面介绍解题方法初中数学中常方法中学教学纲求掌握
1配方法
谓配方解析式利恒等变形方法中某项配成项式正整数次幂形式通配方解决数学问题方法配方法中配成完全方式配方法数学中种重恒等变形方法应十分非常广泛式分解化简根式解方程证明等式等式求函数极值解析式等方面常
例题：
配方法解方程x2+4x+10配方( )
A．(x+2) 25 B．(x－2) 25 C．(x－2) 23 D．(x+2) 23
分析配方法：二次项系数1常数项次项系数半方二次项系数1先提取二次项系数化1计算
解方程x2+4x+10
移：x2+4x－1
配方：x2+4x+4－1+4
(x+2) 23
选D
2式分解法
式分解项式化成整式积形式式分解恒等变形基础作数学力工具种数学方法代数三角等解题中起着重作式分解方法许中学课介绍提取公式法公式法分组分解法十字相法等外利拆项添项求根分解换元定系数等等
例题：
项式x2+mx3式分解结果（x1）（x+3）m值（ ）
A．2 B．2 C．0 D．1
分析根式分解整式法相反方变形先（x1）（x+3）法公式展开根应项系数相等求出m值
解∵x2+mx3式分解结果（x1）（x+3）
x2+mx3（x1）（x+3）
∴x2+mx3（x1）（x+3）x2+2x3
∴m2
选B
3换元法
换元法数学中非常重应十分广泛解题方法通常未知数变数称元谓换元法较复杂数学式子中新变元代原式部分改造原式子简化问题易解决
例题：
已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)8x2+y2值（ ）
A．51 B．1 C．5 D．51
分析解题时x2+y2成整体考虑运式分解法较简单
解设x2+y2tt≥0原方程变形
(t+1)(t+3)8化简：
(t+5)(t1)0
解：t15t21
t≥0
∴t1
∴x2+y2值1．
选B．
4判式法韦达定理
元二次方程ax2+bx+c0（abc属Ra≠0）根判△b24ac仅判定根性质作种解题方法代数式变形解方程(组)解等式研究函数三角运算中非常广泛应
韦达定理已知元二次方程根求根已知两数积求两数等简单应外求根称函数计二次方程根符号解称方程组解关二次曲线问题等非常广泛应
注意：①△b24ac＜0方程实数根解②△b24ac 0方程两相等实数根③△b24ac＞0方程两相等实数根
例题：
什值时关方程实根
分析题设中方程未指明元二次方程元次方程应分＝0≠0两种情形讨
解＝0时≠0方程元次方程总实根
≠0时方程根条件：
△＝≥0解≥
∴≥时方程实根
综述：≥时方程实根
5定系数法
解数学问题时先判断求结果具某种确定形式中含某定系数根题设条件列出关定系数等式解出定系数值找定系数间某种关系解答数学问题种解题方法称定系数法中学数学中常方法
例题：
例1 已知函数y＝值7值－1求函数式
分析求函数表达式实际确定系数mn值已知值值实际已知函数值域分子分母二次函数分式函数值域易联想判式法
解 函数式变形： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0 x∈R 已知y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 ： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
等式①解集(17)－17方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0两根
代入两根： 解：
∴ y＝者y＝
题解集(17)设(y＋1)(y－7)≤0y－6y－7≤0然等式①较系数：解出mn求函数式y
6构造法
解题时常常会采样方法通条件结分析构造辅助元素图形方程(组)等式函数等价命题等架起座连接条件结桥梁问题解决种解题数学方法称构造法运构造法解题代数三角等种数学知识互相渗透利问题解决
例题：
图△ABC中∠B2∠C∠BAC分线交BC点D求证：AB＋BD＝AC
分析遇三角形角分线时常构造等腰三角形助等腰三角形关性质够找解题途径
解延长CB点FBFAB连接AF△BAF等腰三角形∠F∠1根三角形外角关性质出∠ABD∠1+∠F ∠ABD2∠12∠F∠ABD2∠C∠C∠1∠F △AFC等腰三角形AFAC△FAD等腰三角形 AFDFDB+BFDB+ABAB＋BD＝AC
7反证法
反证法种间接证法先提出命题结相反假设然假设出发正确推理导致矛盾否定相反假设达肯定原命题正确种方法反证法分谬反证法(结反面种)穷举反证法(结反面种)反证法证明命题步骤体分：(1)反设(2)谬(3)结
反设反证法基础正确作出反设掌握常互否定表述形式必例：存存行行垂直垂直等等()()少没少n(n1)少两唯少两
