短程赛跑中运动员速度变化情况
摘 文讨短程赛跑程中速度变化情况问题参考Keller赛跑模型建立动态优化数学模型 赛跑路程确定前提通利优化原理建立动态规划模型运动员短程赛跑程中速度时间关系进行讨赛跑程中速度受身生理条件限制外阻力等素影响假定力满足微分方程关系式外阻力速度成正
针问题根已知条件求解微分方程根牛顿运动第二定理出速度关时间表达式路程满足表达式通MATLAB问题二表格中数进行非线性拟合求解出运动员赛跑程中达速度时间已求数出速度关时间终表达式利MATLABplot函数作出示意图发现赛程进行段时间运动员速度达极限函数极值处段时间量源受限制运动员速度会越越慢较符合实际情况
针问题二表格中数逐代入速度关时间终表达式中算出速度理值理值实际值进行较总结终表格发现理值实际值误差说明出理表达式较准确
关键词 跑步速度 阻力系数 力 力限制系数 非线性曲线拟合
问题重述
研究发现短跑赛中运动员生理条件限制达定高速度持续发挥力 假设运动员克服生理限制发挥力满足力限制系数力
问题： （1）试建立模型求出短跑赛时速度距离表达式达高速度时间作出示意图
（2） 某届奥运会男子百米决赛前6名赛中达距离处时间时速度表示（均值）：
s(m)
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
t(s)
0
0955
2435
3435
4355
5230
6085
6945
7815
8690
9575
v(ms)
0
524
954
1052
1119
1162
1176
1149
1147
1136
1122
试组数算出理值实际数较 模型什解释评价
二 问题分析
运动员赛跑程中速度受身生理条件限制外阻力等素影响会着时间变化变化 距离定前提运动员身体提供力越受外阻力越赛跑程中达速度越成绩越 力量源呼吸作产生量体储存量前者假设保持定者会着时间增加断消耗赛跑时运动员力会断减时外阻力会着速度增加增加出赛跑程中速度着时间变化先增达速度会减少 讨问题程中认阻力速度成正运动员质量单位质量
针问题运动员克服生理限制发挥力满足微分方程已知知等式两边关变量积分求出力关时间关系式运动员赛跑程中外阻力满足根牛顿第二定理求出运动员赛时速度关时间表达式根关积分距离关时间表达式
表达式关变量参数函数运动员定问题二表格中某点恰达速度值求出达高速度时间通问题二中数利MATLAB进行非线性拟合出拟合函数进行求导计算时求解出拟合出参数（估计值求解参数精确值时作迭代初值）
作出示意图根出关参数表达式进行拟合时求达时时刻路程时带入表达式中利MATLABfsolve函数求解该三元方程组出参数实际值（迭代初值)确定表达式利MATLAB绘图功进行绘图
针问题二问题中已通讨确定表达式分带入表格中数速度理值表格中数进行较模型进行合理解释评价
三 模型假设
1 赛跑时体外阻力速度成正例系数 运动员发挥力初速度
2 运动员质量单位质量
3 时运动员达力跑步程中力着时间递减
四 符号表示
运动员奔跑时间
运动员达速度时间
运动员奔跑程中力
运动员奔跑程中力
进行非线性拟合时出力估计值
运动员奔跑程中加速度
运动员奔跑程中跑步速度
运动员奔跑程中达速度
运动员奔跑程中跑步距离
运动员达速度时路程
运动员奔跑程中受外阻力
力限制系数
进行非线性拟合时出力限制系数估计值
运动员质量
奔跑程中体外阻力例系数倒数
进行非线性拟合时出体外阻力例系数倒数估计值
运动员奔跑程中速度关时间表达式
运动员奔跑程中速度关时间表达式
运动员达速度时时间关参数表达式
五 模型建立求解
问题中建立微分方程模型通已知满足微分方程进行求解时利牛顿运动第二定理建立微分方程进行两次积分出短跑赛时速度距离表达式通MATLAB软件问题二表格中数进行非线性拟合求出拟合曲线应极值点赛跑程中速度达值时应时间点通MATLAB参数实际值进行求解出终表达式（含参数）利MATLAB中plot函数出示意图(见图二)
问题二中利问题中出终表达式表格中时间数代入速度理值实际值进行较总结成表格（见表格二）
51问题模型建立求解
问题分成三部分逐求解：建立微分方程模型求解出速度距离表达式通MATLAB进行数非线性拟合出达高速度时间求解出速度终表达式（含参数）利MATLAB画图函数出函数示意图
511 求短跑赛时速度v(t)距离s(t)表达式
条件知
等式两边关变量积分
（意常数）
带入初值条件解出意常数
根牛顿运动第二定理
带入
等式两边关变量积分
（意常数）
带入初值条件 解出意常数
等式两边关变量积分
(意常数)
带入初值条件 解出意常数
512 求解达高速度时间
根问题二中表格1（）
s(m)
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
t(s)
0
0955
2435
3435
4355
5230
6085
6945
7815
8690
9575
v(ms)
0
524
954
1052
1119
1162
1176
1149
1147
1136
1122
表格 1 某运动员赛程中数记录
利MATLAB数数分进行非线性拟合（程序见附录1）拟合图图1图2示
