极限求解考研数学中应
摘 极限作高等数学重容然成考研数学必考点考研科目中考研数学学生言极限求解问题成复重点容文考研数学中真题例数列极限函数极限两方面分介绍考研数学中常出现求解极限九种方法分析种方法适范围纳总结出解决极限问题注意点通统计出十年极限类题型考研中出现次数考研重点考察题型较结果发现极限问题考研中占例较仅会直接考察极限求解问题会利极限函数分析性质间关系间接考察极限计算掌握常见计算极限方法解决极限问题极重根分析结果考研学生高效复极限问题提供建议
关键词 考研数学 极限 复建议
Application of limit solution in mathematics for postgraduate entrance examination
Abstract As an important content of higher mathematics limit naturally becomes the necessary examination point of postgraduate mathematics Therefore for the students who have mathematics in the postgraduate entrance examination the problem of limit solution becomes a key content of review This paper mainly takes the real problems in the postgraduate entrance examination mathematics as an example From the two aspects of the limit of sequence and the limit of function it introduces nine methods of solving the limit that often appear in the postgraduate entrance examination mathematics analyzes the applicable scope of various methods and sums up the points for attention in solving the limit problem Through the statistics of the number of times of limit questions in the past ten years and the types of questions that are mainly investigated in the postgraduate entrance examination the comparison results show that the limit question accounts for a large proportion in the postgraduate entrance examination which not only directly investigates the solution of the limit but also indirectly investigates the calculation of the limit by using the relationship between the limit and the analytical properties of the function so we should master the common calculation limit It is very important to solve the limit problem Finally according to the analysis results some suggestions are provided for the postgraduate entrance examination students to review the limit problems efficiently
KEY WORDS postgraduate mathematics limit review suggestions
目 录
引 言 1
1 求解数列极限方法 2
11 迫敛性(夹逼准) 2
12 单调界定理 4
13 公式应 5
14 利定积分定义 5
15 利级数收敛必条件求解函数极限 7
2 求解函数极限方法 8
