世代数练题（附答案）
选择题
1 设实数集 意 代数运算 ( C )
(A) 适合结合律适合交换律 (B) 适合交换律适合结合律
(C) 适合结合律交换律 (D) 适合结合律交换律
2 群中 阶12 阶 ( B )
(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6
3．7次称群中 等（ A ）
(A) (B) (C) (D)
4．零子环中加法说( C )
(A) 阶阶 (B) 阶阶
(C) 阶阶 (D) 阶阶
5．设整环中素元 列正确 ( D )
(A) 零元 (B) 单位 (C) 真子 (D) 仅子
6 假定间映射 分 ( D )
(A) (B) 意义 (C) 意义意义 (D) 意义
7 群中 方程分唯解 ( B )
(A) (B) (C) (D)
8 设正整数集 意 面o代数运算( B )
(A) (B) (C) (D)
9 设实数集 代数运算普通加法列映射构( D )
(A) (B) (C) (D)
10 偶数阶群中阶等2元数 ( A )
(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 确定
11．5次称群中元积（ D ）
(A) (B) (C) (D)
12．群阶48 真子群阶 ( C )
(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24
13．群中元阶24中循环子群阶 ( C )
(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9
14环里果消律成立面正确( B )
(A) 消律成立 (B) 中非零元逆元
(C) 零子环 (D) 中非零元加法阶样
15．假定域元项式环定 ( A )
(A) 欧式环 (B) 环 (C) 域 (D) 法确定
16．设唯分解环中单位 中意元 列正确 ( B )
(A) 单位 (B) 互相伴元
(C) 真子 (D) 唯分解
17．30元域特征( A )
(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 15
18．假定域态 （ C ）
(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 环
19．唯分解环(中素元)列说法正确 ( D )
(A) 互相伴元 (B) 互相伴元互相伴元
(C) 互相伴元 (D) 互相伴元互相伴元
20．假定整环两理想 ( A )
(A) 相伴元 (B) 互素 (C) 真子 (D)
21．{整数}令 偶数奇数 ( B )
(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 变换 (D) 变换
22．阶限整数列说法正确 ( A )
(A) 模剩余类加群构 (B) 阶限
(C) 元中没相元 (D) 整数加群构
23．特征限整数零子环 （ D ）
(A) (B) 中 素数
(C) 存中元阶限整数 (D) 法成立两消律
24 设理数集 意列o代数运算( C )
(A) (B) (C) (D)
25 群中 方程唯解 ( D )
(A) (B) (C) (D)
26．6次称群中阶（ A ）
(A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6
27．环理想( C )
(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 穷
28．假定域元项式环定 ( B )
(A) 环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 法确定
29．域 正确 ( B )
(A) 交换环 (B) 法作成群
(C) 零子 (D) 中等零元逆元
30．理想环 中素元 ( C )
(A) 理想理想 (B) 没唯分解
(C) (D) 域
31 设实数集 意 代数运算 ( C )
(A) 适合结合律适合交换律 (B) 适合交换律适合结合律
(C) 适合结合律交换律 (D) 适合结合律交换律
32 设理数集 意列o代数运算( A )
(A) (B) (C) (D)
33 群中 方程唯解 ( D )
(A) (B) (C) (D)
34．5次称群中阶（ B ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
