微专题18 解题法——领悟四种数学思想巧突破
高考数学力立意考查数学基础知识基技二考查基数学思想方法考查数学思维深度广度宽度数学思想方法指数学角度认识处理解决问题数学意识数学技升华提高中学数学思想函数方程思想数形结合思想分类整合思想转化化思想
函数方程思想
函数思想
方程思想
函数思想实质抛开研究象非数学特征联系变化观点提出数学象抽象数学特征建立变量间固函数关系通函数形式利函数关性质问题解决
方程思想实质求量设成未知数根题中等量关系列方程(组)通解方程(组)方程(组)进行研究求问题解决
函数方程思想定条件相互转化相辅相成函数思想重问题进行动态研究方程思想动中求静研究运动中等量关系
例1 (1)已知f (x)＝log2xx∈[216]函数f (x)值域意实数mx2＋mx＋4>2m＋4x恒成立实数x取值范围( )
A．(－∞－2]
B．[2＋∞)
C．(－∞－2]∪[2＋∞)
D．(－∞－2)∪(2＋∞)
(2)已知f (x)定义R偶函数区间(－∞0)单调递增实数a满足f (2|a－1|)>f (－)a取值范围________
解析 (1)x∈[216]f (x)＝log2x∈[14]m∈[14]等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立m(x－2)＋(x－2)2>0m∈[14]恒成立设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2函数区间[14]恒0
解x<－2x>2
(2)f (x)偶函数f (x)区间(－∞0)单调递增知f (x)区间(0＋∞)单调递减f (2|a－1|)>f (－)f (－)＝f ()2|a－1|<|a－1|<解答案 (1)D (2)
函数方程思想等式问题中应点
(1)解决等式恒成立问题时种重思想方法构造适函数然利函数值域解决问题
(2)注意含变量数学问题中需进行常变量分离确定变量参数揭示函数关系问题更明朗化般已知范围量变量求范围量参数
变式训练1 定义域R导函数y＝f (x)导函数f ′(x)满足f (x)>f ′(x)f (0)＝1等式<1解集( )
A．(－∞0) B．(0＋∞)
C．(－∞2) D．(2＋∞)
解析 构造函数g(x)＝g′(x)＝＝题意g′(x)<0恒成立函数g(x)＝R单调递减g(0)＝＝1<1g(x)0等式解集(0＋∞)选B
答案 B
二数形结合思想
形助数(数题形解)
数辅形(形题数解)
助形生动性直观性阐述数间关系数转化形形作手段数作目解决数学问题数学思想
助数精确性规范性严密性阐明形某属性数作手段形作目解决问题数学思想
数形结合思想通形助数数辅形复杂问题简单化抽象问题具体化够变抽象思维形象思维助握数学问题质数学规律性灵活性机结合
例2 已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0定点恰落函数f (x)＝图象函数h(x)＝f (x)－mx＋2三零点实数m取值范围( )
A． B
C D．(1＋∞)
解析 (1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0(x＋y－4)－m(x－3y)＝0直线定点(31)loga3＝1a＝3令f (x)－mx＋2＝0f (x)＝mx－2坐标系中作出y1＝f (x)y2＝mx－2图象(图示)易
答案 B
(1)题利数形结合思想函数h(x)＝f (x)－mx＋2三零点转化函数y1＝f (x)y2＝mx－2图象三交点
(2)利数形结合探究方程解问题应注意两点
①讨方程解(函数零点)般构造两函数问题转化讨两图象交点问题法讨方程解定注意图象准确性全面性否会错解
②正确作出两函数图象解决类问题关键数形结合应快准原刻意数形结合
变式训练2 已知函数y＝f (x)(x∈R)满足f (x＋2)＝2f (x)x∈[－11]时f (x)＝－|x|＋1x∈[－1010]时y＝f (x)g(x)＝log4|x|图象交点数( )
A．13 B．12 C．11 D．10
解析 先作出函数y＝f (x)[－11]图象f (x＋2)＝2f (x)知函数图象右移两单位坐标变原2倍函数图象拉伸原2倍左移两单位图象缩原图作出函数y＝f (x)[－1010]图象然作出函数g(x)＝log4|x|图象图知两函数图象y轴左侧交点(－10)2交点y轴右侧9交点综知f (x)g(x)图象11交点选C
答案 C
例3 已知函数f (x)＝sinx存x1x2…xm满足0≤x1解析 意xixj|f (xi)－f (xj)|≤f (x)max－f (x)min＝2欲m取值xi(i＝12…m)取值点考虑0≤x1
答案 8
涉三角函数性质问题时涉绝值应解决问题关键通数形结合法进行直观分析处理省必推理分析繁杂运算效解决关三角函数图象性质问题