21 利函数连续性进行求解 8
22 利等价穷公式进行求解 9
23 利洛必达法进行求解 11
24 利泰勒公式求解极限 13
3 考研极限考情分析 15
31 考研数学中直接间接求极限数量分析 15
311 考研数学直接求解极限题目 15
312 考研数学中间接求解极限直接求解题目数量较 15
32 考研极限中单调界准夹逼准 16
结 18
参考文献 19
致 谢 20
引 言
通高数学数学生知道极限微积分理重性极限思想微积分重思想中函数连续性导数定积分助极限定义
极限提出完善微积分许数学家出极限解释中广泛魏尔斯特拉斯提出极限静态抽象定义微积分提供严格理基础
年越越学生丰富知识选择考研数学成数考生必考科目非数学专业学生考研数学分数学数学二数学三分三种形式容中差研读教育部考试中心发布考试纲[1]会发现关极限求解问题三者着重考察容广需考数学考生言极限求解问题复重点
关考研数学中出现解决极限问题方法高德超[2]p2022已分析总结出现频率较高题型方法相应注意事项出常8种方法柴源[3]p20考研学生提出相应复建议王聪[4]p23+39王玉[4]p23+39王艳[5]p1819燕列雅[5]p1819赵彦晖[5]p1819李波[5]p1819连坡[6]p5456等道极限题目出发研究极限种解法王成强[7]p102105陈玉发[8]p710等分解决极限问题方法技巧出发帮助学生学会类题目
文数列极限函数极限求解方法出发掌握相应准定理基础分析10年出现考研真题指出解题时注意点种方法解决问题通较出优解法次纳总结相应方法考研数学中常出现题型（选择题填空题计算题证明题）分析极限出题趋势帮助学生握重点解决极限难题
1 求解数列极限方法
关数列极限求解方法夹逼准（迫敛性）单调界定理两重极限公式定积分定义等方法均考研数学纲求面必须牢牢掌握
11 迫敛性(夹逼准)
数列极限迫敛性[9]容：设收敛数列极限数列满足：存正整数时
数列收敛
数列迫敛性解决数列极限问题作面举简单例子
分析：样数列迫敛性数列两边进行放缩
解：
迫敛性知
种题型较容易进行相应放缩合理应迫敛性求出解解决种题型难点放缩放缩时需考生常见等式相应解均值等式数等式等学需注意考研中夹逼准证明形式出现计算程中利迫敛性
例2019年数学[10]
设
(1) 证明数列单调减少
(2) 求
分析：出现种数列形式极限否存未知需单调界定理先证明极限存性进行极限求解
解：（1）时
积分保号性知
数列单调递减
需递推关系n相关积分积分考虑分部积分
：
移项整理
（2）（1）知知
夹逼准
题解题程较复杂第问第二问准备通第问证明容易发现数列数列间存关系构造出夹逼准里面数列满足夹逼准数列求出极限解类题目难点找出符合条件数列
12 单调界定理
单调界定[9]：实数系中界单调数列必极限
单调界定理般证明数列极限存性数列存前提求出极限
面2013年数学二[11]中题
设函数
（1） 求值
（2） 设数列满足证明存求极限
分析：类题目关数列存性问题优先考虑单调界定理
解：首先第问知值1意
（2）中条件
述等式知数列界方面单调递增数列单调界准知收敛
面求该数列极限设极限保号性知：解：
利单调界定理求解极限题目需判断数列单调性界性种题型证明数列收敛时出现单调界阐述数列时存数列存更谈求解极限考察种方法更注重学生数学素养考察数学重定理理解
13 公式应
公式考研数学中常运形式重极限中相出形式
例：2019年数学[10]
分析：题目中出现型考虑公式
解：
注：该题解决时候需先进行变形变成公式中形式利公式结进行计算
14 利定积分定义
面研究考研数学中常出现种数列求解问题分析题目前需学定积分定义定解
定积分质说种积分极限定积分极限关系紧密
定积分定义基础函数区间积等分特殊分法：
特注意根述表达式区间恰区间时区间积分表达式：
正公式提供重求解极限方法面道相关例题
2017年数学[10]
分析：题直接应公式求极限问题转化求定积分问题
解：
述定积分利分部积分求出
2016年数学二[11]
分析：题先数列极限换形式表达写成
解：
总结：种题型考研数学常考题型数学知识间联系仅考察极限积分间关系考察计算积分力题似道求解极限题目实道求解定积分题目种题型考察极限时考察学生定积分求解方法掌握种形n极限相加题目学会考虑迫敛性解决时会发现类题型进行放缩者放缩两数列极限存相等满足迫敛性条件迫敛性解决问题类题型考研程中常出现必须理解利定积分定义求解数列极限合理性
15 利级数收敛必条件求解函数极限
果级数收敛般项趋零
[12]
2014年数学[10]
设数列满足级数收敛
证明：
分析：题中收敛容易想必条件
解：已知条件 单调减少知收敛较审敛法知收敛级数收敛必条件知