图 1 时间速度非线性拟合函数图
图 2 时间路程非线性拟合函数图
出参数估计值
利导数求出拟合函数极值点（程序见附录2）
代入求应
表格1中数发现误差拟合精确度较高
513作出v(t)示意图
前面讨知速度关时间表达式
路程关时间表达式
运动员奔跑程中达速度时值
关变量求阶导数
出达速度值点时时间关系式
代入表达式中利MATLABfsolve函数求解该三元方程组（迭代初值程序见附录3）出参数实际值
易见参数实际值估计值误差计算较精确
参数实际值代入关系式中出终速度关时间表达式
利MATLABplot函数出示意图（程序见附录4）图3示
图 3 速度关时间函数图
图形知道赛程进行段时间运动员速度达极限函数极值处段时间量源受限制运动员速度会越越慢该图形符合实际情况时通发现精确图拟合图相似度高说明非线性拟合较成功计算较精确
52 问题二模型建立求解
问题讨程知终速度关时间表达式
分带入表格1中数求出理值（程序见附录5）结果表格2
t(s)
0
0955
2435
3435
4355
5230
6085
6945
7815
8690
9575
v(ms)理值
0
528
940
1067
1127
1153
1162
1159
1150
1136
1120
v(ms)实际值
0
524
954
1052
1119
1162
1176
1149
1147
1136
1122
表格 2 速度v理值实际值较
模型评价见文第七部分
六 结果分析
1力递减便短跑速度先增减达值减少阶段 图知赛程进行段时间速度逐渐减图符合实际
2模型出计算出速度理值题中实际值吻合度较高模型建立较符合实际情况
七 模型评价
模型优点：
1 模型简单易行便理解现实生活紧密联系坚实数学基础具通性推广性
2 模型参考Keller跑步模型建立动态优化模型模型中涉众影响素进行量化分析模型稳定性高适性强
3 利MATLAB问题二中数进行两次非线性拟合分出拟合图增加模型直观性准确性模型更加符合实际情况
4 进行数时表格结果更直观明
模型缺点：
1 模型简化计算忽略体质量统理解单位质量实际生活中运动员质量相求解模型时结会差异
2 模型考虑外阻力时假设阻力速度成正实际生活中外阻力应速度方成正
3 模型中假设运动员力着时间增加断减时力根Keller模型理进行短程赛跑程中运动员开始段时间保持力
参考文献
[1] 姜启源 数学模型(第三版)[M] 高等教育出版社 200308
[2] 汪晓银 数学软件数学实验[M] 北京科学出版社 2008
[3] 动态优化模型Keller跑步模型（短跑模型）百度文库网址：
httpwenkubaiducomlinkurl1wdM0Y1Oib_Red5u3w6CEr7AP3qny6ZD35N3Wcym_6kiIHYvvQFJDlX4LZ8L4zSILU6bF08oQqZg7u8LAd_f3u44jGASNJjGP2pW4c3w9qe
附录
1（1） function fshujunihe(xt) 建立函数文件vt进行数拟合
fx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1)))
end
>> t[0 0955 2435 3435 4355 5230 6085 6945 7815 8690 9575]
>> v[0 524 954 1052 1119 1162 1176 1149 1147 1136 1122]
>> x0[02 005 005]
>> xlsqcurvefit(＇shujunihe＇x0tv)
x 拟合出参数kF值
18510 479128 71541
（2）function sshujunihe2(at) 建立函数文件st进行数拟合
sa(1)*a(2)*a(3)(a(2)a(1))*(a(1)+a(2)a(2)*exp(ta(2))+a(1)*exp(ta(1)))
end
>> t[0 0955 2435 3435 4355 5230 6085 6945 7815 8690 9575]
>> s[0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95]
>> a0[02 005 005]
>>alsqcurvefit(＇shujunihe2＇a0ts)
a
10e+003 *
00014 12284 00085
2 >>syms t
>> vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1)))
>>ydiff(ft)
>>p solve(y) 解出拟合 vt函数值点
>> vvpa(p5)
t
62645
>> vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1))) 解出拟合 vt函数值
v
11619205894811502042846273899606
>>syms t
>> sa(1)*a(2)*a(3)(a(2)a(1))*(a(1)+a(2)a(2)*exp(ta(2))+a(1)*exp(ta(1)))
