微专题9 空间点直线面间位置关系
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅱ·T9·异面直线成角
2018·浙江高考·T6·直线面行
2017·全国卷Ⅱ·T10·异面直线成角
2017·全国卷Ⅲ·T16·圆锥异面直线成角
1选择题填空题形式考查线线线面面面位置关系判定性质定理命题真假进行判断属基础题
2空间中行垂直关系证明高考必考容出现立体解答题中第(1)问
考 空间点线面位置关系判断
例1 (1)已知αβ两面lmn直线列命题中正确( )
A．l⊥ml⊥nm⊂αn⊂αl⊥α
B．l⊥αl∥βα⊥β
C．α⊥βα∩β＝lm⊂αm⊥lm⊥β
D．α⊥βm⊥αn⊥βm⊥n
(2)已知mn两条直线αβγ三面列命题中正确( )
A．α⊥γβ⊥γα∥β
B．m⊥αn⊥αm∥n
C．m∥αn∥αm∥n
D．l∥αα∥βl∥β
解析 (1)l⊥ml⊥nm⊂αn⊂α推出l⊥α缺少条件mn相交A正确l⊥αl∥βl作面γγ∩β＝cl∥cc⊥αc⊂βα⊥βB正确根面面垂直性质定理知C正确D正确选A
(2)α⊥γβ⊥γαβ相交行A错误m⊥αn⊥α直线面垂直性质m∥nB正确m∥αn∥αmn相交行异面C错误l∥αα∥βl⊂βl∥βD错误选B
答案 (1)A (2)B
判断空间点线面位置关系四公理行关系垂直关系关定义定理具体处理时构建长方体三棱锥等模型考查点线面融入模型中判断会简洁明果否定结需找反例
变|式|训|练
1．已知直线ab面αβ列命题中假命题________(填序号)
①a∥ba行b面
②a∥αb∥αa∥b
③a∥αb∥βα⊥βa⊥b
④α∩β＝ab∥αb∥a
解析 ①a∥bab确定面a行b面正确②a∥αb∥αa∥bab相交异面正确③a∥αb∥βα⊥βab关系确定正确④α∩β＝ab∥αba关系确定正确
答案 ①②③④
2．(2018·益阳湘潭调研)图中GNMH分正三棱柱(两底面正三角形直棱柱)顶点棱中点表示直线GHMN异面直线图形( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
解析 题意知题图①中GH∥MN直线GHMN面题图②中GHN三点面M∉面GHN直线GHMN异面题图③中连接MGGM∥HN直线GHMN面题图④中连接GNGMN三点面H∉面GMN直线GHMN异面选C
答案 C
考二 异面直线成角
例2 (2018·全国卷Ⅱ)长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝1AA1＝异面直线AD1DB1成角余弦值( )
A． B．
C． D．
解析
解法：D坐标原点DADCDD1直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系图示D(000)A(100)B1(11)D1(00)＝(－10)＝(11)cos〈〉＝＝＝异面直线AD1DB1成角余弦值选C
解法二：图补相长方体CDEF－C1D1E1F1连接DE1B1E1易知AD1∥DE1∠B1DE1补角异面直线AD1DB1成角长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝1AA1＝DE1＝＝＝2DB1＝＝B1E1＝＝＝△B1DE1中余弦定理cos∠B1DE1＝＝>0∠B1DE1锐角异面直线AD1DB1成角异面直线AD1DB1成角余弦值选C
解法三：图连接BD1交DB1点O取AB中点M连接DMOM易知OBD1中点AD1∥OM∠MOD异面直线AD1DB1成角长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝1AA1＝AD1＝＝2DM＝＝DB1＝＝OM＝AD1＝1OD＝DB1＝△DMO中余弦定理cos∠MOD＝＝异面直线AD1DB1成角余弦值选C
答案 C
求异面直线成角般移法异面直线移相交直线然解三角形求解
变|式|训|练
