13元二次方程根系数关系
选择题
1[2020·邵阳] 设方程x23x+20两根分x1x2x1+x2值 ( )
A3 B32 C32 D2
2[2019·广东] 已知x1x2元二次方程x22x0两实数根列结错误 ( )
Ax1≠x2 Bx122x10 Cx1+x22 Dx1·x22
3[2020·锡锡山区期中] 已知元二次方程x28xc0根2根 ( )
A10 B6 C8 D2
4[2019·贵港] αβ关x元二次方程x22x+m0两实数根1α+1β23m等( )
A2 B3 C2 D3
5关x方程x2(m24)x+m0两根互相反数m等 ( )
A2 B2 C±2 D4
6[2019·威海] 已知ab方程x2+x30两实数根a2b+2019值 ( )
A2023 B2021 C2020 D2019
二填空题
7[2019·济宁] 已知1方程x2+bx20根方程根
8[2020·泸州] 已知x1x2元二次方程x24x70两实数根x12+4x1x2+x22值
9x1x2元二次方程x2mx60两根x110[2020·青海] 解元二次方程x2+bx+c0时明错次项系数b解x12x23刚错常数项c解x11x25请写出正确元二次方程
11[2020·荆门改编] 已知关x元二次方程x24mx+3m20根根2m值
12定义运算a*b2abab关x方程x2+xm0(m>0)两根(a+1)*b+2a值 (含m代数式表示)
三解答题
13已知关x元二次方程x22x+a0两实数根x1x2满足x1x2+x1+x2>0求a取值范围
14关x元二次方程x2+(k+3)x+k0根2求k值方程根
15[2020·黄石] 已知关x元二次方程x2+mx20两实数根
(1)求m取值范围
(2)设方程两实数根x1x2满足(x1x2)2170求m值
16[2019·州] 已知关x元二次方程x2(2k+1)x+k2+10两相等实数根x1x2
(1)求k取值范围
(2)x1+x23求k值方程根
17[2020·孝感] 已知关x元二次方程x2(2k+1)x+12k220
(1)求证k实数方程总两相等实数根
(2)方程两实数根x1x2满足x1x23求k值
18[2020·玉林] 已知关x元二次方程x2+2xk0两相等实数根
(1)求k取值范围
(2)方程两相等实数根ab求aa+11b+1值
19已知关x方程(k1)x2+2kx+20
(1)求证k值方程总实数根
(2)设x1x2述方程两实数根记Sx2x1+x1x2+x1+x2S值6求出时k值请说明理
答案
1[解析] A x23x+20知二次项系数a1次项系数b3
元二次方程根系数关系
x1+x2313选A
2[解析] D ∵b24ac(2)24×1×04>0∴x1≠x2选项A符合题意
∵x1元二次方程x22x0实数根
∴x122x10选项B符合题意
∵x1x2元二次方程x22x0两实数根∴x1+x22x1·x20选项C符合题意选项D符合题意选D
3[解析] B 设方程根t根题意2+t8解t6方程根6选B
4[解析] B ∵αβ关x元二次方程x22x+m0两实数根∴α+β2αβm
∵1α+1βα+βαβ2m23∴m3
选B
5[解析] A ∵方程x2(m24)x+m0两根互相反数
∴妨设两根αβα+βm240
解m12m22
m2时原方程x2+20方程没实数根符合题意m2选A
6[解析] A ∵ab方程x2+x30两实数根
∴b3b2a+b1ab3
∴a2b+2019a23+b2+2019(a+b)22ab+20161+6+20162023选A
7[答案] 2
[解析] 设方程x2+bx20两根x1x2x1x22令x111×x22解x22方程根2
答案2
8[答案] 2
[解析] 根题意x1+x24x1x27
x12+4x1x2+x22(x1+x2)2+2x1x216142
9[答案] 2 3
[解析] ∵x1x2元二次方程x2mx60两根x1+x21
∴m1
∴原方程x2x60
(x+2)(x3)0
∵x1∴x12x23
10[答案] x26x+60
[解析] 根题意2×3c1+5b
解b6c6
正确元二次方程x26x+60
11[答案] 11
[解析] 设方程两根分tt+2
根题意t+t+24mt(t+2)3m2
t+t+24mt2m1
t2m1代入t(t+2)3m2
(2m1)(2m+1)3m2
整理m210
解m1m1
m值11
122m2
13解∵该元二次方程两实数根
