2022届高考数学二轮专题测练根n项式n项积式求通项
选择题（20题100分）
1 设数列 an 前 n 项 Snn2+n a4 值
A 4 B 6 C 8 D 10
2 数列 an 前 n 项 Sn Sn−Sn−12n−1n≥2 S23 a1 值
A 0 B 1 C 3 D 5
3 数列 an 前 n 项 Sn Sn−Sn−12n−1n≥2 S23 a1 值
A 0 B 1 C 3 D 5
4 已知数列 an 前 n 项 Sn32an−2n123⋯ an
A 3n−3 B 2⋅3n C 2⋅3n−1 D 3n+1−3
5 设数列 an 前 n 项 Snn2 a9 值
A 15 B 17 C 49 D 64
6 数列 an 前 n 项 Sn3n2−2n+1数列 an 通项公式
A an6n−5 B an2n16n−5n≥2
C an6n+1 D an2n16n+1n≥2
7 根市场调查结果预测某种家商品年初开始 n 月累积需求量 Sn（万件）似满足 Sn n90 21n−n2−5n12…12预测年度需求量超 15 万件月份
A 5 月 6 月 B 6 月 7 月 C 7 月 8 月 D 8 月 9 月
8 果数列 an 前 k 项 Sk Sk+Sk+1ak+1k∈N*数列
A 递增数列 B 递减数列 C 常数数列 D 摆动数列
9 已知 yfx 定义 R 奇函数 x>0 时fxx−2等式 fx<12 解集
A x0 C x−32
10 已知数列 an 前 n 项 Sn 满足：Sn+SmSn+m a11 a10
A 1 B 9 C 10 D 55
11 数列 an 前 n 项 Sn a11an+13Snn≥1 a6
A 3×44 B 3×44+1 C 45 D 45+1
12 数列 an 前 n 项 Sn Sn−Sn−12n−1n≥2 S23 a1+a3 值
A 1 B 3 C 5 D 6
13 已知数列 an 前 n 项 Sn a11Snn+1an2 a2017
A 2016 B 2017 C 4032 D 4034
14 数列 an 前 n 项 Sn32an−3数列通项公式
A an2×3n−1 B an3×2n C an3n+3 D an2×3n
15 已知 a>0b>0ab 等中项 1 mb+1ana+1b m+n 值
A 3 B 4 C 5 D 6
16 已知数列 an 前 n 项 Sn Sn2n2−1 a3 等
A −10 B 6 C 10 D 14
17 数列 an 前 n 项 Sn 满足 Sn4−ann∈N* a5
A 16 B 116 C 8 D 18
18 设数列 an 前 n 项 Sn满足 an+Sn1 Sn 取值范围
A 01 B 0+∞ C 121 D 12+∞
19 数列 an 满足 a21an+1−an1nn+2 a2n+1>a2n−1a2n+2 A 20172018 B 10082018 C 20182019 D 10092019
20 数列 an 中an+1+−1nan2n−1数列 an 前 12 项等
A 76 B 78 C 80 D 82
二填空题（5题25分）
21 数列 an 前 n 项 Sn 满足：Snn2+7n∈N*数列 an 通项公式 an ．
22 已知项均正数数列 an 前 n 项 Sn12an+1an通项公式 an ．
23 设数列 an 前 n 项 Sn Sn2an+nn∈N*数列 an 通项公式 an ．
24 已知 Sn 数列 an 前 n 项 log3Sn+1n+1数列 an 通项公式 ．
25 已知 Sn4−an−12n−2n∈N*数列 an 通项公式 an ．
三解答题（5题65分）
26 记 Sn 数列 an 前 n 项已知 Sn2n2+nn∈N*．
（1）求数列 an 通项公式
（2）设 bn1anan+1求数列 bn 前 n 项 Tn．
27 根面框图建立印数列递推公式写出数列前 4 项．
28 设数列 an 前 n 项 Sn a12 Sn+12Snn∈N*．
（1）求数列 an 通项公式
（2）设 bnlog2Sn求数列 1bnbn+1 前 n 项 Tn．
29 已知正项数列 an 前 n 项 Sna11 t+1Snan2+3an+2t∈R．
（1）求数列 an 通项公式
（2）数列 bn 满足 b11bn+1−bnan+1求数列 12bn+7n 前 n 项 Tn．
30 已知正项数列 an 前 n 项 Sn a11Sn+1+Snan+12数列 bn 满足 bn⋅bn+12an b12．
（1）求数列 anbn 通项公式
（2）令 cnan⋅b2n+−1n3n−2求数列 cn 前 n 项 Tn．
答案
第部分
1 C 解析a4S4−S320−128．
2 A
3 A 解析题意anSn−Sn−12n−1n≥2 S2a1+a2a1+33 a10．
