配方法
配方法数学式子进行种定变形（配成完全方）技巧通配方找已知未知联系化繁简时配方需适预测合理运裂项添项配凑技巧完成配方时称凑配法
常见配方进行恒等变形数学式子出现完全方适：已知者未知中含二次方程二次等式二次函数二次代数式讨求解者缺xy项二次曲线移变换等问题
配方法基配方二项完全方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b公式灵活运种基配方形式：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合数学知识性质相应外配方形式：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 …… 等等
Ⅰ现性题组：
1 正项等数列{a}中asa+2asa+aa25 a＋a＝_______
2 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆充条件_____
A1 C k∈R D k＝k＝1
3 已知sinα＋cosα＝1sinα＋cosα值______
A 1 B －1 C 1－1 D 0
4 函数y＝log (－2x＋5x＋3)单调递增区间_____
A （－∞ ] B [+∞) C (－] D [3)
5 已知方程x+(a2)x+a10两根xx点P(xx)圆x+y4实数a＝_____
简解 1题：利等数列性质aa＝a已知等式左边配方（a＋a）易求答案：5
2题：配方成圆标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r解r>0选B
3题：已知等式配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1求出sinαcosα然求出求式方值开方求解选C
4题：配方称轴结合定义域数函数复合函数单调性求解选D
5题：答案3－
Ⅱ示范性题组：
例1 已知长方体全面积1112条棱长度24长方体条角线长_____
A 2 B C 5 D 6
分析 先转换数学表达式：设长方体长宽高分xyz 欲求角线长配凑成两已知式组合形式
解设长方体长宽高分xyz已知长方体全面积1112条棱长度24：
长方体求角线长：＝＝＝5选B
注题解答关键两已知未知转换三数学表示式观察分析三数学式容易发现配方法三数学式进行联系联系已知未知求解配方法种解题模式
例2 设方程x＋kx＋20两实根pq()+()≤7成立求实数k取值范围
解方程x＋kx＋20两实根pq韦达定理：p＋q＝－kpq＝2
()+()＝＝＝＝≤7 解k≤－k≥
∵pq方程x＋kx＋20两实根 ∴ △＝k－8≥0k≥2k≤－2
综合起k取值范围：－≤k≤－ 者 ≤k≤
注 关实系数元二次方程问题总先考虑根判式Δ已知方程两根时恰运韦达定理题韦达定理p＋qpq观察已知等式结构特征联想先通分配方表示成p＋qpq组合式假题△讨结果出错题目结果相掉△讨解答严密完整点尤注意重视
例3 设非零复数ab满足a＋ab＋b0求()＋()
分析 已知式联想：变形()＋()＋1＝0＝ω （ω1立方虚根）配方(a＋b)＝ab 代入求式
解a＋ab＋b0变形：()＋()＋1＝0
设ω＝ω＋ω＋1＝0知ω1立方虚根：＝ω＝＝1
a＋ab＋b0变形：(a＋b)＝ab
()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2
注 题通配方简化求表达式巧1立方虚根活ω性质计算表达式中高次幂系列变换程较灵活性求善联想展开
解a＋ab＋b＝0变形：()＋()＋1＝0 解出＝化成三角形式代入求表达式变形式()＋()完成面运算方法未联想ω时进行解题
假题没想系列变换程时a＋ab＋b＝0解出：a＝b直接代入求表达式进行分式化简化成复数三角形式利棣莫佛定理完成计算
二换元法
解数学题时某式子成整体变量代问题简化换元法换元实质转化关键构造元设元理等量代换目变换研究象问题移新象知识背景中研究非标准型问题标准化复杂问题简单化变容易处理
换元法称辅助元素法变量代换法通引进新变量分散条件联系起隐含条件显露出者条件结联系起者变熟悉形式复杂计算推证简化
化高次低次化分式整式化理式理式化超越式代数式研究方程等式函数数列三角等问题中广泛应
换元方法：局部换元三角换元均值换元等局部换元称整体换元已知者未知中某代数式次出现字母代简化问题然时候通变形发现例解等式：4＋2－2≥0先变形设2＝t（t>0）变熟悉元二次等式求解指数方程问题
三角换元应根号者变换三角形式易求时利已知代数式中三角知识中某点联系进行换元求函数y＝＋值域时易发现x∈[01]设x＝sinα α∈[0]问题变成熟悉求三角函数值域什会想设中应该发现值域联系根号需变量xy适合条件x＋y＝r（r>0）时作三角代换x＝rcosθy＝rsinθ化三角问题
均值换元遇x＋y＝S形式时设x＝＋ty＝－t等等
换元法时遵循利运算利标准化原换元注重新变量范围选取定新变量范围应原变量取值范围缩扩例中t>0α∈[0]
Ⅰ现性题组：
1y＝sinx·cosx＋sinx+cosx值_________
2设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1）f(x)值域_______________
3已知数列{a}中a＝－1a·a＝a－a数列通项a＝___________
4设实数xy满足x＋2xy－1＝0x＋y取值范围___________
5方程＝3解_______________
6等式log(2－1) ·log(2－2)〈2解集_______________
简解1题：设sinx+cosx＝t∈[－]y＝＋t－称轴t＝－1t＝y＝＋
2题：设x＋1＝t (t≥1)f(t)＝log[(t1)＋4]值域(－∞log4]
3题：已知变形－＝－1设b＝b＝－1b＝－1＋(n－1)(1)＝－na＝－
4题：设x＋y＝kx－2kx＋1＝0 △＝4k－4≥0k≥1k≤－1
5题：设3＝y3y＋2y－1＝0解y＝x＝－1
6题：设log(2－1)＝yy(y＋1)<2解－2Ⅱ示范性题组：
例1 实数xy满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） 设S＝x＋y求＋值
分析 S＝x＋y联想cosα＋sinα＝1进行三角换元设代入①式求SS值
解设代入①式： 4S－5S·sinαcosα＝5 解 S＝
∵ 1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
种解法面求S值值sin2α＝界性求解等式：||≤1种方法求函数值域时常界法
解 S＝x＋y设x＝＋ty＝－tt∈[－]
xy＝±代入①式：4S±55
移项方整理 100t+39S－160S＋100＝0
∴ 39S－160S＋100≤0 解：≤S≤∴ ＋＝＋＝＝
注 题第种解法属三角换元法利已知条件S＝x＋y三角公式cosα＋sinα＝1联系联想发现三角换元代数问题转化三角函数值域问题第二种解法属均值换元法等式S＝x＋y均值换元思路设x＝＋ty＝－t减少元数问题容易求解外求值域种方法：界法等式性质法分离参数法
均值换元法类似种换元法题中两变量xy时设x＝a＋by＝a－b称差换元法换元简化代数式题设x＝a＋by＝a－b代入①式整理3a＋13b＝5 求a∈[0]S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[]求＋值
例2． △ABC三角ABC满足：A＋C＝2B＋＝－求cos值
分析 已知A＋C＝2B三角形角等180°性质 A＋C＝120°进行均值换元设 代入求cosαcos
解△ABC中已知A＋C＝2B
A＋C＝120°设代入已知等式：
＋＝＋＝＋＝＝＝－2
解：cosα＝ ：cos＝
解A＋C＝2BA＋C＝120°B＝60°＋＝－＝－2设＝－＋m＝－－m cosA＝cosC＝两式分相加相减：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝
：sin＝－＝－代入sin＋cos＝1整理：3m－16m－12＝0解出m＝6代入cos＝＝
注 题两种解法A＋C＝120°＋＝－2分进行均值换元结合三角形角关系三角公式进行运算已知想均值换元外求三角公式运相熟练假未想进行均值换元三角运算直接解出：A＋C＝2BA＋C＝120°B＝60°＋＝－＝－2cosA＋cosC＝－2cosAcosC积互化：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(AC)cos＝－cos(AC)＝－(2cos－1)整理：4cos＋2cos－3＝0解：cos＝
y
－ x
例3 设a>0求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a值值