∴b24ac(2)24×1×a44a≥0
解a≤1
题意x1x2ax1+x22
∵x1x2+x1+x2>0
∴a+2>0
解a>2
∴214解x2代入原方程中
42(k+3)+k0
解k2
∵两根积k
∴方程根k2221
k值2方程根1
15解(1)∵关x元二次方程x2+mx20两实数根
∴b24ac(m)24×1×(2)m+8≥0解m≥8
∵m中m≥0
∴m≥0
(2)∵关x元二次方程x2+mx20两实数根x1x2
∴x1+x2mx1·x22
∴(x1x2)217(x1+x2)24x1·x2170m+8170
解m9
16解(1)∵关x元二次方程x2(2k+1)x+k2+10两相等实数根
∴b24ac>0
[(2k+1)]24(k2+1)>0
整理4k3>0解k>34
k取值范围k>34
(2)∵方程两根分x1x2
∴x1+x22k+13解k1
∴原方程x23x+20
∴x11x22
17解(1)证明b24ac[(2k+1)]24×1×12k22
4k2+4k+12k2+8
2k2+4k+9
2(k+1)2+7
∵k实数2(k+1)2≥0
∴2(k+1)2+7>0
∴k实数方程总两相等实数根
(2)元二次方程根系数关系x1+x22k+1x1x212k22
∵x1x23
∴(x1x2)29
∴(x1+x2)24x1x29
∴(2k+1)24×12k229
化简k2+2k0
解k0k2
18解(1)∵方程两相等实数根
∴b24ac4+4k>0
解k>1
∴k取值范围k>1
(2)元二次方程根系数关系
a+b2a·bk
∴aa+11b+1ab1ab+a+b+1k1k2+11
19解(1)证明k10k1时方程2x+20解x1∴方程实数根
k1≠0k≠1时b24ac(2k)24(k1)×24k28k+84(k1)2+4>0
∴方程两相等实数根
综知k值方程总实数根
(2)∵x1x2方程两实数根
∴k1≠0x1+x22kk1x1x22k1
∴Sx2x1+x1x2+x1+x2x12+x22x1x2+x1+x2(x1+x2)22x1x2x1x2+x1+x2(2kk1) 24k12k12kk12k2
令S62k26
解k4
k值4时S值6
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选择题
1[2020·邵阳] 设方程x23x+20两根分x1x2x1+x2值 ( )
A3 B32 C32 D2
2[2019·广东] 已知x1x2元二次方程x22x0两实数根列结错误 ( )
Ax1≠x2 Bx122x10 Cx1+x22 Dx1·x22
3[2020·锡锡山区期中] 已知元二次方程x28xc0根2根 ( )
A10 B6 C8 D2
4[2019·贵港] αβ关x元二次方程x22x+m0两实数根1α+1β23m等( )
A2 B3 C2 D3
5关x方程x2(m24)x+m0两根互相反数m等 ( )
A2 B2 C±2 D4
6[2019·威海] 已知ab方程x2+x30两实数根a2b+2019值 ( )
A2023 B2021 C2020 D2019
二填空题
7[2019·济宁] 已知1方程x2+bx20根方程根
8[2020·泸州] 已知x1x2元二次方程x24x70两实数根x12+4x1x2+x22值
9x1x2元二次方程x2mx60两根x1
11[2020·荆门改编] 已知关x元二次方程x24mx+3m20根根2m值
12定义运算a*b2abab关x方程x2+xm0(m>0)两根(a+1)*b+2a值 (含m代数式表示)
三解答题
13已知关x元二次方程x22x+a0两实数根x1x2满足x1x2+x1+x2>0求a取值范围
14关x元二次方程x2+(k+3)x+k0根2求k值方程根
15[2020·黄石] 已知关x元二次方程x2+mx20两实数根
(1)求m取值范围
(2)设方程两实数根x1x2满足(x1x2)2170求m值
16[2019·州] 已知关x元二次方程x2(2k+1)x+k2+10两相等实数根x1x2
(1)求k取值范围
(2)x1+x23求k值方程根
17[2020·孝感] 已知关x元二次方程x2(2k+1)x+12k220
(1)求证k实数方程总两相等实数根
(2)方程两实数根x1x2满足x1x23求k值
18[2020·玉林] 已知关x元二次方程x2+2xk0两相等实数根
(1)求k取值范围