总结：类证明数列极限零题目题目中出现级数首先考虑利级数收敛必条件题目关键转化证明正项级数收敛利判正项级数收敛系列方法
2 求解函数极限方法
21 利函数连续性进行求解
函数连续性函数重分析性质设函数某定义
称点连续[9]
例1
分析：函数处连续利函数连续性求解直接带入函数中
例子式子进行简单变形出道2001年数学二[11]考研中出现题目
分析：点极限函数连续性密切相关
总结：类题目先进行观察式子样变形变成点连续函数通常方法根号时进行分母理化者分子理化者式子进行式分解约分等利函数连续性求解题目般情况会直接考察助连续条件隐藏题目中出现选择题者极限计算步骤中
22 利等价穷公式进行求解
等价穷定义[9]：称 时等价穷量记作
根定义学生解题时需生牢记常等价穷公式例：时：
常公式解决极限般问题具作
例2015年数学[10]种出现道题目
解析：题中然会想等价穷方法时观察面公式联系起便面解法
总结：题较典型等价穷解决题型解题程中两次等价穷第次运公式第二次运公式较容易结果
面题属通简单观察发现解决方法考研数学中极限类题目快观察出解决方法
例2009年数学三[13]中道题目
解析：题学首选方法等价穷分母容易想公式确定分母等价穷分子应该相应变化找等价穷呢成解决题关键分子面出现然会公式联系起启示需分子进行相应变形时妨e提出变形式发现式子中满足等价穷
题解题般步骤
总结：题相较题分子容易观察出需式子进行相应变形考生说需等价穷常见公式极敏感做联想需等价穷相关题目进行次联系直公式熟练掌握
面关等价穷易错点里道例题进行说明
解析：题学刚时会欣喜眼分母等价穷公式掌握熟练等价穷意义理解够深刻学题错解
错解
等价穷时常会出现种错误
题正确做法应该样呢
总结：题出等价穷适题等价穷需注意等价穷式子间关系时间加减关系时注意题解题方法程度等价穷需寻找方法关等价穷具体计算程中时加减感兴趣学郭新红[14]p3235关方面研究考研数学中出现等价穷相关问题部分加减情况
23 利洛必达法进行求解
洛必达法解决极限求解问题重方法题目法等价穷时洛必达法变成选择洛必达法时需极限条件进行验证求极限否满足洛必达法条件两种常见类型型型
型[9]
函数满足：
（i）
（ii）点某空心邻域两者导
（iii）（实数）
型结型条件差结类似
常见两种洛必达法情形洛必达法进行应基础考研数学中会直接考察洛必达法题目数题目先进行定变形题目中会出现型型等等定变换时变回常两种形式
面2019年数学二[11]道题目例阐述种考研常考题型
例题
解析：首先道题目起复杂似已知洛必达法判定条件没太关系应该思考该洛必达法条件联系发现题目复杂处函数指数部分函数想函数取数写成
求
总结：道题目重题型通观察函数特征总结出般解题方法函数呈现出形式种形式时关重步函数进行变形常方法函数前面取样函数变常见形式样洛必达法者等价穷方法进行求解
洛必达法结合积分变限函数求导性质进行极限求解非常重里简单介绍积分变限函数求导性质[13]
积分限函数果函数区间连续积分变限函数具导数导数：
面2016年数学[10]中题例
解析：道题目分母利等价穷道极限满足洛必达法条件属极限
总结：类题型属极限积分相结合题目极限里面积分变限函数时需熟练积分变限函数求导性质然然洛必达法终结果
24 利泰勒公式求解极限
泰勒公式处具n阶导数函数利关次项式逼函数方法关泰勒公式余项种形式中佩亚诺余项形式较简洁求解极限进行表示利等价穷求解极限类似利泰勒公式进行求解时需记住常种泰勒公式面出x0时泰勒公式麦克劳林公式[9]
考研数学中学会泰勒公式进行求解极限解决部分极限题目
面2020年数学[10]道题目进行说明
解析：道题目时学首先会想等价穷分母较熟悉等价穷样会出现样
错解
错解：
分析：种错误述介绍等价穷时会出现错误样等价穷时需牢记加减时慎题时需先分母进行通分然麦克劳林公式
法：
法二：
总结：类型题目考研数学中通常会种解题方法麦克劳林公式容掌握较熟练直接公式带进注意取合适阶麦克劳林公式记忆牢固符合洛必达法条件洛必达法进行求解
题类似2007年数学二[11]道题目
解析：题题类似分子中容易会误等价穷细中减号知道等价穷意泰勒公式解题
总结：两例题易错年考研数学中常见题型处理类题目时仅需观察进行等价穷式子间关系加减关系关系直接等价穷进行计算否需泰勒公式牢记述出常见泰勒公式十分重时记住述出泰勒公式x0时特殊公式需条件进行严格验证
3 考研极限考情分析
研究考研数学十年真题考研数学中极限思想数学数学二数学三会涉题目选择题填空题形式出现题目计算题证明题形式出现分值角度计算题证明题分值较学生力考察较全面外极限容考研数学中重更题目直接考研极限求解题目中暗含函数连续导收敛等系列极限相关条件者求求解斜渐线方程等似极限关题目题目中蕴含极限思想般出现选择填空题中直接求解极限题目出现部分填空题计算证明题形式面十年数学二三中出现直接计算极限题目进行统计