(2018·陕西质量检测)已知△ABC△BCD均正三角形AB＝4面ABC⊥面BCD异面直线ABCD成角θcosθ＝( )
A．－ B． C．－ D．
解析
图取BC中点O取BD中点E取AC中点F连接OAOEOFEFOE∥CDOF∥AB∠EOF补角异面直线ABCD成角题OE＝CD＝2OF＝AB＝2点F作FG⊥BC点G易FG⊥面BCDFG＝OA＝GOC中点OG＝1OE＝2∠EOG＝60°余弦定理EG＝
＝＝勾股定理EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝6△OEF中余弦定理cos∠EOF＝＝＝cosθ＝选D
答案 D
考三 空间点线面综合问题
例3 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱CD中点( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
(2)四面体ABCD三组棱分相等AB＝CDAC＝BDAD＝BC出列结：
①四面体ABCD组棱相互垂直
②四面体ABCD面面积相等
③四面体ABCD顶点出发三条棱两两夹角90°180°
④连接四面体ABCD组棱中点线段相互垂直分
⑤四面体ABCD顶点出发三条棱长作三角形三边长
中正确结序号________
解析 (1)解法：正方体性质A1B1⊥BC1B1C⊥BC1A1B1∩B1C＝B1BC1⊥面A1B1CDA1E⊂面A1B1CDA1E⊥BC1选C
解法二：A1E面ABCD投影AEAEACBD垂直BD错误A1E面BCC1B1投影B1CB1C⊥BC1A1E⊥BC1(证明：条件易知BC1⊥B1CBC1⊥CECE∩B1C＝CBC1⊥面CEA1B1A1E⊂面CEA1B1A1E⊥BC1)C正确A1E面DCC1D1投影D1ED1EDC1垂直A错误选C
(2)①图①AECF分BD边高AD＝BCAB＝CDBD＝DB知△ABD≌△CDBAE＝CFDE＝BF仅AD＝ABCD＝BC时EF重合时AC⊥BD四面体ABCD正四面体时组棱相互垂直①错误②题设知四面体四面全等四面体ABCD面面积相等②正确③四面体正四面体时顶点出发意两条棱夹角均60°时四面体ABCD顶点出发三条棱两两夹角等180°③错误④图②GHIJ边中点AC＝BD四边形GHIJ菱形GIHJ相互垂直分理连接四面体ABCD组棱中点线段相互垂直分④正确⑤A点出发三条棱ABACADAC＝BDABACAD构成三角形理四面体ABCD顶点出发三条棱长作三角形三边长⑤正确综述正确结②④⑤
答案 (1)C (2)②④⑤
破解类问题需：(1)认真审题细观图形利空间直线面行垂直判定定理性质定理求解(2)懂转化面面关系问题转化线面关系问题线面关系问题转化线线关系问题通转化问题简单化问题解决水渠成
变|式|训|练
1．面α截三棱锥截面行四边形该三棱锥中面α行棱( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．0条2条
解析 图行三棱锥两条相棱面截三棱锥截面行四边形该三棱锥中面α行棱2条选C
答案 C
2．图列四正方体中AB正方体两顶点MNQ棱中点四正方体中直线AB面MNQ行( )
A B C D
解析
解法：B图示连接CDAB∥CDMQ分棱中点MQ∥CDAB∥MQAB⊄面MNQMQ⊂面MNQAB∥面MNQ理证选项CD中均AB∥面MNQ选A
解法二：A设正方体底面角线交点O(图示)连接OQOQ∥ABOQ面MNQ交点AB面MNQ交点AB面MNQ行选A
答案 A
1．(考)(2018·重庆六校联考)设ab两条直线αβ两面α∥β充分条件( )
A．存条直线aa∥αa∥β
B．存条直线aa⊂αa∥β
C．存两条行直线aba⊂αb⊂βa∥βb∥α
D．存两条异面直线aba⊂αb⊂βa∥βb∥α
解析 A存条直线aa∥αa∥βα∥βαβ相交α∥β存条直线aa∥αa∥β选项A容α∥β必条件理选项BC容α∥β必条件充分条件D通移两条异面直线移面中成相交直线α∥β选项D容α∥β充分条件选D
