世代数模拟试题
单项选择题(题5题题3分15分)
1设A＝B＝R(实数集)果AB映射：x→x＋2x∈RAB（ ）
A满射非单射 B单射非满射 C映射 D非单射非满射
2设集合A中含5元素集合B中含2元素AB积集合A×B中含（ ）元素
A2 B5 C7 D10
3群G中方程axbyab ab∈G解解（ ）法说
A唯 B唯 C定唯 D相(两方程解样)
4G限群子群H含元数左陪集aH含元数（ ）
A相等 B0 C相等 D定相等
5n阶限群G子群H阶必须n（ ）
A倍数 B次数 C约数 D指数
二填空题(题10题空3分30分)
1设集合
2元素e∈Ra∈Aaeeaae称环R
3环法般交换果环R法交换称R
4偶数环 子环
5集合A干变换法作成群做A
6限群置换群
7全体等0理数普通法说作成群群单位元 元a逆元
8设环理想果理想
9环中心
三解答题（题3题题10分30分）
1设置换分：判断奇偶性写成换积
2证明：方阵唯表示成称矩阵反称矩阵
3设集合定义中运算ab(a+b)(modm)（）群什？
四证明题（题2题第1题10分第2题15分25分）
1设群证明：果意交换群
2假定R两元环F包含R域F包含R商域
世代数模拟试题 参考答案
单项选择题
1C2D3B4C5D
二填空题
12单位元3交换环4整数环
5变换群6构71 8SISR 9域
三解答题
1解：写成相杂轮换积：
知奇置换偶置换 写成换积：
2解：设A意方阵令 B称矩阵C反称矩阵令里分称矩阵反称矩阵等式左边称矩阵右边反称矩阵两边必须等0：表示法唯
3答：（）群中两单位元素0m
四证明题
1证：G中意元xy（x）
2证：F里意义
作F子集
显然R商域证毕
世代数模拟试题二
单项选择题(题5题题3分15分)
1设G 6元素循环群a生成元G子集（ ）子群
A B C D
2面代数系统（G*）中（ ）群
AG整数集合*加法 BG偶数集合*加法
CG理数集合*加法 DG理数集合*法
3然数集N列种运算结合？（ ）
Aa*bab Ba*bmax{ab} C a*ba+2b Da*b|ab|
4设三置换中（12）（23）（13）（24）（14）（1324）（ ）
A B C D
5意具2元半群（ ）
A群 B定群 C定群 D 交换群
二填空题(题10题空3分30分)
1凯莱定理说：子群 构
2单位元零子 称整环
3已知群中元素阶等50阶等
4a阶限整数nG 构
5A{123} B{256} A∩B
6映射单射满射称
7做域代数元果存
8代数系统元素均成立称
9限群定义：法限非空集合作成群果满足法封闭结合律成立
10环R加法作成循环群P
三解答题（题3题题10分30分）
1设集合A{123}GA置换群HG子群H{I(1 2)}写出H陪集
2设E偶数做成集合数法E中运算（E）代数系统问（E）群什？
3a493 b391 求(ab) [ab] p q
四证明题（题2题第1题10分第2题15分25分）
1群意ab∈G必惟x∈Ga*x＝b
2设m正整数利m定义整数集Z二元关系：a〜b仅m︱a–b
世代数模拟试题二 参考答案
单项选择题
1C2D3B4B5A
二填空题
1变换群2交换环3254模n余类加群5{2}6映射
7等零元8右单位元9消律成立10交换环
三解答题
1解：H3右陪集：{I(1 2)}{(1 2 3 )(1 3)}{(1 3 2 )(2 3 )}
H3左陪集：{I(1 2)} {(1 2 3 )(2 3)}{(1 3 2 )(1 3 )}
2答：（E）群（E）中单位元
3解：辗转相法列算式：
ab+102 b3×102+85 1021×85+17
(ab)17 [ab]a×b1711339
然回代：1710285102(b3×102)4×102b4×(ab)b4a5b
p4 q5
四证明题
1证：设e群幺元令x＝a－1*ba*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝bx＝a－1*ba*x＝b解
x¢∈Ga*x＝b解x¢＝e*x¢＝(a－1*a)*x¢＝a－1*(a*x¢)＝a－1*b＝xx＝a－1*ba*x＝b惟解
2证：容易证明样关系Z等价关系样定义等价类集合记Zm整数a等价类记[a]｛x∈Zm︱x–a｝者记称模m剩余类
m︱a–b记a≡b(m)
m2时Z2仅含2元：[0][1]
世代数模拟试题三
单项选择题(题5题题3分15分)