35．环理想( C )
(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 穷
36．假定整环元项式环定 ( A )
(A) 整环 (B) 环 (C) 域 (D) 法确定
37 16阶循环群中 循环子群阶 ( D )
(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8
38．8元域特征( A )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
39．设整环中素元 列正确 ( D )
(A) 零元 (B) 单位 (C) 真子 (D) 仅子
40．群阶48 子群阶16中指数( C )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
41 设实数集 意 代数运算 ( C )
(A) 适合结合律适合交换律 (B) 适合交换律适合结合律
(C) 适合结合律交换律 (D) 适合结合律交换律
42 设理数集 意列o代数运算( C )
(A) (B) (C) (D)
43 群中 方程唯解 ( C )
(A) (B) (C) (D)
44．5次称群中阶（ B ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
45．环理想( C )
(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 穷
46．假定整环元项式环定 ( A )
(A) 整环 (B) 环 (C) 域 (D) 法确定
47 16阶循环群中 循环子群阶 ( D )
(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8
48．8元域特征( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
49．设整环中素元 列正确 ( D )
(A) 零元 (B) 单位 (C) 真子 (D) 仅子
50．群阶48 子群阶16中指数( C )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二．填空题
1设集合元间等价关系满足反射律 称律 推移律
2群
3循环群阶50子群阶 10
4 群中心 变 子群
5次称群阶
6假定
7 假定态 态 态
8 群中 方程唯解
9设集合元数3 子集 8 元间关系 512
10群 方程唯解
11限非换群少含______ 6 ______元素
12设集合元间等价关系满足反律称律 推移律
13群
145次称群阶 120
15环态满射 态核中元中 单位元 逆象态核 理想
16设单位元交换环理想剩余类环 域
17整数环中理想等理想 （1）
18设模9剩余类环负元 逆元 2
19设17阶群生成元 16
20环理想 零理想
21设模7剩余类环项式环中
22设模10剩余类环负元 逆元
23整数环中理想仅 相伴元
24设决定分类
25设唯分解环项式环 唯分解 环
26设模9剩余类环负元 逆元
27设唯分解环元两公子相差 相伴元
28群元阶15阶8 阶分 15 120
29特征零子交换环中 素 数
30 群阶60 子群阶15中指数 4
31 环态满射象分元象
32设环理想包含理想仅
33整数环中理想等理想 （7）
34唯分解环中素元整必整 中元
35 集合全体变换作成 变换 群
36单位元交换环理想中元形式
37单位元交换环 子环未定元 仅
时成立
38 单位元环 中必元没逆元 0 必两元逆元 11
39．唯分解环中元两公子差 相伴元
40设{ （13）（14）（23）（24） }
41群集合态 群 中元象中元
42零子环中果 必
43群元阶整数公子阶
44域中
45设环态满射 核环 理想
46整环中必元没逆元 0 必两元逆元 11
47整环元项式根 仅 整
三．判断题
1．设找映射 ( × )
2．限群中元阶限 ( × )
3．环理想单位理想 ( × )
4．整环中素元限数子 （ × ）
5．欧式环定理想环定唯分解环 ( √ )
6．等零实数全体普通法适合结合律 ( × )
7．限群中存某元阶限 ( × )
8．假定域态 域 ( × )
9．整环中单位素元积素元 ( √ )
10．环零理想单位理想理想 ( × )
四．解答题
1 循环置换方法写出三次称群全体元说明集合子群写出左陪集
