24 元二次方程根系数关系课时步练20202021年数学湘教版九（）
．选择题（10题）
1．已知关x元二次方程x2+2x+a﹣1＝0两根x1x2x12﹣x1x2＝0a值（ ）
A．a＝1 B．a＝1a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝1a＝2
2．设ab方程x2+x﹣2011＝0两实数根a2+2a+b值（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
3．（非课改）已知αβ关x元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0两相等实数根满足+＝﹣1m值（ ）
A．3 B．1 C．3﹣1 D．﹣31
4．关x元二次方程x2+（k+3）x+k＝0根﹣2根（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
5．关x方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0两相等实根x1x2x1﹣x1x2+x2＝1﹣aa值（ ）
A．1 B．﹣1 C．1﹣1 D．2
6．△ABC边a4两边bc分满足b2﹣5b+6＝0c2﹣5c+6＝0△ABC周长（ ）
A．9 B．10 C．910 D．8910
7．已知关x元二次方程x2﹣6x+k+1＝0两实数根x1x2x12+x22＝24k值（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
8．设αβ方程x2+9x+1＝0两根（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）值（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
9．已知ab元二次方程x2+4x﹣3＝0两实数根a2﹣ab+4a值（ ）
A．6 B．0 C．7 D．﹣1
10．关x元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0两实数根x1x2x1•x2＞x1+x2﹣4实数m取值范围（ ）
A．m＞ B．m≤ C．m＜ D．＜m≤
二．填空题（6题）
11．方程x2﹣3x+1＝0两根分x1x2x1+x2﹣x1x2值等 ．
12．非零实数ab（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0b2﹣b﹣2013＝0＝ ．
13．设x1x2方程2x2﹣3x﹣3＝0两实数根值 ．
14．两等实数mn满足条件：m2﹣2m﹣1＝0n2﹣2n﹣1＝0m2+n2值 ．
15．已知x1x2方程x2+4x+k＝0两根2x1﹣x2＝7k＝ ．
16．已知αβ方程x2+4x+2＝0二实根α3+14β+50＝ ．
三．解答题（5题）
17．已知关x元二次方程 x2+3x﹣m＝0实数根．
（1）求m取值范围
（2）两实数根分x1x2求m值．
18．已知：关x方程x2+kx+k﹣1＝0
（1）求证：方程定两实数根
（2）设x1x2方程两实数根（x1+x2）（x1﹣x2）＝0求k值．
19．已知关x元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两实数根方23求m值．
20．已知元二次方程x2﹣2x+m＝0．
（1）方程两实数根求m范围
（2）方程两实数根x1x2x1+3x2＝3求m值．
21．已知x1x2关x元二次方程x2﹣6x+k＝0两实数根x12x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k值
（2）求x12+x22+8值．
参考答案
．选择题（10题）
1．解：解x12﹣x1x2＝0
x1＝0x1＝x2
①x1＝0代入已知方程
a﹣1＝0
解：a＝1
②x1＝x2时△＝4﹣4（a﹣1）＝08﹣4a＝0
解：a＝2．
综述a＝1a＝2．
选：D．
2．解：∵ab方程x2+x﹣2011＝0两实数根
∴a+b＝﹣＝﹣1
a2+a﹣2011＝0
∴a2+a＝2011
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2011﹣1＝2010．
选：B．
3．解：根条件知：
α+β＝﹣（2m+3）αβ＝m2
∴＝﹣1
m2﹣2m﹣3＝0
解m＝3．
选：A．
4．解：设方程根x
题意
解x＝1
方程根1．
选：B．
5．解：题意△＞0（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0
a2﹣2a+1＞0（a﹣1）2＞0a≠1
∵关x方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0两相等实根x1x2x1﹣x1x2+x2＝1﹣a
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a
∴﹣＝1﹣a
解：a＝±1a≠1
∴a＝﹣1．
选：B．
6．解：∵两边bc分满足b2﹣5b+6＝0c2﹣5c+6＝0
解：b＝32c＝23
△ABC边a4
①b＝cb＝c＝3b＝c＝22+2＝4三角形成立b＝c＝3．
∴△ABC周长4+3+3＝10
②b≠c∴△ABC周长4+5＝9．
选：C．