解 设sinx＋cosx＝tt∈[](sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0）t∈[]
t＝时取值：－2a－2a－
2a≥时t＝取值：－2a＋2a－
0<2a≤时t＝2a取值：
∴ f(x)值－2a－2a－值
注 题属局部换元法设sinx＋cosx＝t抓住sinx＋cosxsinx·cosx联系三角函数值域问题转化二次函数闭区间值域问题容易求解换元程中定注意新参数范围（t∈[]）sinx＋cosx应否会出错题解法中包含含参问题时分类讨数学思想方法称轴闭区间位置关系确定参数分两种情况进行讨
般遇题目已知未知中含sinxcosx差积等求三角式值值题型时函数f(sinx±cosxsinxcsox)常样设元换元法转化闭区间二次函数次函数研究
例4 设实数x等式xlog＋2x log＋log>0恒成立求a取值范围
分析等式中log loglog三项联系？进行数式关变形难发现实施换元法
解 设log＝tlog＝log＝3＋log＝3－log＝3－tlog＝2log＝－2t代入原等式简化（3－t）x＋2tx－2t>0切实数x恒成立解 ∴ t<0log<00<<1解0注应局部换元法起化繁简化难易作什会想换元设元关键发现已知等式中log loglog三项间联系解决等式恒成立问题时判式法外题求数运算十分熟练般解指数数等式方程局部换元法换元时已知条件进行适变形发现联系实施换元思考解法时注意点
例5 已知＝＋＝ (②式)求值
解 设＝＝ksinθ＝kxcosθ＝kysinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1代入②式： ＋＝＝ ：＋＝
设＝tt＋＝ 解：t＝3 ∴＝±±
解 ＝＝tgθ等式②两边时表示成含tgθ式子：1＋tgθ＝＝tgθ设tgθ＝t3t—10t＋3＝0
∴t＝3 解＝±±
注 第种解法＝进行等量代换进行换元减少变量数第二种解法已知变形＝难发现进行结果tgθ进行换元变形两种解法求代数变形较熟练解高次方程时换元法方程次数降低
例6 实数xy满足＋＝1x＋y－k>0恒成立求k范围
分析已知条件＋＝1发现a＋b＝1相似处实施三角换元
解＋＝1设＝cosθ＝sinθ
代入等式x＋y－k>03cosθ＋4sinθ－k>0k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) k<5时等式恒成立
注题进行三角换元代数问题（者解析问题）化含参三角等式恒成立问题运分离参数法转化三角函数值域问题求出参数范围般遇圆椭圆双曲线方程相似代数式时者解决圆椭圆双曲线等关问题时常三角换元法
题种解题思路数形结合法思想方法：面直角坐标系等式ax＋by＋c>0 (a>0)表示区域直线ax＋by＋c＝0分面成两部分中含x轴正方部分题等式恒成立问题化图形问题：椭圆点始终位面x＋y－k>0区域直线x＋y－k＝0椭圆部相切切线时直线椭圆相切时方程组相等组实数解消元△＝0求k＝－3k<3时原等式恒成立
y
x
x＋y－k>0
k 面区域
三定系数法
确定变量间函数关系设出某未知系数然根条件确定未知系数方法定系数法理项式恒等利项式f(x)g(x)充条件：意a值f(a)g(a)者两项式类项系数应相等
定系数法解题关键已知正确列出等式方程定系数法具某种确定形式数学问题通引入定系数转化方程组解决判断问题否定系数法求解求解数学问题否具某种确定数学表达式果具定系数法求解例分解式拆分分式数列求求函数式求复数解析中求曲线方程等问题具确定数学表达形式定系数法求解
定系数法解题基步骤：
第步确定求问题含定系数解析式
第二步根恒等条件列出组含定系数方程
第三步解方程组者消定系数问题解决
列出组含定系数方程方面着手分析：
① 利应系数相等列方程
② 恒等概念数值代入法列方程
③ 利定义身属性列方程
④ 利条件列方程
求圆锥曲线方程时定系数法求方程：首先设求方程形式中含定系数条件转化含求方程未知系数方程方程组解方程方程组求出未知系数求出系数代入已明确方程形式求圆锥曲线方程
Ⅰ现性题组：
1设f(x)＝＋mf(x)反函数f(x)＝nx－5mn值次_____
A －2 B － 2 C 2 D － －2
2二次等式ax＋bx＋2>0解集(－)a＋b值_____
A 10 B －10 C 14 D －14
3(1－x)（1＋x）展开式中x系数_____
A －297 B－252 C 297 D 207
4函数y＝a－bcos3x (b<0)值值－y＝－4asin3bx正周期_____
5直线L：2x＋3y＋5＝0行点A(14)直线L’方程_______________
6双曲线x－＝1渐线点(22)双曲线方程____________
简解1题：f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m较系数易求选C
2题：等式解集(－)知－方程ax＋bx＋2＝0两根代入两根列出关系数ab方程组易求a＋b选D
3题：分析x系数C(－1)C两项组成相加x系数选D
4题：已知值值列出ab方程组求出ab值代入求答案
5题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0点A(14)代入求C＝102x＋3y＋10＝0
6题：设双曲线方程x－＝λ点(22)代入求λ＝3方程－＝1
Ⅱ示范性题组：
例1 已知函数y＝值7值－1求函数式
分析求函数表达式实际确定系数mn值已知值值实际已知函数值域分子分母二次函数分式函数值域易联想判式法
解 函数式变形： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0 x∈R 已知y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 ： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
等式①解集(17)－17方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0两根
代入两根： 解：
∴ y＝者y＝
题解集(17)设(y＋1)(y－7)≤0y－6y－7≤0然等式①较系数：解出mn求函数式y
注 求函数式中两系数mn需确定首先判式法处理函数值域问题含参数mn关y元二次等式知道解集求参数mn两种方法求解视方程两根代入列出mn方程求解二已知解集写出等式较含参数等式列出mn方程组求解题求元二次等式解集概念理解透彻求理解求函数值域判式法：y视参数函数式化成含参数y关x元二次方程知解利△≥0建立关参数y等式解出y范围值域判式法关键否函数化成元二次方程
例2 设椭圆中心(21)焦点短轴两端连线互相垂直焦点长轴较端点距离－求椭圆方程
分析求椭圆方程根条件确定数abc值问题全部解决设abc已知垂直关系联想勾股定理建立方程焦点长轴较端点距离转化a－c值列出第二方程
解 设椭圆长轴2a短轴2b焦距2c|BF’|＝a
y B’
x
A F O’ F’ A’
B
∴ 解： ∴ 求椭圆方程：＋＝1
垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’性质推证出等腰Rt△B’O’F’进行列式 更容易求出ab值
注 圆锥曲线中参数（abcep）确定定系数法生动体现确定抓住已知条件转换成表达式曲线移中数（abce）变题利特征列出关a－c等式
般解析中求曲线方程问题部分定系数法基步骤：设方程（数）→条件转换成方程→求解→已知系数代入
例3 否存常数abc等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)切然数n成立？证明结
分析否存妨假设存已知等式切然数n成立取特殊值n＝123列出关abc方程组解方程组求出abc值数学纳法证明等式然数n成立
解假设存abc等式成立令：n＝14＝(a＋b＋c)n＝222＝(4a＋2b＋c)n＝370＝9a＋3b＋c整理：解
n＝123等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立面数学纳法证明意然数n该等式成立：
假设n＝k时等式成立1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)
n＝k＋1时1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]
说等式n＝k＋1成立
综述a＝8b＝11c＝10时题设等式切然数n成立
注建立关定系数方程组特殊值代入种解法中体现方程思想特殊值法否存性问题定系数时先试值猜想纳证明步骤进行题果记两特殊数列1＋2＋…＋n1＋2＋…＋n求公式抓住通项拆开运数列求公式直接求解：n(n＋1)＝n＋2n＋nS＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)综述a＝8b＝11c＝10时题设等式切然数n成立