解 (2分) 限集合
知封闭子群(4分)
全体左陪集(6分)
2 求模6剩余类环子环
解：剩余类环循环加群
子环理想：
3 设整数集规定中元间关系
说明中元间等价关系写出模6剩余类
解： 意整数
（1）反射律： 模6余(2分)
（2）称律： 模6余必模6余(2分)
（3）推移律： 模6余模6余必模6余
中元间等价关系(2分)
模6全体剩余类(6分)
4求出阶32循环群子群子群否变子群
解 循环群交换群
32正整数子：12481636 (2分)
循环群子群循环子群：
(8分)
子群变子群 (10分)
5设整数环请理想元列出
解 整数环理想：
(2分)
(4分)
(6分)
(10分)
6设模8剩余类环元项式环中计算出求导数
解 模8剩余类环
(1)
(1分)
(3分)
(5分)
(2) 项式导数
(2分)
7找出称群子群
解子群阶：1236
子群：
1阶子群 (1分)
2阶子群 (4分)
3阶子群 (5分)
6阶子群 (6分)
8设模9剩余类环元项式环中计算求导数
解 模9剩余类环
(1)
(1分)
(2分)
(3分)
(2) 项式导数
(5分)
(6分)
9取称群元计算
解 () (3分)
（） (6分)
10验证剩余类环子集子环指出单位元？
解 加法运算表法运算表验证
(2分) (2分)
见 [4] S单位元 (6分)
12求剩余类加群生成元子群
解：剩余类加群循环加群
生成元： (3分)
子群： (6分)
13设整数环样理想？理想？什？
解：整数环理想环 (2分)
(3分)
时理想 (4分)
果理想
矛盾 (6分)
14验证称群子集子环
解 法表验证
(6分)
15设理数域假中约项式根试 写成项式
解中约项式根
(1分)
(2分)
(3分)
(6分)
16循环置换方法写出5次称群元计算
解 (2分)
(4分)
() (6分)
（） (8分)
（） (10分)
17求出模48剩余类加群子群子群否变子群
解 循环群交换群
48正整数子：12346812162448 (2分)
模48剩余类加群子群循环子群：
([1]) ([2])([3])([4]) ([6]) ([8]) ([12]) ([16]) ([24]) ([0]) (8分)
子群变子群 (10分)
18设模9剩余类环元项式环中
(1) 计算
(2) 求(1分)
(3分)
(5分)
(2) 项式导数
(2分)
五．证明题
1 设群中元阶试证：仅
证明 必性
设 中整数 (1分)
(3分)
阶知 (5分)
充分性
设 中整数 (6分)
(8分)
2 证明 设群指数2子群定变子群
证明 题意知两左陪集
两右陪集 (2分)
显然 (4分)
意
意
变子群 (8分)
3 证明 少两元没零子限环环
证明 设没零子限环少两元环定义知仅需证明群
事实法满足 (2分)
(1) 法封闭意
(2) 法满足结合律 法满足结合律
(3) 零子环法成立两消律法满足消律 (8分)
限群定义知群环
4 假定集合两代数运算适合结合律 适合两分配律证明
证明 左边(4分)
右边(4分)
左边右边
5 证明 循环置换阶
证明 设循环置换 中次置换法
…
时知时循环置换阶
6 假定环两理想证明理想
证明 (1) 意 必 环理想知 (5分)
(2) 意必环理想知意(5分)
综知理想
7 证明 复数(整数)作成集合普通加法法说环
证明 (1) 加法满足(6分)
① 加法闭中意元总
整数
② 零元中意元总
③ 中意元总中元负元
(2) 法闭 中意元总
整数(2分)
复数加法满足结合律 交换律 复数法满足结合律 复数法加法满足两分配律加法满足结合律交换律 法满足结合律 法加法满足两分配律普通加法法说环(2分)
8群元适合方程交换群
证明 取 知 (2分)
(4分)
(7分)
交换群
9证明 循环群必交换群
证明 设循环群取 (2分)
(7分)
循环群交换群 (8分)
10假定环两理想证明理想
证明 取环两理想(1分)
(3分)
(5分)
(7分)
理想 (8分)
11证明：意整环中零元0意单位没唯分解
证明 反证法：设零元唯分解中素元整环零子环必某矛盾素元 (4分)
设单位唯分解中素元单位逆元
逆元单位矛盾素元 (8分)
12 证明：限群中元阶限
证明 设限群意元
(2分)
中元中定相元 (4分)
妨设 (6分)
限正整数阶限
13 证明 阶素数群定循环群群中意元作群生成元
证明 设阶素数限群
意循环子群元 (4分)
循环群 群中意元作群生成元
14 假定偶数环证明理想
证明 偶数环 显然非空子集 (2分)
时满足
(1) 意中
(5分)