4 B
5 B
6 B 解析 n1 时a1S12
n≥2 时anSn−Sn−16n−5．
n1 时适合 an6n−5写成分段函数形式．
7 C 解析 n≥2 时anSn−Sn−1解出 an130−n2+15n−9．令 an>15解 68 C 解析∵ Sk+Sk+1ak+1Sk+1−Sk∴ Sk0∴ an0k∈N*数列 an 常数数列．
9 D
10 A
解析题意推 Sn+S1Sn+1 Sn+1−SnS1a11 an+11 a101．
11 A 解析 an+13Sn
an3Sn−1n≥2
两式相减
an+1−an3Sn−Sn−13an
an+14ann≥2
a11a23 a6a2⋅443×44．
12 C 解析令 n2 S2−S13 S10令 n3S3−S25 S38 a35a10 a1+a35．
13 B
14 D 解析 Sn32an−3 ⋯⋯ ① Sn−132an−1−3n≥2 ⋯⋯ ②
① − ② an32an−3−32an−1+3 an3an−1 anan−13n≥2．
S132a1−3 a132a1−3解 a16． an 6 首项3 公等数列． an6×3n−12×3n．
15 B
16 C
17 D 解析 n1 时a1S14−a1 a12
n≥2 时anSn−Sn−1an−1−an 2anan−1
数列 an 2 首项12 公等数列
a52×12418．
18 C 解析 n1 时a1+S12S11 S112S1−1−12．
n≥2 时anSn−Sn−1 2Sn−Sn−11 2Sn−1Sn−1−1Sn−112Sn−1−1．
Sn−1 首项 −12 公 12 等数列． Sn−1−12×12n−1Sn1−12nn≥2．
n1 时符合 Sn1−12n． Sn1−12n 单调递增 Sn<1 n1 时Sn 取值 12 12≤Sn<1．
19 D 解析数列 an 满足 a21an+1−an1nn+2
an+1−an±1nn+2an+2−an+1±1n+1n+3．
an+2−an±1nn+2±1n+1n+3
an+21n+1n+3
n 偶数时an+2−an−1nn+2±1n+1n+3
a2n+1>a2n−1n 奇数时an+2−an1nn+2±1n+1n+3．
综：n 偶数时an+1−an−1nn+2
n 奇数时an+1−an1nn+2．
S2018−a1+a2−a3+a4−⋯−a2017−a2018a2−a1+a4−a3+⋯+a2018−a201711×3+13×5+⋯+12017×201912×1−1201910092019
20 B
解析已知 an+1+−1nan2n−1 a2−a11a3+a23a4−a35⋯a12−a1121 a4+a28a8+a624a12+a1040 a3+a12a7+a52a11+a92 S128+24+40+2×378．
第二部分
21 8n12n−1n≥2
解析 n1 时S1a11+78
n≥2 时anSn−Sn−1n2+7−n−12+72n−1
显然a18 符合 an2n−1通项公式 an8n12n−1n≥2．
22 n−n−1
解析计算前三项：a11a22−1a33−2
猜测数学纳法证明通项 ann−n−1（必证明直接猜测）．
23 1−2n
24 an8n12×3nn≥2
解析log3Sn+1n+1 Sn+13n+1．
n1 时a1+19解 a18
n≥2 时anSn−Sn−13n+1−1−3n+12×3n
n1 时a16≠8 an8n12×3nn≥2．
25 n2n−1
解析
Sn4−an−12n−2 ⋯⋯①
a11
Sn+14−an+1−12n−1 ⋯⋯②
②−①
2an+1an+12n−1n∈N*
2n+1an+12nan+2
2nan 2 首项2 公差等差数列求 ann2n−1．
第三部分
26 （1） Sn2n2+n
n1 时a1S13
n≥2 时
anSn−Sn−12n2+n−2n−12+n−14n−1
an4n−1．
（2） bn1anan+114n−14n+31414n−1−14n+3
Tn1413−17+17−110+⋯+14n−1−14n+31413−14n+3n12n+9
27 a11
an+1an+22an+31≤n≤10n∈N*．
数列前 4 项分 13513215589．
28 （1） n1 时S22S1 a22
n≥2 时Sn2Sn−1 ⋯⋯①
Sn+12Sn ⋯⋯②
② − ① an+12an a2≠2a1
第二项起an 等数列ana2×2n−22n−1
an2n12n−1n≥2n∈N*．
（2） Sn+12Snn∈N*S1a12
Sn 首项 2公 2 等数列 Sn2n
bnlog2Snn 1bnbn+11nn+11n−1n+1
Tn11×2+12×3+⋯+1nn+11−12+12−13+⋯+1n−1n+11−1n+1nn+1．