7．解：根系数关系知：x1+x2＝﹣＝6
x1•x2＝＝k+1
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝36﹣2（k+1）＝24
解k＝5．选：D．
8．解：∵αβ方程x2+9x+1＝0两实数根
∴α+β＝﹣9α•β＝1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
∵αβ方程x2+9x+1＝0两实数根
∴α2+9α+1＝0β2+9β+1＝0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
＝2000α•2000β
＝2000×2000αβ
α•β＝1
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4 000 000．
选：D．
9．解：a代入方程a2+4a＝3根根系数关系ab＝﹣3．
∴a2﹣ab+4a＝a2+4a﹣ab＝3﹣（﹣3）＝6．
选：A．
10．解：题意x1+x2＝＝1x1•x2＝＝
x1•x2＞x1+x2﹣4
∴＞﹣3
m＞
元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0两实数根
∴△＝b2﹣4ac≥0
4﹣4×2×（3m﹣1）≥0
解m≤．
∴＜m≤．
选：D．
二．填空题（6题）
11．解：∵方程x2﹣3x+1＝0两根分x1x2
∴x1+x2＝3x1x2＝1
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
答案：2．
12．解：∵非零实数ab（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0b2﹣b﹣2013＝0
∴ab方程x2﹣x﹣2013＝0解
∴a+b＝1ab＝﹣2013
∴＝＝﹣
答案：﹣．
13．解：∵x1x2方程2x2﹣3x﹣3＝0两实数根
∴x1+x2＝x1x2＝﹣
原式＝＝＝＝＝﹣．
答案：﹣
14．解：题意知mn关x方程x2﹣2x﹣1＝0两根m+n＝2mn＝﹣1．
m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2×2﹣2×（﹣1）＝6．
答案：6．
15．解：∵x1x2方程x2+4x+k＝0两根
∴x1+x2＝﹣4①
2x1﹣x2＝7②
解①②组成方程组x1＝1x2＝﹣5
∵x1•x2＝k
∴k＝﹣5．
答案：﹣5．
16．解：∵αβx2+4x+2＝0二实根．
∴α+β＝﹣4．
α2+4α+2＝0．
α2＝﹣4α﹣2．
α3＝﹣4α2﹣2α＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α＝14α+8．
∴α3+14β+50＝14α+8+14β+50＝14（α+β）+58＝14×（﹣4）+58＝﹣56+58＝2．
题答案：2．
三．解答题（5题）
17．解：（1）∵关x元二次方程 x2+3x﹣m＝0实数根
∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0
解：m≥﹣
（2）∵x1+x2＝﹣3x1x2＝﹣m
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11
∴（﹣3）2+2m＝11
解：m＝1．
18．（1）证明：△＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2
∵（k﹣2）2≥0△≥0
∴方程定两实数根
（2）根题意x1+x2＝﹣kx1•x2＝k﹣1
∵（x1+x2）（x1﹣x2）＝0
∴x1+x2＝0x1﹣x2＝0
x1+x2＝0﹣k＝0解k＝0
x1﹣x2＝0△＝0（k﹣2）2＝0解k＝2
∴k值02．
19．解：设关x元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两实数根分x1x2
：x1+x2＝mx1•x2＝2m﹣1
∵关x元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两实数根方23
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝m2﹣2（2m﹣1）＝m2﹣4m+2＝23
解：m1＝7m2＝﹣3
m＝7时△＝m2﹣4（2m﹣1）＝﹣3＜0（舍）
m＝﹣3时△＝m2﹣4（2m﹣1）＝37＞0
∴m＝﹣3．
20．解：（1）∵方程x2﹣2x+m＝0两实数根
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0
解m≤1
（2）两根关系知x1+x2＝2x1•x2＝m
解方程组
解
∴m＝x1•x2＝．
21．解：（1）∵x1x2方程x2﹣6x+k＝0两根
∴x1+x2＝6x1x2＝k
∵x12x22﹣x1﹣x2＝115
∴k2﹣6＝115
解k1＝11k2＝﹣11
k1＝11时△＝36﹣4k＝36﹣44＜0
∴k1＝11合题意
k2＝﹣11时△＝36﹣4k＝36+44＞0
∴k2＝﹣11符合题意
∴k值﹣11
（2）∵x1+x2＝6x1x2＝﹣11
∴x12+x22+8＝（x1+x2）2﹣2x1x2+8＝36+2×11+8＝66．
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．选择题（10题）