答案 D
2．(考二)(2018·全国卷Ⅰ)长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝2AC1面BB1C1C成角30°该长方体体积( )
A．8 B．6
C．8 D．8
解析
长方体ABCD－A1B1C1D1中连接BC1根线面角定义知∠AC1B＝30°AB＝2BC1＝2求CC1＝2该长方体体积V＝2×2×2＝8选C
答案 C
3．(考三)底面菱形四棱锥P－ABCD中PA⊥底面ABCD点E棱PB中点点F棱AD面CEFPA交点KPA＝AB＝3AF＝2等( )
A． B．
C． D．
解析 图示延长BACF交点G连接EGPA交点K点AG＝6点A作AH∥PBEG交点H＝＝＝＝＝选A
答案 A
4．(考三)图斜三棱柱ABC－A1B1C1中∠BAC＝90°BC1⊥ACP三角形A1B1C1点(含边界)点P底面ABC投影( )
A．△ABC部
B．△ABC外部
C．直线AB
D．均
解析 AC⊥ABAC⊥BC1AC⊥面ABC1AC⊂面ABC面ABC1⊥面ABCC1面ABC射影H必两面交线
ABP三角形A1B1C1点(含边界)点P底面ABC投影△ABC外部选B
答案 B
5．(考三)(2018·成诊断)长方体ABCD－A1B1C1D1中已知底面ABCD正方形PA1D1中点AD＝2AA1＝点Q正方形ABCD面动点QC＝QP线段BQ长度值________
解析 D坐标原点分DADCDD1直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系P(10)C(020)B(220)Q(xy0)QC＝QP＝⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0BQ＝＝＝根－4≤y≤04≤4－8y≤362≤BQ≤6线段BQ长度值6
答案 6
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅱ·T9·异面直线成角
2018·浙江高考·T6·直线面行
2017·全国卷Ⅱ·T10·异面直线成角
2017·全国卷Ⅲ·T16·圆锥异面直线成角
1选择题填空题形式考查线线线面面面位置关系判定性质定理命题真假进行判断属基础题
2空间中行垂直关系证明高考必考容出现立体解答题中第(1)问
考 空间点线面位置关系判断
例1 (1)已知αβ两面lmn直线列命题中正确( )
A．l⊥ml⊥nm⊂αn⊂αl⊥α
B．l⊥αl∥βα⊥β
C．α⊥βα∩β＝lm⊂αm⊥lm⊥β
D．α⊥βm⊥αn⊥βm⊥n
(2)已知mn两条直线αβγ三面列命题中正确( )
A．α⊥γβ⊥γα∥β
B．m⊥αn⊥αm∥n
C．m∥αn∥αm∥n
D．l∥αα∥βl∥β
解析 (1)l⊥ml⊥nm⊂αn⊂α推出l⊥α缺少条件mn相交A正确l⊥αl∥βl作面γγ∩β＝cl∥cc⊥αc⊂βα⊥βB正确根面面垂直性质定理知C正确D正确选A
(2)α⊥γβ⊥γαβ相交行A错误m⊥αn⊥α直线面垂直性质m∥nB正确m∥αn∥αmn相交行异面C错误l∥αα∥βl⊂βl∥βD错误选B
答案 (1)A (2)B
判断空间点线面位置关系四公理行关系垂直关系关定义定理具体处理时构建长方体三棱锥等模型考查点线面融入模型中判断会简洁明果否定结需找反例
变|式|训|练
1．已知直线ab面αβ列命题中假命题________(填序号)
①a∥ba行b面
②a∥αb∥αa∥b
③a∥αb∥βα⊥βa⊥b
④α∩β＝ab∥αb∥a
解析 ①a∥bab确定面a行b面正确②a∥αb∥αa∥bab相交异面正确③a∥αb∥βα⊥βab关系确定正确④α∩β＝ab∥αba关系确定正确
答案 ①②③④
2．(2018·益阳湘潭调研)图中GNMH分正三棱柱(两底面正三角形直棱柱)顶点棱中点表示直线GHMN异面直线图形( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
