第二部分 矩阵
章概述
矩阵线性代数重容研究线性方程组章工具讨矩阵种运算概念性质学考试中占例章考试纲规定第二章占26分左右第三四五六章讨中必须矩阵作工具加试题中必须应矩阵运算解决题目例占50分改版三次考试例表
考试纲占分数
074
077
0710
直接考矩阵章
26分左右
31分
34分
38分
加章中必须矩阵运算占分数
51分
53分
67分
矩阵章重性见般
21 线性方程组矩阵定义
211 线性方程组
n元线性方程组般形式
特称样方程组齐次方程组
称数表该线性方程组系数矩阵
称数表该线性方程组增广矩阵
事实定线性方程组惟确定增广矩阵反定m×(n+1)阶矩阵惟确定增广矩阵n未知数m方程线性方程组
例1 写出面线性方程组系数矩阵增广矩阵
答疑编号12020101
例2 写出面矩阵增广矩阵线性方程组
答疑编号12020102
212 矩阵概念
矩阵定义
定义211 称mn数排成m行n列数表
m×n阶矩阵记矩阵A第i行第j列元素 注意矩阵行列式区
二类特殊矩阵
1元素零矩阵称零矩阵记O
例零矩阵
2A行数m1称
行矩阵称n维行量
A列数n1称列矩阵称m维列量
3矩阵A行数列数n称矩阵An阶方阵简称An阶阵
n未知数n方程线性方程组系数矩阵
4称n阶方阵n阶角阵
特述角阵中
称矩阵数量矩阵
果中λ1述数量阵称n阶单位阵
5()三角阵
称形矩阵()三角矩阵
22 矩阵运算
节介绍
（1）矩阵运算定义特注意矩阵运算意义充分必条件
（2）矩阵运算性质注意矩阵运算数运算性质异重点矩阵运算性质数运算性质差
221 矩阵相等
建立矩阵运算概念先说明什两矩阵相等
定义221果矩阵AＢ阶数相行数列数相称矩阵ＡB型AB型应元素相等称矩阵AB相等记AB
请注意区两矩阵相等两行列式相等
例 然行列式
矩阵
222 矩阵加减法
定义222 设ABm×n阶矩阵(AB型)矩阵AB相加(相减)(差)定义m×n阶矩阵
例1设求A+BAB
答疑编号12020103
例2AB相加(减)说A±B意义
加法运算性质
设ABCm×n阶矩阵Om×n阶零矩阵
1交换律 A+BB+A
2结合律 (A+B)+CA+(B+C)
3负矩阵 意m×n阶矩阵
定义显然A+(A)OABA+(B)
223 数运算
定义223 数λ矩阵A积记作λAAλ定义
例3 设求3A
答疑编号12020104
解
例4 设求3A2B
答疑编号12020105
例5 已知求2A3B
答疑编号12020106
数运算满足：
11·AA
2设kl数A矩阵k(lA)(kl)A
3分配律 k(A+B)Ka+kB(k+l)AkA+lA
例6 已知A+2XB求X
224 矩阵法
先介绍矩阵法定义面介绍什样定义法
定义
定义224 设矩阵(注意A列数B行数)定义AB积m×n阶矩阵中(i12……mj12 …n)
见矩阵AB相充分必条件A列数＝B行数积矩阵CAB行数A行数列数B列数
例
AB相积中
例7设矩阵
答疑编号12020201
问BA意义？
意义第矩阵列数等第二矩阵行数BA意义
例8
(1)设矩阵
(2)
求ABBA
答疑编号12020202
例说明 ABBA然意义两矩阵型然相等
例9设矩阵求ABBA
答疑编号12020203
什样定义法？
考虑线性方程组
设
线性方程组(1)
写成矩阵形式AXb
表明应种方法定义矩阵法意线性方程组写成元次方程axb完全相形式整讨变简单
二性质
（1）法没交换律AB定等BA
（2）结合律 (AB)CA(BC)
（3）分配律 (A+B)CAC+BCA(B+C)AB+AC
（4）数法结合律k(AB)(kA)BA(kB)
（5）单位矩阵作