1．已知关x元二次方程x2+2x+a﹣1＝0两根x1x2x12﹣x1x2＝0a值（ ）
A．a＝1 B．a＝1a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝1a＝2
2．设ab方程x2+x﹣2011＝0两实数根a2+2a+b值（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
3．（非课改）已知αβ关x元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0两相等实数根满足+＝﹣1m值（ ）
A．3 B．1 C．3﹣1 D．﹣31
4．关x元二次方程x2+（k+3）x+k＝0根﹣2根（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
5．关x方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0两相等实根x1x2x1﹣x1x2+x2＝1﹣aa值（ ）
A．1 B．﹣1 C．1﹣1 D．2
6．△ABC边a4两边bc分满足b2﹣5b+6＝0c2﹣5c+6＝0△ABC周长（ ）
A．9 B．10 C．910 D．8910
7．已知关x元二次方程x2﹣6x+k+1＝0两实数根x1x2x12+x22＝24k值（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
8．设αβ方程x2+9x+1＝0两根（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）值（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
9．已知ab元二次方程x2+4x﹣3＝0两实数根a2﹣ab+4a值（ ）
A．6 B．0 C．7 D．﹣1
10．关x元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0两实数根x1x2x1•x2＞x1+x2﹣4实数m取值范围（ ）
A．m＞ B．m≤ C．m＜ D．＜m≤
二．填空题（6题）
11．方程x2﹣3x+1＝0两根分x1x2x1+x2﹣x1x2值等 ．
12．非零实数ab（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0b2﹣b﹣2013＝0＝ ．
13．设x1x2方程2x2﹣3x﹣3＝0两实数根值 ．
14．两等实数mn满足条件：m2﹣2m﹣1＝0n2﹣2n﹣1＝0m2+n2值 ．
15．已知x1x2方程x2+4x+k＝0两根2x1﹣x2＝7k＝ ．
16．已知αβ方程x2+4x+2＝0二实根α3+14β+50＝ ．
三．解答题（5题）
17．已知关x元二次方程 x2+3x﹣m＝0实数根．
（1）求m取值范围
（2）两实数根分x1x2求m值．
18．已知：关x方程x2+kx+k﹣1＝0
（1）求证：方程定两实数根
（2）设x1x2方程两实数根（x1+x2）（x1﹣x2）＝0求k值．
19．已知关x元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两实数根方23求m值．
20．已知元二次方程x2﹣2x+m＝0．
（1）方程两实数根求m范围
（2）方程两实数根x1x2x1+3x2＝3求m值．
21．已知x1x2关x元二次方程x2﹣6x+k＝0两实数根x12x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k值
（2）求x12+x22+8值．
参考答案
．选择题（10题）
1．解：解x12﹣x1x2＝0
x1＝0x1＝x2
①x1＝0代入已知方程
a﹣1＝0
解：a＝1
②x1＝x2时△＝4﹣4（a﹣1）＝08﹣4a＝0
解：a＝2．
综述a＝1a＝2．
选：D．
2．解：∵ab方程x2+x﹣2011＝0两实数根
∴a+b＝﹣＝﹣1
a2+a﹣2011＝0
∴a2+a＝2011
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2011﹣1＝2010．
选：B．
3．解：根条件知：
α+β＝﹣（2m+3）αβ＝m2
∴＝﹣1
m2﹣2m﹣3＝0
解m＝3．
选：A．
4．解：设方程根x
题意
解x＝1
方程根1．
选：B．
5．解：题意△＞0（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0
a2﹣2a+1＞0（a﹣1）2＞0a≠1
∵关x方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0两相等实根x1x2x1﹣x1x2+x2＝1﹣a
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a
∴﹣＝1﹣a
解：a＝±1a≠1
∴a＝﹣1．
选：B．
6．解：∵两边bc分满足b2﹣5b+6＝0c2﹣5c+6＝0
解：b＝32c＝23
△ABC边a4
①b＝cb＝c＝3b＝c＝22+2＝4三角形成立b＝c＝3．
∴△ABC周长4+3+3＝10
②b≠c∴△ABC周长4+5＝9．
选：C．
7．解：根系数关系知：x1+x2＝﹣＝6