解析 题意知题图①中GH∥MN直线GHMN面题图②中GHN三点面M∉面GHN直线GHMN异面题图③中连接MGGM∥HN直线GHMN面题图④中连接GNGMN三点面H∉面GMN直线GHMN异面选C
答案 C
考二 异面直线成角
例2 (2018·全国卷Ⅱ)长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝1AA1＝异面直线AD1DB1成角余弦值( )
A． B．
C． D．
解析
解法：D坐标原点DADCDD1直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系图示D(000)A(100)B1(11)D1(00)＝(－10)＝(11)cos〈〉＝＝＝异面直线AD1DB1成角余弦值选C
解法二：图补相长方体CDEF－C1D1E1F1连接DE1B1E1易知AD1∥DE1∠B1DE1补角异面直线AD1DB1成角长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝1AA1＝DE1＝＝＝2DB1＝＝B1E1＝＝＝△B1DE1中余弦定理cos∠B1DE1＝＝>0∠B1DE1锐角异面直线AD1DB1成角异面直线AD1DB1成角余弦值选C
解法三：图连接BD1交DB1点O取AB中点M连接DMOM易知OBD1中点AD1∥OM∠MOD异面直线AD1DB1成角长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝1AA1＝AD1＝＝2DM＝＝DB1＝＝OM＝AD1＝1OD＝DB1＝△DMO中余弦定理cos∠MOD＝＝异面直线AD1DB1成角余弦值选C
答案 C
求异面直线成角般移法异面直线移相交直线然解三角形求解
变|式|训|练
(2018·陕西质量检测)已知△ABC△BCD均正三角形AB＝4面ABC⊥面BCD异面直线ABCD成角θcosθ＝( )
A．－ B． C．－ D．
解析
图取BC中点O取BD中点E取AC中点F连接OAOEOFEFOE∥CDOF∥AB∠EOF补角异面直线ABCD成角题OE＝CD＝2OF＝AB＝2点F作FG⊥BC点G易FG⊥面BCDFG＝OA＝GOC中点OG＝1OE＝2∠EOG＝60°余弦定理EG＝
＝＝勾股定理EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝6△OEF中余弦定理cos∠EOF＝＝＝cosθ＝选D
答案 D
考三 空间点线面综合问题
例3 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱CD中点( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
(2)四面体ABCD三组棱分相等AB＝CDAC＝BDAD＝BC出列结：
①四面体ABCD组棱相互垂直
②四面体ABCD面面积相等
③四面体ABCD顶点出发三条棱两两夹角90°180°
④连接四面体ABCD组棱中点线段相互垂直分
⑤四面体ABCD顶点出发三条棱长作三角形三边长
中正确结序号________
解析 (1)解法：正方体性质A1B1⊥BC1B1C⊥BC1A1B1∩B1C＝B1BC1⊥面A1B1CDA1E⊂面A1B1CDA1E⊥BC1选C
解法二：A1E面ABCD投影AEAEACBD垂直BD错误A1E面BCC1B1投影B1CB1C⊥BC1A1E⊥BC1(证明：条件易知BC1⊥B1CBC1⊥CECE∩B1C＝CBC1⊥面CEA1B1A1E⊂面CEA1B1A1E⊥BC1)C正确A1E面DCC1D1投影D1ED1EDC1垂直A错误选C