例4 矩形铁皮长30cm宽14cm四角剪掉边长xcm四正方形剩余部分折成盖矩形盒子问x值时矩形盒子容积容积少？
分析实际问题中值值研究先已知条件选取合适变量建立目标函数实际问题转化函数值值研究
解 题意矩形盒子底边边长(30－2x)cm底边宽(14－2x)cm高xcm
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x 显然15－x>07－x>0x>0
设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0b>0）均值等式
解：a＝ b＝ x＝3 V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576x＝3时矩形盒子容积容积576cm
注均值等式应时注意等号成立条件条件满足时凑配系数定系数法求题解答中令V＝(15a－ax)(7－x)bx (15－x)(7a－ax)bx均值等式佳条件列出方程组求出三项该进行凑配系数题体现凑配法函数思想
四定义法
谓定义法直接数学定义解题数学中定理公式性质法等定义公理推演出定义揭示概念涵逻辑方法通指出概念反映事物质属性明确概念
定义千百次实践必然结果科学反映揭示客观世界事物质特点简单说定义基概念数学实体高度抽象定义法解题直接方法讲回定义中
Ⅰ现性题组：
1已知集合A中2元素集合B中7元素A∪B元素数n______
A 2≤n≤9 B 7≤n≤9 C 5≤n≤9 D 5≤n≤7
2设MPOMAT分46°角正弦线余弦线正切线_____
A MP3复数z＝a＋2ｉz＝－2＋ｉ果|z|< |z|实数a取值范围_____
A －11 C a>0 D a<－1a>1
4椭圆＋＝1点P左准线距离P点右焦点距离_____
A 8 C 75 C D 3
5奇函数f(x)正周期Tf(－)值_____
A T B 0 C D 确定
6正三棱台侧棱底面成45°角侧面底面成角正切值_____
简解1题：利集定义选B
2题：利三角函数线定义作出图形选B
3题：利复数模定义<选A
4题：利椭圆第二定义＝e＝选A
5题：利周期函数奇函数定义f(－)＝f()＝－f(－)选B
6题：利线面角面面角定义答案2
Ⅱ示范性题组：
例1 已知z＝1＋ｉ ① 设w＝z＋3－4求w三角形式 ② 果＝1－ｉ求实数ab值
分析代入z进行运算化简运复数三角形式复数相等定义解答
解z＝1＋ｉw＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉw三角形式（cos＋ｉsin）
z＝1＋ｉ＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ
题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ
根复数相等定义：解
注求复数三角形式般直接利复数三角形式定义求解利复数相等定义实部虚部分相等建立方程组复数中常遇
例2 已知f(x)＝－x＋cxf(2)＝－14f(4)＝－252求y＝logf(x)定义域判定(1)单调性
分析判断函数单调性必须首先确定nc值求出函数解析式利函数单调性定义判断
解 解：∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0：0设 x+x> ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1
∴ f(x)－f(x)>0f(x)(1)减函数
∵ <1 ∴ y＝logf(x) (1)增函数
注关函数性质：奇偶性单调性周期性判断般直接应定义解题题求nc程中运定系数法换元法
例3 求定点M(12)x轴准线离心率椭圆顶点轨迹方程
分析运动椭圆定点M准线固定x轴M准线距离2抓住圆锥曲线统性定义＝建立方程离心率定义建立方程
y
M F
A x
解设A(xy)F(xm)M(12)椭圆定点M准线距离2顶点A准线距离y根椭圆统性定义离心率定义：
消m：（x－1）＋＝1
椭圆顶点轨迹方程（x－1）＋＝1
注求曲线轨迹方程求曲线轨迹方程步骤设曲线动点满足条件根条件列出动点满足关系式进行化简题引入参数m列出满足方程组消参数m动点坐标满足方程求曲线轨迹方程建立方程组时巧妙运椭圆统性定义离心率定义般圆锥曲线点焦点准线离心率等问题常定义法解决求圆锥曲线方程总利圆锥曲线定义求解注意椭圆双曲线抛物线两定义恰选
五数学纳法
纳种特殊事例导出般原理思维方法纳推理分完全纳推理完全纳推理两种完全纳推理根类事物中部分象具性质推断该类事物全体具性质种推理方法数学推理证中允许完全纳推理考察类事物全部象纳出结
数学纳法证明某然数关数学命题种推理方法解数学题中着广泛应递推数学证方法证第步证明命题n＝1(n)时成立递推基础第二步假设n＝k时命题成立证明n＝k＋1时命题成立限递推理判断命题正确性否特殊推广般实际命题正确性突破限达限两步骤密切相关缺完成两步断定然数（n≥nn∈N）结正确两步出数学纳法递推实现纳属完全纳
运数学纳法证明问题时关键n＝k＋1时命题成立推证步证明具目标意识注意终达解题目标进行分析较确定调控解题方差异逐步减终实现目标完成解题
运数学纳法证明列问题：然数n关恒等式代数等式三角等式数列问题问题整性问题等等
Ⅰ现性题组：
1 数学纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N）kk＋1左端需代数式_____
A 2k＋1 B 2(2k＋1) C D
2 数学纳法证明1＋＋＋…＋1)时n＝k (k>1)等式成立推证n＝k＋1时左边应增加代数式数_____
A 2 B 2－1 C 2 D 2＋1
3 某命题然数n关n＝k (k∈N)时该命题成立推n＝k＋1时该命题成立现已知n＝5时该命题成立推______
An＝6时该命题成立 Bn＝6时该命题成立
Cn＝4时该命题成立 Dn＝4时该命题成立
4 数列{a}中已知a＝1n≥2时a＝a＋2n－1次计算aaa猜想a表达式_____
A 3n－2 B n C 3 D 4n－3
5 数学纳法证明3＋5 (n∈N)14整n＝k＋1时式子3＋5应变形_______________________
6 设k棱柱f(k)角面k＋1棱柱角面数f(k+1)＝f(k)＋_________
简解1题：n＝k时左端代数式(k＋1)(k＋2)…(k＋k)n＝k＋1时左端代数式(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)应代数式选B
2题：（2－1）－（2－1）＝2选C
3题：原命题逆否命题等价n＝k＋1时命题成立n＝k命题成立选C
4题：计算出a＝1a＝4a＝9a＝16猜想a选B
5题：答案（3＋5）3＋5（5－3）
6题：答案k－1
Ⅱ示范性题组：
例1已知数列……S前n项求SSSS推测S公式数学纳法证明
解 计算S＝S＝S＝S＝ 猜测S＝ (n∈N)
n＝1时等式显然成立
假设n＝k时等式成立：S＝
n＝k＋1时S＝S＋
＝＋
＝
＝＝
知n＝k＋1时等式成立
综述等式n∈N成立
注 证等式S＝作目标先通分分母含(2k＋3)考虑约分分子变形注意约分（2k＋3）－1样证题程中简洁效确定证题方题思路试验观察出发完全纳法作出纳猜想数学纳法进行严格证明关探索性问题常见证法数列问题中常见 假猜想数学纳法证明结定正确正确解答程严密必须进行三步：试值 → 猜想 → 证明
解 裂项相消法求：a＝＝－
S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝
种解法试值猜想证明相程十分简单求发现＝－裂项公式说试值猜想证明三步解题具般性
例2 设a＝＋＋…＋ (n∈N)证明：n(n＋1)分析然数n关考虑数学纳法证明n＝1时容易证n＝k＋1时a＝a＋假设n＝k成立等式中时加目标较进行适放缩求解
解 n＝1时a＝n(n+1)＝ (n+1)＝2 ∴ n＝1时等式成立
假设n＝k时等式成立：k(k＋1)n＝k＋1时k(k＋1)＋k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)
(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)
(k＋1)(k＋2)综述n∈N等式n(n＋1)注 数学纳法解决然数关等式问题注意适选放缩法题中分缩成(k＋1)放成(k＋)两步放缩证n＝k＋1时等式成立关键什样放缩放成(k＋2)目标较求遵循放缩适原
题种解题思路直接采放缩法进行证明抓住分析注意目标较进行适放缩解法：>na>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)例3 设数列{a}前n项S然数nS＝证明{a}等差数列
