24 圆周角 第3课时 圆接四边形
选择题
1图1四边形ABCD接☉O角线四角分成八角中八角中相等角( )
图1
A2 B4 C6 D8
2[2019·德州] 图2O线段BC中点点ACD点O距离相等∠ABC40°∠ADC度数 ( )
图2
A130° B140° C150° D160°
3[2020·牡丹江] 图3四边形ABCD接☉O连接BDACBC∠BDC50°∠ADC度数 ( )
图3
A125° B130° C135° D140°
4[2020·黄石] 图4点ABC☉OCD⊥OACE⊥OB垂足分DE∠DCE40°∠ACB度数 ( )
图4
A140° B70° C110° D80°
二填空题
5[2019·铜仁] 图5四边形ABCD☉O接四边形∠A100°∠DCE度数
图5
6[2020·聊城] 图6☉O中点ABC☉O四边形OABC菱形点DAmC∠ADC度数
图6
7[2019·台州] 图7AC圆接四边形ABCD条角线点D关AC称点E边BC连接AE∠ABC64°∠BAE度数
图7
8[2019·盐城] 图8点ABCDE均☉OAB度数50°∠E+∠C °
图8
三解答题
9图9四边形ABCD接☉O∠DAE四边形ABCD外角AD分∠CAE
求证DBDC
图9
10图10示☉O1☉O2AB两点点A直线CD☉O1交点C☉O2交点D点B直线EF☉O1交点E☉O2交点F求证CE∥DF
图10
11图11四边形ABCD☉O接四边形BC延长线AD延长线交点EDCDE
(1)求证∠A∠AEB
(2)连接OEOE⊥CD点F求证△ABE等边三角形
图11
12图12△ABC中∠ACB90°BC两点☉O交AC点D交AB点E连接EO延长交☉O点F连接BFCFCEDE∠EDC135°CF22求AE2+BE2值
图12
13图13☉O接四边形ABCD两组边延长线分交点EF
(1)∠E∠F时∠ADC °
(2)∠A55°∠E30°时求∠F度数
(3)∠Eα∠Fβα≠β请含αβ代数式表示∠A度数
图13
14图14△ABC中ABAC边AB直径☉O交BC点D交AC点E连接DE
(1)求证DEDC
(2)图②连接OE∠EDC绕点D逆时针旋转∠EDC两边分交OE延长线点F交AC延长线点G试探究线段DFDG数量关系
图14
答案
1[解析] B 圆周角定理知∠ADB∠ACB∠CBD∠CAD∠BDC∠BAC∠ABD∠ACD4相等角选B
2[解析] B 题意OAOBOCOD作出圆O图示
∴四边形ABCD圆O接四边形
∴∠ABC+∠ADC180°
∵∠ABC40°∴∠ADC140°选B
3[解析] B ∵∠BDC50°ACBC
∴∠ABC∠BDC50°
∴∠ADC180°∠ABC130°选B
4[解析] C 图优弧AB取点P连接APBP
∵CD⊥OACE⊥OB
∴∠ODC∠OEC90°
∵∠DCE40°
∴∠AOB360°90°90°40°140°
∴∠P12∠AOB70°
∵ACBP四点圆
∴∠P+∠ACB180°
∴∠ACB180°70°110°选C
5[答案] 100°
[解析] ∵四边形ABCD☉O接四边形∴∠DCE∠A100°答案100°
6[答案] 60°
[解析] ∵四边形ABCD接☉O
∴∠B+∠ADC180°
∵四边形OABC菱形
∴∠B∠AOC
∴∠ADC+∠AOC180°
∵∠AOC2∠ADC∴3∠ADC180°
∴∠ADC60°
7[答案] 52°
[解析] ∵四边形ABCD圆接四边形
∴∠D180°∠ABC116°
∵点D关AC称点E边BC
∴∠AEC∠D116°
∴∠BAE116°64°52°
答案52°
8[答案] 155
[解析] 连接EA
∵AB度数50°∴∠BEA25°
∵四边形DCAE☉O接四边形
∴∠DEA+∠C180°
∴∠DEB+∠C180°25°155°
答案155
9证明∵∠DAC∠DBCCD圆周角
∴∠DAC∠DBC
∵AD分∠CAE
∴∠EAD∠DAC
∴∠EAD∠DBC
∵四边形ABCD接☉O
易∠EAD∠BCD
∴∠DBC∠BCD
∴DBDC
10[解析] 利圆接四边形性质定理证明旁角互补
证明连接AB
∵四边形ABEC☉O1接四边形
∴∠BAD∠E
∵四边形ABFD☉O2接四边形
∴∠BAD+∠F180°
∴∠E+∠F180°∴CE∥DF
11证明(1)∵四边形ABCD☉O接四边形
∴∠A∠DCE
∵DCDE
∴∠DCE∠AEB
∴∠A∠AEB
(2)∵∠A∠AEB
∴△ABE等腰三角形
∵EO⊥CD
∴CFDF
∴EOCD垂直分线
∴DEEC
∵CDDE
∴CDDEEC
∴△DCE等边三角形
∴∠AEB60°
∴△ABE等边三角形
