第三章维定态问题
31）设粒子处二维限深势阱中
求粒子量征值征波函数 级简度？
解：量征值征函数
时级简级般二度简（偶然简情况）
32）设粒子限制矩形匣子中运动
求粒子量征值征波函数讨级简度
解：量征值征波函数
时
时级简
三者中二者相等第三者等时级般三重简
三者皆相等时级般6度简
33）设粒子处维限深方势阱中
证明处定态粒子
讨情况典力学计算结果相较
证：设粒子处第n征态征函数
（1）
（2）
典情况区间粒子阱壁碰撞（设碰撞时间计弹性碰撞粒子碰撞仅运动方改变动速度变）外回作匀速运动粒子处范围率
（3）
（4）
时量子力学结果典力学结果致
34）设粒子处维限深方势阱中
处基态求粒子动量分布
解：基态波函数 （参P57（12））
动量率分布
35）设粒子处半壁高势场中
（1）
求粒子量征值求少存条束缚级体积
解：分区域写出
（2）
中 （3）
方程解 （4）
根波函数限性求时限
时
（5）
处波函数级导数连续
（6）
两方程相 （7）
（7’）
令 （8）
（7）（3）两方程：
（10）式半径圆束缚态说
结合（3）（8）式知零（10）式表达圆曲线第象限交点决定束缚态级
（11）
时少存束缚态级粒子质量位阱深度宽度限制
3—6）求称势阱中粒子量征值
解：仅讨分立级情况
时
处连续条件
（1）
（1a） （2）
皆正值（1b）知二四象限角
（3）
（1）余切函数周期(2)式
(4)
(3) (5)
结合(4)(5)
（6）
般言定值解相级：
（7）
时仅
束缚态 定时仅 （8）
时束缚态（值少总级）
定时(7)式求出级（级话）相应波函数
中
3—7）设粒子（量）左入射碰列势阱（图）求阱壁处反射系数
解：势阱
区域Ⅰ入射波反射波区域Ⅱ仅透射波
二式消c
反射系数
代入运算
3—8）利Hermite项式递推关系（附录A3式（11））证明
谐振子波函数满足列关系
证明态
证：谐振子波函数 （1）
中化常数 （2）
递推关系 （3）
3—9）利Hermite项式求导公式证明（参A3式（12））
证：A3式（12）：
3—10）谐振子处态计算
解：题3—6）
题3—7）
基态刚测准关系规定限
3—11）荷电q谐振子受外电场作
（1）
求量征值征函数
解： （2）
征函数
征值
现征值记症函数记
式（1）势项写成
中 （3）
作坐标移令 （4）
（5）
表成 （6）
（6）式中（2）式中相较易见差变量换成添加常数项知
（7）
（8）
（9）
(10)
中 (11)
3—12）设粒子列势阱中运动
求粒子级
解：然粒子穿入区域应Seq征函数必须处零方面区域征函数谐振子征函数相（区域粒子谐振子完全样粒子波函数谐振子波函数满足样Seq）振子具奇宇称波函数处零波函数问题解（偶宇称波函数满足边条件）
3—13）设粒子列势阱中运动
(1)
否存束缚定态？求存束缚定态条件
解：Seq (2)
束缚态（）令 (3)
(4)
积分跃变条件
(5)
处方程(4)化
(6)
边条件
(7)
根点连续条件跃变条件(5)分
(8)
(9)
（8）（9）（（9）式利（8）式）
(10)
确定级公式列分析少存条束缚态级条件
势阱出现第条级时
利
（10）式化
少存条束缚态级条件 （11）
纯势阱中存唯束缚级侧存限高势垒时排斥作（表现）束缚态存否受影响纯势阱特征长度
条件（11）改写 （12）
求限高势垒离开势阱较远（）保证势阱中束缚态存显然（）时左侧限高势垒影响完全忽略时式（10）出
（13）
势阱结完全相
令 式（10）化
（14）
时式（10）（14）解解出根利求出级
（15）
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31）设粒子处二维限深势阱中
