指数指数函数基础梳理
1．分数指数幂
(1)规定：正数正分数指数幂意义a＝(a＞0mn∈N*n＞1)正数负分数指数幂意义a－＝(a＞0mn∈N*n＞1)0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义．
(2)理指数幂运算性质：aras＝ar＋s (ar)s＝ars (ab)r＝arbr
中a＞0b＞0rs∈Q
2．指数函数图象性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0＋∞)
性质
定点(01)
x＞0时y＞1
x＜0时0＜y＜1
x＞0时0＜y＜1x＜0时y＞1
(－∞＋∞)增函数
(－∞＋∞)减函数
数数函数基础梳理
1．数概念
(1)数定义：果(a＞0a≠1)数做a底N数记作中a做数底数N做真数．
(2)种常见数
数形式
特点
记法
般数
底数a(a＞0a≠1)
logaN
常数
底数10
lg N
然数
底数e
lnN
2数性质运算法
(1)数性质 (数恒等式) ① ②(a＞0a≠1)．
(2)数运算法：果a＞0a≠1M＞0N＞0
①loga(MN)＝logaM＋logaN②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R)
(3)数换底公式 (ab均零等1)
推：
3．数函数图象性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0＋∞)
值域：R
点(10)
x＞1时y＞00＜x＜1y＜0
x＞1时y＜00＜x＜1时y＞0
(0＋∞)增函数
(0＋∞)减函数
4反函数：指数函数y＝ax数函数互反函数图象关直线y＝x称．
练检测
1．(2011·山东)点(a9)函数y＝3x图象tan值( )．
A．0 B C．1 D
解析 题意3a＝9a＝2∴tan ＝tan ＝
答案 D
2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|图象( )．
解析 f(x)＝选B
答案 B
3．函数f(x)＝该函数(－∞＋∞)( )．
A．单调递减值 B．单调递减值
C．单调递增值 D．单调递增值
解析 设y＝f(x)t＝2x＋1
y＝t＝2x＋1x∈(－∞＋∞)
t＝2x＋1(－∞＋∞)递增值域(1＋∞)．
y＝(1＋∞)递减值域(01)．
答案 A
4．(2011·天津)已知a＝b＝c＝( )．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析 c＝log303＝5－log303＝5log3log234＞log22＝1log436＜log44＝1log3＞log33＝1
log234＞log2＞log3 ∴log2 34＞log3 ＞log4 36
∵y＝5x增函数∴a＞c＞b
答案 C
5．(2012·天津中月考)已知a＋a－1＝______a2＋a－2＝________
解析 已知条件(a＋a－)2＝9整理：a＋a－1＝7
(a＋a－1)2＝49a2＋a－2＝47
答案 7 47
6化简列式(中字母均正数)．
(1) (2)
[审题视点] 熟记理数指数幂运算性质化简关键．
解 (1)原式＝
＝a－－－·b＋－＝
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷
＝－a－·b－
＝－·＝－
化简结果求
(1)题目根式形式出结果根式表示
(2)题目分数指数幂形式出结果分数指数幂表示
(3)结果时含根号分数指数幂分母负指数幂．
训练1 计算：
(1)
(2)
解 (1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1
＝－49＋－1＝－45
(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝
7函数y＝图象致( )．
[审题视点] 函数图象判断充分利函数性质奇偶性单调性．
解析 y＝＝1＋x＞0时e2x－1＞0着x增增y＝1＋＞1着x增减函数y(0＋∞)恒1单调递减函数y奇函数选A
答案 A
利指数函数图象性质研究复合函数图象性质：函数y＝y＝y＝lg(10x－1)等．
8 已知方程10x＝10－xlg x＋x＝10实数解分αβα＋β值________．
解析 作函数y＝f(x)＝10xy＝g(x)＝lg xy＝h(x)＝10－x图象图示y＝f(x)y＝g(x)互反函数∴图象关直线y＝x称．直线y＝h(x)y＝x垂直∴y＝f(x)y＝h(x)交点Ay＝g(x)y＝h(x)交点B关直线y＝x称．y＝xy＝h(x)交点(55)．方程10x＝10－x解αA点横坐标理βB点横坐标．∴＝5α＋β＝10
答案 10