s
20194203472002018070346247605727(1267650600228229401496703205376*exp((2251799813685248*t)3080858237213429)) 35413289198502315649416190195659(2475880078570760549798248448*exp((4398046511104*t)5402704983402393)) + 8843461848711516211103688124617618970019642690137449562112
>> t62645
>> sa(1)*a(2)*a(3)(a(2)a(1))*(a(1)+a(2)a(2)*exp(ta(2))+a(1)*exp(ta(1)))
s
569885
3 function Ffeifei(b) 建立函数文件求解taokF
F(1)b(1)*b(2)*b(3)(b(2)b(1))*(exp(62645b(2))exp(62645b(1)))116192
F(2)b(1)*b(2)*b(3)(b(2)b(1))*(b(1)+b(2)b(2)*exp(62645b(2))+b(1)*exp(62645b(1)))562544
F(3)b(1)*b(2)(b(2)b(1))*log(b(2)b(1))62645
end
>>fsolve(＇feifei＇[18 47 71]) 求tao kF
ans
18510 479143 71542
4 >>t000110
>>x[ 18510 479128 71541]
>>vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1)))
>>plot(tv) 作出理vt函数图
5 >>t[0 0955 2435 3435 4355 5230 6085 6945 7815 8690 9575]
>> vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1))) v(t)理值
v
Columns 1 through 10
0 52801 93958 106682 112678 115336 116173 115926 114995 113638
Column 11
112014
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摘 文讨短程赛跑程中速度变化情况问题参考Keller赛跑模型建立动态优化数学模型 赛跑路程确定前提通利优化原理建立动态规划模型运动员短程赛跑程中速度时间关系进行讨赛跑程中速度受身生理条件限制外阻力等素影响假定力满足微分方程关系式外阻力速度成正
针问题根已知条件求解微分方程根牛顿运动第二定理出速度关时间表达式路程满足表达式通MATLAB问题二表格中数进行非线性拟合求解出运动员赛跑程中达速度时间已求数出速度关时间终表达式利MATLABplot函数作出示意图发现赛程进行段时间运动员速度达极限函数极值处段时间量源受限制运动员速度会越越慢较符合实际情况
针问题二表格中数逐代入速度关时间终表达式中算出速度理值理值实际值进行较总结终表格发现理值实际值误差说明出理表达式较准确
关键词 跑步速度 阻力系数 力 力限制系数 非线性曲线拟合
问题重述
研究发现短跑赛中运动员生理条件限制达定高速度持续发挥力 假设运动员克服生理限制发挥力满足力限制系数力
问题： （1）试建立模型求出短跑赛时速度距离表达式达高速度时间作出示意图
（2） 某届奥运会男子百米决赛前6名赛中达距离处时间时速度表示（均值）：
s(m)
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
t(s)
0
0955
2435
3435
4355
5230
6085
6945
7815
8690
9575
v(ms)
0
524
954
1052
1119
1162
1176
1149
1147
1136
1122
试组数算出理值实际数较 模型什解释评价
二 问题分析
运动员赛跑程中速度受身生理条件限制外阻力等素影响会着时间变化变化 距离定前提运动员身体提供力越受外阻力越赛跑程中达速度越成绩越 力量源呼吸作产生量体储存量前者假设保持定者会着时间增加断消耗赛跑时运动员力会断减时外阻力会着速度增加增加出赛跑程中速度着时间变化先增达速度会减少 讨问题程中认阻力速度成正运动员质量单位质量
针问题运动员克服生理限制发挥力满足微分方程已知知等式两边关变量积分求出力关时间关系式运动员赛跑程中外阻力满足根牛顿第二定理求出运动员赛时速度关时间表达式根关积分距离关时间表达式
表达式关变量参数函数运动员定问题二表格中某点恰达速度值求出达高速度时间通问题二中数利MATLAB进行非线性拟合出拟合函数进行求导计算时求解出拟合出参数（估计值求解参数精确值时作迭代初值）
作出示意图根出关参数表达式进行拟合时求达时时刻路程时带入表达式中利MATLABfsolve函数求解该三元方程组出参数实际值（迭代初值)确定表达式利MATLAB绘图功进行绘图