31 考研数学中直接间接求极限数量分析
311 考研数学直接求解极限题目
表：2011年2020年数学二三中极限求解情况
类
数学
数学二
数学三
数量
13
18
15
分析：通表统计发现数学二三中十年出现极限求解数量接均年出现道两道左右题目
312 考研数学中间接求解极限直接求解题目数量较
表二：2011年2020年直接求解极限间接求解极限考研数学中情况较
类
数学
数学二
数学三
直接求极限题目数量
13
18
15
间接求极限题目数量
14
20
32
分析：通述数发现考研数学中题目直接考察计算方法计算技巧掌握更通出相应条件然学生利条件进行定转换转变成极限计算问题较3种类型数学试卷发现数学三中更容易考察极限数解题程中进行相应极限计算数学数学二中直接考察极限间接考察极限题目数量差考察极限题目总数量呈现出数学数学二数学三考数学三学复高等数学程中更注重种极限相关概念便解题程中够进行转化
32 考研极限中单调界准夹逼准
许计算题目止种方法解决2012年数学二中题洛必达法等价穷泰勒公式三种方法进行解题题目中三种方法相通种题目具体方法法做出详细统计
图 1
图 2
图 3
里仅仅列出频率较高方法：夹逼准定积分定义单调界准等价穷洛必达法泰勒公式重极限公式函数连续性极限运算法计算方法需掌握数学二三中单调界准夹逼准解决题目方法解决问题做分析：单调界准夹逼准方法分开分析两种方法证明题中出现分值学生言证明题较困难学生难分全考研学言掌握类题型助考研中获高分图1图2图3发现单调界准夹逼准数学中占较数学三中占较考数学学复极限时更应该注重单调界准夹逼准学注意定理条件解题中够迅速找出解题方法
结
述文章介绍考研数学中常见解决极限问题方法分析10年考研数学中极限问题趋势考研数学中常见解题方法夹逼准定积分定义单调界准等价穷洛必达法泰勒公式重极限公式函数连续性极限运算法九种外计算极限时利拉格朗日中值定理数列级数性质等极限微积分中位特微积分中项定义关联考研数学中考察极限题目单出现总伴着连续微收敛……性质出现题目需学复极限方面问题时单纯仅仅复计算极限方法更注重许重概念理解概念极限间关系解决问题关键处
考研学生复极限部分方面建议首先学生需理解数列极限函数极限相关概念理解概念基础掌握基计算方法基方法解决考研基础题选择题填空题中出现极限问题题目较基础解决方法较单解决类问题时需种方法计算出结果外出现考研数学中第三题计算极限题目通常解决类题目需学综合种方法出结果掌握方法方面仅需学生够熟练种方法更需学生够综合运掌握种方法解决考察学生综合力题目
外极限类题目会证明题形式考察学分析问题解决问题力类题目基解决方法述图二三统计单调界准夹逼准种题目特点分值题目间相应关联题中两问第问解出第二问影响学生需充分理解单调界准夹逼准需满足条件单调界准需数列单调学生应该掌握证明数列单调性技巧夹逼准需数列间存等式关系学生需掌握放缩技巧常见等式
总极限考研数学中重容学生应该握复时需建立学框架理解微积分中概念极限联系先复数列函数极限概念复解题相应方法复相应方法中复极限相关相应高等数学知识点
参考文献
[1] 教育部考试中心2019年全国硕士研究生招生考试数学考试纲[M]北京：高等教育出版社2019
[2] 高德超极限求解方法探索——基十年考研数学真题[J]赤峰赤峰学院学报(然版)2019
[3] 柴源基考研高数极限求解方法分析[J]吉林数学学研究2019
[4] 王聪王玉道考研极限题五种解法[J]陕西高等数学研究2018
[5] 王艳燕列雅赵彦晖李波道考研极限问题种解法[J]陕西高等数学研究2017
[6] 连坡道考研极限试题四种解法[J]陕西高等数学研究2014
[7] 王成强例递推数列极限考研题进步探究[J]宁夏宁夏师范学院学报2019
[8] 陈玉发考研数学中等价穷换[J]北京北京教育学院学报(然科学版)2012
[9] 华东师范学数学系数学分析（第四版）册[M]北京高等教育出版社20116
[10] 李永乐王式安武忠祥数学历年真题全精解析数学[M]陕西：西安交通学出版社20201
[11] 李永乐王式安武忠祥数学历年真题全精解析数学二[M]陕西：西安交通学出版社20201
[12] 济学数学系高等数学（第七版）册[M]北京：高等数学出版社20147
[13] 李永乐王式安武忠祥数学历年真题全精解析数学三[M]陕西：西安交通学出版社20201
[14] 郭欣红等价穷代换含差运算式中应[J]北京北京工业职业技术学院学报2018