16阶限群子群定（ ）
A2阶 B3 阶 C4 阶 D 6 阶
2设G群G（ ）元素肯定G交换群
A4 B5 C6 D7
3限布尔代数元素数定等（ ）
A偶数 B奇数 C4倍数 D2正整数次幂
4列偏序集构成界格（ ）
A（N） B（Z） C（{234612}|（整关系）） D (P(A))
5设S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}S3中(123)交换元素（ ）
A(1)(123)(132) B12)(13)(23) C(1)(123) DS3中元素
二填空题(题10题空3分30分)
1群单位元 元素逆元素
2果间映射元
3区间[12]运算单位元
4换群G中|a|6|x|8|ax|
5环Z8零子
6子群H右左陪集数
7构观点群构
8零子环R中非零元加法阶数称R
9设群中元素阶果存整关系
三解答题（题3题题10分30分）
12种颜色珠子做成5颗珠子项链问做出少种项链？
2S1S2A子环S1∩S2子环S1+S2子环？
3设置换
1．求
2．确定置换奇偶性
四证明题（题2题第1题10分第2题15分25分）
1环R两理想零理想单位理想
2M含幺半群证明ba1充分必条件abaaab2ae
世代数模拟试题三 参考答案
单项选择题
1C2C3D4D5A
二填空题
1唯唯23242456相等7商群8特征9
三解答题
1解：学群前没般方法枚举法笔纸画黑白两种珠子分类进行计算：例全白1种四白黑1种三白二黑2种…等等总8种
2证：题子环充分必条件证意ab∈S1∩S2 ab ab∈S1∩S2：
S1S2A子环ab ab∈S1ab ab∈S2
ab ab∈S1∩S2 S1∩S2子环
S1+S2定子环矩阵环中容易找反例：
3解： 1．2．两偶置换
四证明题
1证：假定R理想零理想a理想定义R意元说R证毕
2证：必性：b代入
充分性：利结合律作运算：abab(ab2a)(aba)b2aab2ae
ba(ab2a)baab2 (aba)ab2aeba1
世代数模拟试题四（参考答案）
单项选择题(题5题题3分15分)
1设集合A中含5元素集合B中含2元素AB积集合A×B中含（ ）元素
A2 B5 C7 D10
2设A＝B＝R(实数集)果AB映射：x→x＋2x∈R
AB（ ）
A满射非单射 B单射非满射 C映射 D非单射非满射
3设S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}S3中(123)交换元素（ ）
A(1)(123)(132) B(12)(13)(23) C(1)(123) DS3中元素
4设Z1515模剩余类加群Z15子群（ ）
A2 B4 C6 D8
5列集合关运算作成环（ ）
A整系数项式全体Z［x］关项式加法法
B理数域Qn级矩阵全体Mn(Q)关矩阵加法法
C整数集Z关数加法新定法：m n∈Z mn＝0
D整数集Z关数加法新定法：m n∈Z mn＝1
二填空题(题10题空3分30分)
6设～集合A关系果～满足___________称～A等价关系
7设(G·)群ab∈Gab∈GG中逆元(ab)－1＝
___________
8设σ＝(23)(35)τ＝(1243)(235)∈S5στ＝___________(表示成干没公数字循环置换积)
9果G含15元素群根Lagrange定理知a∈G元素a阶_ ___51513_______
103次称群S3中设H＝{(1)(123)(132)}S3变子群商群GH中元素(12)H＝___________
11设Z6＝{［0］［1］［2］［3］［4］［5］}6模剩余类环Z6中零子 234________
12设R零子环特征n限数n___________
13设Z［x］整系数项式环(x)项式x生成理想(x)＝_____________
14设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|ab∈Z}中i2＝－1Z［i］中单位______________________
15理数域Q代数元+Q极项式___________
三解答题（题3题题10分30分）
16设Z整数加群Zmm模剩余类加群ZZm映射中
：k→［k］k∈Z
验证：ZZm态满射求态核Ker
17求6模剩余类环Z6＝{［0］［1］［2］［3］［4］［5］}子环说明子环Z6理想