9 (2011·福建五市模拟)设函数y＝f(x)(－∞＋∞)
定义．定正数K定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2＋x＋e－x意x∈(－∞＋∞)恒fK(x)＝f(x)K值________．
10 f1(x)＝3|x－1|f2(x)＝2·3|x－a|x∈Rf(x)＝f(x)＝f1(x)实数x成立实数a取值范围________．
1．已知a＝log0708b＝log1109c＝1109abc关系( )．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析 三数中间量1相较：0＜a＝log0708＜1b＝log1109＜0c＝1109＞1
答案 C
2．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)值域( )．
A．(0＋∞) B．[0＋∞)
C．(1＋∞) D．[1＋∞)
解析 设y＝f(x)t＝3x＋1
y＝log2tt＝3x＋1x∈R
y＝log2tt>1知函数f(x)值域(0＋∞)．
答案 A
3．a取值范围________．
答案
4求值：(1)(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2
(3)lg －lg ＋lg
[审题视点] 运数运算法换底公式．
解 (1)原式＝＝
(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1
(3)法 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝
法二 原式＝lg－lg 4＋lg(7)＝lg＝
lg＝
数源指数数指数互逆运算数运算根数定义数运算性质数恒等式数换底公式进行．解决数运算数相关问题时注意化简程中等价性数式指数式互化．
5 (1)2a＝5b＝10求＋值．
(2)xlog34＝1求4x＋4－x值．
解 (1)已知a＝log210b＝log510
＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1
(2)已知x＝log43
4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝
6已知f(x)定义(－∞＋∞)偶函数(－∞0]增函数设a＝f(log47)b＝f()c＝f(02－06)abc关系( )．
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
[审题视点] 利函数单调性插入中间值较．
解析 log3＝－log23＝－log49b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)log47＜log4902－06＝－＝＞＝2＞log49
f(x)定义(－∞＋∞)偶函数(－∞0]增函数f(x)[0＋∞)单调递减
∴f(02－06)＜f(log3)＜f(log47)c＜b＜a选B
答案 B
般底问题利单调性处理底问题处理般利中间值较指(真)数问题时助指数函数数函数图象解决．
7 (2010·全国)设a＝log32b＝ln 2c＝( )．
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析 法 a＝log32＝b＝ln 2＝log23＞log2e＞1a＜bc＝5－＝＞2＝log24＞log23c＜a综c＜a＜b选C
法二 a＝log32＝b＝ln 2＝1＜log2e＜log23＜2∴＜＜＜1c＝5－＝＜＝c＜a＜b选C
答案 C
8已知函数f(x)＝否存实数a函数f(x)[01]关x减函数存求a取值范围．
[审题视点] a＞0a≠1问题等价[01]恒
解 ∵a＞0a≠1
∴u＝2－ax[01]关x减函数．
f(x)＝loga(2－ax)[01]关x减函数
∴函数y＝logau关u增函数x∈[01]时u＝2－ax恒正数．
充条件1＜a＜2
∴a取值范围(12)．
研究函数问题首先考虑定义域定义域优先原．研究复合函数单调性定注意层外层单调性问题．复合函数单调性法增异减．题易错点：易忽略2－ax＞0[01]恒成立2－a＞0实质忽略真数0条件．
9 已知f(x)＝log4(4x－1)
(1)求f(x)定义域
(2)讨f(x)单调性
(3)求f(x)区间值域．
解 (1)4x－1>0解x>0
f(x)定义域(0＋∞)．
(2)设0log4(4x1－1)(3)f(x)区间递增
f＝0f(2)＝log415
f(x)值域[0log415]．
10(2011·辽宁改编)设函数f(x)＝满足f(x)≤2x取值范围________．