分析 证明{a}等差数列证明通项符合等差数列通项公式形式证：a＝a＋(n－1)d 命题n关考虑否数学纳法进行证明
解 设a－a＝d猜测a＝a＋(n－1)d
n＝1时a＝a ∴ n＝1时猜测正确
n＝2时a＋(2－1)d＝a＋d＝a ∴n＝2时猜测正确
假设n＝k（k≥2）时猜测正确：a＝a＋(k－1)d
n＝k＋1时a＝S－S＝－
a＝a＋(k－1)d代入式 2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d
整理(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d
k≥2a＝a＋kdn＝k＋1时猜测正确
综述然数na＝a＋(n－1)d{a}等差数列
注 证明等差数列问题转化成证明数学恒等式关然数n成立问题证明程中a出题解答关键利已知等式S＝数列中通项前n项关系a＝S－S建立含a方程代入假设成立式子a＝a＋(k－1)d解出a外题注意点忽视验证n＝1n＝2正确性数学纳法证明时递推基础n＝2时等式成立(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)da＝a＋kd条件k≥2
解 证a －a＝ a－ a意n≥2成立：n≥2时a＝S－S＝－理a＝S－S＝－a－a＝－n(a＋a)＋整理a －a＝ a－ a{a}等差数列
般数列问题中含aS时考虑运a＝S－S关系注意n≥2时关系成立象已知数列S求a类型题应关系
六参数法
参数法指解题程中通适引入题目研究数学象发生联系新变量（参数）作媒介进行分析综合解决问题直线二次曲线参数方程参数法解题例证换元法引入参数典型例子
辨证唯物肯定事物间联系穷联系方式丰富采科学务揭示事物间联系发现事物变化规律参数作刻画事物变化状态揭示变化素间联系参数体现代数学中运动变化思想观点已渗透中学数学分支运参数法解题已较普遍
参数法解题关键恰处引进参数沟通已知未知间联系利参数提供信息利解答问题
Ⅰ现性题组：
1 设2＝3＝5>12x3y5z排列________________
2 （理）直线点A(23)距离等点坐标________
（文）k<－1圆锥曲线x－ky＝1离心率_________
3 点Z虚轴移动复数C＝z＋1＋2ｉ复面应轨迹图____________________
4 三棱锥三侧面互相垂直面积分643体积______
5 设函数f(x)意xy∈Rf(x＋y)＝f(x)＋f(y)x>0时f(x)<0f(x)R______函数(填增减)
6 椭圆＋＝1点直线x＋2y－＝0距离_____
A 3 B C D 2
简解1题：设2＝3＝5＝t分取235底数解出xyz较法较2x3y5z出3y<2x<5z
2题：（理）A(23)t＝0时求点t＝±时(45)(01)
（文）已知曲线椭圆a＝1c＝e＝－
3题：设z＝bｉC＝1－b＋2ｉ图：(12)出发行x轴右射线
4题：设三条侧棱xyzxy＝6yz＝4xz＝3xyz＝24体积4
5题：f(0)＝0f(0)＝f(x)＋f(x)f(x)奇函数答案：减
6题：设x＝4sinαy＝2cosα求d＝值选C
Ⅱ示范性题组：
例1实数abc满足a＋b＋c＝1求a＋b＋c值
分析a＋b＋c＝1 想均值换元法引入新参数设a＝＋tb＝＋tc＝＋t代入a＋b＋c求
解a＋b＋c＝1设a＝＋tb＝＋tc＝＋t中t＋t＋t＝0
∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥ a＋b＋c值
注均值换元法引入三参数代数式研究进行简化题种解法技巧
题种解题思路利均值等式配方法进行求解解法：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)a＋b＋c≥
两种解法求代数变形技巧性强次练提高代数变形力
例2椭圆＋＝1两点PQO原点连OPOQk·k＝－
①求证：|OP|＋|OQ|等定值 ②求线段PQ中点M轨迹方程
分析 换元法引入新参数设（椭圆参数方程）参数θθPQ两点先计算k·k出结计算|OP|＋|OQ|运参数法求中点M坐标消参
解＋＝1设P(4cosθ2sinθ)Q(4cosθ2sinθ)
k·k＝＝－整理：
cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0cos（θ－θ）＝0
∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20|OP|＋|OQ|等定值20
中点坐标公式线段PQ中点M坐标
()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2求线段PQ中点M轨迹方程＋＝1
注椭圆方程联想a＋b＝1进行三角换元通换元引入新参数转化成三角问题进行研究题求够熟练三角公式方法中点坐标公式求出M点坐标方程组稍作变形方相加（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ）求点M轨迹方程消参法关键步般求动点轨迹方程运参数法时点xy坐标分表示成参数函数运消法消含参数求轨迹方程
题第问种思路设直线斜率k解出PQ两点坐标求：
设直线OP斜率kOQ斜率－椭圆直线OPOQ相交PQ两点：
消y(1＋4k)x＝16|x|＝消y(1＋)x＝16|x|＝|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20|OP|＋|OQ|等定值20
解法中利直线两点间距离公式|AB|＝|x－x|求|OP||OQ|长
七反证法
前面讲方法反证法属间接证明法类反面角度思考问题证明方法：肯定题设否定结导出矛盾推理法国数学家阿达玛(Hadamard)反证法实质作概括：肯定定理假设否定结会导致矛盾具体讲反证法否定命题结入手命题结否定作推理已知条件进行正确逻辑推理已知条件已知公理定理法者已证明正确命题等相矛矛盾原假设成立肯定命题结命题获证明
反证法逻辑思维规律中矛盾律排中律思维程中两互相矛盾判断时真少假逻辑思维中矛盾律两互相矛盾判断时假简单说A者非A逻辑思维中排中律反证法证明程中矛盾判断根矛盾律矛盾判断时真必假已知条件已知公理定理法者已证明正确命题真否定结必假根排中律结否定结立互相否定判断时假必真原结必真反证法逻辑思维基规律理反证法信
反证法证题模式简概括否定→推理→否定否定结开始正确误推理导致逻辑矛盾达新否定认反证法基思想否定否定应反证法证明三步：否定结 → 推导出矛盾 → 结成立实施具体步骤：
第步反设：作出求证结相反假设
第二步谬：反设作条件通系列正确推理导出矛盾
第三步结：说明反设成立肯定原命题成立
应反证法证题时定反设进行推理否反证法反证法证题时果欲证明命题方面情况种种情况驳倒种反证法谬法果结方面情况种必须反面情况驳倒推断原结成立种证法穷举法
数学解题中常反证法牛顿说：反证法数学家精武器般讲反证法常证明题型：命题结否定形式少唯限形式出现命题者否定结更明显具体简单命题者直接证明难手命题改变思维方结入手进行反面思考问题解决十分干脆
Ⅰ现性题组：
1已知函数f(x)定义域减函数方程f(x)＝0 ______
A实根 B少实根 C实根 D实根
2已知a<0－1A a>ab> ab B ab>ab>a C ab>a> ab D ab> ab>a
3已知α∩β＝la αb βab异面直线_____
A abl相交 B ab中少条l相交
C ab中条l相交 D abl相交
4四面体顶点棱中点10中取4面点取法_____(97年全国理)
A 150种 B 147种 C 144种 D 141种
简解1题：结入手假设四选择项逐成立导出中三特例矛盾选A
2题：采特殊值法取a＝－1b＝－05选D
3题：逐假设选择项成立着手分析选B
4题：分析清楚结种情况列式：C－C×4－3－6选D
Ⅱ示范性题组：
S
C
A
B O
例1 图设SASB圆锥SO两条母线O底面圆心CSB点求证：AC面SOB垂直
分析结垂直呈否定性考虑反证法假设垂直导出矛盾肯定垂直
证明 假设AC⊥面SOB∵ 直线SO面SOB∴ AC⊥SO
∵ SO⊥底面圆O∴ SO⊥AB∴ SO⊥面SAB∴面SAB∥底面圆O
显然出现矛盾假设成立AC面SOB垂直
注否定性问题常反证法例证明异面直线假设面假设作已知条件推导出矛盾
例2 列方程：x＋4ax－4a＋3＝0 x＋(a－1)x＋a＝0 x＋2ax－2a＝0少方程实根试求实数a取值范围
分析 三方程少方程实根反面情况仅种：三方程均没实根先求出反面情况时a范围范围补集正面情况答案
解 设三方程均实根解－注少问题常反面考虑情况变简单题判式法补集法（全集R）正面直接求解分求出三方程实根时（△≥0）a取值范围三范围起求集合集两种解法求等式解集交补概念运算理解透彻
例3 定实数aa≠0a≠1设函数y＝ (中x∈Rx≠)证明：①函数图意两点直线行x轴 ②函数图关直线y＝x成轴称图