(2)①图①AECF分BD边高AD＝BCAB＝CDBD＝DB知△ABD≌△CDBAE＝CFDE＝BF仅AD＝ABCD＝BC时EF重合时AC⊥BD四面体ABCD正四面体时组棱相互垂直①错误②题设知四面体四面全等四面体ABCD面面积相等②正确③四面体正四面体时顶点出发意两条棱夹角均60°时四面体ABCD顶点出发三条棱两两夹角等180°③错误④图②GHIJ边中点AC＝BD四边形GHIJ菱形GIHJ相互垂直分理连接四面体ABCD组棱中点线段相互垂直分④正确⑤A点出发三条棱ABACADAC＝BDABACAD构成三角形理四面体ABCD顶点出发三条棱长作三角形三边长⑤正确综述正确结②④⑤
答案 (1)C (2)②④⑤
破解类问题需：(1)认真审题细观图形利空间直线面行垂直判定定理性质定理求解(2)懂转化面面关系问题转化线面关系问题线面关系问题转化线线关系问题通转化问题简单化问题解决水渠成
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1．面α截三棱锥截面行四边形该三棱锥中面α行棱( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．0条2条
解析 图行三棱锥两条相棱面截三棱锥截面行四边形该三棱锥中面α行棱2条选C
答案 C
2．图列四正方体中AB正方体两顶点MNQ棱中点四正方体中直线AB面MNQ行( )
A B C D
解析
解法：B图示连接CDAB∥CDMQ分棱中点MQ∥CDAB∥MQAB⊄面MNQMQ⊂面MNQAB∥面MNQ理证选项CD中均AB∥面MNQ选A
解法二：A设正方体底面角线交点O(图示)连接OQOQ∥ABOQ面MNQ交点AB面MNQ交点AB面MNQ行选A
答案 A
1．(考)(2018·重庆六校联考)设ab两条直线αβ两面α∥β充分条件( )
A．存条直线aa∥αa∥β
B．存条直线aa⊂αa∥β
C．存两条行直线aba⊂αb⊂βa∥βb∥α
D．存两条异面直线aba⊂αb⊂βa∥βb∥α
解析 A存条直线aa∥αa∥βα∥βαβ相交α∥β存条直线aa∥αa∥β选项A容α∥β必条件理选项BC容α∥β必条件充分条件D通移两条异面直线移面中成相交直线α∥β选项D容α∥β充分条件选D
答案 D
2．(考二)(2018·全国卷Ⅰ)长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝2AC1面BB1C1C成角30°该长方体体积( )
A．8 B．6
C．8 D．8
解析
长方体ABCD－A1B1C1D1中连接BC1根线面角定义知∠AC1B＝30°AB＝2BC1＝2求CC1＝2该长方体体积V＝2×2×2＝8选C
答案 C
3．(考三)底面菱形四棱锥P－ABCD中PA⊥底面ABCD点E棱PB中点点F棱AD面CEFPA交点KPA＝AB＝3AF＝2等( )
A． B．
C． D．
解析 图示延长BACF交点G连接EGPA交点K点AG＝6点A作AH∥PBEG交点H＝＝＝＝＝选A
答案 A
4．(考三)图斜三棱柱ABC－A1B1C1中∠BAC＝90°BC1⊥ACP三角形A1B1C1点(含边界)点P底面ABC投影( )
A．△ABC部
B．△ABC外部
C．直线AB
D．均
解析 AC⊥ABAC⊥BC1AC⊥面ABC1AC⊂面ABC面ABC1⊥面ABCC1面ABC射影H必两面交线
ABP三角形A1B1C1点(含边界)点P底面ABC投影△ABC外部选B
答案 B
5．(考三)(2018·成诊断)长方体ABCD－A1B1C1D1中已知底面ABCD正方形PA1D1中点AD＝2AA1＝点Q正方形ABCD面动点QC＝QP线段BQ长度值________
解析 D坐标原点分DADCDD1直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系P(10)C(020)B(220)Q(xy0)QC＝QP＝⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0BQ＝＝＝根－4≤y≤04≤4－8y≤362≤BQ≤6线段BQ长度值6
答案 6
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