部分证明请学作
某特殊矩阵（方阵）满足ABBA称法交换例n阶方阵An阶单位阵交换
例10 设矩阵求出A积交换矩阵
答疑编号12020204
225 方阵幂
设A矩阵时意义
An阶方阵时意义时k≥2定义
称Ak次幂
例11 数学纳法证明
答疑编号12020301
（2）
答疑编号12020302
数幂运算列性质：
（1）底幂相指数相加
（2）
（3）
方阵幂列性质：
（1）
数什
n阶方阵定等
根矩阵法方阵幂性质数法公式面变化：
般等
般等
变化原矩阵法没交换律
某特殊矩阵满足ABBA例
n阶方阵An阶单位阵交换
请思考
例12 设求
答疑编号12020303
例13 设求
答疑编号12020304
例14 设
答疑编号12020305
结 矩阵法数法性质区：
(1)矩阵法没交换律引出法公式定等等公式变化
(2)矩阵：两非零矩阵积零矩阵
(3)方阵…
(4)定等
226 矩阵转置
定义
定义225设行列互换矩阵记称A转置显然m×n阶矩阵A转置n×m阶
二性质
1
2
3
现面例
例15 设求问意义意义求积矩阵
答疑编号12020306
解
没意义意义
般ABm×n阶k×m阶n×k阶定意义 意义证明
4(反序律)
三称阵反称阵
定义 设An阶实方阵果满足称A实称(反称)阵
例16 实称阵反称阵
例17 证明意n阶方阵A惟分解称阵反称阵
答疑编号12020307
例18证明设ABn阶称阵证明AB称阵充分必条件ABBA
答疑编号12020308
扩展 改 设ABn阶反称阵 证明AB称阵充分必条件ABBA
227 方阵行列式
阶方阵阶行列式数n≥2矩阵行列式两概念矩阵数表方长方n阶方阵取行列式行列式已仅数表值数
性质
1
2
3
容易出然AB定等BA
例19 证明奇数阶反称阵行列式等零
答疑编号12020309
228 方阵项式
意定项式n阶方阵A
定义
称f(A)A方阵项式
例20 设求f(A)
答疑编号12020310
结
1矩阵种运算定义(包括运算意义充分必条件)
2种运算性质(特数运算性质相点点尤点)
作业 p47 题22 123456789101112
23 方阵逆矩阵
231 逆矩阵定义
定义231 设An阶方阵存n阶方阵B
称A逆矩阵称非奇异阵称
样B存称A逆
定理231 逆矩阵A逆矩阵惟
证 设A逆矩阵
例1 验证A逆
答疑编号12020401
容易出时B逆
例2 逆
答疑编号12020402
解 设逆
232 n阶方阵逆充分必条件
讨n阶方阵逆充分必条件现引入方阵伴矩阵概念
定义 设代数余子式称
A伴矩阵记
面计算
类似
面定理
定理232 n阶方阵A逆充分必条件时
证 充分性已证证必性
设n阶方阵A逆定义知存n阶方阵BABBAE
取行列式必性证
推 设AB均n阶方阵满足ABEAB逆
推意义必验证两积ABBA验证
证 ABEAB逆
ABE 两边左(右)
233 逆矩阵基性质
设AB阶逆矩阵常数k≠0
1逆
2AB逆
3 逆
4kA逆
5消律 设PAB阶逆矩阵PAPBAB
a≠0abacbc
6设An阶逆方阵定义 定义中kl意整数
7设 阶逆方阵
例3 设问abcd满足什条件A逆？时求
答疑编号12020403
例4 判断矩阵
否逆？逆求出逆矩阵
答疑编号12020501
例5 设An阶方阵
答疑编号12020502
例6 设An阶方阵P逆矩阵时A称矩阵
答疑编号12020503
例7 设n阶方阵A满足求逆矩阵
答疑编号12020504
例8 设A三阶 矩阵行列式求行列式值
答疑编号12020505
例9 设n阶方阵A满足证明
答疑编号12020506