(2) 意中
(8分)
理想子环定义知理想 (9分)
15 假定集合两代数运算 证明
i 适合交换律
ii 适合交换律结合律
证明 (1) 适合交换律 (4分)
(2) 适合交换律结合律
(4分)
16 证明 群两变子群 交集群变子群
证明 (1) 意 必 群变子群知 (4分)
(2) 意必群变子群知意(4分)
综知群变子群
17证明交换群中限阶元素做成子群
证明设中限阶元素
单位元阶1非空子集 (2分)
取设阶阶交换群
(5分)
时 子群 (8分)
18设循环群态证明循环群
证明设态满射 (2分)
取必存某 (4分)
时 (7分)
循环群 (8分)
19证明环中心交换子环
证明设环中心显然环非空子集 (1分)
取意
(4分)
(7分)
显然环中心交换子环 (8分)
20证明：整环中单位素元积素元
证明：显然单位素元 (2分)
时单位
单位单位矛盾素元 (4分)
设子 单位存
定相伴元：单位相伴元样子素元 (8分)
21 证明 整环中等零元真子充分必条件 单位
证明 (1) 真子 里真子 单位单位然话相伴元 矛盾真子 (5分)
(2) 反 单位会相伴元 然话
单位矛盾条件样单位 相伴元 真子 (5分)
22 证明 整数集普通加法法作成环
证明 (1) 加法满足 (6分)
① 加法闭意两整数整数
② 零元意整数总
③ 中意元总中元负元
(2) 法闭 意两整数积整数(2分)
数加法满足结合律 交换律 数法满足结合律 数法加法满足两分配律加法满足结合律交换律 法满足结合律 法加法满足两分配律普通加法法说环(2分)
23群元适合方程交换群
证明 取 知 (2分)
(4分)
(7分)
交换群 (8分)
24证明 循环群必交换群
证明 设循环群取 (2分)
(7分)
循环群交换群 (8分)
25假定环两理想证明理想
证明 取环两理想(1分)
(3分)
(5分)
(7分)
理想 (8分)
26证明：意整环中零元0意单位没唯分解
证明 反证法：设零元唯分解中素元整环零子环必某矛盾素元 (4分)
设单位唯分解中素元单位逆元逆元单位矛盾素元 (8分)
六．综合题
1列举没单位元交换环
2 列举零子交换环
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选择题
1 设实数集 意 代数运算 ( C )
(A) 适合结合律适合交换律 (B) 适合交换律适合结合律
(C) 适合结合律交换律 (D) 适合结合律交换律
2 群中 阶12 阶 ( B )
(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6
3．7次称群中 等（ A ）
(A) (B) (C) (D)
4．零子环中加法说( C )
(A) 阶阶 (B) 阶阶
(C) 阶阶 (D) 阶阶
5．设整环中素元 列正确 ( D )
(A) 零元 (B) 单位 (C) 真子 (D) 仅子
6 假定间映射 分 ( D )
(A) (B) 意义 (C) 意义意义 (D) 意义
7 群中 方程分唯解 ( B )
(A) (B) (C) (D)
8 设正整数集 意 面o代数运算( B )
(A) (B) (C) (D)
9 设实数集 代数运算普通加法列映射构( D )
(A) (B) (C) (D)
10 偶数阶群中阶等2元数 ( A )
(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 确定
11．5次称群中元积（ D ）
(A) (B) (C) (D)
12．群阶48 真子群阶 ( C )
(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24
13．群中元阶24中循环子群阶 ( C )
(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9
14环里果消律成立面正确( B )
(A) 消律成立 (B) 中非零元逆元
(C) 零子环 (D) 中非零元加法阶样
15．假定域元项式环定 ( A )
(A) 欧式环 (B) 环 (C) 域 (D) 法确定
16．设唯分解环中单位 中意元 列正确 ( B )
(A) 单位 (B) 互相伴元
(C) 真子 (D) 唯分解
17．30元域特征( A )
(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 15
18．假定域态 （ C ）
