题 目： 紧致差分格式构造验证
摘
目前紧致差分格式已逐渐成差分方程数值方法方具良特性高精度紧差分格式相继构造出够应特殊问题数值求解显现出良效果课题针紧致差分格式研究方希够通MATLAB等软件辅助前紧致差分格式研究帮助紧致差分格式进行构造种差分格式通解微分方程数值解实验紧致差分格式进行验证稳定性收敛性误差等特性终够较直观解类紧致格式差分方法精度等
关键词限差分差分格式构造
ABSTRACT
At present compact difference schemes have gradually become a main research direction of the numerical method of differential equations and the compact difference schemes with high precision and good characteristics have been constructed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems and good results have been achieved This topic for compact difference scheme the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a compact difference scheme difference scheme and by solving the differential equation numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme features such as stability convergence and error finally can more intuitive understanding of the compact format the precision of the finite difference method etc
Key words：Finite difference Difference scheme Structure
目录
摘 2
ABSTRACT 3
1 引言 5
11 限差分方法简介 5
12 紧致差分法研究概况 5
121 抛物线方程 5
122椭圆型方程 6
123双曲线方程 6
13 文研究容 6
2 常见差分格式 7
21 显式差分格式 7
211 古典显式格式推导 7
22 隐式差分格式 8
221 古典隐式格式推导 8
23 CrankNicolson隐式格式 10
24 交方隐式格式 11
241 PeacemanRachford格式 12
242 DouglasRachford格式 12
243 MitchellFairweather格式 12
244 交方隐式格式算法步骤 12
3 紧致差分格式分析 13
31 抛物线方程 13
311 抛物线方程种高精度紧致差分方法 13
32 椭圆型方程 13
321维椭圆型方程解法 13
322 二维椭圆型方程解法 14
33双曲型方程 15
331双曲线方程种解法 15
332双曲线方程常见数值解法 16
4实例分析结果分析 17
41 数值算例 17
411 已知精确解热传导问题 17
412 未知精确解热传导问题 18
42 结果分析 18
43 r变化稳定性探究 19
431 PR格式格式稳定性 19
44文研究热传导方程 20
5 总结 25
参考文献 26
1 引言
11 限差分方法简介
重数值离散方法中限差分方法（FDM）研究计算中着广泛运限差分法具计算少格式程序少等长处尤适合偏微分方程似求解限差分法基问题：构造逼微分方程定解问题差分格式研究差分解存唯性收敛性稳定性差分方程解法等创造出差分方法种形式目前采泰勒方法总说阶前差分阶差分二阶中心差分等较常见差分公式年限差分方法发展研究传统差分格式基础学者开始关注高精度限差分格式应高精度格式采放松网格步长求采计算区域较少格点较高精度数值解改进求解效率具十分重理现实意义微分方程数值作求解方程似解法出解离散点似值现求解微分方程数值解法两类类限差分方法类限元法两者基思想基连续问题（微分方程初边值问题）离散化化限形式线性代数方程组求出原问题离散解应数值逼方法求出原问题逼解（连续解）求般步骤：开始求解区域进行网格剖分限网格节点代连续区域然微分方程离散化微分方程定解问题化线性代数方程组求解问题紧微分方程数值解法研究益深入数值分析中发挥着越越重作进行数值解法方面研究着十分重理现实意义
12 紧致差分法研究概况
伴计算物理发展更加方便研究剖析差分问题数值结果精度求越越高普通限差分格式步长精度偏低提高精度缩步长增加更网格点数量肯定增加计算机计算量计算速度变慢计算时间拉长克服计算难题开始寻找计算少精度高差分方法紧致差分方法正种情形应运生1991年lelei总结称型紧致差分格式相传统差分格式相计算网格中紧致差分格式着更高精度分辨率1993年傅德薰紧致差分格式中引入迎风机制1997年提出五格点五阶精度迎风紧致格式紧致差分格式中迎风机制引入够效抑制非物理振荡更适合尺度复杂流场计算称型紧致差分格式迎风型紧致差分格式建立均匀网格基础
121 抛物线方程