12解∵四边形BCDE接☉O∠EDC135°
∴∠ABC180°∠EDC45°
∵∠ACB90°∴△ABC等腰直角三角形
∴ACBC
∵EF☉O直径
∴∠EBF∠ECF∠ACB90°
∴∠BCF∠ACE
∵四边形BECF☉O接四边形
∴∠AEC∠BFC
∴△ACE≌△BCF
∴AEBF
∵Rt△ECF中CF22∠EFC∠EBC45°∴EF216
∴AE2+BE2BF2+BE2EF216
13[解析] (1)∠E∠F易∠ADC∠ABC圆接四边形性质求答案
(2)∠A55°∠E30°首先求∠ABE度数继利圆接四边形性质求∠ADF度数求答案
(3)三角形角定理圆接四边形性质求180°∠A∠F+180°∠A∠E180°继求答案
解(1)∵∠E∠F∠DCE∠BCF∠ADC∠E+∠DCE∠ABC∠BCF+∠F
∴∠ADC∠ABC
∵四边形ABCD☉O接四边形
∴∠ADC+∠ABC180°
∴∠ADC90°
答案90
(2)∵△ABE中∠A55°∠E30°
∴∠ABE180°∠A∠E95°
∴∠ADF180°∠ABE85°
∴△ADF中∠F180°∠ADF∠A40°
(3)∵∠ADC180°∠A∠F∠ABC180°∠A∠E∠ADC+∠ABC180°
∴180°∠A∠F+180°∠A∠E180°
∴2∠A+∠E+∠F180°
∴∠A90°∠E+∠F290°α+β2
14解(1)证明∵四边形ABDE接☉O
∴∠DEC∠B
∵ABAC
∴∠C∠B
∴∠DEC∠C
∴DEDC
(2)∵四边形ABDE接☉O
∴∠A∠EDC
∵OAOE
∴∠A∠OEA
∵∠OEA∠CEF
∴∠EDC∠CEF
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE180°
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE180°
∠DEF+∠DCE180°
∵∠DCG+∠DCE180°
∴∠DEF∠DCG
∵∠EDC绕点D逆时针旋转∠FDG
∴∠EDC∠FDG
∴∠EDC∠FDC∠FDG∠FDC
∠EDF∠CDG
∵DEDC
∴△EDF≌△CDG(ASA)
∴DFDG
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选择题
1图1四边形ABCD接☉O角线四角分成八角中八角中相等角( )
图1
A2 B4 C6 D8
2[2019·德州] 图2O线段BC中点点ACD点O距离相等∠ABC40°∠ADC度数 ( )
图2
A130° B140° C150° D160°
3[2020·牡丹江] 图3四边形ABCD接☉O连接BDACBC∠BDC50°∠ADC度数 ( )
图3
A125° B130° C135° D140°
4[2020·黄石] 图4点ABC☉OCD⊥OACE⊥OB垂足分DE∠DCE40°∠ACB度数 ( )
图4
A140° B70° C110° D80°
二填空题
5[2019·铜仁] 图5四边形ABCD☉O接四边形∠A100°∠DCE度数
图5
6[2020·聊城] 图6☉O中点ABC☉O四边形OABC菱形点DAmC∠ADC度数
图6
7[2019·台州] 图7AC圆接四边形ABCD条角线点D关AC称点E边BC连接AE∠ABC64°∠BAE度数
图7
8[2019·盐城] 图8点ABCDE均☉OAB度数50°∠E+∠C °
图8
三解答题
9图9四边形ABCD接☉O∠DAE四边形ABCD外角AD分∠CAE
求证DBDC
图9
10图10示☉O1☉O2AB两点点A直线CD☉O1交点C☉O2交点D点B直线EF☉O1交点E☉O2交点F求证CE∥DF
图10
11图11四边形ABCD☉O接四边形BC延长线AD延长线交点EDCDE
(1)求证∠A∠AEB
(2)连接OEOE⊥CD点F求证△ABE等边三角形
图11
12图12△ABC中∠ACB90°BC两点☉O交AC点D交AB点E连接EO延长交☉O点F连接BFCFCEDE∠EDC135°CF22求AE2+BE2值
图12
13图13☉O接四边形ABCD两组边延长线分交点EF
(1)∠E∠F时∠ADC °
(2)∠A55°∠E30°时求∠F度数
(3)∠Eα∠Fβα≠β请含αβ代数式表示∠A度数
图13
14图14△ABC中ABAC边AB直径☉O交BC点D交AC点E连接DE
(1)求证DEDC
(2)图②连接OE∠EDC绕点D逆时针旋转∠EDC两边分交OE延长线点F交AC延长线点G试探究线段DFDG数量关系
图14
答案