针问题二问题中已通讨确定表达式分带入表格中数速度理值表格中数进行较模型进行合理解释评价
三 模型假设
1 赛跑时体外阻力速度成正例系数 运动员发挥力初速度
2 运动员质量单位质量
3 时运动员达力跑步程中力着时间递减
四 符号表示
运动员奔跑时间
运动员达速度时间
运动员奔跑程中力
运动员奔跑程中力
进行非线性拟合时出力估计值
运动员奔跑程中加速度
运动员奔跑程中跑步速度
运动员奔跑程中达速度
运动员奔跑程中跑步距离
运动员达速度时路程
运动员奔跑程中受外阻力
力限制系数
进行非线性拟合时出力限制系数估计值
运动员质量
奔跑程中体外阻力例系数倒数
进行非线性拟合时出体外阻力例系数倒数估计值
运动员奔跑程中速度关时间表达式
运动员奔跑程中速度关时间表达式
运动员达速度时时间关参数表达式
五 模型建立求解
问题中建立微分方程模型通已知满足微分方程进行求解时利牛顿运动第二定理建立微分方程进行两次积分出短跑赛时速度距离表达式通MATLAB软件问题二表格中数进行非线性拟合求出拟合曲线应极值点赛跑程中速度达值时应时间点通MATLAB参数实际值进行求解出终表达式（含参数）利MATLAB中plot函数出示意图(见图二)
问题二中利问题中出终表达式表格中时间数代入速度理值实际值进行较总结成表格（见表格二）
51问题模型建立求解
问题分成三部分逐求解：建立微分方程模型求解出速度距离表达式通MATLAB进行数非线性拟合出达高速度时间求解出速度终表达式（含参数）利MATLAB画图函数出函数示意图
511 求短跑赛时速度v(t)距离s(t)表达式
条件知
等式两边关变量积分
（意常数）
带入初值条件解出意常数
根牛顿运动第二定理
带入
等式两边关变量积分
（意常数）
带入初值条件 解出意常数
等式两边关变量积分
(意常数)
带入初值条件 解出意常数
512 求解达高速度时间
根问题二中表格1（）
s(m)
0
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
t(s)
0
0955
2435
3435
4355
5230
6085
6945
7815
8690
9575
v(ms)
0
524
954
1052
1119
1162
1176
1149
1147
1136
1122
表格 1 某运动员赛程中数记录
利MATLAB数数分进行非线性拟合（程序见附录1）拟合图图1图2示
图 1 时间速度非线性拟合函数图
图 2 时间路程非线性拟合函数图
出参数估计值
利导数求出拟合函数极值点（程序见附录2）
代入求应
表格1中数发现误差拟合精确度较高
513作出v(t)示意图
前面讨知速度关时间表达式
路程关时间表达式
运动员奔跑程中达速度时值
关变量求阶导数
出达速度值点时时间关系式
代入表达式中利MATLABfsolve函数求解该三元方程组（迭代初值程序见附录3）出参数实际值
易见参数实际值估计值误差计算较精确
参数实际值代入关系式中出终速度关时间表达式
利MATLABplot函数出示意图（程序见附录4）图3示
图 3 速度关时间函数图
图形知道赛程进行段时间运动员速度达极限函数极值处段时间量源受限制运动员速度会越越慢该图形符合实际情况时通发现精确图拟合图相似度高说明非线性拟合较成功计算较精确
52 问题二模型建立求解
问题讨程知终速度关时间表达式
分带入表格1中数求出理值（程序见附录5）结果表格2
t(s)
0
0955
2435
3435
4355
5230
6085
6945
7815
8690
9575
v(ms)理值
0
528
940
1067
1127
1153
1162
1159
1150
1136
1120
v(ms)实际值
0
524
954
1052
1119
1162
1176
1149
1147
1136
1122
表格 2 速度v理值实际值较
模型评价见文第七部分
六 结果分析
1力递减便短跑速度先增减达值减少阶段 图知赛程进行段时间速度逐渐减图符合实际
2模型出计算出速度理值题中实际值吻合度较高模型建立较符合实际情况
七 模型评价
模型优点：
1 模型简单易行便理解现实生活紧密联系坚实数学基础具通性推广性
2 模型参考Keller跑步模型建立动态优化模型模型中涉众影响素进行量化分析模型稳定性高适性强
3 利MATLAB问题二中数进行两次非线性拟合分出拟合图增加模型直观性准确性模型更加符合实际情况
4 进行数时表格结果更直观明
模型缺点：
1 模型简化计算忽略体质量统理解单位质量实际生活中运动员质量相求解模型时结会差异
2 模型考虑外阻力时假设阻力速度成正实际生活中外阻力应速度方成正
3 模型中假设运动员力着时间增加断减时力根Keller模型理进行短程赛跑程中运动员开始段时间保持力
参考文献
[1] 姜启源 数学模型(第三版)[M] 高等教育出版社 200308
[2] 汪晓银 数学软件数学实验[M] 北京科学出版社 2008
[3] 动态优化模型Keller跑步模型（短跑模型）百度文库网址：