例10 设n阶方阵A满足中m正整数求出逆矩阵
答疑编号12020507
例11 设An阶逆阵证明：
（1） （2）
答疑编号12020508
结
1n阶方阵A逆充分必条件
2A伴矩阵定义重公式(1)(2)时
3重结果 n阶方阵AB满足ABEAB逆
4逆矩阵性质(说明求逆运算矩阵运算关系)
24 分块矩阵
241 分块矩阵概念
行数列数较高矩阵A运算方便常采分块法处理 干条横线竖线分成干矩阵矩阵称A子块子块元素形式矩阵称分块矩阵
例1 3×4阶矩阵采方法分块
答疑编号12020601
分成 时记中
分成
称列分块矩阵
例2 面方法分块
答疑编号12020602
记成
中
242 分块矩阵运算
1加减法 型矩阵AB采相分块法
2分块矩阵数
设
3分块矩阵转置
例3
般果
4分块矩阵法
设矩阵A列数B行数果AB适分块
中
谓适分块指保证述出现法意义
例4 设Am×k阶矩阵Bk×n阶矩阵ABm×n阶矩阵矩阵B分成
243 特殊分快矩阵运算
（1）准角矩阵
方阵特殊分块矩阵
形
分块矩阵称分块角阵准角阵中均方阵
（2）两准角（分块角）矩阵积
（3）准角矩阵逆矩阵 均逆阵
逆
例5 求逆矩阵
答疑编号12020603
（4）准（）三角矩阵行列式
证明
例6 设AD意逆矩阵验证
答疑编号12020604
例7 求矩阵逆矩阵
答疑编号12020605
结 分块原保证运算意义
25 矩阵初等变换初等矩阵
251 矩阵初等变换
背景
例1 解线性方程组
解
(2)+(－1)(1)(3)+(－1)(1)(4)+(－2)(1)
(3)+(1)(2)(4)+(1)(2)
(2)+(2)(3)
(1)+(1)(2)+(3)(3)
述解方程程改方程增广增广矩阵方程组解矩阵做相应行变换实现
定义251（线性方程组初等变换）
称列三种变换线性方程组初等变换
（1）两方程互换位置
（2）非零数某方程
（3）方程倍数加方程
显然线性方程组初等变换新方程组原方程组解
事实述解线性方程组程该方程组增广矩阵做相应行变换
二矩阵初等变换定义
定义252 分称列三种变换矩阵第第二第三种行（列）初等变
（1）调矩阵中意两行（列）位置
（2）非零常数矩阵某行（列）
（3）矩阵某行（列）数k加行（列）
行初等变换列初等变换统称初等变换
定义253果矩阵A限次初等变换变成矩阵B称AB等价记A~B
等价具反身性 意矩阵AAA等价
称性 AB等价BA等价
传递性 AB等价BC等价AC等价
定理251 设线性方程组增广矩阵限次初等行变换化增广矩阵方程组解
三矩阵行简形式等价标准形
简单说行初等变换矩阵化成阶梯型进化成行简形初等变换（包括行列）矩阵化成等价标准形
例2 矩阵A作初等行变换中
答疑编号12020801
阶梯形矩阵定义：满足
（1）全零行（）矩阵非零行方
（2）非零行中左边数起第非零元（称元）列指标j着行
指标增加单调严格增加矩阵称阶梯形矩阵（阶梯行）
行简形式
称满足（1）阶梯形（2）行第非零元1（3）第非零元列元素均零矩阵行简形式
例3（1）阶梯形（2）阶梯形
例中矩阵
允许作初等列变换继续
式子A等价标准形般矩阵等价标准形分块角阵
定理252矩阵限次初等行变换化成行简形式限次初等变换（包括行列）化成等价标准形标准形原矩阵惟确定做初等变换关
例4 矩阵化成行简形式标准形
答疑编号12020802
252 初等方阵
定义254 单位阵施行次初等变换矩阵称初等方阵
三阶方阵例
第种：
第二种：
第三种
显然初等阵非奇异阵注意
初等阵逆矩阵类初等阵
初等矩阵初等变换间密切联系
例5
答疑编号12020901
定理253设Am×n阶矩阵