分析行否定行假设行出矛盾推翻假设
证明 ① 设M(xy)M(xy)函数图意两点x≠x
假设直线MM行x轴必y＝y＝整理a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1 已知a≠1矛盾假设直线MM行x轴② y＝axy－y＝x－1(ay－1)x＝y－1x＝
原函数y＝反函数y＝图致
互反函数两图关直线y＝x称函数y＝图关直线y＝x成轴称图
注行否定性结反证法假设行情况容易性质正确误推理导出已知a≠1互相矛盾第②问中称问题反函数称性进行研究方法较巧妙求反函数求法性质运熟练
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配方法数学式子进行种定变形（配成完全方）技巧通配方找已知未知联系化繁简时配方需适预测合理运裂项添项配凑技巧完成配方时称凑配法
常见配方进行恒等变形数学式子出现完全方适：已知者未知中含二次方程二次等式二次函数二次代数式讨求解者缺xy项二次曲线移变换等问题
配方法基配方二项完全方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b公式灵活运种基配方形式：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合数学知识性质相应外配方形式：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 …… 等等
Ⅰ现性题组：
1 正项等数列{a}中asa+2asa+aa25 a＋a＝_______
2 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆充条件_____
A
3 已知sinα＋cosα＝1sinα＋cosα值______
A 1 B －1 C 1－1 D 0
4 函数y＝log (－2x＋5x＋3)单调递增区间_____
A （－∞ ] B [+∞) C (－] D [3)
5 已知方程x+(a2)x+a10两根xx点P(xx)圆x+y4实数a＝_____
简解 1题：利等数列性质aa＝a已知等式左边配方（a＋a）易求答案：5
2题：配方成圆标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r解r>0选B
3题：已知等式配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1求出sinαcosα然求出求式方值开方求解选C
4题：配方称轴结合定义域数函数复合函数单调性求解选D
5题：答案3－
Ⅱ示范性题组：
例1 已知长方体全面积1112条棱长度24长方体条角线长_____
A 2 B C 5 D 6
分析 先转换数学表达式：设长方体长宽高分xyz 欲求角线长配凑成两已知式组合形式
解设长方体长宽高分xyz已知长方体全面积1112条棱长度24：
长方体求角线长：＝＝＝5选B
注题解答关键两已知未知转换三数学表示式观察分析三数学式容易发现配方法三数学式进行联系联系已知未知求解配方法种解题模式
例2 设方程x＋kx＋20两实根pq()+()≤7成立求实数k取值范围
解方程x＋kx＋20两实根pq韦达定理：p＋q＝－kpq＝2
()+()＝＝＝＝≤7 解k≤－k≥
∵pq方程x＋kx＋20两实根 ∴ △＝k－8≥0k≥2k≤－2
综合起k取值范围：－≤k≤－ 者 ≤k≤
注 关实系数元二次方程问题总先考虑根判式Δ已知方程两根时恰运韦达定理题韦达定理p＋qpq观察已知等式结构特征联想先通分配方表示成p＋qpq组合式假题△讨结果出错题目结果相掉△讨解答严密完整点尤注意重视
例3 设非零复数ab满足a＋ab＋b0求()＋()
分析 已知式联想：变形()＋()＋1＝0＝ω （ω1立方虚根）配方(a＋b)＝ab 代入求式
解a＋ab＋b0变形：()＋()＋1＝0
设ω＝ω＋ω＋1＝0知ω1立方虚根：＝ω＝＝1
a＋ab＋b0变形：(a＋b)＝ab
()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2
注 题通配方简化求表达式巧1立方虚根活ω性质计算表达式中高次幂系列变换程较灵活性求善联想展开
解a＋ab＋b＝0变形：()＋()＋1＝0 解出＝化成三角形式代入求表达式变形式()＋()完成面运算方法未联想ω时进行解题
假题没想系列变换程时a＋ab＋b＝0解出：a＝b直接代入求表达式进行分式化简化成复数三角形式利棣莫佛定理完成计算
二换元法
解数学题时某式子成整体变量代问题简化换元法换元实质转化关键构造元设元理等量代换目变换研究象问题移新象知识背景中研究非标准型问题标准化复杂问题简单化变容易处理
换元法称辅助元素法变量代换法通引进新变量分散条件联系起隐含条件显露出者条件结联系起者变熟悉形式复杂计算推证简化
化高次低次化分式整式化理式理式化超越式代数式研究方程等式函数数列三角等问题中广泛应
换元方法：局部换元三角换元均值换元等局部换元称整体换元已知者未知中某代数式次出现字母代简化问题然时候通变形发现例解等式：4＋2－2≥0先变形设2＝t（t>0）变熟悉元二次等式求解指数方程问题
三角换元应根号者变换三角形式易求时利已知代数式中三角知识中某点联系进行换元求函数y＝＋值域时易发现x∈[01]设x＝sinα α∈[0]问题变成熟悉求三角函数值域什会想设中应该发现值域联系根号需变量xy适合条件x＋y＝r（r>0）时作三角代换x＝rcosθy＝rsinθ化三角问题
均值换元遇x＋y＝S形式时设x＝＋ty＝－t等等
换元法时遵循利运算利标准化原换元注重新变量范围选取定新变量范围应原变量取值范围缩扩例中t>0α∈[0]
Ⅰ现性题组：
1y＝sinx·cosx＋sinx+cosx值_________
2设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1）f(x)值域_______________
3已知数列{a}中a＝－1a·a＝a－a数列通项a＝___________
4设实数xy满足x＋2xy－1＝0x＋y取值范围___________
5方程＝3解_______________
6等式log(2－1) ·log(2－2)〈2解集_______________
简解1题：设sinx+cosx＝t∈[－]y＝＋t－称轴t＝－1t＝y＝＋
2题：设x＋1＝t (t≥1)f(t)＝log[(t1)＋4]值域(－∞log4]
3题：已知变形－＝－1设b＝b＝－1b＝－1＋(n－1)(1)＝－na＝－
4题：设x＋y＝kx－2kx＋1＝0 △＝4k－4≥0k≥1k≤－1
5题：设3＝y3y＋2y－1＝0解y＝x＝－1
6题：设log(2－1)＝yy(y＋1)<2解－2
例1 实数xy满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） 设S＝x＋y求＋值
分析 S＝x＋y联想cosα＋sinα＝1进行三角换元设代入①式求SS值
解设代入①式： 4S－5S·sinαcosα＝5 解 S＝
∵ 1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
种解法面求S值值sin2α＝界性求解等式：||≤1种方法求函数值域时常界法
解 S＝x＋y设x＝＋ty＝－tt∈[－]
xy＝±代入①式：4S±55
移项方整理 100t+39S－160S＋100＝0
∴ 39S－160S＋100≤0 解：≤S≤∴ ＋＝＋＝＝
注 题第种解法属三角换元法利已知条件S＝x＋y三角公式cosα＋sinα＝1联系联想发现三角换元代数问题转化三角函数值域问题第二种解法属均值换元法等式S＝x＋y均值换元思路设x＝＋ty＝－t减少元数问题容易求解外求值域种方法：界法等式性质法分离参数法
均值换元法类似种换元法题中两变量xy时设x＝a＋by＝a－b称差换元法换元简化代数式题设x＝a＋by＝a－b代入①式整理3a＋13b＝5 求a∈[0]S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[]求＋值
例2． △ABC三角ABC满足：A＋C＝2B＋＝－求cos值
分析 已知A＋C＝2B三角形角等180°性质 A＋C＝120°进行均值换元设 代入求cosαcos
解△ABC中已知A＋C＝2B
A＋C＝120°设代入已知等式：
＋＝＋＝＋＝＝＝－2
解：cosα＝ ：cos＝
解A＋C＝2BA＋C＝120°B＝60°＋＝－＝－2设＝－＋m＝－－m cosA＝cosC＝两式分相加相减：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝
：sin＝－＝－代入sin＋cos＝1整理：3m－16m－12＝0解出m＝6代入cos＝＝