变式训练3 已知函数f (x)＝sinx存x1x2…xm满足0≤x1解析 意xixj|f (xi)－f (xj)|≤f (x)max－f (x)min＝2欲m取值xi(i＝12…m)取值点分析知f (x1)＝f (xm)＝0中间f (x2)f (x3)…f (xm－1)规律取1－1逐间隔开f (x2)＝1f (x3)＝－1f (x4)＝1f (x5)＝－1…时m取值0≤x1答案 1 010
三分类整合思想
分类整合思想较复杂数学问题分解(分割)成干基础性问题通基础性问题解答实现解决原问题思想策略问题实行分类整合分类标准等增加已知条件实现效增设问题(综合性问题)分解问题(基础性问题)优化解题思路降低问题难度分类研究讨结果进行整合
例4 (1)设函数f (x)＝满足f (f (a))＝2f (a)a取值范围( )
A． B．[01]
C． D．[1＋∞)
(2)设F 1F 2椭圆＋＝1两焦点P椭圆点已知PF 1F 2直角三角形三顶点|PF 1|>|PF 2|值________
解析 (1)f (f (a))＝2f (a)f (a)≥1a<1时3a－1≥1解a≥≤a<1a≥1时2a≥2>1解a≥1综a≥选C
(2)∠PF 2F 1＝90°|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2|PF 1|＋|PF 2|＝6|F 1F 2|＝2解|PF 1|＝|PF 2|＝＝∠F 2PF 1＝90°|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2解|PF 1|＝4|PF 2|＝2＝2综述＝2
答案 (1)C (2)2
分类整合思想解题中应
(1)数学概念引起分类概念身分类绝值直线斜率指数函数数函数等
(2)性质定理公式限制引起分类讨定理公式性质分类出条件结致等数列前n项公式函数单调性等
(3)数学运算字母参数变化引起分类法运算中数零偶次方根非负数真数底数限制指数运算中底数求等式两边正数负数三角函数定义域等
(4)图形确定性引起分类讨图形类型位置需分类：角终边象限点线面位置关系等
变式训练4 (1)m28等中项圆锥曲线x2＋＝1离心率( )
A． B．
C． D．
(2)设等数列{an}公q前n项Sn>0(n＝123…)q取值范围________
解析 (1)m28等中项m2＝2×8＝16m＝±4m＝4时圆锥曲线＋x2＝1椭圆离心率e＝＝m＝－4时圆锥曲线x2－＝1双曲线离心率e＝＝＝综知选项D正确
(2){an}等数列Sn>0a1＝S1>0q≠0q＝1时Sn＝na1>0q≠1时Sn＝>0>0(n＝123…) ① ② ①－11q取值范围(－10)∪(0＋∞)
答案 (1)D (2)(－10)∪(0＋∞)
四转化化思想
转化化思想方法研究解决关数学问题时采某种手段问题通变换转化进解决问题种思想应包括三方面：
(1)复杂问题通变换转化简单问题
(2)难解问题通变换转化容易求解问题
(3)未解决问题通变换转化已解决问题
例5 (1)△ABC中角ABC边分abcabc成等差数列＝______
(2)已知f (x)＝f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝________
解析 (1)显然△ABC等边三角形时符合题设条件＝＝＝
(2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1f (0)＋f (1)＝1f (－2 017)＋f (2 018)＝1f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018
答案 (1) (2)2 018
转化化思想遵循原
(1)熟悉化原：陌生问题转化熟悉问题
(2)简单化原：复杂问题通变换转化简单问题
(3)直观化原：较抽象问题转化较直观问题(数形结合思想立体问题面问题转化)
(4)正难反原：问题直接求解困难时考虑运反证法补集法逆否命题间接解决问题
变式训练5 (1)已知函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1区间[－11]少存实数x0f (x0)>0求实数p取值范围
(2)abc均实数a＝x2－2y＋b＝y2－2z＋c＝z2－2x＋求证：abc中少0
解 (1)记p范围I原题作命题：p∈I函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1区间[－11]少存实数x0f (x0)>0
等价命题：函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1区间[－11]意xf (x)≤0p∈∁RI
意xf (x)≤0结合图形知⇒⇒p≤－3p≥∁RI＝I＝求p取值范围
(2)证明：假设abc0a≤0b≤0c≤0
a＋b＋c≤0a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3
