212元二次方程解集根系数关系第课时教案
教学课时：第1课时
教学目标：
1学生初中已掌握解元二次方程基础进步深化配方法理解
2通元二次方程实根数讨进步深入理解分类讨数学思想
3引入换元法解元二次方程思想体会数学学程中化繁简解决问题基方法
4结合具体实际应问题学生助数学抽象转化方程求解问题进行求解运算提升数学抽象数学运算学科素养
教学重点：
配方法求解元二次方程结合配方法深化判式研究元二次方程根判
教学难点：
通换元化元二次方程高次方程者形式方程换元转化
教学程：
提出问题：
九章算术第九章勾股问题二十：邑方知中开门出北门二十步木出南门十四步折西行千七百七十五步见木问邑方
问题二十译文：正方形城边长未知数城墙边正中开门出北门20步处棵树出南门14步转西走1775步恰见棵树求正方形城边长少
根题中描述作出示意图图示中A点代表北门B处木C点代表南门AB 20CD14DE 1775求正方形边长
设计意图
1九章算术中例子作元二次方程引入意展示国古代数学成国数学文化悠久历史引导师生学祖先留珍贵文化遗产激励学生关数学文化发扬光
附 九章算术国古代数学专著算术十书（唐汉间出现十部算书）中重部作者已考般认历代家增补修订逐渐发展成现定魏晋刘徽九章算术作注时说：周公制礼九数九数流九章矣说汉北侯张苍思农中丞耿寿昌皆善算命世苍等旧文遗残称删补校目古异语见九章算术承先秦数学发展源流入汉许学者删补方成书出现标志着中国古代数学体系形成
2学生实际问题抽象方程节课复十字相法求解定困难引入配方法做准备
二探索
面式分解法容易解集元二次方程该手研究呢？
提出问题：认简单元二次方程具什样形式？样种方程解集？
设计意图简单容易解集元二次方程出发逐步般化引出配方法
注意想解决类问题具体问题首先研究化x2t形式元二次方程解集中 常数
学生活动1
1独立完成P48第探索发现
2学生独立完成相互交流答案
般方程x2t
(1) t > 0时解集{ }
(2)t 0时解集{Ø}
(3)t<0时解集Ø
—般方程(xk)2 t
(1)t >0时解集{k+ k }
(2)t 0时解集{k}﹔
(3)t <0时解集Ø
设计意图
部分学生言答案问题否真懂尝试发现想容关键发现程中蕴含特殊般数学研究方法书分成两尝试发现想必原交流程中教师定帮助学生梳理类问题研究方法：特殊问题入手研究类问题然适度放开限制条件尝试问题已掌握特殊问题进行转化彻底放开结合前面验般问题转化特殊问题进行解决切忌变成背默填空形式
学生活动2
3结合前面教师讲解学生尝试独立完成第二部分尝试发现
4相互交流谈谈尝试探究结果初中学公式法求解关系判式研究方程根情况异
元二次方程ax2+bx +c 0(a≠0)化(xk)2 t形式程
a≠ 0方程化x2+x+0
x2+x+x2+x+（）2（）2+
原方程变形
知△ b24ac符号情况决定述方程解集情况
(1) △b24ac >0时方程解集
(2) △b24ac 0时方程解集
(3) △ b24ac<0时方程解集Ø
设计意图
课时旨容数学探索程远数学求解程重数学学想带学生核心知识历探索程体会数学学中特殊般研究方式数学问题间相互转化研究方法
补充说明原方程变形需进行方程两边时开方运算
结果应
终
三例题讲解
例1求方程x10解集
分析：面根号方程掉根号化普通方程解决问题关键
面道题目种方式成整体着元二次方程进行转化外种方式否通完全方方式掉根号呢
解法：设yy≥0原方程变y22y 1 0
y22y+12
(y1)22
y 1+y 1
1+x 3+2
原方程解集{3+2}
解法二原方程化x12
≥0x1≥0x≥1
方程两边方x22x+1 4x
化简x26x+1 0
x26x+98
(x3) 2 8
x 3+2x 32（舍）
原方程解集{3+2}
设计意图
初中掌握较学问题初三解决里提出问题想基两方面考虑（果学生没想建议讲方法二）突出换元法关注换元法限制条件（讲方法二时候然换元法关注限制条件）数学门追求严谨科学遇问题尤变形中遇问题定做预案预案方式方法书强调更换字母时提出限制条件思想更换字母需开始想求解未知数限制
四课堂练
1 求列方程解集
(1) x4 x220
(2) x220
(3) x2++x40
参考答案：
(1) {｝
(2) {｝
(3)
2 (课P80A组第5题）已知关x元二次方程x22x+10两相等实数根求实数m取值范围
参考答案：
设计意图节课学容背景进步深化第章集合相关容结合具体问题巩固方程根判
3(课P8OA组第15题)
图长25 m墙EF边通砌墙围矩形花园ABCD 围墙行边BC预留3 m宽入口(图中MN示入口砌墙)砌46m长墙材料砌墙矩形长BC少米时矩形花园面积299 m2
设计意图次体会数学抽象解决实际数学问题学致
五纳总结：
1配方法特殊般求解般元二次方程程
2助换元法转化元二次方程进行求解处理程中注意事项
3中国古代数学专著九章算术赏析
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教学课时：第1课时