注 题两种解法A＋C＝120°＋＝－2分进行均值换元结合三角形角关系三角公式进行运算已知想均值换元外求三角公式运相熟练假未想进行均值换元三角运算直接解出：A＋C＝2BA＋C＝120°B＝60°＋＝－＝－2cosA＋cosC＝－2cosAcosC积互化：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(AC)cos＝－cos(AC)＝－(2cos－1)整理：4cos＋2cos－3＝0解：cos＝
y
－ x
例3 设a>0求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a值值
解 设sinx＋cosx＝tt∈[](sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0）t∈[]
t＝时取值：－2a－2a－
2a≥时t＝取值：－2a＋2a－
0<2a≤时t＝2a取值：
∴ f(x)值－2a－2a－值
注 题属局部换元法设sinx＋cosx＝t抓住sinx＋cosxsinx·cosx联系三角函数值域问题转化二次函数闭区间值域问题容易求解换元程中定注意新参数范围（t∈[]）sinx＋cosx应否会出错题解法中包含含参问题时分类讨数学思想方法称轴闭区间位置关系确定参数分两种情况进行讨
般遇题目已知未知中含sinxcosx差积等求三角式值值题型时函数f(sinx±cosxsinxcsox)常样设元换元法转化闭区间二次函数次函数研究
例4 设实数x等式xlog＋2x log＋log>0恒成立求a取值范围
分析等式中log loglog三项联系？进行数式关变形难发现实施换元法
解 设log＝tlog＝log＝3＋log＝3－log＝3－tlog＝2log＝－2t代入原等式简化（3－t）x＋2tx－2t>0切实数x恒成立解 ∴ t<0log<00<<1解0
例5 已知＝＋＝ (②式)求值
解 设＝＝ksinθ＝kxcosθ＝kysinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1代入②式： ＋＝＝ ：＋＝
设＝tt＋＝ 解：t＝3 ∴＝±±
解 ＝＝tgθ等式②两边时表示成含tgθ式子：1＋tgθ＝＝tgθ设tgθ＝t3t—10t＋3＝0
∴t＝3 解＝±±
注 第种解法＝进行等量代换进行换元减少变量数第二种解法已知变形＝难发现进行结果tgθ进行换元变形两种解法求代数变形较熟练解高次方程时换元法方程次数降低
例6 实数xy满足＋＝1x＋y－k>0恒成立求k范围
分析已知条件＋＝1发现a＋b＝1相似处实施三角换元
解＋＝1设＝cosθ＝sinθ
代入等式x＋y－k>03cosθ＋4sinθ－k>0k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) k<5时等式恒成立
注题进行三角换元代数问题（者解析问题）化含参三角等式恒成立问题运分离参数法转化三角函数值域问题求出参数范围般遇圆椭圆双曲线方程相似代数式时者解决圆椭圆双曲线等关问题时常三角换元法
题种解题思路数形结合法思想方法：面直角坐标系等式ax＋by＋c>0 (a>0)表示区域直线ax＋by＋c＝0分面成两部分中含x轴正方部分题等式恒成立问题化图形问题：椭圆点始终位面x＋y－k>0区域直线x＋y－k＝0椭圆部相切切线时直线椭圆相切时方程组相等组实数解消元△＝0求k＝－3k<3时原等式恒成立
y
x
x＋y－k>0
k 面区域
三定系数法
确定变量间函数关系设出某未知系数然根条件确定未知系数方法定系数法理项式恒等利项式f(x)g(x)充条件：意a值f(a)g(a)者两项式类项系数应相等
定系数法解题关键已知正确列出等式方程定系数法具某种确定形式数学问题通引入定系数转化方程组解决判断问题否定系数法求解求解数学问题否具某种确定数学表达式果具定系数法求解例分解式拆分分式数列求求函数式求复数解析中求曲线方程等问题具确定数学表达形式定系数法求解
定系数法解题基步骤：
第步确定求问题含定系数解析式
第二步根恒等条件列出组含定系数方程
第三步解方程组者消定系数问题解决
列出组含定系数方程方面着手分析：
① 利应系数相等列方程
② 恒等概念数值代入法列方程
③ 利定义身属性列方程
④ 利条件列方程
求圆锥曲线方程时定系数法求方程：首先设求方程形式中含定系数条件转化含求方程未知系数方程方程组解方程方程组求出未知系数求出系数代入已明确方程形式求圆锥曲线方程
Ⅰ现性题组：
1设f(x)＝＋mf(x)反函数f(x)＝nx－5mn值次_____
A －2 B － 2 C 2 D － －2
2二次等式ax＋bx＋2>0解集(－)a＋b值_____
A 10 B －10 C 14 D －14
3(1－x)（1＋x）展开式中x系数_____
A －297 B－252 C 297 D 207
4函数y＝a－bcos3x (b<0)值值－y＝－4asin3bx正周期_____
5直线L：2x＋3y＋5＝0行点A(14)直线L’方程_______________
6双曲线x－＝1渐线点(22)双曲线方程____________
简解1题：f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m较系数易求选C
2题：等式解集(－)知－方程ax＋bx＋2＝0两根代入两根列出关系数ab方程组易求a＋b选D
3题：分析x系数C(－1)C两项组成相加x系数选D
4题：已知值值列出ab方程组求出ab值代入求答案
5题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0点A(14)代入求C＝102x＋3y＋10＝0
6题：设双曲线方程x－＝λ点(22)代入求λ＝3方程－＝1
Ⅱ示范性题组：
例1 已知函数y＝值7值－1求函数式
分析求函数表达式实际确定系数mn值已知值值实际已知函数值域分子分母二次函数分式函数值域易联想判式法
解 函数式变形： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0 x∈R 已知y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 ： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
等式①解集(17)－17方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0两根
代入两根： 解：
∴ y＝者y＝
题解集(17)设(y＋1)(y－7)≤0y－6y－7≤0然等式①较系数：解出mn求函数式y
注 求函数式中两系数mn需确定首先判式法处理函数值域问题含参数mn关y元二次等式知道解集求参数mn两种方法求解视方程两根代入列出mn方程求解二已知解集写出等式较含参数等式列出mn方程组求解题求元二次等式解集概念理解透彻求理解求函数值域判式法：y视参数函数式化成含参数y关x元二次方程知解利△≥0建立关参数y等式解出y范围值域判式法关键否函数化成元二次方程
例2 设椭圆中心(21)焦点短轴两端连线互相垂直焦点长轴较端点距离－求椭圆方程
分析求椭圆方程根条件确定数abc值问题全部解决设abc已知垂直关系联想勾股定理建立方程焦点长轴较端点距离转化a－c值列出第二方程
解 设椭圆长轴2a短轴2b焦距2c|BF’|＝a
y B’
x
A F O’ F’ A’
B
∴ 解： ∴ 求椭圆方程：＋＝1
垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’性质推证出等腰Rt△B’O’F’进行列式 更容易求出ab值
注 圆锥曲线中参数（abcep）确定定系数法生动体现确定抓住已知条件转换成表达式曲线移中数（abce）变题利特征列出关a－c等式
般解析中求曲线方程问题部分定系数法基步骤：设方程（数）→条件转换成方程→求解→已知系数代入
例3 否存常数abc等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)切然数n成立？证明结
分析否存妨假设存已知等式切然数n成立取特殊值n＝123列出关abc方程组解方程组求出abc值数学纳法证明等式然数n成立
解假设存abc等式成立令：n＝14＝(a＋b＋c)n＝222＝(4a＋2b＋c)n＝370＝9a＋3b＋c整理：解
n＝123等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立面数学纳法证明意然数n该等式成立：
假设n＝k时等式成立1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)
n＝k＋1时1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]