π－3>0(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0
a＋b＋c>0
a＋b＋c≤0矛盾
abc中少0
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高考数学力立意考查数学基础知识基技二考查基数学思想方法考查数学思维深度广度宽度数学思想方法指数学角度认识处理解决问题数学意识数学技升华提高中学数学思想函数方程思想数形结合思想分类整合思想转化化思想
函数方程思想
函数思想
方程思想
函数思想实质抛开研究象非数学特征联系变化观点提出数学象抽象数学特征建立变量间固函数关系通函数形式利函数关性质问题解决
方程思想实质求量设成未知数根题中等量关系列方程(组)通解方程(组)方程(组)进行研究求问题解决
函数方程思想定条件相互转化相辅相成函数思想重问题进行动态研究方程思想动中求静研究运动中等量关系
例1 (1)已知f (x)＝log2xx∈[216]函数f (x)值域意实数mx2＋mx＋4>2m＋4x恒成立实数x取值范围( )
A．(－∞－2]
B．[2＋∞)
C．(－∞－2]∪[2＋∞)
D．(－∞－2)∪(2＋∞)
(2)已知f (x)定义R偶函数区间(－∞0)单调递增实数a满足f (2|a－1|)>f (－)a取值范围________
解析 (1)x∈[216]f (x)＝log2x∈[14]m∈[14]等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立m(x－2)＋(x－2)2>0m∈[14]恒成立设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2函数区间[14]恒0
解x<－2x>2
(2)f (x)偶函数f (x)区间(－∞0)单调递增知f (x)区间(0＋∞)单调递减f (2|a－1|)>f (－)f (－)＝f ()2|a－1|<|a－1|<解
函数方程思想等式问题中应点
(1)解决等式恒成立问题时种重思想方法构造适函数然利函数值域解决问题
(2)注意含变量数学问题中需进行常变量分离确定变量参数揭示函数关系问题更明朗化般已知范围量变量求范围量参数
变式训练1 定义域R导函数y＝f (x)导函数f ′(x)满足f (x)>f ′(x)f (0)＝1等式<1解集( )
A．(－∞0) B．(0＋∞)
C．(－∞2) D．(2＋∞)
解析 构造函数g(x)＝g′(x)＝＝题意g′(x)<0恒成立函数g(x)＝R单调递减g(0)＝＝1<1g(x)
答案 B
二数形结合思想
形助数(数题形解)
数辅形(形题数解)
助形生动性直观性阐述数间关系数转化形形作手段数作目解决数学问题数学思想
助数精确性规范性严密性阐明形某属性数作手段形作目解决问题数学思想
数形结合思想通形助数数辅形复杂问题简单化抽象问题具体化够变抽象思维形象思维助握数学问题质数学规律性灵活性机结合
例2 已知直线(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0定点恰落函数f (x)＝图象函数h(x)＝f (x)－mx＋2三零点实数m取值范围( )
A． B
C D．(1＋∞)
解析 (1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0(x＋y－4)－m(x－3y)＝0直线定点(31)loga3＝1a＝3令f (x)－mx＋2＝0f (x)＝mx－2坐标系中作出y1＝f (x)y2＝mx－2图象(图示)易
答案 B
(1)题利数形结合思想函数h(x)＝f (x)－mx＋2三零点转化函数y1＝f (x)y2＝mx－2图象三交点
(2)利数形结合探究方程解问题应注意两点
①讨方程解(函数零点)般构造两函数问题转化讨两图象交点问题法讨方程解定注意图象准确性全面性否会错解
②正确作出两函数图象解决类问题关键数形结合应快准原刻意数形结合
变式训练2 已知函数y＝f (x)(x∈R)满足f (x＋2)＝2f (x)x∈[－11]时f (x)＝－|x|＋1x∈[－1010]时y＝f (x)g(x)＝log4|x|图象交点数( )
A．13 B．12 C．11 D．10
解析 先作出函数y＝f (x)[－11]图象f (x＋2)＝2f (x)知函数图象右移两单位坐标变原2倍函数图象拉伸原2倍左移两单位图象缩原图作出函数y＝f (x)[－1010]图象然作出函数g(x)＝log4|x|图象图知两函数图象y轴左侧交点(－10)2交点y轴右侧9交点综知f (x)g(x)图象11交点选C
答案 C
例3 已知函数f (x)＝sinx存x1x2…xm满足0≤x1
答案 8
涉三角函数性质问题时涉绝值应解决问题关键通数形结合法进行直观分析处理省必推理分析繁杂运算效解决关三角函数图象性质问题