谬反证法关键导出矛盾程没固定模式必须反设出发否推导成源水木推理必须严谨导出矛盾种类型：已知条件矛盾已知公理定义定理公式矛盾反设矛盾相矛盾
例题：
P两条异面直线lm外意点( )
A．点P仅条直线lm行
B．点P仅条直线lm垂直
C．点P仅条直线lm相交
D．点P仅条直线lm异面
分析 A存直线nn∥ln∥m
l∥mlm异面矛盾C点Plm相交直线定存反例图(l∥α)D点Plm异面直线唯．
答案B
8面积法
面中讲面积公式面积公式推出面积计算关性质定理仅计算面积证明面题时会收事半功倍效果运面积关系证明计算面题方法称面积方法中种常方法
纳法分析法证明面题困难添置辅助线面积法特点已知未知量面积公式联系起通运算达求证结果面积法解题元素间关系变成数量间关系需计算时添置补助线需添置辅助线容易考虑
例题：
图2C线段AB点△ACD△BCE等边三角形AEBD相交O
求证：∠AOC∠BOC
图2
证明：点C作CP⊥AECQ⊥BD垂足分PQ
△ACD△BCE等边三角形
ACCDCECB∠ACD∠BCE
∠ACE∠DCB
△ACE≌△DCB
AEBD
CPCQ
OC分∠AOB
∠AOC∠BOC
9变换法
数学问题研究中常常运变换法复杂性问题转化简单性问题解决谓变换集合元素集合元素映射中学数学中涉变换初等变换难甚法手题助变换法化繁简化难易方面变换观点渗透中学数学教学中图形相等静止条件研究运动中研究结合起利图形质认识
变换包括：（1）移（2）旋转（3）称
例题：
1 移变换 图形中某线段者角移动新位置图形中分散条件紧密结合起
般2种方法：
1移已知条件
2移求问题求问题转化实逆证明题数逆思考
例 ：三角形ABC中BDCE求证：AB+ACAD+AE典型移条件问题
解三角形AEC移图示FBD位置里BDEC条件 设ABFD交P
样容易构造两全等三角形 AECFBD
PA+PD AD
PF+PB BF
两式相加 PA+PB+PD+PFAD+BF
BF AEAC FD
AB+ACAD+AE
2旋转变换 面图形绕旋转中心旋转定角分散条件集中起
例：图等腰直角三角形ABC中ABAC∠A90MN斜边BC两点∠MAN45求证BM^2+CN^2MN^2
解证BM^2+CN^2MN^2容易想勾股定理BMCNMN三角形设法BMCNMN移三角形考虑△ABC等腰三角形直角三角形△ABM绕点A逆时针旋转90ABAC重合△ACD △NCD直角三角形
需证明MNND
∠MAN45∠BAM+∠NAC45 ∠NAD45
AMAD
△AND≌△AMN
MNND直角△NDC中ND^2NC^2+DC^2BM^2+CN^2MN^2
3称变换 通作关某直线点称图图形中图形称位置分散条件集中起
出现两种情况时常考虑变换：1出现明显轴称中心称条件时2出现明显垂线条件时
例△ABC中∠BAC90 △ACD等边三角形已知∠DBC2∠DBA求∠DBA
解称知△BAE全等△BAD DE⊥AB
BEBDAEAD ∠ABE∠ABD
∠DBC2∠DBA ∠DBC∠DBE
BC取点FBFBE
∠BAC90 DE⊥AB
DE∥BC ∠ADE∠DAC60
ADE等边三角形
DEADDC
EF关BD称
DFDEDC BFBEBD
设∠DBAa ∠DBF2a
BFBD∠BFD（1802a）290a
DFDC ∠DCF90a
∠ACB18060（90a）30+a
∠ABC+∠ACB90 a+2a+30+a90 a15
∠DBAa15
10客观性题解题方法
选择题出条件结求根定关系找出正确答案类题型选择题题型构思精巧形式灵活较全面考察学生基础知识基技增试卷容量知识覆盖面
填空题标准化考试重题型选择题样具考查目标明确知识复盖面广评卷准确迅速利考查学生分析判断力计算力等优点填空题未出答案防止学生猜估答案情况
想迅速正确解选择题填空题具准确计算严密推理外解选择题填空题方法技巧面通实例介绍常方法
（1）直接推演法：直接命题出条件出发运概念公式定理等进行推理运算出结选择正确答案传统解题方法种解法直接推演法
（2）验证法：题设找出合适验证条件通验证找出正确答案供选择答案代入条件中验证找出正确答案法称验证法（称代入法）遇定量命题时常法
（3）特殊元素法：合适特殊元素（数图形）代入题设条件结中获解答种方法特殊元素法
（4）排筛选法：正确答案选择题根数学知识推理演算正确结排余结筛选作出正确结解法排筛选法
（5）图解法：助符合题设条件图形图象性质特点判断作出正确选择称图解法图解法解选择题常方法
（6）分析法：直接通选择题条件结作详分析纳判断选出正确结果称分析法
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1配方法