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摘 极限作高等数学重容然成考研数学必考点考研科目中考研数学学生言极限求解问题成复重点容文考研数学中真题例数列极限函数极限两方面分介绍考研数学中常出现求解极限九种方法分析种方法适范围纳总结出解决极限问题注意点通统计出十年极限类题型考研中出现次数考研重点考察题型较结果发现极限问题考研中占例较仅会直接考察极限求解问题会利极限函数分析性质间关系间接考察极限计算掌握常见计算极限方法解决极限问题极重根分析结果考研学生高效复极限问题提供建议
关键词 考研数学 极限 复建议
Application of limit solution in mathematics for postgraduate entrance examination
Abstract As an important content of higher mathematics limit naturally becomes the necessary examination point of postgraduate mathematics Therefore for the students who have mathematics in the postgraduate entrance examination the problem of limit solution becomes a key content of review This paper mainly takes the real problems in the postgraduate entrance examination mathematics as an example From the two aspects of the limit of sequence and the limit of function it introduces nine methods of solving the limit that often appear in the postgraduate entrance examination mathematics analyzes the applicable scope of various methods and sums up the points for attention in solving the limit problem Through the statistics of the number of times of limit questions in the past ten years and the types of questions that are mainly investigated in the postgraduate entrance examination the comparison results show that the limit question accounts for a large proportion in the postgraduate entrance examination which not only directly investigates the solution of the limit but also indirectly investigates the calculation of the limit by using the relationship between the limit and the analytical properties of the function so we should master the common calculation limit It is very important to solve the limit problem Finally according to the analysis results some suggestions are provided for the postgraduate entrance examination students to review the limit problems efficiently
KEY WORDS postgraduate mathematics limit review suggestions
目 录
引 言 1
1 求解数列极限方法 2
11 迫敛性(夹逼准) 2
12 单调界定理 4
13 公式应 5
14 利定积分定义 5
15 利级数收敛必条件求解函数极限 7
2 求解函数极限方法 8
21 利函数连续性进行求解 8