29 （1） a11 t+1Snan2+3an+2
t+1S1a12+3a1+2
t5
6Snan2+3an+2 ⋯⋯①
n≥2 时 6Sn−1an−12+3an−1+2 ⋯⋯②
①−② 6anan2+3an−an−12−3an−1
an+an−1an−an−1−30
an>0
an−an−13
a11
an 首项 1公差 3 等差数列
an3n−2n∈N*．
（2） bn+1−bnan+1b11
bn−bn−1ann≥2n∈N*
n≥2 时
bnbn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b2−b1+b1an+an−1+⋯+a2+b13n2−n2
b11 适合式
bn3n2−n2n∈N*
12bn+7n13n2−n+7n13⋅1nn+216⋅1n−1n+2
Tn16⋅1−13+12−14+⋯+1n−1n+216⋅32−1n+1−1n+23n2+5n12n+1n+2
30 （1） n1 时S2+S1a22
a22−a2−20
an>0
a22
Sn+1+Snan+12Sn+Sn−1an2n≥2 an+an+1an+12−an2
an+1+anan+1+anan+1−an
an>0
an+1−an1n≥2．
a2−a12−11
an 公差 1首项 1 等差数列．
an1+n−1×1nn∈N*
题意：b1b22a12
b12
b21
bnbn+12nn≥2bn−1bn2n−1
两式相：bn+1bn−12n≥2
n 奇数时bn 公 2首项 b12 等数列
bn2n+12
理n 偶数时bn 公 2首项 b21 等数列
bn2n−22．
综 bn2n+12 n奇数2n−22 n偶数．
（2） cnan⋅b2n+−1n3n−2
cnn⋅2n−1+−1n3n−2
令 n⋅2n−1 前 n 项 An
An1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−12An1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
两式相减：−An20+21+22⋯+2n−1−n⋅2n1−2n1−2−n⋅2n
Ann−12n+1
令 −1n3n−2 前 n 项 Bn
Bn3n2 n偶数−3n+12 n奇数
综 Tnn−12n+3−3n2 n奇数n−12n+1+3n2 n偶数．
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选择题（20题100分）
1 设数列 an 前 n 项 Snn2+n a4 值
A 4 B 6 C 8 D 10
2 数列 an 前 n 项 Sn Sn−Sn−12n−1n≥2 S23 a1 值
A 0 B 1 C 3 D 5
3 数列 an 前 n 项 Sn Sn−Sn−12n−1n≥2 S23 a1 值
A 0 B 1 C 3 D 5
4 已知数列 an 前 n 项 Sn32an−2n123⋯ an
A 3n−3 B 2⋅3n C 2⋅3n−1 D 3n+1−3
5 设数列 an 前 n 项 Snn2 a9 值
A 15 B 17 C 49 D 64
6 数列 an 前 n 项 Sn3n2−2n+1数列 an 通项公式
A an6n−5 B an2n16n−5n≥2
C an6n+1 D an2n16n+1n≥2
7 根市场调查结果预测某种家商品年初开始 n 月累积需求量 Sn（万件）似满足 Sn n90 21n−n2−5n12…12预测年度需求量超 15 万件月份
A 5 月 6 月 B 6 月 7 月 C 7 月 8 月 D 8 月 9 月
8 果数列 an 前 k 项 Sk Sk+Sk+1ak+1k∈N*数列
A 递增数列 B 递减数列 C 常数数列 D 摆动数列
9 已知 yfx 定义 R 奇函数 x>0 时fxx−2等式 fx<12 解集
A x0
10 已知数列 an 前 n 项 Sn 满足：Sn+SmSn+m a11 a10
A 1 B 9 C 10 D 55
11 数列 an 前 n 项 Sn a11an+13Snn≥1 a6
A 3×44 B 3×44+1 C 45 D 45+1
12 数列 an 前 n 项 Sn Sn−Sn−12n−1n≥2 S23 a1+a3 值
A 1 B 3 C 5 D 6
13 已知数列 an 前 n 项 Sn a11Snn+1an2 a2017
A 2016 B 2017 C 4032 D 4034
14 数列 an 前 n 项 Sn32an−3数列通项公式
A an2×3n−1 B an3×2n C an3n+3 D an2×3n
15 已知 a>0b>0ab 等中项 1 mb+1ana+1b m+n 值