18试说明唯分解环理想环欧氏环三者间关系举例说明唯分解环未必理想环
四证明题（题3题第1920题10分第21题5分25分）
19设G＝{abc}G代数运算
右边运算表出证明：(G)作成群
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
20设
已知R关矩阵加法法作成环证明：IR子环理想
21设(R＋·)环果(R＋)循环群证明：R交换环
世代数试卷（选择题误已删）
判断题（题1分10分）
1设非空集合 （ ）
2设非空集合映射作二元运算（ ）
3映射必唯逆映射 （ ）
4果循环群中生成元阶限整数加群构 （ ）
5果群子群循环群循环群 （ ）
6群子群变子群充条件 （ ）
7果环阶单位元 （ ）
8环满足左消律必定没右零子 （ ）
9中满足条件项式做元域极项式 （ ）
10域特征限含构子域里整数环素数生成理想 （ ）
二填空题（空2分20分）
1设集合
2果间映射元
3设集合分类中两类果
4设群中元素阶果存整关系
5凯莱定理说：子群 构
6出5循环置换
7单位元环生成理想中元素表达
8单位元交换环理想域仅
9整环元做素元果
10域扩域做代数扩域果
三改错题（题3分15分）
1果集合代数运算时适合消律分配律里元次序掉换
2限群定义：法限非空集合作成群果满足法封闭结合律成立交换律成立
3设环理想果理想
4唯分解环两元定会公子公子必
5做域代数元果存等零元
四计算题（15分）
1出列四四元置换
组成群试写出法表求出单位元子群
2设模6剩余类环果计算次数
五证明题（题10分40分）
1设群两元设阶阶证明：阶
2设实数集令样变换构成集合试证明：变换普通法作成群
3设环两理想试证理想
4设限交换环含单位元1证明：中非零元逆元零子
世代数试卷参考解答
判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二填空题
1 2 3 4
5变换群 6 7 8理想
9p零元单位q子
10E元F代数元
三改错题
1果集合代数运算时适合消律分配律里元次序掉换 结合律交换律
2限群定义：法限非空集合作成群果满足法封闭结合律成立交换律成立消律成立
3设环理想果理想SISR
4唯分解环两元定会公子公子必dd′定公子dd′差单位子
5做域代数元果存等零元等零元
四计算题：五证明题（略）
基础测试题
填空题（42分）
1设集合分代数运算 满足结合律 时满足结合律 满足交换律 时满足交换律
2群中意元素
3设群G中元素a阶nn|m
4设意循环群 构
构
5设G6阶循环群G生成元 子群
6n次称群阶 置换阶
7设
8设
9设H限群G子群|G|
10意群 构
二证明题（24）
1设Gn阶限群证明：G中元素满足方程
2叙述群G非空子集H作成子群充条件证明群G意两子群HK交然G子群
3证明果群G中元素满足方程G必交换群
三解答题（34）
1 叙述群定义群定义验证整数集Z运算作成群
2写出三次称群子群写出关子群H｛（1）（23）｝左陪集右陪集
基础测试参考答案
填空题
1满足结合律 满足交换律 2 3e 4整数加群n次单位根群
5 6n4 7
8(456)(32) 9|H|(GH) 10（双射）变换群
二证明题
1已知|a|kk|n令nkq
G中元素满足方程
2充条件：
证明：已知HKG子群令QHK交
设
HG子群
KG子群
综述HG子群
3证：
G交换群
三解答题
1解：设G非空集合代数运算果满足条件：
（1）结合律成立G中意元素
（2）G中元素eG中元素
（3）G中元素
G代数运算作成群
意整数ab显然a+b+4ab唯确定G代数运算
（ab）c(a+b+4) c(a+b+4)+c+4a+b+c+8
a (bc)a+b+c+8
（ab）c a (bc)满足结合律
a均（4）a4+a+4a
4G左单位元
（8a）a8a+a+44
8aa左逆元
2解：子群阶数1236
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝
3阶子群｛（1）（123）（132）｝
6阶子群
左陪集：（1）H｛（1）（23）｝（23）H
（12）H｛（12）（123）｝（123）H
（13）H｛（13）（132）｝（132）H
右陪集：H（1）｛（1）（23）｝H（23）
H（13）｛（13）（23）｝H（123）
H（12）｛（12）（132）｝H（132）