谓配方解析式利恒等变形方法中某项配成项式正整数次幂形式通配方解决数学问题方法配方法中配成完全方式配方法数学中种重恒等变形方法应十分非常广泛式分解化简根式解方程证明等式等式求函数极值解析式等方面常
例题：
配方法解方程x2+4x+10配方( )
A．(x+2) 25 B．(x－2) 25 C．(x－2) 23 D．(x+2) 23
分析配方法：二次项系数1常数项次项系数半方二次项系数1先提取二次项系数化1计算
解方程x2+4x+10
移：x2+4x－1
配方：x2+4x+4－1+4
(x+2) 23
选D
2式分解法
式分解项式化成整式积形式式分解恒等变形基础作数学力工具种数学方法代数三角等解题中起着重作式分解方法许中学课介绍提取公式法公式法分组分解法十字相法等外利拆项添项求根分解换元定系数等等
例题：
项式x2+mx3式分解结果（x1）（x+3）m值（ ）
A．2 B．2 C．0 D．1
分析根式分解整式法相反方变形先（x1）（x+3）法公式展开根应项系数相等求出m值
解∵x2+mx3式分解结果（x1）（x+3）
x2+mx3（x1）（x+3）
∴x2+mx3（x1）（x+3）x2+2x3
∴m2
选B
3换元法
换元法数学中非常重应十分广泛解题方法通常未知数变数称元谓换元法较复杂数学式子中新变元代原式部分改造原式子简化问题易解决
例题：
已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)8x2+y2值（ ）
A．51 B．1 C．5 D．51
分析解题时x2+y2成整体考虑运式分解法较简单
解设x2+y2tt≥0原方程变形
(t+1)(t+3)8化简：
(t+5)(t1)0
解：t15t21
t≥0
∴t1
∴x2+y2值1．
选B．
4判式法韦达定理
元二次方程ax2+bx+c0（abc属Ra≠0）根判△b24ac仅判定根性质作种解题方法代数式变形解方程(组)解等式研究函数三角运算中非常广泛应
韦达定理已知元二次方程根求根已知两数积求两数等简单应外求根称函数计二次方程根符号解称方程组解关二次曲线问题等非常广泛应
注意：①△b24ac＜0方程实数根解②△b24ac 0方程两相等实数根③△b24ac＞0方程两相等实数根
例题：
什值时关方程实根
分析题设中方程未指明元二次方程元次方程应分＝0≠0两种情形讨
解＝0时≠0方程元次方程总实根
≠0时方程根条件：
△＝≥0解≥
∴≥时方程实根
综述：≥时方程实根
5定系数法
解数学问题时先判断求结果具某种确定形式中含某定系数根题设条件列出关定系数等式解出定系数值找定系数间某种关系解答数学问题种解题方法称定系数法中学数学中常方法
例题：
例1 已知函数y＝值7值－1求函数式
分析求函数表达式实际确定系数mn值已知值值实际已知函数值域分子分母二次函数分式函数值域易联想判式法
解 函数式变形： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0 x∈R 已知y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 ： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
等式①解集(17)－17方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0两根
代入两根： 解：
∴ y＝者y＝
题解集(17)设(y＋1)(y－7)≤0y－6y－7≤0然等式①较系数：解出mn求函数式y
6构造法
解题时常常会采样方法通条件结分析构造辅助元素图形方程(组)等式函数等价命题等架起座连接条件结桥梁问题解决种解题数学方法称构造法运构造法解题代数三角等种数学知识互相渗透利问题解决
例题：
图△ABC中∠B2∠C∠BAC分线交BC点D求证：AB＋BD＝AC
分析遇三角形角分线时常构造等腰三角形助等腰三角形关性质够找解题途径
解延长CB点FBFAB连接AF△BAF等腰三角形∠F∠1根三角形外角关性质出∠ABD∠1+∠F ∠ABD2∠12∠F∠ABD2∠C∠C∠1∠F △AFC等腰三角形AFAC△FAD等腰三角形 AFDFDB+BFDB+ABAB＋BD＝AC
7反证法
反证法种间接证法先提出命题结相反假设然假设出发正确推理导致矛盾否定相反假设达肯定原命题正确种方法反证法分谬反证法(结反面种)穷举反证法(结反面种)反证法证明命题步骤体分：(1)反设(2)谬(3)结
反设反证法基础正确作出反设掌握常互否定表述形式必例：存存行行垂直垂直等等()()少没少n(n1)少两唯少两
