探索勾股定理
单选题
1．列四组数勾股数（ ）
A．345 B．567 C．6810 D．94041
2．Rt△ABC中两条直角边长分512斜边长（ ）
A．6 B．7 C．10 D．13
3．图点AB棱长1立方体两顶点该立方体图中示展开展开图中AB两点间距离（ ）
A． B． C． D．
4．图Rt△ABC中∠ACB＝90°Rt△ABC三边边外作正方形面积分S1S2S3S1＝4S3＝16S2＝（ ）
A．20 B．12 C．2 D．2
5．已知面积（ ）
A．6 B．6 C．12 D．12
6．边长1正方形构成网格中位置图示边高（ ）
A． B． C． D．
7．图中DE翻折点A点B重合CE长（ ）
A． B．2 C． D．
8．直角三角形两条直角边扩2倍斜边扩（ ）
A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍
9．图示等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°BA＝BC＝10直线l点B分点AC作直线l垂线垂足分EFAE＝8CF长（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．图直线三正方形正方形边长分57正方形面积（ ）
A．36 B．49 C．74 D．81
11．图网格中正方形边长均1点格点圆心半径画弧交方网格线点长（ ）
A． B．08 C． D．
12．图两半圆直径作直角边正方形边作斜边构成直角三角形已知半圆面积分π3π正方形面积（ ）
A．16π B．32π C．16 D．32
13．图三角形ABC中∠ACB90°AC3BC4点A圆心AC长半径画弧交AB点DBD（ ）
A．25 B．3 C．2 D．35
14．中三半圆面积关系（ ）
A． B． C． D．
15．图中D边点折叠点B恰落线段延长线点E处长（ ）
A． B． C． D．
二填空题
16．列组数：①123②2③030405④94041中勾股数_______（填序号）．
17．已知直角三角形两边长分43斜边长___________．
18．已知直角三角形两直角边分912周长______________．
19．图名滑雪运动员着坡滑道A滑行B已知米名滑雪运动员高度降_______米．
20．中边点折叠点C落边点E处面积__________．
三解答题
21．图正方形网格中正方形边长均1正方形顶点称格点请出5×5正方形网格中格点顶点画出四边形四边形中三边长次．
22．345边长三角形直角三角形称345勾股数组．记（345）类似列勾股数组：（8610）（15817）（241026）等．
（1）根述四组勾股数规律写出第六组勾股数
（2）含（整数）数学等式描述述勾股数组规律证明．
23．图ABC中∠ACB＝90°CD⊥AB点DAC＝12cmBC＝16cm求CD长．
24．图铁路两点相距两村庄已知现铁路建土特产品收购站两村站距离相等站应建距点少千米处？
参考答案
1．B
解：A32+42＝52属勾股数
B52+62≠72属勾股数
C62+82＝102属勾股数
D92+402＝412属勾股数
选：B．
2．D
解：勾股定理斜边长＝
选：D．
3．C
解：图Rt△ABC中AC1BC2
：AB
选：C．
4．B
解：勾股定理AC2AB2BC216412
S2AC212
选：B．
5．A
解：BC直角边时面积
BC斜边时该三角形条直角边长
面积
选：A．
6．D
解：作D图示
∵正方形边长1
∴
∵
∴
解：
选：D．
7．D
解：∵∠ACB90°AC8BC6
∴AB10
∵△ADEDE翻折点A点B重合
∴AEBEADBDAB5
设AExCEACAE8xBEx
Rt△BCE中
∵BE2BC2+CE2
∴x262+（8x）2解x
∴CE
选：D．
8．B
解：设直角三角形三边长分abc：
a2+b2c2
∴
∵直角三角形两条直角边扩2倍
∴设扩三角形边2a2bd：
d
选B．
9．B
解：∵∠ABC＝90°
∴∠ABE+∠CBF＝90°．
∵AE⊥lCF⊥l
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴∠ABE+∠BAE＝90°
∴∠BAE＝∠CBF
△ABE△BCF中
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴AE＝BF＝8
∴
选：B．
10．C
解：根正方形性质出∠EFG∠EGH∠HMG90°EGGH
∵∠FEG+∠EGF90°∠EGF+∠HGM90°
∴∠FEG∠HGM
△EFG△GMH中
∴△EFG≌△GMH（AAS）
∴FGMHGMEF
∵AC边长分57
∴EF252HM272