（1） A做次初等行变换相初等变换相应m阶初等矩阵左A
（2） A做次初等列变换相初等变换相应n阶初等矩阵右A
推1 方阵初等变换奇异性变
定理254意m×n阶矩阵A总存m阶逆矩阵Pn阶逆矩阵Q
证 m×n阶矩阵A总限限次初等行变换初等列变换化成标准型初等变换矩阵法关系容易证明定理
推2 n阶逆阵（非奇异阵）必等价单位阵
否等价标准形逆
定理255 n阶方阵A逆充分必条件A表示成干初等阵积
证 充分性显然面证必性
已知An阶逆阵A等价存限n阶初等阵 A表示成限初等矩阵积必性证
推3 意逆阵A（非奇异阵）限次初等行（列）变换化成单位阵
证 A逆存逆阵存限初等阵
A限次初等行变换化成单位阵
253 初等变换法求逆矩阵
意非奇异阵行初等变换化成单位阵
表明A作初等行变换A变成单位矩阵E时单位矩阵做完全相初等变换单位矩阵E变成求逆矩阵初等变换法
写出分块矩阵作初等行变换A化成单位阵时E化成
例6 求方阵逆矩阵
答疑编号12020902
254 初等变换法求解矩阵方程
元次方程标准形 axb（a≠0）
矩阵方程三种标准形
AXBXAB
（3）AXBC解法：第类
作分块矩阵A作初等行变换A变成单位阵时B做样初等行变换
例7求解矩阵方程
答疑编号12021001
解 ：
第二类先转化第类 两边转置
例方法求出进求出X
例8求解矩阵方程
答疑编号12021002
思考 解方程 AXBC
设 YXB方程AYC解出Y进步解方程XBY （时Y已知）
结 节容
1矩阵初等变换定义
2初等矩阵定义性质（1）初等矩阵必逆（2）初等矩阵积逆阵（3）n阶方阵A逆充分必条件A表示成限初等矩阵积
3初等变换性质
（1）定理251 设线性方程组增广矩阵限次初等行变换化增广矩阵方程组解
（2）定理252矩阵限次初等行变换化成行简形式限次初等变换（包括行列）化成等价标准形标准形原矩阵惟确定做初等变换关
（3） 定理253设Am×n阶矩阵
A做次初等行（列）变换相m（n）阶初等变换相应初等矩阵左（右）A
（4）定理254意m×n阶矩阵A总存m阶逆矩阵Pn阶逆矩阵Q
（5）n阶方阵A初等变换改变奇异性
题类型
1熟练掌握行变换矩阵化阶梯形行简形初等变换化成标准形方法
2熟练掌握初等变换法求逆矩阵求解矩阵方程
作业 p69 12（1）（3）（5）3（2）（3）（4）4
26 矩阵秩
先介绍矩阵k阶子式概念
定矩阵
A元素阶子式
定义261 矩阵A高阶非零子式阶数称该矩阵秩记r（A）时记 秩（A）
事实果Ar阶子式等零r+1阶子式等零r（A）
例1求矩阵秩
答疑编号12021101
述求秩方法繁否更简便方法求矩阵秩
例2显然秩等r
例3r（A）2
定理261 初等变换改变矩阵秩
推 设Am×n阶矩阵PQ分mn阶逆矩阵
r（PA）r（A）r（AQ）r（A）r（PAQ）r（A）
例4求矩阵秩
答疑编号12021102
例说明初等变换法求矩阵秩（初等变换化成阶梯形秩等非零行数）
例5求矩阵秩
答疑编号12021103
般果n阶方阵A秩等阶数称该矩阵满秩否称降秩显然n阶方阵A满秩充分必条件A逆（逆阵种说法：逆非异满秩）
结节掌握矩阵秩概念初等变换法求矩阵秩
说明 27容放第四章讲
作业 p75 题26 1（2）（3）（4）3
第二章 总 结
1矩阵运算意义充分必条件矩阵运算定义
2矩阵运算性质特较矩阵运算性质数运算性质相点点特点
3方阵逆充分必条件判断方阵逆方法
4矩阵初等变换初等矩阵概念初等变换法求逆矩阵矩阵方程解
5矩阵秩概念求矩阵秩方法
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章概述