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1．分数指数幂
(1)规定：正数正分数指数幂意义a＝(a＞0mn∈N*n＞1)正数负分数指数幂意义a－＝(a＞0mn∈N*n＞1)0正分数指数幂等00负分数指数幂没意义．
(2)理指数幂运算性质：aras＝ar＋s (ar)s＝ars (ab)r＝arbr
中a＞0b＞0rs∈Q
2．指数函数图象性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0＋∞)
性质
定点(01)
x＞0时y＞1
x＜0时0＜y＜1
x＞0时0＜y＜1x＜0时y＞1
(－∞＋∞)增函数
(－∞＋∞)减函数
数数函数基础梳理
1．数概念
(1)数定义：果(a＞0a≠1)数做a底N数记作中a做数底数N做真数．
(2)种常见数
数形式
特点
记法
般数
底数a(a＞0a≠1)
logaN
常数
底数10
lg N
然数
底数e
lnN
2数性质运算法
(1)数性质 (数恒等式) ① ②(a＞0a≠1)．
(2)数运算法：果a＞0a≠1M＞0N＞0
①loga(MN)＝logaM＋logaN②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R)
(3)数换底公式 (ab均零等1)
推：
3．数函数图象性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0＋∞)
值域：R
点(10)
x＞1时y＞00＜x＜1y＜0
x＞1时y＜00＜x＜1时y＞0
(0＋∞)增函数
(0＋∞)减函数
4反函数：指数函数y＝ax数函数互反函数图象关直线y＝x称．
练检测
1．(2011·山东)点(a9)函数y＝3x图象tan值( )．
A．0 B C．1 D
解析 题意3a＝9a＝2∴tan ＝tan ＝
答案 D
2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|图象( )．
解析 f(x)＝选B
答案 B
3．函数f(x)＝该函数(－∞＋∞)( )．
A．单调递减值 B．单调递减值
C．单调递增值 D．单调递增值
解析 设y＝f(x)t＝2x＋1
y＝t＝2x＋1x∈(－∞＋∞)
t＝2x＋1(－∞＋∞)递增值域(1＋∞)．
y＝(1＋∞)递减值域(01)．
答案 A
4．(2011·天津)已知a＝b＝c＝( )．
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析 c＝log303＝5－log303＝5log3log234＞log22＝1log436＜log44＝1log3＞log33＝1
log234＞log2＞log3 ∴log2 34＞log3 ＞log4 36
∵y＝5x增函数∴a＞c＞b
答案 C
5．(2012·天津中月考)已知a＋a－1＝______a2＋a－2＝________
解析 已知条件(a＋a－)2＝9整理：a＋a－1＝7
(a＋a－1)2＝49a2＋a－2＝47
答案 7 47
6化简列式(中字母均正数)．
(1) (2)
[审题视点] 熟记理数指数幂运算性质化简关键．
解 (1)原式＝
＝a－－－·b＋－＝
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷
＝－a－·b－
＝－·＝－
化简结果求
(1)题目根式形式出结果根式表示
(2)题目分数指数幂形式出结果分数指数幂表示
(3)结果时含根号分数指数幂分母负指数幂．
训练1 计算：
(1)
(2)
解 (1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1
＝－49＋－1＝－45
(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝
7函数y＝图象致( )．
[审题视点] 函数图象判断充分利函数性质奇偶性单调性．
解析 y＝＝1＋x＞0时e2x－1＞0着x增增y＝1＋＞1着x增减函数y(0＋∞)恒1单调递减函数y奇函数选A
答案 A
利指数函数图象性质研究复合函数图象性质：函数y＝y＝y＝lg(10x－1)等．
8 已知方程10x＝10－xlg x＋x＝10实数解分αβα＋β值________．
解析 作函数y＝f(x)＝10xy＝g(x)＝lg xy＝h(x)＝10－x图象图示y＝f(x)y＝g(x)互反函数∴图象关直线y＝x称．直线y＝h(x)y＝x垂直∴y＝f(x)y＝h(x)交点Ay＝g(x)y＝h(x)交点B关直线y＝x称．y＝xy＝h(x)交点(55)．方程10x＝10－x解αA点横坐标理βB点横坐标．∴＝5α＋β＝10
答案 10
9 (2011·福建五市模拟)设函数y＝f(x)(－∞＋∞)