x1•x2＝＝k+1
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝36﹣2（k+1）＝24
解k＝5．选：D．
8．解：∵αβ方程x2+9x+1＝0两实数根
∴α+β＝﹣9α•β＝1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
∵αβ方程x2+9x+1＝0两实数根
∴α2+9α+1＝0β2+9β+1＝0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
＝2000α•2000β
＝2000×2000αβ
α•β＝1
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4 000 000．
选：D．
9．解：a代入方程a2+4a＝3根根系数关系ab＝﹣3．
∴a2﹣ab+4a＝a2+4a﹣ab＝3﹣（﹣3）＝6．
选：A．
10．解：题意x1+x2＝＝1x1•x2＝＝
x1•x2＞x1+x2﹣4
∴＞﹣3
m＞
元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0两实数根
∴△＝b2﹣4ac≥0
4﹣4×2×（3m﹣1）≥0
解m≤．
∴＜m≤．
选：D．
二．填空题（6题）
11．解：∵方程x2﹣3x+1＝0两根分x1x2
∴x1+x2＝3x1x2＝1
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
答案：2．
12．解：∵非零实数ab（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0b2﹣b﹣2013＝0
∴ab方程x2﹣x﹣2013＝0解
∴a+b＝1ab＝﹣2013
∴＝＝﹣
答案：﹣．
13．解：∵x1x2方程2x2﹣3x﹣3＝0两实数根
∴x1+x2＝x1x2＝﹣
原式＝＝＝＝＝﹣．
答案：﹣
14．解：题意知mn关x方程x2﹣2x﹣1＝0两根m+n＝2mn＝﹣1．
m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝2×2﹣2×（﹣1）＝6．
答案：6．
15．解：∵x1x2方程x2+4x+k＝0两根
∴x1+x2＝﹣4①
2x1﹣x2＝7②
解①②组成方程组x1＝1x2＝﹣5
∵x1•x2＝k
∴k＝﹣5．
答案：﹣5．
16．解：∵αβx2+4x+2＝0二实根．
∴α+β＝﹣4．
α2+4α+2＝0．
α2＝﹣4α﹣2．
α3＝﹣4α2﹣2α＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α＝14α+8．
∴α3+14β+50＝14α+8+14β+50＝14（α+β）+58＝14×（﹣4）+58＝﹣56+58＝2．
题答案：2．
三．解答题（5题）
17．解：（1）∵关x元二次方程 x2+3x﹣m＝0实数根
∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0
解：m≥﹣
（2）∵x1+x2＝﹣3x1x2＝﹣m
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11
∴（﹣3）2+2m＝11
解：m＝1．
18．（1）证明：△＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2
∵（k﹣2）2≥0△≥0
∴方程定两实数根
（2）根题意x1+x2＝﹣kx1•x2＝k﹣1
∵（x1+x2）（x1﹣x2）＝0
∴x1+x2＝0x1﹣x2＝0
x1+x2＝0﹣k＝0解k＝0
x1﹣x2＝0△＝0（k﹣2）2＝0解k＝2
∴k值02．
19．解：设关x元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两实数根分x1x2
：x1+x2＝mx1•x2＝2m﹣1
∵关x元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0两实数根方23
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝m2﹣2（2m﹣1）＝m2﹣4m+2＝23
解：m1＝7m2＝﹣3
m＝7时△＝m2﹣4（2m﹣1）＝﹣3＜0（舍）
m＝﹣3时△＝m2﹣4（2m﹣1）＝37＞0
∴m＝﹣3．
20．解：（1）∵方程x2﹣2x+m＝0两实数根
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0
解m≤1
（2）两根关系知x1+x2＝2x1•x2＝m
解方程组
解
∴m＝x1•x2＝．
21．解：（1）∵x1x2方程x2﹣6x+k＝0两根
∴x1+x2＝6x1x2＝k
∵x12x22﹣x1﹣x2＝115
∴k2﹣6＝115
解k1＝11k2＝﹣11
k1＝11时△＝36﹣4k＝36﹣44＜0
∴k1＝11合题意
k2＝﹣11时△＝36﹣4k＝36+44＞0
∴k2＝﹣11符合题意
∴k值﹣11
（2）∵x1+x2＝6x1x2＝﹣11
∴x12+x22+8＝（x1+x2）2﹣2x1x2+8＝36+2×11+8＝66．
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