(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 环
19．唯分解环(中素元)列说法正确 ( D )
(A) 互相伴元 (B) 互相伴元互相伴元
(C) 互相伴元 (D) 互相伴元互相伴元
20．假定整环两理想 ( A )
(A) 相伴元 (B) 互素 (C) 真子 (D)
21．{整数}令 偶数奇数 ( B )
(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 变换 (D) 变换
22．阶限整数列说法正确 ( A )
(A) 模剩余类加群构 (B) 阶限
(C) 元中没相元 (D) 整数加群构
23．特征限整数零子环 （ D ）
(A) (B) 中 素数
(C) 存中元阶限整数 (D) 法成立两消律
24 设理数集 意列o代数运算( C )
(A) (B) (C) (D)
25 群中 方程唯解 ( D )
(A) (B) (C) (D)
26．6次称群中阶（ A ）
(A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6
27．环理想( C )
(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 穷
28．假定域元项式环定 ( B )
(A) 环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 法确定
29．域 正确 ( B )
(A) 交换环 (B) 法作成群
(C) 零子 (D) 中等零元逆元
30．理想环 中素元 ( C )
(A) 理想理想 (B) 没唯分解
(C) (D) 域
31 设实数集 意 代数运算 ( C )
(A) 适合结合律适合交换律 (B) 适合交换律适合结合律
(C) 适合结合律交换律 (D) 适合结合律交换律
32 设理数集 意列o代数运算( A )
(A) (B) (C) (D)
33 群中 方程唯解 ( D )
(A) (B) (C) (D)
34．5次称群中阶（ B ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
35．环理想( C )
(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 穷
36．假定整环元项式环定 ( A )
(A) 整环 (B) 环 (C) 域 (D) 法确定
37 16阶循环群中 循环子群阶 ( D )
(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8
38．8元域特征( A )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
39．设整环中素元 列正确 ( D )
(A) 零元 (B) 单位 (C) 真子 (D) 仅子
40．群阶48 子群阶16中指数( C )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
41 设实数集 意 代数运算 ( C )
(A) 适合结合律适合交换律 (B) 适合交换律适合结合律
(C) 适合结合律交换律 (D) 适合结合律交换律
42 设理数集 意列o代数运算( C )
(A) (B) (C) (D)
43 群中 方程唯解 ( C )
(A) (B) (C) (D)
44．5次称群中阶（ B ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
45．环理想( C )
(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 穷
46．假定整环元项式环定 ( A )
(A) 整环 (B) 环 (C) 域 (D) 法确定
47 16阶循环群中 循环子群阶 ( D )
(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8
48．8元域特征( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
49．设整环中素元 列正确 ( D )
(A) 零元 (B) 单位 (C) 真子 (D) 仅子
50．群阶48 子群阶16中指数( C )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二．填空题
