等式定成立(　　)
A．a＝b＝0 B．aC．0答案　C
解析　图观察易知a
(2)函数f(x)＝|2x－2|－b两零点实数b取值范围________．
答案　(02)
解析　面直角坐标系中画出y＝|2x－2|y＝b图图示．

∴0∴b取值范围(02)．
思维升华　(1)关指数型函数图问题般基指数函数图入手通移伸缩称变换．特底数a1关系确定时应注意分类讨．
(2)关指数方程等式问题求解利相应指数型函数图数形结合求解．
踪训练1　(1)(2020·山东师附中月考)函数f(x)＝1－e|x|图致(　　)

答案　A
解析　方法　x＝0时y＝0排C
f(x)偶函数排BD选A
方法二　y＝1－e|x|图y＝e|x|关x轴称y＝－e|x|图移单位长度选A
(2)函数f(x)＝ax－b图图示中ab常数列结正确(　　)

A．a>1b<0
B．a>1b>0
C．00
D．0答案　D
解析　f(x)＝ax－b图观察出函数f(x)＝ax－b定义域减少0f(0)＝a－b0b<0

题型三 指数函数性质应

命题点1　较指数式
例2　(1)设a＝0606b＝0615c＝1506abc关系(　　)
A．aC．b答案　C
解析　∵函数y＝06x减函数0<06<15
∴1>0606>0615b∵函数y＝15x(0＋∞)增函数06>0
∴1506>150＝1c>1
综b(2)ea＋πb≥e－b＋π－a列结定成立(　　)
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案　D
解析　∵ea＋πb≥e－b＋π－a
∴ea－π－a≥e－b－πb①
令f(x)＝ex－π－xf(x)R增函数
①式f(a)≥f(－b)
∴a≥－ba＋b≥0
命题点2　解简单指数方程等式
例3　(1)≤x－2函数y＝2x值域(　　)
A B
C D．[2＋∞)
答案　B
解析　x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4∴2－2x＋4
x2＋1≤－2x＋4x2＋2x－3≤0
∴－3≤x≤1时y＝2x值域[2－321]

(2)已知实数a≠1函数f(x)＝f(1－a)＝f(a－1)a值______．
答案　
解析　a<1时41－a＝21解a＝
a>1时代入成立．a值
命题点3　指数函数性质综合应
例4　(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m常数)f(x)区间[2＋∞)增加m取值范围________．
答案　(－∞4]
解析　令t＝|2x－m|t＝|2x－m|区间增加区间减少．y＝2t增函数函数f(x)＝2|2x－m|[2＋∞)增加≤2m≤4m取值范围(－∞4]．
(2)存正数x2x(x－a)<1成立a取值范围(　　)
A．(－∞＋∞) B．(－2＋∞)
C．(0＋∞) D．(－1＋∞)
答案　D
解析　等式2x(x－a)<1变形x－a－1

思维升华　(1)利指数函数性质较解方程等式重底原较助中间量．
(2)求解指数函数关复合函数问题明确复合函数构成涉值域单调区间值等问题时助增异减性质分析判断．
踪训练2　(1)列式较正确(　　)
A．1725>173 B
C．1703<0931 D
答案　D
解析　∵y＝17x增函数∴1725<173A正确
减函数∴B正确
∵1703>10931∈(01)∴1703>0931C正确
y＝x减函数∴
y＝(0＋∞)增加∴
∴D正确．
(2)设mn∈Rm1(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案　C
解析　m－n>1m－n>0
∴m－n<0∴mm1充条件．
(3)函数f(x)＝f(x)(－∞－3)减少a取值范围________．
答案　
解析　令t＝ax2－4x＋3y＝t
∵y＝t减函数
∴t＝ax2－4x＋3(－∞－3)增加
解a≤－
课时精练

1．实数a>0列等式成立(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．
答案　D
解析　A(－2)－2＝A错误B2a－3＝B错误C(－2)0＝1C错误DD正确．
2．已知a＝202b＝0402c＝0406abc关系(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案　A
解析　y＝04x减函数
∴0406<0402<040＝1
202>1a>b>c
3．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝函数f(x)(　　)
A．偶函数[0＋∞)增加
B．偶函数[0＋∞)减少
C．奇函数增加
D．奇函数减少
答案　C
解析　作出函数f(x)图(图略)图知f(x)奇函数f(x)R增函数．
4．函数y＝ax－a(a>0a≠1)图(　　)