定义．定正数K定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2＋x＋e－x意x∈(－∞＋∞)恒fK(x)＝f(x)K值________．
10 f1(x)＝3|x－1|f2(x)＝2·3|x－a|x∈Rf(x)＝f(x)＝f1(x)实数x成立实数a取值范围________．
1．已知a＝log0708b＝log1109c＝1109abc关系( )．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析 三数中间量1相较：0＜a＝log0708＜1b＝log1109＜0c＝1109＞1
答案 C
2．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)值域( )．
A．(0＋∞) B．[0＋∞)
C．(1＋∞) D．[1＋∞)
解析 设y＝f(x)t＝3x＋1
y＝log2tt＝3x＋1x∈R
y＝log2tt>1知函数f(x)值域(0＋∞)．
答案 A
3．a取值范围________．
答案
4求值：(1)(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2
(3)lg －lg ＋lg
[审题视点] 运数运算法换底公式．
解 (1)原式＝＝
(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1
(3)法 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝
法二 原式＝lg－lg 4＋lg(7)＝lg＝
lg＝
数源指数数指数互逆运算数运算根数定义数运算性质数恒等式数换底公式进行．解决数运算数相关问题时注意化简程中等价性数式指数式互化．
5 (1)2a＝5b＝10求＋值．
(2)xlog34＝1求4x＋4－x值．
解 (1)已知a＝log210b＝log510
＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1
(2)已知x＝log43
4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝
6已知f(x)定义(－∞＋∞)偶函数(－∞0]增函数设a＝f(log47)b＝f()c＝f(02－06)abc关系( )．
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
[审题视点] 利函数单调性插入中间值较．
解析 log3＝－log23＝－log49b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)log47＜log4902－06＝－＝＞＝2＞log49
f(x)定义(－∞＋∞)偶函数(－∞0]增函数f(x)[0＋∞)单调递减
∴f(02－06)＜f(log3)＜f(log47)c＜b＜a选B
答案 B
般底问题利单调性处理底问题处理般利中间值较指(真)数问题时助指数函数数函数图象解决．
7 (2010·全国)设a＝log32b＝ln 2c＝( )．
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析 法 a＝log32＝b＝ln 2＝log23＞log2e＞1a＜bc＝5－＝＞2＝log24＞log23c＜a综c＜a＜b选C
法二 a＝log32＝b＝ln 2＝1＜log2e＜log23＜2∴＜＜＜1c＝5－＝＜＝c＜a＜b选C
答案 C
8已知函数f(x)＝否存实数a函数f(x)[01]关x减函数存求a取值范围．
[审题视点] a＞0a≠1问题等价[01]恒
解 ∵a＞0a≠1
∴u＝2－ax[01]关x减函数．
f(x)＝loga(2－ax)[01]关x减函数
∴函数y＝logau关u增函数x∈[01]时u＝2－ax恒正数．
充条件1＜a＜2
∴a取值范围(12)．
研究函数问题首先考虑定义域定义域优先原．研究复合函数单调性定注意层外层单调性问题．复合函数单调性法增异减．题易错点：易忽略2－ax＞0[01]恒成立2－a＞0实质忽略真数0条件．
9 已知f(x)＝log4(4x－1)
(1)求f(x)定义域
(2)讨f(x)单调性
(3)求f(x)区间值域．
解 (1)4x－1>0解x>0
f(x)定义域(0＋∞)．
(2)设0
f＝0f(2)＝log415
f(x)值域[0log415]．
10(2011·辽宁改编)设函数f(x)＝满足f(x)≤2x取值范围________．
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