1设集合元间等价关系满足反射律 称律 推移律
2群
3循环群阶50子群阶 10
4 群中心 变 子群
5次称群阶
6假定
7 假定态 态 态
8 群中 方程唯解
9设集合元数3 子集 8 元间关系 512
10群 方程唯解
11限非换群少含______ 6 ______元素
12设集合元间等价关系满足反律称律 推移律
13群
145次称群阶 120
15环态满射 态核中元中 单位元 逆象态核 理想
16设单位元交换环理想剩余类环 域
17整数环中理想等理想 （1）
18设模9剩余类环负元 逆元 2
19设17阶群生成元 16
20环理想 零理想
21设模7剩余类环项式环中
22设模10剩余类环负元 逆元
23整数环中理想仅 相伴元
24设决定分类
25设唯分解环项式环 唯分解 环
26设模9剩余类环负元 逆元
27设唯分解环元两公子相差 相伴元
28群元阶15阶8 阶分 15 120
29特征零子交换环中 素 数
30 群阶60 子群阶15中指数 4
31 环态满射象分元象
32设环理想包含理想仅
33整数环中理想等理想 （7）
34唯分解环中素元整必整 中元
35 集合全体变换作成 变换 群
36单位元交换环理想中元形式
37单位元交换环 子环未定元 仅
时成立
38 单位元环 中必元没逆元 0 必两元逆元 11
39．唯分解环中元两公子差 相伴元
40设{ （13）（14）（23）（24） }
41群集合态 群 中元象中元
42零子环中果 必
43群元阶整数公子阶
44域中
45设环态满射 核环 理想
46整环中必元没逆元 0 必两元逆元 11
47整环元项式根 仅 整
三．判断题
1．设找映射 ( × )
2．限群中元阶限 ( × )
3．环理想单位理想 ( × )
4．整环中素元限数子 （ × ）
5．欧式环定理想环定唯分解环 ( √ )
6．等零实数全体普通法适合结合律 ( × )
7．限群中存某元阶限 ( × )
8．假定域态 域 ( × )
9．整环中单位素元积素元 ( √ )
10．环零理想单位理想理想 ( × )
四．解答题
1 循环置换方法写出三次称群全体元说明集合子群写出左陪集
解 (2分) 限集合
知封闭子群(4分)
全体左陪集(6分)
2 求模6剩余类环子环
解：剩余类环循环加群
子环理想：
3 设整数集规定中元间关系
说明中元间等价关系写出模6剩余类
解： 意整数
（1）反射律： 模6余(2分)
（2）称律： 模6余必模6余(2分)
（3）推移律： 模6余模6余必模6余
中元间等价关系(2分)
模6全体剩余类(6分)
4求出阶32循环群子群子群否变子群
解 循环群交换群
32正整数子：12481636 (2分)
循环群子群循环子群：
(8分)
子群变子群 (10分)
5设整数环请理想元列出
解 整数环理想：
(2分)
(4分)
(6分)
(10分)
6设模8剩余类环元项式环中计算出求导数
解 模8剩余类环
(1)
(1分)
(3分)
(5分)
(2) 项式导数
(2分)
7找出称群子群
解子群阶：1236
子群：
1阶子群 (1分)
2阶子群 (4分)
3阶子群 (5分)
6阶子群 (6分)
8设模9剩余类环元项式环中计算求导数
解 模9剩余类环
(1)
(1分)
(2分)
(3分)
(2) 项式导数
(5分)
(6分)
9取称群元计算
解 () (3分)
（） (6分)
10验证剩余类环子集子环指出单位元？
解 加法运算表法运算表验证
(2分) (2分)
见 [4] S单位元 (6分)
12求剩余类加群生成元子群
解：剩余类加群循环加群
生成元： (3分)
子群： (6分)
13设整数环样理想？理想？什？
解：整数环理想环 (2分)
(3分)
时理想 (4分)
果理想
矛盾 (6分)
14验证称群子集子环
解 法表验证
(6分)
15设理数域假中约项式根试 写成项式
解中约项式根
(1分)
(2分)
(3分)
(6分)
16循环置换方法写出5次称群元计算
解 (2分)
(4分)
() (6分)
（） (8分)
（） (10分)
17求出模48剩余类加群子群子群否变子群
解 循环群交换群
48正整数子：12346812162448 (2分)
模48剩余类加群子群循环子群：
([1]) ([2])([3])([4]) ([6]) ([8]) ([12]) ([16]) ([24]) ([0]) (8分)
子群变子群 (10分)
18设模9剩余类环元项式环中