偏微分方程描述出现工程问题中许数学模型抛物线问题作偏微分方程中种频繁处理诸扩散渗流热传导等问题中具量应情况偏微分方程找精确解通求解数值解研究问题找高精度计算稳定性数值计算方法具重意义抛物问题限差分法常解决数值问题限差分方法基思想连续解区域分离限点网格然网格定义离散变量差该方程似连续解区域连续变量微分方程原始微分方程转换代数方程组求解方程离散点处原始微分方程数值解众差分方法中紧凑差分格式较少网格基点计算格式精度高传统髙精度格式相紧凑差分格式具许优点例计算量单元敏感易处理边界条件等紧凑差分格式研究高精度格式研究方目前关抛物问题高精度紧致差分方法研究显易见稳定条件度限制显式紧致差分方法难广泛然隐式紧致差分方法具更稳定性求解方程时计算量计算效率低
122椭圆型方程
针般椭圆型方程数值求解目前已量相关文献例六阶精度差分格式五点十阶精度差分格式七点等等推导出高阶导数紧致差分格式时分析格式够正确数值模拟波数范围马延文傅德薰两位学者构造迎风紧致差分格式样做目克服数值解激波附非物理高频振荡难题进步提高精度增加网格节点推导出超紧致差分格式沈孟育蒋莉推导出仅含三点三阶精度紧致差分格式足格式系数推导求解复杂沈孟育等学者紧致差分格式做进步改善继广义紧致差分格式述提称型紧致差分格式者迎风紧致差分格式超紧致差分格式特例田振夫刘明会分提出种求解两点边值问题四阶紧致差分格式金涛等提出种求解两点边值问题高阶隐式格式二维椭圆型方程田振夫利定系数法截断误差余项修正方法构造数值求解二维泊松方程四阶六阶紧致差分格式陈国谦等提出求解流扩散方程四阶指数型格式指数型摄动格式迎风变换方法
123双曲线方程
偏微分方程中线性双曲型方程里物理生物领域非线性现象均类方程描述例流扩散反应扩散间相互作等难找问题身精确解决方案具深远意义通数值方法解决样方程实际应价值年许学者国外已提出求解般线性双曲型方程数值解方法莫汉蒂提出条件稳定维二维三维限差分方法求解线性方程刘等提出狄利克雷诺曼边界条件求解维电报方程条件稳定两层紧致差分格式空间采四次样条方法时间应广义梯形公式丁等求解维二维电报方程提出种条件稳定高精度紧致差分格式
13 文研究容
根前构造格式现文针热传导方程建立传统差分格式pr格式做出数值实验基理查德松外推法构造种数值求解二维热传导方程高阶紧致差分方法．基础建立种紧差分格式该方法首先利时间二阶空间四阶精度紧致交方隐式差分格式网格原方程进行求解然利外推次终二维热传导方程时间四阶空间六阶精度数值解数值实验验证该方法高阶精度效性
2 常见差分格式
21 显式差分格式
现二维抛物线方程构建限差分显式格式
（21）
二维热传导方程
（22）
热传导磁扩散等许领域重应实际导热问题必然涉边值条件限差分法中必须差分化需研究仅差分方程身包括全部部区域边界差分方程组成代数方程组称差分格式
常系数热传导方程古典显式格式首先考虑热传导方程边值问题
离散化
[15]
211 古典显式格式推导
简单显式差分典显式格式现热传导方程导出
式中右边果仅保留二阶导数项代代差分格式
者
（23）
显式格式（四点格式）图（21）示
图21：古典显式格式
格式（23）应维热传导相关方面中古典显式格式：
（23）
通方程组求解层节点值显隐格式区域分解方法显式计算出邻子域交界似值种方法显隐格式区域分解方法综合二者优点助前层数值解信息显格式出—层子问题知道德边界条件整体区域问题化子区域子问题子域采古典隐式求解实现行面计算程出
22 隐式差分格式
显式方法隐式差分格式中包括（n+1）时间层二二结点处未知值（例 ）隐式差分格式显式差分格式求解完全相言隐式差分格式求解时间层包含较计算工作量面差分格式稳定性分析知隐式格式优点稳定性规步长限制放宽正期二维抛物线方程公式开始构建限差分显式格式差分格式热传导方程（21）构成需求解仅差分方程身包括部子区域边界差分方程代数方程称差分格式
221 古典隐式格式推导
现热传导方程推导简单隐式差分逼——古典隐式格式
式中右边果仅保留二阶导数项代代差分格式
者
（24）
格式（23）应维热传导方程古典显式格式：
（32）
显式隐式较：
（1）阶数隐式局部截断误差系数绝值显式
（2）显式计算工作量隐式
（3）隐式稳定范围显式
局部截断误差阶高3式（25） 允许函数意变化情况截断误差二阶方法提高阶必须增加计算函数值次数述式（25）称古典隐式格式
格式图31表示知道截断误差阶述古典差分格式样四点差分格式正图31示
图31：古典隐式格式
求第（n+1）时间层值必须通解线性代数方程组
隐式差分格式必须联合初边值条件求解格式（25）通常称古典隐式格式通直接差分算子代 方：
代入微分方程格式（24）
古典隐式格式方程组矩阵形式：
知道第n层时确定第n+1层点值必须通求解线性代数方程组m1例：
系数矩阵：
23 CrankNicolson隐式格式
CrankNicolson隐式差分格式解热传导方程（21）基差分格式年关抛物方程区域分解算法作行计算种效工具引起学者注意类算法困难样定义边界点值子域选取合理计算解似推导
（26）
两边仅保留前二项代代差分格式
隐差分格式称Cranknicolson差分格式截断误差阶写
（27）
格式（27）中包括六结点称六点格式（图32示）
图32： CrankNicolson隐式格式
代入微分方程CrankNicolson格式解微分方程根CrankNicolson格式方程组：
矩阵表达式：
24 交方隐式格式
交方隐式格式x方显式格式y方隐式格式n + 12层典显式格式计算超出值n + 1层典隐式格式校正预测值获稳定性收敛性相似然仅讨z常系数热传导方程方具相时间步长情况试图进行扩展首先考虑边界点方作显式格式方作隐式格式情况然检查zy方中显式格式情况讨z方时间步骤情况
241 PeacemanRachford格式
考虑二维抛物方程（21）差分该显式格式述稳定性分析认求维情况更加苛刻分析表明尺寸越越需时间步骤更计算工作量ADI格式第n层第n + 1层中PR格式两步骤中进行步骤需求解方程线性系统具三角系数