答案　D
解析　a>1时y＝ax－a增函数点(10)
x＝0时y＝1－a<0选项AB正确．
0x＝0时y＝1－a∈(01)选项C正确D正确．
5．已知ab∈(01)∪(1＋∞)x>0时1A．0C．1答案　C
解析　∵x>0时11
∵x>0时bx∴x>0时x>1
∴>1∴a>b∴16．(2020·新高考全国Ⅰ)基生数R0世代间隔T新冠肺炎流行病学基参数．基生数指感染者传染均数世代间隔指相邻两代间传染需均时间．新冠肺炎疫情初始阶段指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)时间t(单位：天)变化规律指数增长率rR0T似满足R0＝1＋rT学者基已数估计出R0＝328T＝6新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加1倍需时间约(ln 2≈069)
(　　)
A．12天 B．18天
C．25天 D．35天
答案　B
解析　R0＝1＋rTR0＝328T＝6
r＝＝＝038
题意累计感染病例数增加1倍
I(t2)＝2I(t1)


038(t2－t1)＝ln 2
t2－t1＝≈≈18
7．化简：(a>0b>0)＝________
答案　
解析　原式＝
＝
8．已知函数f(x)＝ax(a>0a≠1)[12]值值a值________．
答案　
解析　0∴a＝a＝0(舍)．
a>1时a2－a＝∴a＝a＝0(舍)．
综述a＝
9．函数f(x)＝a|2x－4|(a>0a≠1)满足f(1)＝f(x)递减区间________．
答案　[2＋∞)
解析　f(1)＝a2＝
a＝a＝－(舍)f(x)＝|2x－4|
y＝|2x－4|(－∞2]减少[2＋∞)增加y＝x(－∞＋∞)减少
f(x)(－∞2]增加[2＋∞)减少．
10．已知函数f(x)＝值域[－81]实数a取值范围________．
答案　[－30)
解析　0≤x≤4时f(x)∈[－81]
a≤x<0时f(x)∈
[－81]
－8≤－<－1－3≤a<0
实数a取值范围[－30)．
11．已知函数f(x)＝b·ax(中ab常数a>0a≠1)图点A(16)B(324)．
(1)求f(x)解析式
(2)等式x＋x－m≥0(－∞1]恒成立求实数m取值范围．
解　(1)f(x)图A(16)B(324)
a2＝4
a>0a＝2b＝3f(x)＝3·2x
(2)(1)知a＝2b＝3
x∈(－∞1]时x＋x－m≥0恒成立
m≤x＋x(－∞1]恒成立．
y＝xy＝x(－∞1]减少y＝x＋x(－∞1]减少x＝1时y＝x＋x值m≤m取值范围
12．已知函数f(x)＝奇函数．
(1)求实数m值
(2)设g(x)＝2x＋1－a函数f(x)g(x)图公点求实数a取值范围．
解　(1)∵f(x)奇函数∴f(0)＝0m＝－1
检验m＝－1时f(x)奇函数∴m＝－1
(2)令＝2x＋1－a
令t＝2x∴t>0
∴＝2t－a
a＝t＋
∴方程a＝t＋正实数根
∵t＋≥2仅t＝1时取等号．∴a≥2
实数a取值范围[2＋∞)．

13．关x方程|ax－1|＝2a(a>0a≠1)两相等实根a取值范围(　　)
A∪(1＋∞) B
C D．(1＋∞)
答案　B
解析　方程|ax－1|＝2a(a>0a≠1)两相等实根转化函数y＝|ax－1|y＝2a两交点．
(1)0(2)a>1时图②y＝2a>1符合求．

014．果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0a≠1)区间[－11]值14a值________．
答案　3
解析　令ax＝ty＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2a>1时x∈[－11]t∈函数y＝(t＋1)2－2增加ymax＝(a＋1)2－2＝14解a＝3(负值舍)．0
15．(2019·全国Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现类历史首次月球背面软着陆国航天事业取重成．实现月球背面软着陆需解决关键技术问题面探测器通讯联系．解决问题发射嫦娥四号中继星鹊桥鹊桥着围绕月拉格朗日L2点轨道运行．L2点衡点位月连线延长线．设球质量M1月球质量M2月距离RL2点月球距离r根牛顿运动定律万引力定律r满足方程：＋＝(R＋r)设α＝α值似计算中≈3α3r似值(　　)
AR BR
CR DR
答案　D
解析　＋＝(R＋r)＋＝M1α＝＋＝(1＋α)M1＝≈3α33α3≈33≈r≈·R选D
16．已知定义R函数f(x)＝2x－
(1)f(x)＝求x值
(2)2tf(2t)＋mf(t)≥0t∈[12]恒成立求实数m取值范围．
解　(1)x<0时f(x)＝0解
x≥0时f(x)＝2x－
2x－＝2·22x－3·2x－2＝0
式成关2x元二次方程
解2x＝22x＝－
2x>0x＝1
(2)t∈[12]时2t＋m≥0
m(22t－1)≥－(24t－1)
22t－1>0 m≥－(22t＋1)
t∈[12]－(22t＋1)∈[－17－5]
实数m取值范围[－5＋∞)．
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