∴B面积EGEF2+FG2EF2+HM225+4974
选：C．
11．C
解：图连接
勾股定理中
选：C．
12．D
解：设半圆半径R半圆半径r根题意
直角三角形两条直角边：
直角三角形斜边方
正方形面积：32
选：D．
13．C
解：∵AC3BC4
∴AB5
∵点A圆心AC长半径画弧交AB点D
∴ADAC
∴AD3
∴BDABAD532．
选C．
14．B
解：设面积半圆直径应直角三角形三边
∵中
∴
∴
∴．
选：B．
15．C
解：∵∠ACB90°AB13BC12
∴AC5
折叠知：ABAE13BDDE
∴CEAEAC8
∵BCCD+BDCD+DE
∴CDBCDE12DE
∴△CDE中
解：DE
选C．
16．④
解：①1231+23法组成三角形勾股数
②正整数属勾股数
③030405正整数属勾股数
④92+40241294041属勾股数
答案：④．
17．54
解：4直角边时斜边长5
4斜边时斜边长4
答案：54．
18．36
解：∵直角三角形两条直角边分912
∴斜边长15
∴周长9+12+1536．
答案：36．
19．150
解：图中
题意知
∴
∴
∴米
答案：150．
20．
解：折叠性质：
设CDxBD12xDEx
△BDE中
解：x
∴
答案：．
21．见解析．
解：图 连接BC四边形ABCD求作（答案唯）．
22．（1）第六组勾股数（481450）（2）规律： 第n组勾股数（n212nn2+1）证明见详解．
解：（1）第组中间数42×2第二组中间数62×3第三组中间数82×4第四组中间数102×5第五组中间数122×6第六组中间数142×7
两头两数差二设较数x数x+2
（x+2）2x2142
解x48
∴第六组勾股数（481450）
（2）规律：中间数规律2n（n≥2）
设第数 x第三数x+2
解
第n组勾股数（n212nn2+1）
证明：(n21)2+(2n)2n42n2+1+4n2n4+2n2+1
(n2+1)2n4+2n2+1
∴(n21)2+(2n)2 (n2+1)2．
23．96cm
解：∵∠ACB90°AC12cmBC16cm
∴AB20cm
根直角三角形面积公式：
∴．
24．10千米
解：设
∵两村站距离相等
∴．
中勾股定理
中勾股定理
∴
∵
∴
∴
站应建距点A10千米处．
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单选题
1．列四组数勾股数（ ）
A．345 B．567 C．6810 D．94041
2．Rt△ABC中两条直角边长分512斜边长（ ）
A．6 B．7 C．10 D．13
3．图点AB棱长1立方体两顶点该立方体图中示展开展开图中AB两点间距离（ ）
A． B． C． D．
4．图Rt△ABC中∠ACB＝90°Rt△ABC三边边外作正方形面积分S1S2S3S1＝4S3＝16S2＝（ ）
A．20 B．12 C．2 D．2
5．已知面积（ ）
A．6 B．6 C．12 D．12
6．边长1正方形构成网格中位置图示边高（ ）
A． B． C． D．
7．图中DE翻折点A点B重合CE长（ ）
A． B．2 C． D．
8．直角三角形两条直角边扩2倍斜边扩（ ）
A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍
9．图示等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°BA＝BC＝10直线l点B分点AC作直线l垂线垂足分EFAE＝8CF长（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．图直线三正方形正方形边长分57正方形面积（ ）
A．36 B．49 C．74 D．81
11．图网格中正方形边长均1点格点圆心半径画弧交方网格线点长（ ）
A． B．08 C． D．
12．图两半圆直径作直角边正方形边作斜边构成直角三角形已知半圆面积分π3π正方形面积（ ）
A．16π B．32π C．16 D．32
13．图三角形ABC中∠ACB90°AC3BC4点A圆心AC长半径画弧交AB点DBD（ ）
A．25 B．3 C．2 D．35
14．中三半圆面积关系（ ）
A． B． C． D．
15．图中D边点折叠点B恰落线段延长线点E处长（ ）
A． B． C． D．
二填空题
16．列组数：①123②2③030405④94041中勾股数_______（填序号）．
17．已知直角三角形两边长分43斜边长___________．
18．已知直角三角形两直角边分912周长______________．
19．图名滑雪运动员着坡滑道A滑行B已知米名滑雪运动员高度降_______米．
20．中边点折叠点C落边点E处面积__________．