求粒子量征值征波函数 级简度？
解：量征值征函数
时级简级般二度简（偶然简情况）
32）设粒子限制矩形匣子中运动
求粒子量征值征波函数讨级简度
解：量征值征波函数
时
时级简
三者中二者相等第三者等时级般三重简
三者皆相等时级般6度简
33）设粒子处维限深方势阱中
证明处定态粒子
讨情况典力学计算结果相较
证：设粒子处第n征态征函数
（1）
（2）
典情况区间粒子阱壁碰撞（设碰撞时间计弹性碰撞粒子碰撞仅运动方改变动速度变）外回作匀速运动粒子处范围率
（3）
（4）
时量子力学结果典力学结果致
34）设粒子处维限深方势阱中
处基态求粒子动量分布
解：基态波函数 （参P57（12））
动量率分布
35）设粒子处半壁高势场中
（1）
求粒子量征值求少存条束缚级体积
解：分区域写出
（2）
中 （3）
方程解 （4）
根波函数限性求时限
时
（5）
处波函数级导数连续
（6）
两方程相 （7）
（7’）
令 （8）
（7）（3）两方程：
（10）式半径圆束缚态说
结合（3）（8）式知零（10）式表达圆曲线第象限交点决定束缚态级
（11）
时少存束缚态级粒子质量位阱深度宽度限制
3—6）求称势阱中粒子量征值
解：仅讨分立级情况
时
处连续条件
（1）
（1a） （2）
皆正值（1b）知二四象限角
（3）
（1）余切函数周期(2)式
(4)
(3) (5)
结合(4)(5)
（6）
般言定值解相级：
（7）
时仅
束缚态 定时仅 （8）
时束缚态（值少总级）
定时(7)式求出级（级话）相应波函数
中
3—7）设粒子（量）左入射碰列势阱（图）求阱壁处反射系数
解：势阱
区域Ⅰ入射波反射波区域Ⅱ仅透射波
二式消c
反射系数
代入运算
3—8）利Hermite项式递推关系（附录A3式（11））证明
谐振子波函数满足列关系
证明态
证：谐振子波函数 （1）
中化常数 （2）
递推关系 （3）
3—9）利Hermite项式求导公式证明（参A3式（12））
证：A3式（12）：
3—10）谐振子处态计算
解：题3—6）
题3—7）
基态刚测准关系规定限
3—11）荷电q谐振子受外电场作
（1）
求量征值征函数
解： （2）
征函数
征值
现征值记症函数记
式（1）势项写成
中 （3）
作坐标移令 （4）
（5）
表成 （6）
（6）式中（2）式中相较易见差变量换成添加常数项知
（7）
（8）
（9）
(10)
中 (11)
3—12）设粒子列势阱中运动
求粒子级
解：然粒子穿入区域应Seq征函数必须处零方面区域征函数谐振子征函数相（区域粒子谐振子完全样粒子波函数谐振子波函数满足样Seq）振子具奇宇称波函数处零波函数问题解（偶宇称波函数满足边条件）
3—13）设粒子列势阱中运动
(1)
否存束缚定态？求存束缚定态条件
解：Seq (2)
束缚态（）令 (3)
(4)
积分跃变条件
(5)
处方程(4)化
(6)
边条件
(7)
根点连续条件跃变条件(5)分
(8)
(9)
（8）（9）（（9）式利（8）式）
(10)
确定级公式列分析少存条束缚态级条件
势阱出现第条级时
利
（10）式化
少存条束缚态级条件 （11）
纯势阱中存唯束缚级侧存限高势垒时排斥作（表现）束缚态存否受影响纯势阱特征长度
条件（11）改写 （12）
求限高势垒离开势阱较远（）保证势阱中束缚态存显然（）时左侧限高势垒影响完全忽略时式（10）出
（13）
势阱结完全相
令 式（10）化
（14）
时式（10）（14）解解出根利求出级
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