教学目标：
1学生初中已掌握解元二次方程基础进步深化配方法理解
2通元二次方程实根数讨进步深入理解分类讨数学思想
3引入换元法解元二次方程思想体会数学学程中化繁简解决问题基方法
4结合具体实际应问题学生助数学抽象转化方程求解问题进行求解运算提升数学抽象数学运算学科素养
教学重点：
配方法求解元二次方程结合配方法深化判式研究元二次方程根判
教学难点：
通换元化元二次方程高次方程者形式方程换元转化
教学程：
提出问题：
九章算术第九章勾股问题二十：邑方知中开门出北门二十步木出南门十四步折西行千七百七十五步见木问邑方
问题二十译文：正方形城边长未知数城墙边正中开门出北门20步处棵树出南门14步转西走1775步恰见棵树求正方形城边长少
根题中描述作出示意图图示中A点代表北门B处木C点代表南门AB 20CD14DE 1775求正方形边长
设计意图
1九章算术中例子作元二次方程引入意展示国古代数学成国数学文化悠久历史引导师生学祖先留珍贵文化遗产激励学生关数学文化发扬光
附 九章算术国古代数学专著算术十书（唐汉间出现十部算书）中重部作者已考般认历代家增补修订逐渐发展成现定魏晋刘徽九章算术作注时说：周公制礼九数九数流九章矣说汉北侯张苍思农中丞耿寿昌皆善算命世苍等旧文遗残称删补校目古异语见九章算术承先秦数学发展源流入汉许学者删补方成书出现标志着中国古代数学体系形成
2学生实际问题抽象方程节课复十字相法求解定困难引入配方法做准备
二探索
面式分解法容易解集元二次方程该手研究呢？
提出问题：认简单元二次方程具什样形式？样种方程解集？
设计意图简单容易解集元二次方程出发逐步般化引出配方法
注意想解决类问题具体问题首先研究化x2t形式元二次方程解集中 常数
学生活动1
1独立完成P48第探索发现
2学生独立完成相互交流答案
般方程x2t
(1) t > 0时解集{ }
(2)t 0时解集{Ø}
(3)t<0时解集Ø
—般方程(xk)2 t
(1)t >0时解集{k+ k }
(2)t 0时解集{k}﹔
(3)t <0时解集Ø
设计意图
部分学生言答案问题否真懂尝试发现想容关键发现程中蕴含特殊般数学研究方法书分成两尝试发现想必原交流程中教师定帮助学生梳理类问题研究方法：特殊问题入手研究类问题然适度放开限制条件尝试问题已掌握特殊问题进行转化彻底放开结合前面验般问题转化特殊问题进行解决切忌变成背默填空形式
学生活动2
3结合前面教师讲解学生尝试独立完成第二部分尝试发现
4相互交流谈谈尝试探究结果初中学公式法求解关系判式研究方程根情况异
元二次方程ax2+bx +c 0(a≠0)化(xk)2 t形式程
a≠ 0方程化x2+x+0
x2+x+x2+x+（）2（）2+
原方程变形
知△ b24ac符号情况决定述方程解集情况
(1) △b24ac >0时方程解集
(2) △b24ac 0时方程解集
(3) △ b24ac<0时方程解集Ø
设计意图
课时旨容数学探索程远数学求解程重数学学想带学生核心知识历探索程体会数学学中特殊般研究方式数学问题间相互转化研究方法
补充说明原方程变形需进行方程两边时开方运算
结果应
终
三例题讲解
例1求方程x10解集
分析：面根号方程掉根号化普通方程解决问题关键
面道题目种方式成整体着元二次方程进行转化外种方式否通完全方方式掉根号呢
解法：设yy≥0原方程变y22y 1 0
y22y+12
(y1)22
y 1+y 1
1+x 3+2
原方程解集{3+2}
解法二原方程化x12
≥0x1≥0x≥1
方程两边方x22x+1 4x
化简x26x+1 0
x26x+98
(x3) 2 8
x 3+2x 32（舍）
原方程解集{3+2}
设计意图
初中掌握较学问题初三解决里提出问题想基两方面考虑（果学生没想建议讲方法二）突出换元法关注换元法限制条件（讲方法二时候然换元法关注限制条件）数学门追求严谨科学遇问题尤变形中遇问题定做预案预案方式方法书强调更换字母时提出限制条件思想更换字母需开始想求解未知数限制
四课堂练
1 求列方程解集
(1) x4 x220
(2) x220
(3) x2++x40
参考答案：
(1) {｝
(2) {｝
(3)
2 (课P80A组第5题）已知关x元二次方程x22x+10两相等实数根求实数m取值范围
参考答案：
设计意图节课学容背景进步深化第章集合相关容结合具体问题巩固方程根判
3(课P8OA组第15题)
图长25 m墙EF边通砌墙围矩形花园ABCD 围墙行边BC预留3 m宽入口(图中MN示入口砌墙)砌46m长墙材料砌墙矩形长BC少米时矩形花园面积299 m2
设计意图次体会数学抽象解决实际数学问题学致
五纳总结：
1配方法特殊般求解般元二次方程程
2助换元法转化元二次方程进行求解处理程中注意事项
3中国古代数学专著九章算术赏析
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