三解答题
21．图正方形网格中正方形边长均1正方形顶点称格点请出5×5正方形网格中格点顶点画出四边形四边形中三边长次．
22．345边长三角形直角三角形称345勾股数组．记（345）类似列勾股数组：（8610）（15817）（241026）等．
（1）根述四组勾股数规律写出第六组勾股数
（2）含（整数）数学等式描述述勾股数组规律证明．
23．图ABC中∠ACB＝90°CD⊥AB点DAC＝12cmBC＝16cm求CD长．
24．图铁路两点相距两村庄已知现铁路建土特产品收购站两村站距离相等站应建距点少千米处？
参考答案
1．B
解：A32+42＝52属勾股数
B52+62≠72属勾股数
C62+82＝102属勾股数
D92+402＝412属勾股数
选：B．
2．D
解：勾股定理斜边长＝
选：D．
3．C
解：图Rt△ABC中AC1BC2
：AB
选：C．
4．B
解：勾股定理AC2AB2BC216412
S2AC212
选：B．
5．A
解：BC直角边时面积
BC斜边时该三角形条直角边长
面积
选：A．
6．D
解：作D图示
∵正方形边长1
∴
∵
∴
解：
选：D．
7．D
解：∵∠ACB90°AC8BC6
∴AB10
∵△ADEDE翻折点A点B重合
∴AEBEADBDAB5
设AExCEACAE8xBEx
Rt△BCE中
∵BE2BC2+CE2
∴x262+（8x）2解x
∴CE
选：D．
8．B
解：设直角三角形三边长分abc：
a2+b2c2
∴
∵直角三角形两条直角边扩2倍
∴设扩三角形边2a2bd：
d
选B．
9．B
解：∵∠ABC＝90°
∴∠ABE+∠CBF＝90°．
∵AE⊥lCF⊥l
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴∠ABE+∠BAE＝90°
∴∠BAE＝∠CBF
△ABE△BCF中
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴AE＝BF＝8
∴
选：B．
10．C
解：根正方形性质出∠EFG∠EGH∠HMG90°EGGH
∵∠FEG+∠EGF90°∠EGF+∠HGM90°
∴∠FEG∠HGM
△EFG△GMH中
∴△EFG≌△GMH（AAS）
∴FGMHGMEF
∵AC边长分57
∴EF252HM272
∴B面积EGEF2+FG2EF2+HM225+4974
选：C．
11．C
解：图连接
勾股定理中
选：C．
12．D
解：设半圆半径R半圆半径r根题意
直角三角形两条直角边：
直角三角形斜边方
正方形面积：32
选：D．
13．C
解：∵AC3BC4
∴AB5
∵点A圆心AC长半径画弧交AB点D
∴ADAC
∴AD3
∴BDABAD532．
选C．
14．B
解：设面积半圆直径应直角三角形三边
∵中
∴
∴
∴．
选：B．
15．C
解：∵∠ACB90°AB13BC12
∴AC5
折叠知：ABAE13BDDE
∴CEAEAC8
∵BCCD+BDCD+DE
∴CDBCDE12DE
∴△CDE中
解：DE
选C．
16．④
解：①1231+23法组成三角形勾股数
②正整数属勾股数
③030405正整数属勾股数
④92+40241294041属勾股数
答案：④．
17．54
解：4直角边时斜边长5
4斜边时斜边长4
答案：54．
18．36
解：∵直角三角形两条直角边分912
∴斜边长15
∴周长9+12+1536．
答案：36．
19．150
解：图中
题意知
∴
∴
∴米
答案：150．
20．
解：折叠性质：
设CDxBD12xDEx
△BDE中
解：x
∴
答案：．
21．见解析．
解：图 连接BC四边形ABCD求作（答案唯）．
22．（1）第六组勾股数（481450）（2）规律： 第n组勾股数（n212nn2+1）证明见详解．
解：（1）第组中间数42×2第二组中间数62×3第三组中间数82×4第四组中间数102×5第五组中间数122×6第六组中间数142×7
两头两数差二设较数x数x+2
（x+2）2x2142
解x48
∴第六组勾股数（481450）
（2）规律：中间数规律2n（n≥2）
设第数 x第三数x+2
解
第n组勾股数（n212nn2+1）
证明：(n21)2+(2n)2n42n2+1+4n2n4+2n2+1
(n2+1)2n4+2n2+1
∴(n21)2+(2n)2 (n2+1)2．
23．96cm
解：∵∠ACB90°AC12cmBC16cm
∴AB20cm
根直角三角形面积公式：
∴．
24．10千米
解：设
∵两村站距离相等
∴．
中勾股定理
中勾股定理
∴
∵
∴
∴
站应建距点A10千米处．
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