说等式n＝k＋1成立
综述a＝8b＝11c＝10时题设等式切然数n成立
注建立关定系数方程组特殊值代入种解法中体现方程思想特殊值法否存性问题定系数时先试值猜想纳证明步骤进行题果记两特殊数列1＋2＋…＋n1＋2＋…＋n求公式抓住通项拆开运数列求公式直接求解：n(n＋1)＝n＋2n＋nS＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)综述a＝8b＝11c＝10时题设等式切然数n成立
例4 矩形铁皮长30cm宽14cm四角剪掉边长xcm四正方形剩余部分折成盖矩形盒子问x值时矩形盒子容积容积少？
分析实际问题中值值研究先已知条件选取合适变量建立目标函数实际问题转化函数值值研究
解 题意矩形盒子底边边长(30－2x)cm底边宽(14－2x)cm高xcm
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x 显然15－x>07－x>0x>0
设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0b>0）均值等式
解：a＝ b＝ x＝3 V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576x＝3时矩形盒子容积容积576cm
注均值等式应时注意等号成立条件条件满足时凑配系数定系数法求题解答中令V＝(15a－ax)(7－x)bx (15－x)(7a－ax)bx均值等式佳条件列出方程组求出三项该进行凑配系数题体现凑配法函数思想
四定义法
谓定义法直接数学定义解题数学中定理公式性质法等定义公理推演出定义揭示概念涵逻辑方法通指出概念反映事物质属性明确概念
定义千百次实践必然结果科学反映揭示客观世界事物质特点简单说定义基概念数学实体高度抽象定义法解题直接方法讲回定义中
Ⅰ现性题组：
1已知集合A中2元素集合B中7元素A∪B元素数n______
A 2≤n≤9 B 7≤n≤9 C 5≤n≤9 D 5≤n≤7
2设MPOMAT分46°角正弦线余弦线正切线_____
A MP
A －1
4椭圆＋＝1点P左准线距离P点右焦点距离_____
A 8 C 75 C D 3
5奇函数f(x)正周期Tf(－)值_____
A T B 0 C D 确定
6正三棱台侧棱底面成45°角侧面底面成角正切值_____
简解1题：利集定义选B
2题：利三角函数线定义作出图形选B
3题：利复数模定义<选A
4题：利椭圆第二定义＝e＝选A
5题：利周期函数奇函数定义f(－)＝f()＝－f(－)选B
6题：利线面角面面角定义答案2
Ⅱ示范性题组：
例1 已知z＝1＋ｉ ① 设w＝z＋3－4求w三角形式 ② 果＝1－ｉ求实数ab值
分析代入z进行运算化简运复数三角形式复数相等定义解答
解z＝1＋ｉw＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉw三角形式（cos＋ｉsin）
z＝1＋ｉ＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ
题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ
根复数相等定义：解
注求复数三角形式般直接利复数三角形式定义求解利复数相等定义实部虚部分相等建立方程组复数中常遇
例2 已知f(x)＝－x＋cxf(2)＝－14f(4)＝－252求y＝logf(x)定义域判定(1)单调性
分析判断函数单调性必须首先确定nc值求出函数解析式利函数单调性定义判断
解 解：∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0：0
∴ f(x)－f(x)>0f(x)(1)减函数
∵ <1 ∴ y＝logf(x) (1)增函数
注关函数性质：奇偶性单调性周期性判断般直接应定义解题题求nc程中运定系数法换元法
例3 求定点M(12)x轴准线离心率椭圆顶点轨迹方程
分析运动椭圆定点M准线固定x轴M准线距离2抓住圆锥曲线统性定义＝建立方程离心率定义建立方程
y
M F
A x
解设A(xy)F(xm)M(12)椭圆定点M准线距离2顶点A准线距离y根椭圆统性定义离心率定义：
消m：（x－1）＋＝1
椭圆顶点轨迹方程（x－1）＋＝1
注求曲线轨迹方程求曲线轨迹方程步骤设曲线动点满足条件根条件列出动点满足关系式进行化简题引入参数m列出满足方程组消参数m动点坐标满足方程求曲线轨迹方程建立方程组时巧妙运椭圆统性定义离心率定义般圆锥曲线点焦点准线离心率等问题常定义法解决求圆锥曲线方程总利圆锥曲线定义求解注意椭圆双曲线抛物线两定义恰选
五数学纳法
纳种特殊事例导出般原理思维方法纳推理分完全纳推理完全纳推理两种完全纳推理根类事物中部分象具性质推断该类事物全体具性质种推理方法数学推理证中允许完全纳推理考察类事物全部象纳出结
数学纳法证明某然数关数学命题种推理方法解数学题中着广泛应递推数学证方法证第步证明命题n＝1(n)时成立递推基础第二步假设n＝k时命题成立证明n＝k＋1时命题成立限递推理判断命题正确性否特殊推广般实际命题正确性突破限达限两步骤密切相关缺完成两步断定然数（n≥nn∈N）结正确两步出数学纳法递推实现纳属完全纳
运数学纳法证明问题时关键n＝k＋1时命题成立推证步证明具目标意识注意终达解题目标进行分析较确定调控解题方差异逐步减终实现目标完成解题
运数学纳法证明列问题：然数n关恒等式代数等式三角等式数列问题问题整性问题等等
Ⅰ现性题组：
1 数学纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N）kk＋1左端需代数式_____
A 2k＋1 B 2(2k＋1) C D
2 数学纳法证明1＋＋＋…＋
A 2 B 2－1 C 2 D 2＋1
3 某命题然数n关n＝k (k∈N)时该命题成立推n＝k＋1时该命题成立现已知n＝5时该命题成立推______
An＝6时该命题成立 Bn＝6时该命题成立
Cn＝4时该命题成立 Dn＝4时该命题成立
4 数列{a}中已知a＝1n≥2时a＝a＋2n－1次计算aaa猜想a表达式_____
A 3n－2 B n C 3 D 4n－3
5 数学纳法证明3＋5 (n∈N)14整n＝k＋1时式子3＋5应变形_______________________
6 设k棱柱f(k)角面k＋1棱柱角面数f(k+1)＝f(k)＋_________
简解1题：n＝k时左端代数式(k＋1)(k＋2)…(k＋k)n＝k＋1时左端代数式(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)应代数式选B
2题：（2－1）－（2－1）＝2选C
3题：原命题逆否命题等价n＝k＋1时命题成立n＝k命题成立选C
4题：计算出a＝1a＝4a＝9a＝16猜想a选B
5题：答案（3＋5）3＋5（5－3）
6题：答案k－1
Ⅱ示范性题组：
例1已知数列……S前n项求SSSS推测S公式数学纳法证明
解 计算S＝S＝S＝S＝ 猜测S＝ (n∈N)
n＝1时等式显然成立
假设n＝k时等式成立：S＝
n＝k＋1时S＝S＋
＝＋
＝
＝＝
知n＝k＋1时等式成立
综述等式n∈N成立
注 证等式S＝作目标先通分分母含(2k＋3)考虑约分分子变形注意约分（2k＋3）－1样证题程中简洁效确定证题方题思路试验观察出发完全纳法作出纳猜想数学纳法进行严格证明关探索性问题常见证法数列问题中常见 假猜想数学纳法证明结定正确正确解答程严密必须进行三步：试值 → 猜想 → 证明
解 裂项相消法求：a＝＝－
S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝
种解法试值猜想证明相程十分简单求发现＝－裂项公式说试值猜想证明三步解题具般性
例2 设a＝＋＋…＋ (n∈N)证明：n(n＋1)
解 n＝1时a＝n(n+1)＝ (n+1)＝2 ∴ n＝1时等式成立
假设n＝k时等式成立：k(k＋1)
(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)
(k＋1)(k＋2)
题种解题思路直接采放缩法进行证明抓住分析注意目标较进行适放缩解法：>na>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)
分析 证明{a}等差数列证明通项符合等差数列通项公式形式证：a＝a＋(n－1)d 命题n关考虑否数学纳法进行证明
解 设a－a＝d猜测a＝a＋(n－1)d
n＝1时a＝a ∴ n＝1时猜测正确
n＝2时a＋(2－1)d＝a＋d＝a ∴n＝2时猜测正确
假设n＝k（k≥2）时猜测正确：a＝a＋(k－1)d
n＝k＋1时a＝S－S＝－