(1) 计算
(2) 求(1分)
(3分)
(5分)
(2) 项式导数
(2分)
五．证明题
1 设群中元阶试证：仅
证明 必性
设 中整数 (1分)
(3分)
阶知 (5分)
充分性
设 中整数 (6分)
(8分)
2 证明 设群指数2子群定变子群
证明 题意知两左陪集
两右陪集 (2分)
显然 (4分)
意
意
变子群 (8分)
3 证明 少两元没零子限环环
证明 设没零子限环少两元环定义知仅需证明群
事实法满足 (2分)
(1) 法封闭意
(2) 法满足结合律 法满足结合律
(3) 零子环法成立两消律法满足消律 (8分)
限群定义知群环
4 假定集合两代数运算适合结合律 适合两分配律证明
证明 左边(4分)
右边(4分)
左边右边
5 证明 循环置换阶
证明 设循环置换 中次置换法
…
时知时循环置换阶
6 假定环两理想证明理想
证明 (1) 意 必 环理想知 (5分)
(2) 意必环理想知意(5分)
综知理想
7 证明 复数(整数)作成集合普通加法法说环
证明 (1) 加法满足(6分)
① 加法闭中意元总
整数
② 零元中意元总
③ 中意元总中元负元
(2) 法闭 中意元总
整数(2分)
复数加法满足结合律 交换律 复数法满足结合律 复数法加法满足两分配律加法满足结合律交换律 法满足结合律 法加法满足两分配律普通加法法说环(2分)
8群元适合方程交换群
证明 取 知 (2分)
(4分)
(7分)
交换群
9证明 循环群必交换群
证明 设循环群取 (2分)
(7分)
循环群交换群 (8分)
10假定环两理想证明理想
证明 取环两理想(1分)
(3分)
(5分)
(7分)
理想 (8分)
11证明：意整环中零元0意单位没唯分解
证明 反证法：设零元唯分解中素元整环零子环必某矛盾素元 (4分)
设单位唯分解中素元单位逆元
逆元单位矛盾素元 (8分)
12 证明：限群中元阶限
证明 设限群意元
(2分)
中元中定相元 (4分)
妨设 (6分)
限正整数阶限
13 证明 阶素数群定循环群群中意元作群生成元
证明 设阶素数限群
意循环子群元 (4分)
循环群 群中意元作群生成元
14 假定偶数环证明理想
证明 偶数环 显然非空子集 (2分)
时满足
(1) 意中
(5分)
(2) 意中
(8分)
理想子环定义知理想 (9分)
15 假定集合两代数运算 证明
i 适合交换律
ii 适合交换律结合律
证明 (1) 适合交换律 (4分)
(2) 适合交换律结合律
(4分)
16 证明 群两变子群 交集群变子群
证明 (1) 意 必 群变子群知 (4分)
(2) 意必群变子群知意(4分)
综知群变子群
17证明交换群中限阶元素做成子群
证明设中限阶元素
单位元阶1非空子集 (2分)
取设阶阶交换群
(5分)
时 子群 (8分)
18设循环群态证明循环群
证明设态满射 (2分)
取必存某 (4分)
时 (7分)
循环群 (8分)
19证明环中心交换子环
证明设环中心显然环非空子集 (1分)
取意
(4分)
(7分)
显然环中心交换子环 (8分)
20证明：整环中单位素元积素元
证明：显然单位素元 (2分)
时单位
单位单位矛盾素元 (4分)
设子 单位存
定相伴元：单位相伴元样子素元 (8分)
21 证明 整环中等零元真子充分必条件 单位
证明 (1) 真子 里真子 单位单位然话相伴元 矛盾真子 (5分)
(2) 反 单位会相伴元 然话
单位矛盾条件样单位 相伴元 真子 (5分)
22 证明 整数集普通加法法作成环
证明 (1) 加法满足 (6分)
① 加法闭意两整数整数
② 零元意整数总
③ 中意元总中元负元
(2) 法闭 意两整数积整数(2分)
数加法满足结合律 交换律 数法满足结合律 数法加法满足两分配律加法满足结合律交换律 法满足结合律 法加法满足两分配律普通加法法说环(2分)
23群元适合方程交换群
证明 取 知 (2分)
(4分)
(7分)
交换群 (8分)
24证明 循环群必交换群
证明 设循环群取 (2分)
(7分)
循环群交换群 (8分)
25假定环两理想证明理想
证明 取环两理想(1分)
(3分)
(5分)
(7分)
理想 (8分)
26证明：意整环中零元0意单位没唯分解
证明 反证法：设零元唯分解中素元整环零子环必某矛盾素元 (4分)
设单位唯分解中素元单位逆元逆元单位矛盾素元 (8分)
六．综合题
1列举没单位元交换环
2 列举零子交换环
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