1[解析] B 圆周角定理知∠ADB∠ACB∠CBD∠CAD∠BDC∠BAC∠ABD∠ACD4相等角选B
2[解析] B 题意OAOBOCOD作出圆O图示
∴四边形ABCD圆O接四边形
∴∠ABC+∠ADC180°
∵∠ABC40°∴∠ADC140°选B
3[解析] B ∵∠BDC50°ACBC
∴∠ABC∠BDC50°
∴∠ADC180°∠ABC130°选B
4[解析] C 图优弧AB取点P连接APBP
∵CD⊥OACE⊥OB
∴∠ODC∠OEC90°
∵∠DCE40°
∴∠AOB360°90°90°40°140°
∴∠P12∠AOB70°
∵ACBP四点圆
∴∠P+∠ACB180°
∴∠ACB180°70°110°选C
5[答案] 100°
[解析] ∵四边形ABCD☉O接四边形∴∠DCE∠A100°答案100°
6[答案] 60°
[解析] ∵四边形ABCD接☉O
∴∠B+∠ADC180°
∵四边形OABC菱形
∴∠B∠AOC
∴∠ADC+∠AOC180°
∵∠AOC2∠ADC∴3∠ADC180°
∴∠ADC60°
7[答案] 52°
[解析] ∵四边形ABCD圆接四边形
∴∠D180°∠ABC116°
∵点D关AC称点E边BC
∴∠AEC∠D116°
∴∠BAE116°64°52°
答案52°
8[答案] 155
[解析] 连接EA
∵AB度数50°∴∠BEA25°
∵四边形DCAE☉O接四边形
∴∠DEA+∠C180°
∴∠DEB+∠C180°25°155°
答案155
9证明∵∠DAC∠DBCCD圆周角
∴∠DAC∠DBC
∵AD分∠CAE
∴∠EAD∠DAC
∴∠EAD∠DBC
∵四边形ABCD接☉O
易∠EAD∠BCD
∴∠DBC∠BCD
∴DBDC
10[解析] 利圆接四边形性质定理证明旁角互补
证明连接AB
∵四边形ABEC☉O1接四边形
∴∠BAD∠E
∵四边形ABFD☉O2接四边形
∴∠BAD+∠F180°
∴∠E+∠F180°∴CE∥DF
11证明(1)∵四边形ABCD☉O接四边形
∴∠A∠DCE
∵DCDE
∴∠DCE∠AEB
∴∠A∠AEB
(2)∵∠A∠AEB
∴△ABE等腰三角形
∵EO⊥CD
∴CFDF
∴EOCD垂直分线
∴DEEC
∵CDDE
∴CDDEEC
∴△DCE等边三角形
∴∠AEB60°
∴△ABE等边三角形
12解∵四边形BCDE接☉O∠EDC135°
∴∠ABC180°∠EDC45°
∵∠ACB90°∴△ABC等腰直角三角形
∴ACBC
∵EF☉O直径
∴∠EBF∠ECF∠ACB90°
∴∠BCF∠ACE
∵四边形BECF☉O接四边形
∴∠AEC∠BFC
∴△ACE≌△BCF
∴AEBF
∵Rt△ECF中CF22∠EFC∠EBC45°∴EF216
∴AE2+BE2BF2+BE2EF216
13[解析] (1)∠E∠F易∠ADC∠ABC圆接四边形性质求答案
(2)∠A55°∠E30°首先求∠ABE度数继利圆接四边形性质求∠ADF度数求答案
(3)三角形角定理圆接四边形性质求180°∠A∠F+180°∠A∠E180°继求答案
解(1)∵∠E∠F∠DCE∠BCF∠ADC∠E+∠DCE∠ABC∠BCF+∠F
∴∠ADC∠ABC
∵四边形ABCD☉O接四边形
∴∠ADC+∠ABC180°
∴∠ADC90°
答案90
(2)∵△ABE中∠A55°∠E30°
∴∠ABE180°∠A∠E95°
∴∠ADF180°∠ABE85°
∴△ADF中∠F180°∠ADF∠A40°
(3)∵∠ADC180°∠A∠F∠ABC180°∠A∠E∠ADC+∠ABC180°
∴180°∠A∠F+180°∠A∠E180°
∴2∠A+∠E+∠F180°
∴∠A90°∠E+∠F290°α+β2
14解(1)证明∵四边形ABDE接☉O
∴∠DEC∠B
∵ABAC
∴∠C∠B
∴∠DEC∠C
∴DEDC
(2)∵四边形ABDE接☉O
∴∠A∠EDC
∵OAOE
∴∠A∠OEA
∵∠OEA∠CEF
∴∠EDC∠CEF
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE180°
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE180°
∠DEF+∠DCE180°
∵∠DCG+∠DCE180°
∴∠DEF∠DCG
∵∠EDC绕点D逆时针旋转∠FDG
∴∠EDC∠FDG
∴∠EDC∠FDC∠FDG∠FDC
∠EDF∠CDG
∵DEDC
∴△EDF≌△CDG(ASA)
∴DFDG
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