矩阵线性代数重容研究线性方程组章工具讨矩阵种运算概念性质学考试中占例章考试纲规定第二章占26分左右第三四五六章讨中必须矩阵作工具加试题中必须应矩阵运算解决题目例占50分改版三次考试例表
考试纲占分数
074
077
0710
直接考矩阵章
26分左右
31分
34分
38分
加章中必须矩阵运算占分数
51分
53分
67分
矩阵章重性见般
21 线性方程组矩阵定义
211 线性方程组
n元线性方程组般形式
特称样方程组齐次方程组
称数表该线性方程组系数矩阵
称数表该线性方程组增广矩阵
事实定线性方程组惟确定增广矩阵反定m×(n+1)阶矩阵惟确定增广矩阵n未知数m方程线性方程组
例1 写出面线性方程组系数矩阵增广矩阵
答疑编号12020101
例2 写出面矩阵增广矩阵线性方程组
答疑编号12020102
212 矩阵概念
矩阵定义
定义211 称mn数排成m行n列数表
m×n阶矩阵记矩阵A第i行第j列元素 注意矩阵行列式区
二类特殊矩阵
1元素零矩阵称零矩阵记O
例零矩阵
2A行数m1称
行矩阵称n维行量
A列数n1称列矩阵称m维列量
3矩阵A行数列数n称矩阵An阶方阵简称An阶阵
n未知数n方程线性方程组系数矩阵
4称n阶方阵n阶角阵
特述角阵中
称矩阵数量矩阵
果中λ1述数量阵称n阶单位阵
5()三角阵
称形矩阵()三角矩阵
22 矩阵运算
节介绍
（1）矩阵运算定义特注意矩阵运算意义充分必条件
（2）矩阵运算性质注意矩阵运算数运算性质异重点矩阵运算性质数运算性质差
221 矩阵相等
建立矩阵运算概念先说明什两矩阵相等
定义221果矩阵AＢ阶数相行数列数相称矩阵ＡB型AB型应元素相等称矩阵AB相等记AB
请注意区两矩阵相等两行列式相等
例 然行列式
矩阵
222 矩阵加减法
定义222 设ABm×n阶矩阵(AB型)矩阵AB相加(相减)(差)定义m×n阶矩阵
例1设求A+BAB
答疑编号12020103
例2AB相加(减)说A±B意义
加法运算性质
设ABCm×n阶矩阵Om×n阶零矩阵
1交换律 A+BB+A
2结合律 (A+B)+CA+(B+C)
3负矩阵 意m×n阶矩阵
定义显然A+(A)OABA+(B)
223 数运算
定义223 数λ矩阵A积记作λAAλ定义
例3 设求3A
答疑编号12020104
解
例4 设求3A2B
答疑编号12020105
例5 已知求2A3B
答疑编号12020106
数运算满足：
11·AA
2设kl数A矩阵k(lA)(kl)A
3分配律 k(A+B)Ka+kB(k+l)AkA+lA
例6 已知A+2XB求X
224 矩阵法
先介绍矩阵法定义面介绍什样定义法
定义
定义224 设矩阵(注意A列数B行数)定义AB积m×n阶矩阵中(i12……mj12 …n)
见矩阵AB相充分必条件A列数＝B行数积矩阵CAB行数A行数列数B列数
例
AB相积中
例7设矩阵
答疑编号12020201
问BA意义？
意义第矩阵列数等第二矩阵行数BA意义
例8
(1)设矩阵
(2)
求ABBA
答疑编号12020202
例说明 ABBA然意义两矩阵型然相等
例9设矩阵求ABBA
答疑编号12020203
什样定义法？
考虑线性方程组
设
线性方程组(1)
写成矩阵形式AXb
表明应种方法定义矩阵法意线性方程组写成元次方程axb完全相形式整讨变简单
二性质
（1）法没交换律AB定等BA
（2）结合律 (AB)CA(BC)
（3）分配律 (A+B)CAC+BCA(B+C)AB+AC
（4）数法结合律k(AB)(kA)BA(kB)
（5）单位矩阵作