A 3 B 4 C 5 D 6
16 已知数列 an 前 n 项 Sn Sn2n2−1 a3 等
A −10 B 6 C 10 D 14
17 数列 an 前 n 项 Sn 满足 Sn4−ann∈N* a5
A 16 B 116 C 8 D 18
18 设数列 an 前 n 项 Sn满足 an+Sn1 Sn 取值范围
A 01 B 0+∞ C 121 D 12+∞
19 数列 an 满足 a21an+1−an1nn+2 a2n+1>a2n−1a2n+2
20 数列 an 中an+1+−1nan2n−1数列 an 前 12 项等
A 76 B 78 C 80 D 82
二填空题（5题25分）
21 数列 an 前 n 项 Sn 满足：Snn2+7n∈N*数列 an 通项公式 an ．
22 已知项均正数数列 an 前 n 项 Sn12an+1an通项公式 an ．
23 设数列 an 前 n 项 Sn Sn2an+nn∈N*数列 an 通项公式 an ．
24 已知 Sn 数列 an 前 n 项 log3Sn+1n+1数列 an 通项公式 ．
25 已知 Sn4−an−12n−2n∈N*数列 an 通项公式 an ．
三解答题（5题65分）
26 记 Sn 数列 an 前 n 项已知 Sn2n2+nn∈N*．
（1）求数列 an 通项公式
（2）设 bn1anan+1求数列 bn 前 n 项 Tn．
27 根面框图建立印数列递推公式写出数列前 4 项．
28 设数列 an 前 n 项 Sn a12 Sn+12Snn∈N*．
（1）求数列 an 通项公式
（2）设 bnlog2Sn求数列 1bnbn+1 前 n 项 Tn．
29 已知正项数列 an 前 n 项 Sna11 t+1Snan2+3an+2t∈R．
（1）求数列 an 通项公式
（2）数列 bn 满足 b11bn+1−bnan+1求数列 12bn+7n 前 n 项 Tn．
30 已知正项数列 an 前 n 项 Sn a11Sn+1+Snan+12数列 bn 满足 bn⋅bn+12an b12．
（1）求数列 anbn 通项公式
（2）令 cnan⋅b2n+−1n3n−2求数列 cn 前 n 项 Tn．
答案
第部分
1 C 解析a4S4−S320−128．
2 A
3 A 解析题意anSn−Sn−12n−1n≥2 S2a1+a2a1+33 a10．
4 B
5 B
6 B 解析 n1 时a1S12
n≥2 时anSn−Sn−16n−5．
n1 时适合 an6n−5写成分段函数形式．
7 C 解析 n≥2 时anSn−Sn−1解出 an130−n2+15n−9．令 an>15解 6
9 D
10 A
解析题意推 Sn+S1Sn+1 Sn+1−SnS1a11 an+11 a101．
11 A 解析 an+13Sn
an3Sn−1n≥2
两式相减
an+1−an3Sn−Sn−13an
an+14ann≥2
a11a23 a6a2⋅443×44．
12 C 解析令 n2 S2−S13 S10令 n3S3−S25 S38 a35a10 a1+a35．
13 B
14 D 解析 Sn32an−3 ⋯⋯ ① Sn−132an−1−3n≥2 ⋯⋯ ②
① − ② an32an−3−32an−1+3 an3an−1 anan−13n≥2．
S132a1−3 a132a1−3解 a16． an 6 首项3 公等数列． an6×3n−12×3n．
15 B
16 C
17 D 解析 n1 时a1S14−a1 a12
n≥2 时anSn−Sn−1an−1−an 2anan−1
数列 an 2 首项12 公等数列
a52×12418．
18 C 解析 n1 时a1+S12S11 S112S1−1−12．
n≥2 时anSn−Sn−1 2Sn−Sn−11 2Sn−1Sn−1−1Sn−112Sn−1−1．
Sn−1 首项 −12 公 12 等数列． Sn−1−12×12n−1Sn1−12nn≥2．
n1 时符合 Sn1−12n． Sn1−12n 单调递增 Sn<1 n1 时Sn 取值 12 12≤Sn<1．
19 D 解析数列 an 满足 a21an+1−an1nn+2
an+1−an±1nn+2an+2−an+1±1n+1n+3．
an+2−an±1nn+2±1n+1n+3
an+2
n 偶数时an+2−an−1nn+2±1n+1n+3
a2n+1>a2n−1n 奇数时an+2−an1nn+2±1n+1n+3．
综：n 偶数时an+1−an−1nn+2
n 奇数时an+1−an1nn+2．
S2018−a1+a2−a3+a4−⋯−a2017−a2018a2−a1+a4−a3+⋯+a2018−a201711×3+13×5+⋯+12017×201912×1−1201910092019