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单项选择题(题5题题3分15分)
1设A＝B＝R(实数集)果AB映射：x→x＋2x∈RAB（ ）
A满射非单射 B单射非满射 C映射 D非单射非满射
2设集合A中含5元素集合B中含2元素AB积集合A×B中含（ ）元素
A2 B5 C7 D10
3群G中方程axbyab ab∈G解解（ ）法说
A唯 B唯 C定唯 D相(两方程解样)
4G限群子群H含元数左陪集aH含元数（ ）
A相等 B0 C相等 D定相等
5n阶限群G子群H阶必须n（ ）
A倍数 B次数 C约数 D指数
二填空题(题10题空3分30分)
1设集合
2元素e∈Ra∈Aaeeaae称环R
3环法般交换果环R法交换称R
4偶数环 子环
5集合A干变换法作成群做A
6限群置换群
7全体等0理数普通法说作成群群单位元 元a逆元
8设环理想果理想
9环中心
三解答题（题3题题10分30分）
1设置换分：判断奇偶性写成换积
2证明：方阵唯表示成称矩阵反称矩阵
3设集合定义中运算ab(a+b)(modm)（）群什？
四证明题（题2题第1题10分第2题15分25分）
1设群证明：果意交换群
2假定R两元环F包含R域F包含R商域
世代数模拟试题 参考答案
单项选择题
1C2D3B4C5D
二填空题
12单位元3交换环4整数环
5变换群6构71 8SISR 9域
三解答题
1解：写成相杂轮换积：
知奇置换偶置换 写成换积：
2解：设A意方阵令 B称矩阵C反称矩阵令里分称矩阵反称矩阵等式左边称矩阵右边反称矩阵两边必须等0：表示法唯
3答：（）群中两单位元素0m
四证明题
1证：G中意元xy（x）
2证：F里意义
作F子集
显然R商域证毕
世代数模拟试题二
单项选择题(题5题题3分15分)
1设G 6元素循环群a生成元G子集（ ）子群
A B C D
2面代数系统（G*）中（ ）群
AG整数集合*加法 BG偶数集合*加法
CG理数集合*加法 DG理数集合*法
3然数集N列种运算结合？（ ）
Aa*bab Ba*bmax{ab} C a*ba+2b Da*b|ab|
4设三置换中（12）（23）（13）（24）（14）（1324）（ ）
A B C D
5意具2元半群（ ）
A群 B定群 C定群 D 交换群
二填空题(题10题空3分30分)
1凯莱定理说：子群 构
2单位元零子 称整环
3已知群中元素阶等50阶等
4a阶限整数nG 构
5A{123} B{256} A∩B
6映射单射满射称
7做域代数元果存
8代数系统元素均成立称
9限群定义：法限非空集合作成群果满足法封闭结合律成立
10环R加法作成循环群P
三解答题（题3题题10分30分）
1设集合A{123}GA置换群HG子群H{I(1 2)}写出H陪集
2设E偶数做成集合数法E中运算（E）代数系统问（E）群什？
3a493 b391 求(ab) [ab] p q
四证明题（题2题第1题10分第2题15分25分）
1
2设m正整数利m定义整数集Z二元关系：a〜b仅m︱a–b
世代数模拟试题二 参考答案
单项选择题
1C2D3B4B5A
二填空题
1变换群2交换环3254模n余类加群5{2}6映射
7等零元8右单位元9消律成立10交换环
三解答题
1解：H3右陪集：{I(1 2)}{(1 2 3 )(1 3)}{(1 3 2 )(2 3 )}
H3左陪集：{I(1 2)} {(1 2 3 )(2 3)}{(1 3 2 )(1 3 )}
2答：（E）群（E）中单位元
3解：辗转相法列算式：
ab+102 b3×102+85 1021×85+17
(ab)17 [ab]a×b1711339
然回代：1710285102(b3×102)4×102b4×(ab)b4a5b
p4 q5
四证明题
1证：设e群
x¢∈Ga*x＝b解x¢＝e*x¢＝(a－1*a)*x¢＝a－1*(a*x¢)＝a－1*b＝xx＝a－1*ba*x＝b惟解
2证：容易证明样关系Z等价关系样定义等价类集合记Zm整数a等价类记[a]｛x∈Zm︱x–a｝者记称模m剩余类
m︱a–b记a≡b(m)
m2时Z2仅含2元：[0][1]
世代数模拟试题三
单项选择题(题5题题3分15分)
16阶限群子群定（ ）
A2阶 B3 阶 C4 阶 D 6 阶
2设G群G（ ）元素肯定G交换群
A4 B5 C6 D7