22 利等价穷公式进行求解 9
23 利洛必达法进行求解 11
24 利泰勒公式求解极限 13
3 考研极限考情分析 15
31 考研数学中直接间接求极限数量分析 15
311 考研数学直接求解极限题目 15
312 考研数学中间接求解极限直接求解题目数量较 15
32 考研极限中单调界准夹逼准 16
结 18
参考文献 19
致 谢 20
引 言
通高数学数学生知道极限微积分理重性极限思想微积分重思想中函数连续性导数定积分助极限定义
极限提出完善微积分许数学家出极限解释中广泛魏尔斯特拉斯提出极限静态抽象定义微积分提供严格理基础
年越越学生丰富知识选择考研数学成数考生必考科目非数学专业学生考研数学分数学数学二数学三分三种形式容中差研读教育部考试中心发布考试纲[1]会发现关极限求解问题三者着重考察容广需考数学考生言极限求解问题复重点
关考研数学中出现解决极限问题方法高德超[2]p2022已分析总结出现频率较高题型方法相应注意事项出常8种方法柴源[3]p20考研学生提出相应复建议王聪[4]p23+39王玉[4]p23+39王艳[5]p1819燕列雅[5]p1819赵彦晖[5]p1819李波[5]p1819连坡[6]p5456等道极限题目出发研究极限种解法王成强[7]p102105陈玉发[8]p710等分解决极限问题方法技巧出发帮助学生学会类题目
文数列极限函数极限求解方法出发掌握相应准定理基础分析10年出现考研真题指出解题时注意点种方法解决问题通较出优解法次纳总结相应方法考研数学中常出现题型（选择题填空题计算题证明题）分析极限出题趋势帮助学生握重点解决极限难题
1 求解数列极限方法
关数列极限求解方法夹逼准（迫敛性）单调界定理两重极限公式定积分定义等方法均考研数学纲求面必须牢牢掌握
11 迫敛性(夹逼准)
数列极限迫敛性[9]容：设收敛数列极限数列满足：存正整数时
数列收敛
数列迫敛性解决数列极限问题作面举简单例子
分析：样数列迫敛性数列两边进行放缩
解：
迫敛性知
种题型较容易进行相应放缩合理应迫敛性求出解解决种题型难点放缩放缩时需考生常见等式相应解均值等式数等式等学需注意考研中夹逼准证明形式出现计算程中利迫敛性
例2019年数学[10]
设
(1) 证明数列单调减少
(2) 求
分析：出现种数列形式极限否存未知需单调界定理先证明极限存性进行极限求解
解：（1）时
积分保号性知
数列单调递减
需递推关系n相关积分积分考虑分部积分
：
移项整理
（2）（1）知知
夹逼准
题解题程较复杂第问第二问准备通第问证明容易发现数列数列间存关系构造出夹逼准里面数列满足夹逼准数列求出极限解类题目难点找出符合条件数列
12 单调界定理
单调界定[9]：实数系中界单调数列必极限
单调界定理般证明数列极限存性数列存前提求出极限
面2013年数学二[11]中题
设函数
（1） 求值
（2） 设数列满足证明存求极限
分析：类题目关数列存性问题优先考虑单调界定理
解：首先第问知值1意
（2）中条件
述等式知数列界方面单调递增数列单调界准知收敛
面求该数列极限设极限保号性知：解：
利单调界定理求解极限题目需判断数列单调性界性种题型证明数列收敛时出现单调界阐述数列时存数列存更谈求解极限考察种方法更注重学生数学素养考察数学重定理理解
13 公式应
公式考研数学中常运形式重极限中相出形式
例：2019年数学[10]
分析：题目中出现型考虑公式
解：
注：该题解决时候需先进行变形变成公式中形式利公式结进行计算
14 利定积分定义
面研究考研数学中常出现种数列求解问题分析题目前需学定积分定义定解
定积分质说种积分极限定积分极限关系紧密
定积分定义基础函数区间积等分特殊分法：
特注意根述表达式区间恰区间时区间积分表达式：
正公式提供重求解极限方法面道相关例题
2017年数学[10]
分析：题直接应公式求极限问题转化求定积分问题
解：
述定积分利分部积分求出
2016年数学二[11]
分析：题先数列极限换形式表达写成
解：
总结：种题型考研数学常考题型数学知识间联系仅考察极限积分间关系考察计算积分力题似道求解极限题目实道求解定积分题目种题型考察极限时考察学生定积分求解方法掌握种形n极限相加题目学会考虑迫敛性解决时会发现类题型进行放缩者放缩两数列极限存相等满足迫敛性条件迫敛性解决问题类题型考研程中常出现必须理解利定积分定义求解数列极限合理性
15 利级数收敛必条件求解函数极限
果级数收敛般项趋零
[12]
2014年数学[10]
设数列满足级数收敛
证明：
分析：题中收敛容易想必条件
解：已知条件 单调减少知收敛较审敛法知收敛级数收敛必条件知
总结：类证明数列极限零题目题目中出现级数首先考虑利级数收敛必条件题目关键转化证明正项级数收敛利判正项级数收敛系列方法