部分证明请学作
某特殊矩阵（方阵）满足ABBA称法交换例n阶方阵An阶单位阵交换
例10 设矩阵求出A积交换矩阵
答疑编号12020204
225 方阵幂
设A矩阵时意义
An阶方阵时意义时k≥2定义
称Ak次幂
例11 数学纳法证明
答疑编号12020301
（2）
答疑编号12020302
数幂运算列性质：
（1）底幂相指数相加
（2）
（3）
方阵幂列性质：
（1）
数什
n阶方阵定等
根矩阵法方阵幂性质数法公式面变化：
般等
般等
变化原矩阵法没交换律
某特殊矩阵满足ABBA例
n阶方阵An阶单位阵交换
请思考
例12 设求
答疑编号12020303
例13 设求
答疑编号12020304
例14 设
答疑编号12020305
结 矩阵法数法性质区：
(1)矩阵法没交换律引出法公式定等等公式变化
(2)矩阵：两非零矩阵积零矩阵
(3)方阵…
(4)定等
226 矩阵转置
定义
定义225设行列互换矩阵记称A转置显然m×n阶矩阵A转置n×m阶
二性质
1
2
3
现面例
例15 设求问意义意义求积矩阵
答疑编号12020306
解
没意义意义
般ABm×n阶k×m阶n×k阶定意义 意义证明
4(反序律)
三称阵反称阵
定义 设An阶实方阵果满足称A实称(反称)阵
例16 实称阵反称阵
例17 证明意n阶方阵A惟分解称阵反称阵
答疑编号12020307
例18证明设ABn阶称阵证明AB称阵充分必条件ABBA
答疑编号12020308
扩展 改 设ABn阶反称阵 证明AB称阵充分必条件ABBA
227 方阵行列式
阶方阵阶行列式数n≥2矩阵行列式两概念矩阵数表方长方n阶方阵取行列式行列式已仅数表值数
性质
1
2
3
容易出然AB定等BA
例19 证明奇数阶反称阵行列式等零
答疑编号12020309
228 方阵项式
意定项式n阶方阵A
定义
称f(A)A方阵项式
例20 设求f(A)
答疑编号12020310
结
1矩阵种运算定义(包括运算意义充分必条件)
2种运算性质(特数运算性质相点点尤点)
作业 p47 题22 123456789101112
23 方阵逆矩阵
231 逆矩阵定义
定义231 设An阶方阵存n阶方阵B
称A逆矩阵称非奇异阵称
样B存称A逆
定理231 逆矩阵A逆矩阵惟
证 设A逆矩阵
例1 验证A逆
答疑编号12020401
容易出时B逆
例2 逆
答疑编号12020402
解 设逆
232 n阶方阵逆充分必条件
讨n阶方阵逆充分必条件现引入方阵伴矩阵概念
定义 设代数余子式称
A伴矩阵记
面计算
类似
面定理
定理232 n阶方阵A逆充分必条件时
证 充分性已证证必性
设n阶方阵A逆定义知存n阶方阵BABBAE
取行列式必性证
推 设AB均n阶方阵满足ABEAB逆
推意义必验证两积ABBA验证
证 ABEAB逆
ABE 两边左(右)
233 逆矩阵基性质
设AB阶逆矩阵常数k≠0
1逆
2AB逆
3 逆
4kA逆
5消律 设PAB阶逆矩阵PAPBAB
a≠0abacbc
6设An阶逆方阵定义 定义中kl意整数
7设 阶逆方阵
例3 设问abcd满足什条件A逆？时求
答疑编号12020403
例4 判断矩阵
否逆？逆求出逆矩阵
答疑编号12020501
例5 设An阶方阵
答疑编号12020502
例6 设An阶方阵P逆矩阵时A称矩阵
答疑编号12020503
例7 设n阶方阵A满足求逆矩阵
答疑编号12020504
例8 设A三阶 矩阵行列式求行列式值
答疑编号12020505
例9 设n阶方阵A满足证明
答疑编号12020506