PR格式
（28）
（29）
中心差算子
PR格式意条件稳定预测PR格式三变量空间问题条件稳定性成立
242 DouglasRachford格式
道格拉斯1956年提出隐式差分格式DouglasRachford格式第次提出DR格式推广三维情形交方隐式格式二维DR格式
（210）
（211）
243 MitchellFairweather格式
MitchellFairweather1964年推导高精度ADI差分格式称MF格式MF格式截断误差达较PR格式DR格式更条件收敛
244 交方隐式格式算法步骤
ADI格式算法步骤类似典明确格式ADI格式隐式格式需通追赶方法解决追赶法求解三角矩阵线性方程组方法适类型矩阵
第步根出初边值条件出t0时
第二步根交方隐式格式中第公式第求出式
采追赶法确定追赶子a1+r2b r2c1+r2d
ba*（d*a）w然根子确定 d *
第三步追赶法第求出
该算法计算似解程文中通具体数值例子说明计算方法体现种格式实性优越性
3 紧致差分格式分析
31 抛物线方程
311 抛物线方程种高精度紧致差分方法
考虑维抛物型方程初边值问题 （31）
定初始条件 （32）
定边界条件 （33）
中 u( xt) 求未知函数v 扩散项系数a( t) b( t) φ( x) 均已知函数．
构造差分格式：
（34）
式构造差分格式通空间方离散程难发现空间具四阶精度． 外文献中研究结果时间方具四阶精度文中构造差分格( 34) 式截断误差O（t^4+h^4）
32 椭圆型方程
321维椭圆型方程解法
针维椭圆型方程首先建立混合型髙精度紧致BCD差分格式格式整体精度四阶然分分析格式截断误差
考虑两点边值问题：
中：均知函数常数．计算求解区间进行N等分计算节点网格步长定义差分算子
（）
第步：uu_{x}赋初值0u边界已知
第二步：通u算出
观察出格式形成代数方程组系数矩阵三角线型文采追赶法进行求解．
第三步：第二步算出值（已知）算出新u部值
边界点知该格式形成代数方程组系数三角线型采追赶法进行计算
第四步：转入第二步计算循环进行直次迭代算出u值次迭代算出u值间误差某种范数事先定收敛准计算终止输出u值章数值实验部分取收敛准范数定义k迭代次数
322 二维椭圆型方程解法
考虑两点边值问题：
边界条件：
中R^2矩形区域边界均已知函数假设具充分光滑性．
（）
第步：赋初值0边界已知
第二步：通算出
观察出格式形成代数方程组系数矩阵三角线型文利追赶法进行求解
第三步：第二步计算出值f（已知）算出新u部值
观察出该格式９点模板该格式采髙斯－赛德尔（Gauss－seider）迭代法进行求解．
第四步：转入第二步计算循环进行直次迭代算出值次迭代算出
值间误差某种范数事先定收敛准计算终止输出值．章数值实验部分取收敛准范数定义迭代次数
33双曲型方程
331双曲线方程种解法
考虑维线性双曲型方程初边值问题：
中常数均已知u（xt）未知
首先通时间二阶导数采中心差分保留截断误差项空间导数项利四阶紧致差分公式采四阶Ｐaｄé紧致差分格式进行逼整理差分格式
中
式求解维线性双曲型方程四阶紧致差分格式格式整体具四阶精度
332双曲线方程常见数值解法
考虑四阶双曲方程初边值问题：
（31）
中已知函数满足定光滑性．
引入中间函数问题(31) 变成形式
（32）
问题(32) 差分格式
（33）
前面推导程知述格式（33）局部截断误差
4实例分析结果分析
41 数值算例
411 已知精确解热传导问题
例1二维Dirichlet边值问题热传导方程
方程精确解
PR（ADI）格式相步长()求解处()解析解间差值列误差表中表示
表41 PR（ADI）格式解例1误差（）
误差
y0
y01
y02
y03
y04
y05
x0
0
0
0
0
0
0
x01
0
886E07
119E06
147E06
644E07
118E06
x02
0
119E06
205E06
219E06
966E07
993E07
x03
0
147E06
219E06
148E06
921E07
337E09
x04
0
644E07
966E07
921E07
86E07
14E06
x05
0
118E06
993E07
337E09
14E06
14E06
x06
0
644E07
966E07
921E07
86E07
14E06
x07
0
147E06
219E06
148E06
921E07
337E09
x08
0
119E06
205E06
219E06
966E07
993E07
x09
0
886E07
119E06
147E06
644E07
118E06
x1
0
0
0
0
0
0
续表41 PR（ADI）格式解例1误差（）
误差
y06
y07
y08
y09
y1
x0
0
0
0
0
0
x01
644E07
147E06
119E06
886E07
0
x02
966E07
219E06
205E06
119E06
0
x03
921E07
148E06
219E06
147E06
0
x04
86E07
921E07
966E07
644E07
0
x05
14E06
337E09
993E07
118E06
0
x06
86E07
921E07
966E07
644E07
0
x07
921E07
148E06
219E06
147E06
0
x08
966E07
219E06
205E06
119E06
0
x09
644E07
147E06
119E06
886E07
0
x1
0
0
0
0
0
412 未知精确解热传导问题
例2二维Dirichlet边值问题热传导方程
采PR格式0变化1时t 关图（）图图41