2 求解函数极限方法
21 利函数连续性进行求解
函数连续性函数重分析性质设函数某定义
称点连续[9]
例1
分析：函数处连续利函数连续性求解直接带入函数中
例子式子进行简单变形出道2001年数学二[11]考研中出现题目
分析：点极限函数连续性密切相关
总结：类题目先进行观察式子样变形变成点连续函数通常方法根号时进行分母理化者分子理化者式子进行式分解约分等利函数连续性求解题目般情况会直接考察助连续条件隐藏题目中出现选择题者极限计算步骤中
22 利等价穷公式进行求解
等价穷定义[9]：称 时等价穷量记作
根定义学生解题时需生牢记常等价穷公式例：时：
常公式解决极限般问题具作
例2015年数学[10]种出现道题目
解析：题中然会想等价穷方法时观察面公式联系起便面解法
总结：题较典型等价穷解决题型解题程中两次等价穷第次运公式第二次运公式较容易结果
面题属通简单观察发现解决方法考研数学中极限类题目快观察出解决方法
例2009年数学三[13]中道题目
解析：题学首选方法等价穷分母容易想公式确定分母等价穷分子应该相应变化找等价穷呢成解决题关键分子面出现然会公式联系起启示需分子进行相应变形时妨e提出变形式发现式子中满足等价穷
题解题般步骤
总结：题相较题分子容易观察出需式子进行相应变形考生说需等价穷常见公式极敏感做联想需等价穷相关题目进行次联系直公式熟练掌握
面关等价穷易错点里道例题进行说明
解析：题学刚时会欣喜眼分母等价穷公式掌握熟练等价穷意义理解够深刻学题错解
错解
等价穷时常会出现种错误
题正确做法应该样呢
总结：题出等价穷适题等价穷需注意等价穷式子间关系时间加减关系时注意题解题方法程度等价穷需寻找方法关等价穷具体计算程中时加减感兴趣学郭新红[14]p3235关方面研究考研数学中出现等价穷相关问题部分加减情况
23 利洛必达法进行求解
洛必达法解决极限求解问题重方法题目法等价穷时洛必达法变成选择洛必达法时需极限条件进行验证求极限否满足洛必达法条件两种常见类型型型
型[9]
函数满足：
（i）
（ii）点某空心邻域两者导
（iii）（实数）
型结型条件差结类似
常见两种洛必达法情形洛必达法进行应基础考研数学中会直接考察洛必达法题目数题目先进行定变形题目中会出现型型等等定变换时变回常两种形式
面2019年数学二[11]道题目例阐述种考研常考题型
例题
解析：首先道题目起复杂似已知洛必达法判定条件没太关系应该思考该洛必达法条件联系发现题目复杂处函数指数部分函数想函数取数写成
求
总结：道题目重题型通观察函数特征总结出般解题方法函数呈现出形式种形式时关重步函数进行变形常方法函数前面取样函数变常见形式样洛必达法者等价穷方法进行求解
洛必达法结合积分变限函数求导性质进行极限求解非常重里简单介绍积分变限函数求导性质[13]
积分限函数果函数区间连续积分变限函数具导数导数：
面2016年数学[10]中题例
解析：道题目分母利等价穷道极限满足洛必达法条件属极限
总结：类题型属极限积分相结合题目极限里面积分变限函数时需熟练积分变限函数求导性质然然洛必达法终结果
24 利泰勒公式求解极限
泰勒公式处具n阶导数函数利关次项式逼函数方法关泰勒公式余项种形式中佩亚诺余项形式较简洁求解极限进行表示利等价穷求解极限类似利泰勒公式进行求解时需记住常种泰勒公式面出x0时泰勒公式麦克劳林公式[9]
考研数学中学会泰勒公式进行求解极限解决部分极限题目
面2020年数学[10]道题目进行说明
解析：道题目时学首先会想等价穷分母较熟悉等价穷样会出现样
错解
错解：
分析：种错误述介绍等价穷时会出现错误样等价穷时需牢记加减时慎题时需先分母进行通分然麦克劳林公式
法：
法二：
总结：类型题目考研数学中通常会种解题方法麦克劳林公式容掌握较熟练直接公式带进注意取合适阶麦克劳林公式记忆牢固符合洛必达法条件洛必达法进行求解
题类似2007年数学二[11]道题目
解析：题题类似分子中容易会误等价穷细中减号知道等价穷意泰勒公式解题
总结：两例题易错年考研数学中常见题型处理类题目时仅需观察进行等价穷式子间关系加减关系关系直接等价穷进行计算否需泰勒公式牢记述出常见泰勒公式十分重时记住述出泰勒公式x0时特殊公式需条件进行严格验证
3 考研极限考情分析
研究考研数学十年真题考研数学中极限思想数学数学二数学三会涉题目选择题填空题形式出现题目计算题证明题形式出现分值角度计算题证明题分值较学生力考察较全面外极限容考研数学中重更题目直接考研极限求解题目中暗含函数连续导收敛等系列极限相关条件者求求解斜渐线方程等似极限关题目题目中蕴含极限思想般出现选择填空题中直接求解极限题目出现部分填空题计算证明题形式面十年数学二三中出现直接计算极限题目进行统计