例10 设n阶方阵A满足中m正整数求出逆矩阵
答疑编号12020507
例11 设An阶逆阵证明：
（1） （2）
答疑编号12020508
结
1n阶方阵A逆充分必条件
2A伴矩阵定义重公式(1)(2)时
3重结果 n阶方阵AB满足ABEAB逆
4逆矩阵性质(说明求逆运算矩阵运算关系)
24 分块矩阵
241 分块矩阵概念
行数列数较高矩阵A运算方便常采分块法处理 干条横线竖线分成干矩阵矩阵称A子块子块元素形式矩阵称分块矩阵
例1 3×4阶矩阵采方法分块
答疑编号12020601
分成 时记中
分成
称列分块矩阵
例2 面方法分块
答疑编号12020602
记成
中
242 分块矩阵运算
1加减法 型矩阵AB采相分块法
2分块矩阵数
设
3分块矩阵转置
例3
般果
4分块矩阵法
设矩阵A列数B行数果AB适分块
中
谓适分块指保证述出现法意义
例4 设Am×k阶矩阵Bk×n阶矩阵ABm×n阶矩阵矩阵B分成
243 特殊分快矩阵运算
（1）准角矩阵
方阵特殊分块矩阵
形
分块矩阵称分块角阵准角阵中均方阵
（2）两准角（分块角）矩阵积
（3）准角矩阵逆矩阵 均逆阵
逆
例5 求逆矩阵
答疑编号12020603
（4）准（）三角矩阵行列式
证明
例6 设AD意逆矩阵验证
答疑编号12020604
例7 求矩阵逆矩阵
答疑编号12020605
结 分块原保证运算意义
25 矩阵初等变换初等矩阵
251 矩阵初等变换
背景
例1 解线性方程组
解
(2)+(－1)(1)(3)+(－1)(1)(4)+(－2)(1)
(3)+(1)(2)(4)+(1)(2)
(2)+(2)(3)
(1)+(1)(2)+(3)(3)
述解方程程改方程增广增广矩阵方程组解矩阵做相应行变换实现
定义251（线性方程组初等变换）
称列三种变换线性方程组初等变换
（1）两方程互换位置
（2）非零数某方程
（3）方程倍数加方程
显然线性方程组初等变换新方程组原方程组解
事实述解线性方程组程该方程组增广矩阵做相应行变换
二矩阵初等变换定义
定义252 分称列三种变换矩阵第第二第三种行（列）初等变
（1）调矩阵中意两行（列）位置
（2）非零常数矩阵某行（列）
（3）矩阵某行（列）数k加行（列）
行初等变换列初等变换统称初等变换
定义253果矩阵A限次初等变换变成矩阵B称AB等价记A~B
等价具反身性 意矩阵AAA等价
称性 AB等价BA等价
传递性 AB等价BC等价AC等价
定理251 设线性方程组增广矩阵限次初等行变换化增广矩阵方程组解
三矩阵行简形式等价标准形
简单说行初等变换矩阵化成阶梯型进化成行简形初等变换（包括行列）矩阵化成等价标准形
例2 矩阵A作初等行变换中
答疑编号12020801
阶梯形矩阵定义：满足
（1）全零行（）矩阵非零行方
（2）非零行中左边数起第非零元（称元）列指标j着行
指标增加单调严格增加矩阵称阶梯形矩阵（阶梯行）
行简形式
称满足（1）阶梯形（2）行第非零元1（3）第非零元列元素均零矩阵行简形式
例3（1）阶梯形（2）阶梯形
例中矩阵
允许作初等列变换继续
式子A等价标准形般矩阵等价标准形分块角阵
定理252矩阵限次初等行变换化成行简形式限次初等变换（包括行列）化成等价标准形标准形原矩阵惟确定做初等变换关
例4 矩阵化成行简形式标准形
答疑编号12020802
252 初等方阵
定义254 单位阵施行次初等变换矩阵称初等方阵
三阶方阵例
第种：
第二种：
第三种
显然初等阵非奇异阵注意
初等阵逆矩阵类初等阵
初等矩阵初等变换间密切联系
例5
答疑编号12020901
定理253设Am×n阶矩阵