图41：PR格式解例2变化 关xy图（）
42 结果分析
例1出PR格式精度较高PR格式接解析解例2图41出时间推移温度渐渐边界温度见数值方法定程度反应解情况
43 r变化稳定性探究
431 PR格式格式稳定性
采PR格式解例20变化1时时 关图（）图图42采PR格式解例10变化1时时 数值解解析解间误差（变化）表42
图42：PR格式解例2变化 关图（）
表42 PR格式解例1误差（）
误差
r18
r28
r38
r48
x0y0
0
0
0
0
x01y01
886E07
119E06
0000464
0000489
x02y02
205E06
119E06
0000883
0000928
x03y03
148E06
921E07
0001214
0001275
x04y04
86E07
966E07
0001424
0001497
x05y05
14E06
147E06
0001497
0001574
x06y06
86E07
118E06
0001424
0001497
x07y07
148E06
147E06
0001214
0001275
x08y08
205E06
205E06
0000883
0000928
x09y09
886E07
147E06
0000464
0000489
x10y10
0
0
0
0
续表42 PR格式解例1误差（）
误差
r58
r68
r78
r1
x0y0
0
0
0
0
x01y01
0000464
0000396
0000288
0000152
x02y02
0000883
0000753
0000548
0000288
x03y03
0001214
0001034
0000753
0000396
x04y04
0001424
0001214
0000883
0000464
x05y05
0001497
0001275
0000928
0000489
x06y06
0001424
0001214
0000694
0000464
x07y07
0001214
0001034
0000753
0000396
x08y08
0000883
0000753
0000548
0000288
x09y09
0000464
0000396
0000288
0000152
x10y10
0
0
0
0
图42表42验证PR格式言r取0～1中数该格式稳
定
44文研究热传导方程
考察二维热传导方程初边值问题：
式子中边界求函数f（xyt）源项g已知函数具充分光滑型a热扩散系数者导温系数表示时间步长空间取等距网格步长ｈ表示．文献［６］方程高精度紧致ADI格式
渡变量边界条件精确表示
中表示二阶中心差分算子该格式截断误差
面采Von Neumann分析法格式进行稳定性分析设源项没误差特征项表示：
中I第n时间层波幅放子表示成：
中
容易证明
格式条件稳定
采Richardson外推法解列问题：
选取正整数M计算需达时刻Ｔ令h1MNT四阶紧致格式 写
截断误差：
假设述定解问题解述差分格式解记误差方程：
假设r（xyt）s（xyt）分满足二维热传导方程初边值问题
中
分紧致差分格式
解
记
述定义
中
理
分区域解中
综外推法方程（1）截断误差似值
利文提出方法求解精确解初边值问题初始条件边界条件均精确解出
精确解：
表43列出时网格步长误差Error收敛阶RateCPU时间高精度紧致ADI方法计算结果较．中出高精度紧致ADI格式空间精度达四阶文 Richardson外推法提高计算精度效果非常显著空间达六阶．相网格等分数文格式较文献格式[16]需更CPU 时间文格式需2网格层进行计算Richardson外推文献[16]格式需单层网格进行计算．果限定计算需达精度144e8采文献[16]格式需取h132CPU 时间034s采文方法需取h18误差达396e9CPU 时间仅004s．
表44出该问题时刻文方法误差ErrorCPU 时间收敛阶Rate 文献[17]中结果较．文献[17]采紧致ADI方法进行求解．通出文方法精度明显高文献[17]格式精度．果限定计算需达精度采文方法节约CPU时间．
表43 τh2t0125时刻误差收敛阶CPU时间
h
文献
文方法
CPU
Error
rate
CPU
Error
rate
18
001
352e6
004
396e9
116
006
221e7
400
015
616e11
601
132
034
144e8
393
072
930e13
605
表44 τh2t1时刻误差收敛阶CPU时间
h
文献
文方法
CPU
Error
rate
CPU
Error
rate
110
014
171e5
034
109e9
120
058
122e6
400
128
160e11
601
140
246
790e8
393
572
206e13
605
总结
文讨限差分法紧致差分法系统阐述数值解法介绍限差分法紧致差分方法基思路解题程着重讨种方程紧致差分解法利理计算进行分析方法收敛性稳定性热传导方程作例子编程实现PR格式紧致格式解二维抛物方程
通数值算例程序验证两种格式稳定性条件步长意步长rPR格式稳定文紧致差分方法精度明显文献精度格式更高．果需限制计算精确度采文方法节省CPU时间．
进步确定研究方：
实现差分格式步长适应调整提高计算结果准确性知道准确解情况较准确结果
探究新稳定性计算简单紧致差分格式争取构造更紧致方法进步学限元法限体积法限单元法网格方法等算法
参考文献
[1]陆静颖葛永斌数值求解维波动方程四阶紧致差分方法[JOL]宁夏学学报(然科学版)19[20190519]