httpwenkubaiducomlinkurl1wdM0Y1Oib_Red5u3w6CEr7AP3qny6ZD35N3Wcym_6kiIHYvvQFJDlX4LZ8L4zSILU6bF08oQqZg7u8LAd_f3u44jGASNJjGP2pW4c3w9qe
附录
1（1） function fshujunihe(xt) 建立函数文件vt进行数拟合
fx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1)))
end
>> t[0 0955 2435 3435 4355 5230 6085 6945 7815 8690 9575]
>> v[0 524 954 1052 1119 1162 1176 1149 1147 1136 1122]
>> x0[02 005 005]
>> xlsqcurvefit(＇shujunihe＇x0tv)
x 拟合出参数kF值
18510 479128 71541
（2）function sshujunihe2(at) 建立函数文件st进行数拟合
sa(1)*a(2)*a(3)(a(2)a(1))*(a(1)+a(2)a(2)*exp(ta(2))+a(1)*exp(ta(1)))
end
>> t[0 0955 2435 3435 4355 5230 6085 6945 7815 8690 9575]
>> s[0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95]
>> a0[02 005 005]
>>alsqcurvefit(＇shujunihe2＇a0ts)
a
10e+003 *
00014 12284 00085
2 >>syms t
>> vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1)))
>>ydiff(ft)
>>p solve(y) 解出拟合 vt函数值点
>> vvpa(p5)
t
62645
>> vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1))) 解出拟合 vt函数值
v
11619205894811502042846273899606
>>syms t
>> sa(1)*a(2)*a(3)(a(2)a(1))*(a(1)+a(2)a(2)*exp(ta(2))+a(1)*exp(ta(1)))
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20194203472002018070346247605727(1267650600228229401496703205376*exp((2251799813685248*t)3080858237213429)) 35413289198502315649416190195659(2475880078570760549798248448*exp((4398046511104*t)5402704983402393)) + 8843461848711516211103688124617618970019642690137449562112
>> t62645
>> sa(1)*a(2)*a(3)(a(2)a(1))*(a(1)+a(2)a(2)*exp(ta(2))+a(1)*exp(ta(1)))
s
569885
3 function Ffeifei(b) 建立函数文件求解taokF
F(1)b(1)*b(2)*b(3)(b(2)b(1))*(exp(62645b(2))exp(62645b(1)))116192
F(2)b(1)*b(2)*b(3)(b(2)b(1))*(b(1)+b(2)b(2)*exp(62645b(2))+b(1)*exp(62645b(1)))562544
F(3)b(1)*b(2)(b(2)b(1))*log(b(2)b(1))62645
end
>>fsolve(＇feifei＇[18 47 71]) 求tao kF
ans
18510 479143 71542
4 >>t000110
>>x[ 18510 479128 71541]
>>vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1)))
>>plot(tv) 作出理vt函数图
5 >>t[0 0955 2435 3435 4355 5230 6085 6945 7815 8690 9575]
>> vx(1)*x(2)*x(3)(x(2)x(1))*(exp(tx(2))exp(tx(1))) v(t)理值
v
Columns 1 through 10
0 52801 93958 106682 112678 115336 116173 115926 114995 113638
Column 11
112014
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