a＝a＋(k－1)d代入式 2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d
整理(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d
k≥2a＝a＋kdn＝k＋1时猜测正确
综述然数na＝a＋(n－1)d{a}等差数列
注 证明等差数列问题转化成证明数学恒等式关然数n成立问题证明程中a出题解答关键利已知等式S＝数列中通项前n项关系a＝S－S建立含a方程代入假设成立式子a＝a＋(k－1)d解出a外题注意点忽视验证n＝1n＝2正确性数学纳法证明时递推基础n＝2时等式成立(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)da＝a＋kd条件k≥2
解 证a －a＝ a－ a意n≥2成立：n≥2时a＝S－S＝－理a＝S－S＝－a－a＝－n(a＋a)＋整理a －a＝ a－ a{a}等差数列
般数列问题中含aS时考虑运a＝S－S关系注意n≥2时关系成立象已知数列S求a类型题应关系
六参数法
参数法指解题程中通适引入题目研究数学象发生联系新变量（参数）作媒介进行分析综合解决问题直线二次曲线参数方程参数法解题例证换元法引入参数典型例子
辨证唯物肯定事物间联系穷联系方式丰富采科学务揭示事物间联系发现事物变化规律参数作刻画事物变化状态揭示变化素间联系参数体现代数学中运动变化思想观点已渗透中学数学分支运参数法解题已较普遍
参数法解题关键恰处引进参数沟通已知未知间联系利参数提供信息利解答问题
Ⅰ现性题组：
1 设2＝3＝5>12x3y5z排列________________
2 （理）直线点A(23)距离等点坐标________
（文）k<－1圆锥曲线x－ky＝1离心率_________
3 点Z虚轴移动复数C＝z＋1＋2ｉ复面应轨迹图____________________
4 三棱锥三侧面互相垂直面积分643体积______
5 设函数f(x)意xy∈Rf(x＋y)＝f(x)＋f(y)x>0时f(x)<0f(x)R______函数(填增减)
6 椭圆＋＝1点直线x＋2y－＝0距离_____
A 3 B C D 2
简解1题：设2＝3＝5＝t分取235底数解出xyz较法较2x3y5z出3y<2x<5z
2题：（理）A(23)t＝0时求点t＝±时(45)(01)
（文）已知曲线椭圆a＝1c＝e＝－
3题：设z＝bｉC＝1－b＋2ｉ图：(12)出发行x轴右射线
4题：设三条侧棱xyzxy＝6yz＝4xz＝3xyz＝24体积4
5题：f(0)＝0f(0)＝f(x)＋f(x)f(x)奇函数答案：减
6题：设x＝4sinαy＝2cosα求d＝值选C
Ⅱ示范性题组：
例1实数abc满足a＋b＋c＝1求a＋b＋c值
分析a＋b＋c＝1 想均值换元法引入新参数设a＝＋tb＝＋tc＝＋t代入a＋b＋c求
解a＋b＋c＝1设a＝＋tb＝＋tc＝＋t中t＋t＋t＝0
∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥ a＋b＋c值
注均值换元法引入三参数代数式研究进行简化题种解法技巧
题种解题思路利均值等式配方法进行求解解法：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)a＋b＋c≥
两种解法求代数变形技巧性强次练提高代数变形力
例2椭圆＋＝1两点PQO原点连OPOQk·k＝－
①求证：|OP|＋|OQ|等定值 ②求线段PQ中点M轨迹方程
分析 换元法引入新参数设（椭圆参数方程）参数θθPQ两点先计算k·k出结计算|OP|＋|OQ|运参数法求中点M坐标消参
解＋＝1设P(4cosθ2sinθ)Q(4cosθ2sinθ)
k·k＝＝－整理：
cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0cos（θ－θ）＝0
∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20|OP|＋|OQ|等定值20
中点坐标公式线段PQ中点M坐标
()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2求线段PQ中点M轨迹方程＋＝1
注椭圆方程联想a＋b＝1进行三角换元通换元引入新参数转化成三角问题进行研究题求够熟练三角公式方法中点坐标公式求出M点坐标方程组稍作变形方相加（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ）求点M轨迹方程消参法关键步般求动点轨迹方程运参数法时点xy坐标分表示成参数函数运消法消含参数求轨迹方程
题第问种思路设直线斜率k解出PQ两点坐标求：
设直线OP斜率kOQ斜率－椭圆直线OPOQ相交PQ两点：
消y(1＋4k)x＝16|x|＝消y(1＋)x＝16|x|＝|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20|OP|＋|OQ|等定值20
解法中利直线两点间距离公式|AB|＝|x－x|求|OP||OQ|长
七反证法
前面讲方法反证法属间接证明法类反面角度思考问题证明方法：肯定题设否定结导出矛盾推理法国数学家阿达玛(Hadamard)反证法实质作概括：肯定定理假设否定结会导致矛盾具体讲反证法否定命题结入手命题结否定作推理已知条件进行正确逻辑推理已知条件已知公理定理法者已证明正确命题等相矛矛盾原假设成立肯定命题结命题获证明
反证法逻辑思维规律中矛盾律排中律思维程中两互相矛盾判断时真少假逻辑思维中矛盾律两互相矛盾判断时假简单说A者非A逻辑思维中排中律反证法证明程中矛盾判断根矛盾律矛盾判断时真必假已知条件已知公理定理法者已证明正确命题真否定结必假根排中律结否定结立互相否定判断时假必真原结必真反证法逻辑思维基规律理反证法信
反证法证题模式简概括否定→推理→否定否定结开始正确误推理导致逻辑矛盾达新否定认反证法基思想否定否定应反证法证明三步：否定结 → 推导出矛盾 → 结成立实施具体步骤：
第步反设：作出求证结相反假设
第二步谬：反设作条件通系列正确推理导出矛盾
第三步结：说明反设成立肯定原命题成立
应反证法证题时定反设进行推理否反证法反证法证题时果欲证明命题方面情况种种情况驳倒种反证法谬法果结方面情况种必须反面情况驳倒推断原结成立种证法穷举法
数学解题中常反证法牛顿说：反证法数学家精武器般讲反证法常证明题型：命题结否定形式少唯限形式出现命题者否定结更明显具体简单命题者直接证明难手命题改变思维方结入手进行反面思考问题解决十分干脆
Ⅰ现性题组：
1已知函数f(x)定义域减函数方程f(x)＝0 ______
A实根 B少实根 C实根 D实根
2已知a<0－1
3已知α∩β＝la αb βab异面直线_____
A abl相交 B ab中少条l相交
C ab中条l相交 D abl相交
4四面体顶点棱中点10中取4面点取法_____(97年全国理)
A 150种 B 147种 C 144种 D 141种
简解1题：结入手假设四选择项逐成立导出中三特例矛盾选A
2题：采特殊值法取a＝－1b＝－05选D
3题：逐假设选择项成立着手分析选B
4题：分析清楚结种情况列式：C－C×4－3－6选D
Ⅱ示范性题组：
S
C
A
B O
例1 图设SASB圆锥SO两条母线O底面圆心CSB点求证：AC面SOB垂直
分析结垂直呈否定性考虑反证法假设垂直导出矛盾肯定垂直
证明 假设AC⊥面SOB∵ 直线SO面SOB∴ AC⊥SO
∵ SO⊥底面圆O∴ SO⊥AB∴ SO⊥面SAB∴面SAB∥底面圆O
显然出现矛盾假设成立AC面SOB垂直
注否定性问题常反证法例证明异面直线假设面假设作已知条件推导出矛盾
例2 列方程：x＋4ax－4a＋3＝0 x＋(a－1)x＋a＝0 x＋2ax－2a＝0少方程实根试求实数a取值范围
分析 三方程少方程实根反面情况仅种：三方程均没实根先求出反面情况时a范围范围补集正面情况答案
解 设三方程均实根解－
例3 定实数aa≠0a≠1设函数y＝ (中x∈Rx≠)证明：①函数图意两点直线行x轴 ②函数图关直线y＝x成轴称图
分析行否定行假设行出矛盾推翻假设
证明 ① 设M(xy)M(xy)函数图意两点x≠x
假设直线MM行x轴必y＝y＝整理a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1 已知a≠1矛盾假设直线MM行x轴② y＝axy－y＝x－1(ay－1)x＝y－1x＝
原函数y＝反函数y＝图致
互反函数两图关直线y＝x称函数y＝图关直线y＝x成轴称图
注行否定性结反证法假设行情况容易性质正确误推理导出已知a≠1互相矛盾第②问中称问题反函数称性进行研究方法较巧妙求反函数求法性质运熟练
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