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题 目： 紧致差分格式构造验证
摘
目前紧致差分格式已逐渐成差分方程数值方法方具良特性高精度紧差分格式相继构造出够应特殊问题数值求解显现出良效果课题针紧致差分格式研究方希够通MATLAB等软件辅助前紧致差分格式研究帮助紧致差分格式进行构造种差分格式通解微分方程数值解实验紧致差分格式进行验证稳定性收敛性误差等特性终够较直观解类紧致格式差分方法精度等
关键词限差分差分格式构造
ABSTRACT
At present compact difference schemes have gradually become a main research direction of the numerical method of differential equations and the compact difference schemes with high precision and good characteristics have been constructed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems and good results have been achieved This topic for compact difference scheme the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a compact difference scheme difference scheme and by solving the differential equation numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme features such as stability convergence and error finally can more intuitive understanding of the compact format the precision of the finite difference method etc
Key words：Finite difference Difference scheme Structure
目录
摘 2
ABSTRACT 3
1 引言 5
11 限差分方法简介 5
12 紧致差分法研究概况 5
121 抛物线方程 5
122椭圆型方程 6
123双曲线方程 6
13 文研究容 6
2 常见差分格式 7
21 显式差分格式 7
211 古典显式格式推导 7
22 隐式差分格式 8
221 古典隐式格式推导 8
23 CrankNicolson隐式格式 10
24 交方隐式格式 11
241 PeacemanRachford格式 12
242 DouglasRachford格式 12
243 MitchellFairweather格式 12
244 交方隐式格式算法步骤 12
3 紧致差分格式分析 13
31 抛物线方程 13
311 抛物线方程种高精度紧致差分方法 13
32 椭圆型方程 13
321维椭圆型方程解法 13
322 二维椭圆型方程解法 14
33双曲型方程 15
331双曲线方程种解法 15
332双曲线方程常见数值解法 16
4实例分析结果分析 17
41 数值算例 17
411 已知精确解热传导问题 17
412 未知精确解热传导问题 18
42 结果分析 18
43 r变化稳定性探究 19
431 PR格式格式稳定性 19
44文研究热传导方程 20
5 总结 25
参考文献 26
1 引言
11 限差分方法简介
重数值离散方法中限差分方法（FDM）研究计算中着广泛运限差分法具计算少格式程序少等长处尤适合偏微分方程似求解限差分法基问题：构造逼微分方程定解问题差分格式研究差分解存唯性收敛性稳定性差分方程解法等创造出差分方法种形式目前采泰勒方法总说阶前差分阶差分二阶中心差分等较常见差分公式年限差分方法发展研究传统差分格式基础学者开始关注高精度限差分格式应高精度格式采放松网格步长求采计算区域较少格点较高精度数值解改进求解效率具十分重理现实意义微分方程数值作求解方程似解法出解离散点似值现求解微分方程数值解法两类类限差分方法类限元法两者基思想基连续问题（微分方程初边值问题）离散化化限形式线性代数方程组求出原问题离散解应数值逼方法求出原问题逼解（连续解）求般步骤：开始求解区域进行网格剖分限网格节点代连续区域然微分方程离散化微分方程定解问题化线性代数方程组求解问题紧微分方程数值解法研究益深入数值分析中发挥着越越重作进行数值解法方面研究着十分重理现实意义
12 紧致差分法研究概况
伴计算物理发展更加方便研究剖析差分问题数值结果精度求越越高普通限差分格式步长精度偏低提高精度缩步长增加更网格点数量肯定增加计算机计算量计算速度变慢计算时间拉长克服计算难题开始寻找计算少精度高差分方法紧致差分方法正种情形应运生1991年lelei总结称型紧致差分格式相传统差分格式相计算网格中紧致差分格式着更高精度分辨率1993年傅德薰紧致差分格式中引入迎风机制1997年提出五格点五阶精度迎风紧致格式紧致差分格式中迎风机制引入够效抑制非物理振荡更适合尺度复杂流场计算称型紧致差分格式迎风型紧致差分格式建立均匀网格基础
121 抛物线方程