谬反证法关键导出矛盾程没固定模式必须反设出发否推导成源水木推理必须严谨导出矛盾种类型：已知条件矛盾已知公理定义定理公式矛盾反设矛盾相矛盾
例题：
P两条异面直线lm外意点( )
A．点P仅条直线lm行
B．点P仅条直线lm垂直
C．点P仅条直线lm相交
D．点P仅条直线lm异面
分析 A存直线nn∥ln∥m
l∥mlm异面矛盾C点Plm相交直线定存反例图(l∥α)D点Plm异面直线唯．
答案B
8面积法
面中讲面积公式面积公式推出面积计算关性质定理仅计算面积证明面题时会收事半功倍效果运面积关系证明计算面题方法称面积方法中种常方法
纳法分析法证明面题困难添置辅助线面积法特点已知未知量面积公式联系起通运算达求证结果面积法解题元素间关系变成数量间关系需计算时添置补助线需添置辅助线容易考虑
例题：
图2C线段AB点△ACD△BCE等边三角形AEBD相交O
求证：∠AOC∠BOC
图2
证明：点C作CP⊥AECQ⊥BD垂足分PQ
△ACD△BCE等边三角形
ACCDCECB∠ACD∠BCE
∠ACE∠DCB
△ACE≌△DCB
AEBD
CPCQ
OC分∠AOB
∠AOC∠BOC
9变换法
数学问题研究中常常运变换法复杂性问题转化简单性问题解决谓变换集合元素集合元素映射中学数学中涉变换初等变换难甚法手题助变换法化繁简化难易方面变换观点渗透中学数学教学中图形相等静止条件研究运动中研究结合起利图形质认识
变换包括：（1）移（2）旋转（3）称
例题：
1 移变换 图形中某线段者角移动新位置图形中分散条件紧密结合起
般2种方法：
1移已知条件
2移求问题求问题转化实逆证明题数逆思考
例 ：三角形ABC中BDCE求证：AB+ACAD+AE典型移条件问题
解三角形AEC移图示FBD位置里BDEC条件 设ABFD交P
样容易构造两全等三角形 AECFBD
PA+PD AD
PF+PB BF
两式相加 PA+PB+PD+PFAD+BF
BF AEAC FD
AB+ACAD+AE
2旋转变换 面图形绕旋转中心旋转定角分散条件集中起
例：图等腰直角三角形ABC中ABAC∠A90MN斜边BC两点∠MAN45求证BM^2+CN^2MN^2
解证BM^2+CN^2MN^2容易想勾股定理BMCNMN三角形设法BMCNMN移三角形考虑△ABC等腰三角形直角三角形△ABM绕点A逆时针旋转90ABAC重合△ACD △NCD直角三角形
需证明MNND
∠MAN45∠BAM+∠NAC45 ∠NAD45
AMAD
△AND≌△AMN
MNND直角△NDC中ND^2NC^2+DC^2BM^2+CN^2MN^2
3称变换 通作关某直线点称图图形中图形称位置分散条件集中起
出现两种情况时常考虑变换：1出现明显轴称中心称条件时2出现明显垂线条件时
例△ABC中∠BAC90 △ACD等边三角形已知∠DBC2∠DBA求∠DBA
解称知△BAE全等△BAD DE⊥AB
BEBDAEAD ∠ABE∠ABD
∠DBC2∠DBA ∠DBC∠DBE
BC取点FBFBE
∠BAC90 DE⊥AB
DE∥BC ∠ADE∠DAC60
ADE等边三角形
DEADDC
EF关BD称
DFDEDC BFBEBD
设∠DBAa ∠DBF2a
BFBD∠BFD（1802a）290a
DFDC ∠DCF90a
∠ACB18060（90a）30+a
∠ABC+∠ACB90 a+2a+30+a90 a15
∠DBAa15
10客观性题解题方法
选择题出条件结求根定关系找出正确答案类题型选择题题型构思精巧形式灵活较全面考察学生基础知识基技增试卷容量知识覆盖面
填空题标准化考试重题型选择题样具考查目标明确知识复盖面广评卷准确迅速利考查学生分析判断力计算力等优点填空题未出答案防止学生猜估答案情况
想迅速正确解选择题填空题具准确计算严密推理外解选择题填空题方法技巧面通实例介绍常方法
（1）直接推演法：直接命题出条件出发运概念公式定理等进行推理运算出结选择正确答案传统解题方法种解法直接推演法
（2）验证法：题设找出合适验证条件通验证找出正确答案供选择答案代入条件中验证找出正确答案法称验证法（称代入法）遇定量命题时常法
（3）特殊元素法：合适特殊元素（数图形）代入题设条件结中获解答种方法特殊元素法
（4）排筛选法：正确答案选择题根数学知识推理演算正确结排余结筛选作出正确结解法排筛选法
（5）图解法：助符合题设条件图形图象性质特点判断作出正确选择称图解法图解法解选择题常方法
（6）分析法：直接通选择题条件结作详分析纳判断选出正确结果称分析法
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