变式训练3 已知函数f (x)＝sinx存x1x2…xm满足0≤x1
三分类整合思想
分类整合思想较复杂数学问题分解(分割)成干基础性问题通基础性问题解答实现解决原问题思想策略问题实行分类整合分类标准等增加已知条件实现效增设问题(综合性问题)分解问题(基础性问题)优化解题思路降低问题难度分类研究讨结果进行整合
例4 (1)设函数f (x)＝满足f (f (a))＝2f (a)a取值范围( )
A． B．[01]
C． D．[1＋∞)
(2)设F 1F 2椭圆＋＝1两焦点P椭圆点已知PF 1F 2直角三角形三顶点|PF 1|>|PF 2|值________
解析 (1)f (f (a))＝2f (a)f (a)≥1a<1时3a－1≥1解a≥≤a<1a≥1时2a≥2>1解a≥1综a≥选C
(2)∠PF 2F 1＝90°|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2|PF 1|＋|PF 2|＝6|F 1F 2|＝2解|PF 1|＝|PF 2|＝＝∠F 2PF 1＝90°|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2解|PF 1|＝4|PF 2|＝2＝2综述＝2
答案 (1)C (2)2
分类整合思想解题中应
(1)数学概念引起分类概念身分类绝值直线斜率指数函数数函数等
(2)性质定理公式限制引起分类讨定理公式性质分类出条件结致等数列前n项公式函数单调性等
(3)数学运算字母参数变化引起分类法运算中数零偶次方根非负数真数底数限制指数运算中底数求等式两边正数负数三角函数定义域等
(4)图形确定性引起分类讨图形类型位置需分类：角终边象限点线面位置关系等
变式训练4 (1)m28等中项圆锥曲线x2＋＝1离心率( )
A． B．
C． D．
(2)设等数列{an}公q前n项Sn>0(n＝123…)q取值范围________
解析 (1)m28等中项m2＝2×8＝16m＝±4m＝4时圆锥曲线＋x2＝1椭圆离心率e＝＝m＝－4时圆锥曲线x2－＝1双曲线离心率e＝＝＝综知选项D正确
(2){an}等数列Sn>0a1＝S1>0q≠0q＝1时Sn＝na1>0q≠1时Sn＝>0>0(n＝123…) ① ② ①－1
答案 (1)D (2)(－10)∪(0＋∞)
四转化化思想
转化化思想方法研究解决关数学问题时采某种手段问题通变换转化进解决问题种思想应包括三方面：
(1)复杂问题通变换转化简单问题
(2)难解问题通变换转化容易求解问题
(3)未解决问题通变换转化已解决问题
例5 (1)△ABC中角ABC边分abcabc成等差数列＝______
(2)已知f (x)＝f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝________
解析 (1)显然△ABC等边三角形时符合题设条件＝＝＝
(2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1f (0)＋f (1)＝1f (－2 017)＋f (2 018)＝1f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018
答案 (1) (2)2 018
转化化思想遵循原
(1)熟悉化原：陌生问题转化熟悉问题
(2)简单化原：复杂问题通变换转化简单问题
(3)直观化原：较抽象问题转化较直观问题(数形结合思想立体问题面问题转化)
(4)正难反原：问题直接求解困难时考虑运反证法补集法逆否命题间接解决问题
变式训练5 (1)已知函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1区间[－11]少存实数x0f (x0)>0求实数p取值范围
(2)abc均实数a＝x2－2y＋b＝y2－2z＋c＝z2－2x＋求证：abc中少0
解 (1)记p范围I原题作命题：p∈I函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1区间[－11]少存实数x0f (x0)>0
等价命题：函数f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1区间[－11]意xf (x)≤0p∈∁RI
意xf (x)≤0结合图形知⇒⇒p≤－3p≥∁RI＝I＝求p取值范围
(2)证明：假设abc0a≤0b≤0c≤0
a＋b＋c≤0a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3
π－3>0(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0
a＋b＋c>0
a＋b＋c≤0矛盾
abc中少0
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