20 B
解析已知 an+1+−1nan2n−1 a2−a11a3+a23a4−a35⋯a12−a1121 a4+a28a8+a624a12+a1040 a3+a12a7+a52a11+a92 S128+24+40+2×378．
第二部分
21 8n12n−1n≥2
解析 n1 时S1a11+78
n≥2 时anSn−Sn−1n2+7−n−12+72n−1
显然a18 符合 an2n−1通项公式 an8n12n−1n≥2．
22 n−n−1
解析计算前三项：a11a22−1a33−2
猜测数学纳法证明通项 ann−n−1（必证明直接猜测）．
23 1−2n
24 an8n12×3nn≥2
解析log3Sn+1n+1 Sn+13n+1．
n1 时a1+19解 a18
n≥2 时anSn−Sn−13n+1−1−3n+12×3n
n1 时a16≠8 an8n12×3nn≥2．
25 n2n−1
解析
Sn4−an−12n−2 ⋯⋯①
a11
Sn+14−an+1−12n−1 ⋯⋯②
②−①
2an+1an+12n−1n∈N*
2n+1an+12nan+2
2nan 2 首项2 公差等差数列求 ann2n−1．
第三部分
26 （1） Sn2n2+n
n1 时a1S13
n≥2 时
anSn−Sn−12n2+n−2n−12+n−14n−1
an4n−1．
（2） bn1anan+114n−14n+31414n−1−14n+3
Tn1413−17+17−110+⋯+14n−1−14n+31413−14n+3n12n+9
27 a11
an+1an+22an+31≤n≤10n∈N*．
数列前 4 项分 13513215589．
28 （1） n1 时S22S1 a22
n≥2 时Sn2Sn−1 ⋯⋯①
Sn+12Sn ⋯⋯②
② − ① an+12an a2≠2a1
第二项起an 等数列ana2×2n−22n−1
an2n12n−1n≥2n∈N*．
（2） Sn+12Snn∈N*S1a12
Sn 首项 2公 2 等数列 Sn2n
bnlog2Snn 1bnbn+11nn+11n−1n+1
Tn11×2+12×3+⋯+1nn+11−12+12−13+⋯+1n−1n+11−1n+1nn+1．
29 （1） a11 t+1Snan2+3an+2
t+1S1a12+3a1+2
t5
6Snan2+3an+2 ⋯⋯①
n≥2 时 6Sn−1an−12+3an−1+2 ⋯⋯②
①−② 6anan2+3an−an−12−3an−1
an+an−1an−an−1−30
an>0
an−an−13
a11
an 首项 1公差 3 等差数列
an3n−2n∈N*．
（2） bn+1−bnan+1b11
bn−bn−1ann≥2n∈N*
n≥2 时
bnbn−bn−1+bn−1−bn−2+⋯+b2−b1+b1an+an−1+⋯+a2+b13n2−n2
b11 适合式
bn3n2−n2n∈N*
12bn+7n13n2−n+7n13⋅1nn+216⋅1n−1n+2
Tn16⋅1−13+12−14+⋯+1n−1n+216⋅32−1n+1−1n+23n2+5n12n+1n+2
30 （1） n1 时S2+S1a22
a22−a2−20
an>0
a22
Sn+1+Snan+12Sn+Sn−1an2n≥2 an+an+1an+12−an2
an+1+anan+1+anan+1−an
an>0
an+1−an1n≥2．
a2−a12−11
an 公差 1首项 1 等差数列．
an1+n−1×1nn∈N*
题意：b1b22a12
b12
b21
bnbn+12nn≥2bn−1bn2n−1
两式相：bn+1bn−12n≥2
n 奇数时bn 公 2首项 b12 等数列
bn2n+12
理n 偶数时bn 公 2首项 b21 等数列
bn2n−22．
综 bn2n+12 n奇数2n−22 n偶数．
（2） cnan⋅b2n+−1n3n−2
cnn⋅2n−1+−1n3n−2
令 n⋅2n−1 前 n 项 An
An1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−12An1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
两式相减：−An20+21+22⋯+2n−1−n⋅2n1−2n1−2−n⋅2n
Ann−12n+1
令 −1n3n−2 前 n 项 Bn
Bn3n2 n偶数−3n+12 n奇数
综 Tnn−12n+3−3n2 n奇数n−12n+1+3n2 n偶数．
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