3限布尔代数元素数定等（ ）
A偶数 B奇数 C4倍数 D2正整数次幂
4列偏序集构成界格（ ）
A（N） B（Z） C（{234612}|（整关系）） D (P(A))
5设S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}S3中(123)交换元素（ ）
A(1)(123)(132) B12)(13)(23) C(1)(123) DS3中元素
二填空题(题10题空3分30分)
1群单位元 元素逆元素
2果间映射元
3区间[12]运算单位元
4换群G中|a|6|x|8|ax|
5环Z8零子
6子群H右左陪集数
7构观点群构
8零子环R中非零元加法阶数称R
9设群中元素阶果存整关系
三解答题（题3题题10分30分）
12种颜色珠子做成5颗珠子项链问做出少种项链？
2S1S2A子环S1∩S2子环S1+S2子环？
3设置换
1．求
2．确定置换奇偶性
四证明题（题2题第1题10分第2题15分25分）
1环R两理想零理想单位理想
2M含幺半群证明ba1充分必条件abaaab2ae
世代数模拟试题三 参考答案
单项选择题
1C2C3D4D5A
二填空题
1唯唯23242456相等7商群8特征9
三解答题
1解：学群前没般方法枚举法笔纸画黑白两种珠子分类进行计算：例全白1种四白黑1种三白二黑2种…等等总8种
2证：题子环充分必条件证意ab∈S1∩S2 ab ab∈S1∩S2：
S1S2A子环ab ab∈S1ab ab∈S2
ab ab∈S1∩S2 S1∩S2子环
S1+S2定子环矩阵环中容易找反例：
3解： 1．2．两偶置换
四证明题
1证：假定R理想零理想a理想定义R意元说R证毕
2证：必性：b代入
充分性：利结合律作运算：abab(ab2a)(aba)b2aab2ae
ba(ab2a)baab2 (aba)ab2aeba1
世代数模拟试题四（参考答案）
单项选择题(题5题题3分15分)
1设集合A中含5元素集合B中含2元素AB积集合A×B中含（ ）元素
A2 B5 C7 D10
2设A＝B＝R(实数集)果AB映射：x→x＋2x∈R
AB（ ）
A满射非单射 B单射非满射 C映射 D非单射非满射
3设S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}S3中(123)交换元素（ ）
A(1)(123)(132) B(12)(13)(23) C(1)(123) DS3中元素
4设Z1515模剩余类加群Z15子群（ ）
A2 B4 C6 D8
5列集合关运算作成环（ ）
A整系数项式全体Z［x］关项式加法法
B理数域Qn级矩阵全体Mn(Q)关矩阵加法法
C整数集Z关数加法新定法：m n∈Z mn＝0
D整数集Z关数加法新定法：m n∈Z mn＝1
二填空题(题10题空3分30分)
6设～集合A关系果～满足___________称～A等价关系
7设(G·)群ab∈Gab∈GG中逆元(ab)－1＝
___________
8设σ＝(23)(35)τ＝(1243)(235)∈S5στ＝___________(表示成干没公数字循环置换积)
9果G含15元素群根Lagrange定理知a∈G元素a阶_ ___51513_______
103次称群S3中设H＝{(1)(123)(132)}S3变子群商群GH中元素(12)H＝___________
11设Z6＝{［0］［1］［2］［3］［4］［5］}6模剩余类环Z6中零子 234________
12设R零子环特征n限数n___________
13设Z［x］整系数项式环(x)项式x生成理想(x)＝_____________
14设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|ab∈Z}中i2＝－1Z［i］中单位______________________
15理数域Q代数元+Q极项式___________
三解答题（题3题题10分30分）
16设Z整数加群Zmm模剩余类加群ZZm映射中
：k→［k］k∈Z
验证：ZZm态满射求态核Ker
17求6模剩余类环Z6＝{［0］［1］［2］［3］［4］［5］}子环说明子环Z6理想
18试说明唯分解环理想环欧氏环三者间关系举例说明唯分解环未必理想环
四证明题（题3题第1920题10分第21题5分25分）