偏微分方程描述出现工程问题中许数学模型抛物线问题作偏微分方程中种频繁处理诸扩散渗流热传导等问题中具量应情况偏微分方程找精确解通求解数值解研究问题找高精度计算稳定性数值计算方法具重意义抛物问题限差分法常解决数值问题限差分方法基思想连续解区域分离限点网格然网格定义离散变量差该方程似连续解区域连续变量微分方程原始微分方程转换代数方程组求解方程离散点处原始微分方程数值解众差分方法中紧凑差分格式较少网格基点计算格式精度高传统髙精度格式相紧凑差分格式具许优点例计算量单元敏感易处理边界条件等紧凑差分格式研究高精度格式研究方目前关抛物问题高精度紧致差分方法研究显易见稳定条件度限制显式紧致差分方法难广泛然隐式紧致差分方法具更稳定性求解方程时计算量计算效率低
122椭圆型方程
针般椭圆型方程数值求解目前已量相关文献例六阶精度差分格式五点十阶精度差分格式七点等等推导出高阶导数紧致差分格式时分析格式够正确数值模拟波数范围马延文傅德薰两位学者构造迎风紧致差分格式样做目克服数值解激波附非物理高频振荡难题进步提高精度增加网格节点推导出超紧致差分格式沈孟育蒋莉推导出仅含三点三阶精度紧致差分格式足格式系数推导求解复杂沈孟育等学者紧致差分格式做进步改善继广义紧致差分格式述提称型紧致差分格式者迎风紧致差分格式超紧致差分格式特例田振夫刘明会分提出种求解两点边值问题四阶紧致差分格式金涛等提出种求解两点边值问题高阶隐式格式二维椭圆型方程田振夫利定系数法截断误差余项修正方法构造数值求解二维泊松方程四阶六阶紧致差分格式陈国谦等提出求解流扩散方程四阶指数型格式指数型摄动格式迎风变换方法
123双曲线方程
偏微分方程中线性双曲型方程里物理生物领域非线性现象均类方程描述例流扩散反应扩散间相互作等难找问题身精确解决方案具深远意义通数值方法解决样方程实际应价值年许学者国外已提出求解般线性双曲型方程数值解方法莫汉蒂提出条件稳定维二维三维限差分方法求解线性方程刘等提出狄利克雷诺曼边界条件求解维电报方程条件稳定两层紧致差分格式空间采四次样条方法时间应广义梯形公式丁等求解维二维电报方程提出种条件稳定高精度紧致差分格式
13 文研究容
根前构造格式现文针热传导方程建立传统差分格式pr格式做出数值实验基理查德松外推法构造种数值求解二维热传导方程高阶紧致差分方法．基础建立种紧差分格式该方法首先利时间二阶空间四阶精度紧致交方隐式差分格式网格原方程进行求解然利外推次终二维热传导方程时间四阶空间六阶精度数值解数值实验验证该方法高阶精度效性
2 常见差分格式
21 显式差分格式
现二维抛物线方程构建限差分显式格式
（21）
二维热传导方程
（22）
热传导磁扩散等许领域重应实际导热问题必然涉边值条件限差分法中必须差分化需研究仅差分方程身包括全部部区域边界差分方程组成代数方程组称差分格式
常系数热传导方程古典显式格式首先考虑热传导方程边值问题
离散化
[15]
211 古典显式格式推导
简单显式差分典显式格式现热传导方程导出
式中右边果仅保留二阶导数项代代差分格式
者
（23）
显式格式（四点格式）图（21）示
图21：古典显式格式
格式（23）应维热传导相关方面中古典显式格式：
（23）
通方程组求解层节点值显隐格式区域分解方法显式计算出邻子域交界似值种方法显隐格式区域分解方法综合二者优点助前层数值解信息显格式出—层子问题知道德边界条件整体区域问题化子区域子问题子域采古典隐式求解实现行面计算程出
22 隐式差分格式
显式方法隐式差分格式中包括（n+1）时间层二二结点处未知值（例 ）隐式差分格式显式差分格式求解完全相言隐式差分格式求解时间层包含较计算工作量面差分格式稳定性分析知隐式格式优点稳定性规步长限制放宽正期二维抛物线方程公式开始构建限差分显式格式差分格式热传导方程（21）构成需求解仅差分方程身包括部子区域边界差分方程代数方程称差分格式
221 古典隐式格式推导
现热传导方程推导简单隐式差分逼——古典隐式格式
式中右边果仅保留二阶导数项代代差分格式
者
（24）
格式（23）应维热传导方程古典显式格式：
（32）
显式隐式较：
（1）阶数隐式局部截断误差系数绝值显式
（2）显式计算工作量隐式
（3）隐式稳定范围显式
局部截断误差阶高3式（25） 允许函数意变化情况截断误差二阶方法提高阶必须增加计算函数值次数述式（25）称古典隐式格式
格式图31表示知道截断误差阶述古典差分格式样四点差分格式正图31示
图31：古典隐式格式
求第（n+1）时间层值必须通解线性代数方程组
隐式差分格式必须联合初边值条件求解格式（25）通常称古典隐式格式通直接差分算子代 方：
代入微分方程格式（24）
古典隐式格式方程组矩阵形式：
知道第n层时确定第n+1层点值必须通求解线性代数方程组m1例：
系数矩阵：
23 CrankNicolson隐式格式
CrankNicolson隐式差分格式解热传导方程（21）基差分格式年关抛物方程区域分解算法作行计算种效工具引起学者注意类算法困难样定义边界点值子域选取合理计算解似推导
（26）
两边仅保留前二项代代差分格式
隐差分格式称Cranknicolson差分格式截断误差阶写
（27）
格式（27）中包括六结点称六点格式（图32示）
图32： CrankNicolson隐式格式
代入微分方程CrankNicolson格式解微分方程根CrankNicolson格式方程组：
矩阵表达式：
24 交方隐式格式
交方隐式格式x方显式格式y方隐式格式n + 12层典显式格式计算超出值n + 1层典隐式格式校正预测值获稳定性收敛性相似然仅讨z常系数热传导方程方具相时间步长情况试图进行扩展首先考虑边界点方作显式格式方作隐式格式情况然检查zy方中显式格式情况讨z方时间步骤情况
241 PeacemanRachford格式
考虑二维抛物方程（21）差分该显式格式述稳定性分析认求维情况更加苛刻分析表明尺寸越越需时间步骤更计算工作量ADI格式第n层第n + 1层中PR格式两步骤中进行步骤需求解方程线性系统具三角系数