（1） A做次初等行变换相初等变换相应m阶初等矩阵左A
（2） A做次初等列变换相初等变换相应n阶初等矩阵右A
推1 方阵初等变换奇异性变
定理254意m×n阶矩阵A总存m阶逆矩阵Pn阶逆矩阵Q
证 m×n阶矩阵A总限限次初等行变换初等列变换化成标准型初等变换矩阵法关系容易证明定理
推2 n阶逆阵（非奇异阵）必等价单位阵
否等价标准形逆
定理255 n阶方阵A逆充分必条件A表示成干初等阵积
证 充分性显然面证必性
已知An阶逆阵A等价存限n阶初等阵 A表示成限初等矩阵积必性证
推3 意逆阵A（非奇异阵）限次初等行（列）变换化成单位阵
证 A逆存逆阵存限初等阵
A限次初等行变换化成单位阵
253 初等变换法求逆矩阵
意非奇异阵行初等变换化成单位阵
表明A作初等行变换A变成单位矩阵E时单位矩阵做完全相初等变换单位矩阵E变成求逆矩阵初等变换法
写出分块矩阵作初等行变换A化成单位阵时E化成
例6 求方阵逆矩阵
答疑编号12020902
254 初等变换法求解矩阵方程
元次方程标准形 axb（a≠0）
矩阵方程三种标准形
AXBXAB
（3）AXBC解法：第类
作分块矩阵A作初等行变换A变成单位阵时B做样初等行变换
例7求解矩阵方程
答疑编号12021001
解 ：
第二类先转化第类 两边转置
例方法求出进求出X
例8求解矩阵方程
答疑编号12021002
思考 解方程 AXBC
设 YXB方程AYC解出Y进步解方程XBY （时Y已知）
结 节容
1矩阵初等变换定义
2初等矩阵定义性质（1）初等矩阵必逆（2）初等矩阵积逆阵（3）n阶方阵A逆充分必条件A表示成限初等矩阵积
3初等变换性质
（1）定理251 设线性方程组增广矩阵限次初等行变换化增广矩阵方程组解
（2）定理252矩阵限次初等行变换化成行简形式限次初等变换（包括行列）化成等价标准形标准形原矩阵惟确定做初等变换关
（3） 定理253设Am×n阶矩阵
A做次初等行（列）变换相m（n）阶初等变换相应初等矩阵左（右）A
（4）定理254意m×n阶矩阵A总存m阶逆矩阵Pn阶逆矩阵Q
（5）n阶方阵A初等变换改变奇异性
题类型
1熟练掌握行变换矩阵化阶梯形行简形初等变换化成标准形方法
2熟练掌握初等变换法求逆矩阵求解矩阵方程
作业 p69 12（1）（3）（5）3（2）（3）（4）4
26 矩阵秩
先介绍矩阵k阶子式概念
定矩阵
A元素阶子式
定义261 矩阵A高阶非零子式阶数称该矩阵秩记r（A）时记 秩（A）
事实果Ar阶子式等零r+1阶子式等零r（A）
例1求矩阵秩
答疑编号12021101
述求秩方法繁否更简便方法求矩阵秩
例2显然秩等r
例3r（A）2
定理261 初等变换改变矩阵秩
推 设Am×n阶矩阵PQ分mn阶逆矩阵
r（PA）r（A）r（AQ）r（A）r（PAQ）r（A）
例4求矩阵秩
答疑编号12021102
例说明初等变换法求矩阵秩（初等变换化成阶梯形秩等非零行数）
例5求矩阵秩
答疑编号12021103
般果n阶方阵A秩等阶数称该矩阵满秩否称降秩显然n阶方阵A满秩充分必条件A逆（逆阵种说法：逆非异满秩）
结节掌握矩阵秩概念初等变换法求矩阵秩
说明 27容放第四章讲
作业 p75 题26 1（2）（3）（4）3
第二章 总 结
1矩阵运算意义充分必条件矩阵运算定义
2矩阵运算性质特较矩阵运算性质数运算性质相点点特点
3方阵逆充分必条件判断方阵逆方法
4矩阵初等变换初等矩阵概念初等变换法求逆矩阵矩阵方程解
5矩阵秩概念求矩阵秩方法
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