19设G＝{abc}G代数运算
右边运算表出证明：(G)作成群
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
20设
已知R关矩阵加法法作成环证明：IR子环理想
21设(R＋·)环果(R＋)循环群证明：R交换环
世代数试卷（选择题误已删）
判断题（题1分10分）
1设非空集合 （ ）
2设非空集合映射作二元运算（ ）
3映射必唯逆映射 （ ）
4果循环群中生成元阶限整数加群构 （ ）
5果群子群循环群循环群 （ ）
6群子群变子群充条件 （ ）
7果环阶单位元 （ ）
8环满足左消律必定没右零子 （ ）
9中满足条件项式做元域极项式 （ ）
10域特征限含构子域里整数环素数生成理想 （ ）
二填空题（空2分20分）
1设集合
2果间映射元
3设集合分类中两类果
4设群中元素阶果存整关系
5凯莱定理说：子群 构
6出5循环置换
7单位元环生成理想中元素表达
8单位元交换环理想域仅
9整环元做素元果
10域扩域做代数扩域果
三改错题（题3分15分）
1果集合代数运算时适合消律分配律里元次序掉换
2限群定义：法限非空集合作成群果满足法封闭结合律成立交换律成立
3设环理想果理想
4唯分解环两元定会公子公子必
5做域代数元果存等零元
四计算题（15分）
1出列四四元置换
组成群试写出法表求出单位元子群
2设模6剩余类环果计算次数
五证明题（题10分40分）
1设群两元设阶阶证明：阶
2设实数集令样变换构成集合试证明：变换普通法作成群
3设环两理想试证理想
4设限交换环含单位元1证明：中非零元逆元零子
世代数试卷参考解答
判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二填空题
1 2 3 4
5变换群 6 7 8理想
9p零元单位q子
10E元F代数元
三改错题
1果集合代数运算时适合消律分配律里元次序掉换 结合律交换律
2限群定义：法限非空集合作成群果满足法封闭结合律成立交换律成立消律成立
3设环理想果理想SISR
4唯分解环两元定会公子公子必dd′定公子dd′差单位子
5做域代数元果存等零元等零元
四计算题：五证明题（略）
基础测试题
填空题（42分）
1设集合分代数运算 满足结合律 时满足结合律 满足交换律 时满足交换律
2群中意元素
3设群G中元素a阶nn|m
4设意循环群 构
构
5设G6阶循环群G生成元 子群
6n次称群阶 置换阶
7设
8设
9设H限群G子群|G|
10意群 构
二证明题（24）
1设Gn阶限群证明：G中元素满足方程
2叙述群G非空子集H作成子群充条件证明群G意两子群HK交然G子群
3证明果群G中元素满足方程G必交换群
三解答题（34）
1 叙述群定义群定义验证整数集Z运算作成群
2写出三次称群子群写出关子群H｛（1）（23）｝左陪集右陪集
基础测试参考答案
填空题
1满足结合律 满足交换律 2 3e 4整数加群n次单位根群
5 6n4 7
8(456)(32) 9|H|(GH) 10（双射）变换群
二证明题
1已知|a|kk|n令nkq
G中元素满足方程
2充条件：
证明：已知HKG子群令QHK交
设
HG子群
KG子群
综述HG子群
3证：
G交换群
三解答题
1解：设G非空集合代数运算果满足条件：
（1）结合律成立G中意元素
（2）G中元素eG中元素
（3）G中元素
G代数运算作成群
意整数ab显然a+b+4ab唯确定G代数运算
（ab）c(a+b+4) c(a+b+4)+c+4a+b+c+8
a (bc)a+b+c+8
（ab）c a (bc)满足结合律
a均（4）a4+a+4a
4G左单位元
（8a）a8a+a+44
8aa左逆元
2解：子群阶数1236
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝
3阶子群｛（1）（123）（132）｝
6阶子群
左陪集：（1）H｛（1）（23）｝（23）H
（12）H｛（12）（123）｝（123）H
（13）H｛（13）（132）｝（132）H
右陪集：H（1）｛（1）（23）｝H（23）
H（13）｛（13）（23）｝H（123）
H（12）｛（12）（132）｝H（132）
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