PR格式
（28）
（29）
中心差算子
PR格式意条件稳定预测PR格式三变量空间问题条件稳定性成立
242 DouglasRachford格式
道格拉斯1956年提出隐式差分格式DouglasRachford格式第次提出DR格式推广三维情形交方隐式格式二维DR格式
（210）
（211）
243 MitchellFairweather格式
MitchellFairweather1964年推导高精度ADI差分格式称MF格式MF格式截断误差达较PR格式DR格式更条件收敛
244 交方隐式格式算法步骤
ADI格式算法步骤类似典明确格式ADI格式隐式格式需通追赶方法解决追赶法求解三角矩阵线性方程组方法适类型矩阵
第步根出初边值条件出t0时
第二步根交方隐式格式中第公式第求出式
采追赶法确定追赶子a1+r2b r2c1+r2d
ba*（d*a）w然根子确定 d *
第三步追赶法第求出
该算法计算似解程文中通具体数值例子说明计算方法体现种格式实性优越性
3 紧致差分格式分析
31 抛物线方程
311 抛物线方程种高精度紧致差分方法
考虑维抛物型方程初边值问题 （31）
定初始条件 （32）
定边界条件 （33）
中 u( xt) 求未知函数v 扩散项系数a( t) b( t) φ( x) 均已知函数．
构造差分格式：
（34）
式构造差分格式通空间方离散程难发现空间具四阶精度． 外文献中研究结果时间方具四阶精度文中构造差分格( 34) 式截断误差O（t^4+h^4）
32 椭圆型方程
321维椭圆型方程解法
针维椭圆型方程首先建立混合型髙精度紧致BCD差分格式格式整体精度四阶然分分析格式截断误差
考虑两点边值问题：
中：均知函数常数．计算求解区间进行N等分计算节点网格步长定义差分算子
（）
第步：uu_{x}赋初值0u边界已知
第二步：通u算出
观察出格式形成代数方程组系数矩阵三角线型文采追赶法进行求解．
第三步：第二步算出值（已知）算出新u部值
边界点知该格式形成代数方程组系数三角线型采追赶法进行计算
第四步：转入第二步计算循环进行直次迭代算出u值次迭代算出u值间误差某种范数事先定收敛准计算终止输出u值章数值实验部分取收敛准范数定义k迭代次数
322 二维椭圆型方程解法
考虑两点边值问题：
边界条件：
中R^2矩形区域边界均已知函数假设具充分光滑性．
（）
第步：赋初值0边界已知
第二步：通算出
观察出格式形成代数方程组系数矩阵三角线型文利追赶法进行求解
第三步：第二步计算出值f（已知）算出新u部值
观察出该格式９点模板该格式采髙斯－赛德尔（Gauss－seider）迭代法进行求解．
第四步：转入第二步计算循环进行直次迭代算出值次迭代算出
值间误差某种范数事先定收敛准计算终止输出值．章数值实验部分取收敛准范数定义迭代次数
33双曲型方程
331双曲线方程种解法
考虑维线性双曲型方程初边值问题：
中常数均已知u（xt）未知
首先通时间二阶导数采中心差分保留截断误差项空间导数项利四阶紧致差分公式采四阶Ｐaｄé紧致差分格式进行逼整理差分格式
中
式求解维线性双曲型方程四阶紧致差分格式格式整体具四阶精度
332双曲线方程常见数值解法
考虑四阶双曲方程初边值问题：
（31）
中已知函数满足定光滑性．
引入中间函数问题(31) 变成形式
（32）
问题(32) 差分格式
（33）
前面推导程知述格式（33）局部截断误差
4实例分析结果分析
41 数值算例
411 已知精确解热传导问题
例1二维Dirichlet边值问题热传导方程
方程精确解
PR（ADI）格式相步长()求解处()解析解间差值列误差表中表示
表41 PR（ADI）格式解例1误差（）
误差
y0
y01
y02
y03
y04
y05
x0
0
0
0
0
0
0
x01
0
886E07
119E06
147E06
644E07
118E06
x02
0
119E06
205E06
219E06
966E07
993E07
x03
0
147E06
219E06
148E06
921E07
337E09
x04
0
644E07
966E07
921E07
86E07
14E06
x05
0
118E06
993E07
337E09
14E06
14E06
x06
0
644E07
966E07
921E07
86E07
14E06
x07
0
147E06
219E06
148E06
921E07
337E09
x08
0
119E06
205E06
219E06
966E07
993E07
x09
0
886E07
119E06
147E06
644E07
118E06
x1
0
0
0
0
0
0
续表41 PR（ADI）格式解例1误差（）
误差
y06
y07
y08
y09
y1
x0
0
0
0
0
0
x01
644E07
147E06
119E06
886E07
0
x02
966E07
219E06
205E06
119E06
0
x03
921E07
148E06
219E06
147E06
0
x04
86E07
921E07
966E07
644E07
0
x05
14E06
337E09
993E07
118E06
0
x06
86E07
921E07
966E07
644E07
0
x07
921E07
148E06
219E06
147E06
0
x08
966E07
219E06
205E06
119E06
0
x09
644E07
147E06
119E06
886E07
0
x1
0
0
0
0
0
412 未知精确解热传导问题