31 考研数学中直接间接求极限数量分析
311 考研数学直接求解极限题目
表：2011年2020年数学二三中极限求解情况
类
数学
数学二
数学三
数量
13
18
15
分析：通表统计发现数学二三中十年出现极限求解数量接均年出现道两道左右题目
312 考研数学中间接求解极限直接求解题目数量较
表二：2011年2020年直接求解极限间接求解极限考研数学中情况较
类
数学
数学二
数学三
直接求极限题目数量
13
18
15
间接求极限题目数量
14
20
32
分析：通述数发现考研数学中题目直接考察计算方法计算技巧掌握更通出相应条件然学生利条件进行定转换转变成极限计算问题较3种类型数学试卷发现数学三中更容易考察极限数解题程中进行相应极限计算数学数学二中直接考察极限间接考察极限题目数量差考察极限题目总数量呈现出数学数学二数学三考数学三学复高等数学程中更注重种极限相关概念便解题程中够进行转化
32 考研极限中单调界准夹逼准
许计算题目止种方法解决2012年数学二中题洛必达法等价穷泰勒公式三种方法进行解题题目中三种方法相通种题目具体方法法做出详细统计
图 1
图 2
图 3
里仅仅列出频率较高方法：夹逼准定积分定义单调界准等价穷洛必达法泰勒公式重极限公式函数连续性极限运算法计算方法需掌握数学二三中单调界准夹逼准解决题目方法解决问题做分析：单调界准夹逼准方法分开分析两种方法证明题中出现分值学生言证明题较困难学生难分全考研学言掌握类题型助考研中获高分图1图2图3发现单调界准夹逼准数学中占较数学三中占较考数学学复极限时更应该注重单调界准夹逼准学注意定理条件解题中够迅速找出解题方法
结
述文章介绍考研数学中常见解决极限问题方法分析10年考研数学中极限问题趋势考研数学中常见解题方法夹逼准定积分定义单调界准等价穷洛必达法泰勒公式重极限公式函数连续性极限运算法九种外计算极限时利拉格朗日中值定理数列级数性质等极限微积分中位特微积分中项定义关联考研数学中考察极限题目单出现总伴着连续微收敛……性质出现题目需学复极限方面问题时单纯仅仅复计算极限方法更注重许重概念理解概念极限间关系解决问题关键处
考研学生复极限部分方面建议首先学生需理解数列极限函数极限相关概念理解概念基础掌握基计算方法基方法解决考研基础题选择题填空题中出现极限问题题目较基础解决方法较单解决类问题时需种方法计算出结果外出现考研数学中第三题计算极限题目通常解决类题目需学综合种方法出结果掌握方法方面仅需学生够熟练种方法更需学生够综合运掌握种方法解决考察学生综合力题目
外极限类题目会证明题形式考察学分析问题解决问题力类题目基解决方法述图二三统计单调界准夹逼准种题目特点分值题目间相应关联题中两问第问解出第二问影响学生需充分理解单调界准夹逼准需满足条件单调界准需数列单调学生应该掌握证明数列单调性技巧夹逼准需数列间存等式关系学生需掌握放缩技巧常见等式
总极限考研数学中重容学生应该握复时需建立学框架理解微积分中概念极限联系先复数列函数极限概念复解题相应方法复相应方法中复极限相关相应高等数学知识点
参考文献
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[2] 高德超极限求解方法探索——基十年考研数学真题[J]赤峰赤峰学院学报(然版)2019
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[4] 王聪王玉道考研极限题五种解法[J]陕西高等数学研究2018
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[6] 连坡道考研极限试题四种解法[J]陕西高等数学研究2014
[7] 王成强例递推数列极限考研题进步探究[J]宁夏宁夏师范学院学报2019
[8] 陈玉发考研数学中等价穷换[J]北京北京教育学院学报(然科学版)2012
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[10] 李永乐王式安武忠祥数学历年真题全精解析数学[M]陕西：西安交通学出版社20201
[11] 李永乐王式安武忠祥数学历年真题全精解析数学二[M]陕西：西安交通学出版社20201
[12] 济学数学系高等数学（第七版）册[M]北京：高等数学出版社20147
[13] 李永乐王式安武忠祥数学历年真题全精解析数学三[M]陕西：西安交通学出版社20201
[14] 郭欣红等价穷代换含差运算式中应[J]北京北京工业职业技术学院学报2018
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