(2)方程两相等实数根ab求aa+11b+1值
19已知关x方程(k1)x2+2kx+20
(1)求证k值方程总实数根
(2)设x1x2述方程两实数根记Sx2x1+x1x2+x1+x2S值6求出时k值请说明理
答案
1[解析] A x23x+20知二次项系数a1次项系数b3
元二次方程根系数关系
x1+x2313选A
2[解析] D ∵b24ac(2)24×1×04>0∴x1≠x2选项A符合题意
∵x1元二次方程x22x0实数根
∴x122x10选项B符合题意
∵x1x2元二次方程x22x0两实数根∴x1+x22x1·x20选项C符合题意选项D符合题意选D
3[解析] B 设方程根t根题意2+t8解t6方程根6选B
4[解析] B ∵αβ关x元二次方程x22x+m0两实数根∴α+β2αβm
∵1α+1βα+βαβ2m23∴m3
选B
5[解析] A ∵方程x2(m24)x+m0两根互相反数
∴妨设两根αβα+βm240
解m12m22
m2时原方程x2+20方程没实数根符合题意m2选A
6[解析] A ∵ab方程x2+x30两实数根
∴b3b2a+b1ab3
∴a2b+2019a23+b2+2019(a+b)22ab+20161+6+20162023选A
7[答案] 2
[解析] 设方程x2+bx20两根x1x2x1x22令x111×x22解x22方程根2
答案2
8[答案] 2
[解析] 根题意x1+x24x1x27
x12+4x1x2+x22(x1+x2)2+2x1x216142
9[答案] 2 3
[解析] ∵x1x2元二次方程x2mx60两根x1+x21
∴m1
∴原方程x2x60
(x+2)(x3)0
∵x1
10[答案] x26x+60
[解析] 根题意2×3c1+5b
解b6c6
正确元二次方程x26x+60
11[答案] 11
[解析] 设方程两根分tt+2
根题意t+t+24mt(t+2)3m2
t+t+24mt2m1
t2m1代入t(t+2)3m2
(2m1)(2m+1)3m2
整理m210
解m1m1
m值11
122m2
13解∵该元二次方程两实数根
∴b24ac(2)24×1×a44a≥0
解a≤1
题意x1x2ax1+x22
∵x1x2+x1+x2>0
∴a+2>0
解a>2
∴2
42(k+3)+k0
解k2
∵两根积k
∴方程根k2221
k值2方程根1
15解(1)∵关x元二次方程x2+mx20两实数根
∴b24ac(m)24×1×(2)m+8≥0解m≥8
∵m中m≥0
∴m≥0
(2)∵关x元二次方程x2+mx20两实数根x1x2
∴x1+x2mx1·x22
∴(x1x2)217(x1+x2)24x1·x2170m+8170
解m9
16解(1)∵关x元二次方程x2(2k+1)x+k2+10两相等实数根
∴b24ac>0
[(2k+1)]24(k2+1)>0
整理4k3>0解k>34
k取值范围k>34
(2)∵方程两根分x1x2
∴x1+x22k+13解k1
∴原方程x23x+20
∴x11x22
17解(1)证明b24ac[(2k+1)]24×1×12k22
4k2+4k+12k2+8
2k2+4k+9
2(k+1)2+7
∵k实数2(k+1)2≥0
∴2(k+1)2+7>0
∴k实数方程总两相等实数根
(2)元二次方程根系数关系x1+x22k+1x1x212k22
∵x1x23
∴(x1x2)29
∴(x1+x2)24x1x29
∴(2k+1)24×12k229
化简k2+2k0
解k0k2
18解(1)∵方程两相等实数根
∴b24ac4+4k>0
解k>1
∴k取值范围k>1
(2)元二次方程根系数关系
a+b2a·bk
∴aa+11b+1ab1ab+a+b+1k1k2+11
19解(1)证明k10k1时方程2x+20解x1∴方程实数根
k1≠0k≠1时b24ac(2k)24(k1)×24k28k+84(k1)2+4>0
∴方程两相等实数根
综知k值方程总实数根
(2)∵x1x2方程两实数根
∴k1≠0x1+x22kk1x1x22k1
∴Sx2x1+x1x2+x1+x2x12+x22x1x2+x1+x2(x1+x2)22x1x2x1x2+x1+x2(2kk1) 24k12k12kk12k2
令S62k26
解k4
k值4时S值6
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