例2二维Dirichlet边值问题热传导方程
采PR格式0变化1时t 关图（）图图41
图41：PR格式解例2变化 关xy图（）
42 结果分析
例1出PR格式精度较高PR格式接解析解例2图41出时间推移温度渐渐边界温度见数值方法定程度反应解情况
43 r变化稳定性探究
431 PR格式格式稳定性
采PR格式解例20变化1时时 关图（）图图42采PR格式解例10变化1时时 数值解解析解间误差（变化）表42
图42：PR格式解例2变化 关图（）
表42 PR格式解例1误差（）
误差
r18
r28
r38
r48
x0y0
0
0
0
0
x01y01
886E07
119E06
0000464
0000489
x02y02
205E06
119E06
0000883
0000928
x03y03
148E06
921E07
0001214
0001275
x04y04
86E07
966E07
0001424
0001497
x05y05
14E06
147E06
0001497
0001574
x06y06
86E07
118E06
0001424
0001497
x07y07
148E06
147E06
0001214
0001275
x08y08
205E06
205E06
0000883
0000928
x09y09
886E07
147E06
0000464
0000489
x10y10
0
0
0
0
续表42 PR格式解例1误差（）
误差
r58
r68
r78
r1
x0y0
0
0
0
0
x01y01
0000464
0000396
0000288
0000152
x02y02
0000883
0000753
0000548
0000288
x03y03
0001214
0001034
0000753
0000396
x04y04
0001424
0001214
0000883
0000464
x05y05
0001497
0001275
0000928
0000489
x06y06
0001424
0001214
0000694
0000464
x07y07
0001214
0001034
0000753
0000396
x08y08
0000883
0000753
0000548
0000288
x09y09
0000464
0000396
0000288
0000152
x10y10
0
0
0
0
图42表42验证PR格式言r取0～1中数该格式稳
定
44文研究热传导方程
考察二维热传导方程初边值问题：
式子中边界求函数f（xyt）源项g已知函数具充分光滑型a热扩散系数者导温系数表示时间步长空间取等距网格步长ｈ表示．文献［６］方程高精度紧致ADI格式
渡变量边界条件精确表示
中表示二阶中心差分算子该格式截断误差
面采Von Neumann分析法格式进行稳定性分析设源项没误差特征项表示：
中I第n时间层波幅放子表示成：
中
容易证明
格式条件稳定
采Richardson外推法解列问题：
选取正整数M计算需达时刻Ｔ令h1MNT四阶紧致格式 写
截断误差：
假设述定解问题解述差分格式解记误差方程：
假设r（xyt）s（xyt）分满足二维热传导方程初边值问题
中
分紧致差分格式
解
记
述定义
中
理
分区域解中
综外推法方程（1）截断误差似值
利文提出方法求解精确解初边值问题初始条件边界条件均精确解出
精确解：
表43列出时网格步长误差Error收敛阶RateCPU时间高精度紧致ADI方法计算结果较．中出高精度紧致ADI格式空间精度达四阶文 Richardson外推法提高计算精度效果非常显著空间达六阶．相网格等分数文格式较文献格式[16]需更CPU 时间文格式需2网格层进行计算Richardson外推文献[16]格式需单层网格进行计算．果限定计算需达精度144e8采文献[16]格式需取h132CPU 时间034s采文方法需取h18误差达396e9CPU 时间仅004s．
表44出该问题时刻文方法误差ErrorCPU 时间收敛阶Rate 文献[17]中结果较．文献[17]采紧致ADI方法进行求解．通出文方法精度明显高文献[17]格式精度．果限定计算需达精度采文方法节约CPU时间．
表43 τh2t0125时刻误差收敛阶CPU时间
h
文献
文方法
CPU
Error
rate
CPU
Error
rate
18
001
352e6
004
396e9
116
006
221e7
400
015
616e11
601
132
034
144e8
393
072
930e13
605
表44 τh2t1时刻误差收敛阶CPU时间
h
文献
文方法
CPU
Error
rate
CPU
Error
rate
110
014
171e5
034
109e9
120
058
122e6
400
128
160e11
601
140
246
790e8
393
572
206e13
605
总结
文讨限差分法紧致差分法系统阐述数值解法介绍限差分法紧致差分方法基思路解题程着重讨种方程紧致差分解法利理计算进行分析方法收敛性稳定性热传导方程作例子编程实现PR格式紧致格式解二维抛物方程
通数值算例程序验证两种格式稳定性条件步长意步长rPR格式稳定文紧致差分方法精度明显文献精度格式更高．果需限制计算精确度采文方法节省CPU时间．
进步确定研究方：
实现差分格式步长适应调整提高计算结果准确性知道准确解情况较准确结果
探究新稳定性计算简单紧致差分格式争取构造更紧致方法进步学限元法限体积法限单元法网格方法等算法
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