2022届高考数学二轮专题测练基量方程
选择题（20题100分）
1 设抛物线 y28x 点 P y 轴距离 4点 P 该抛物线焦点距离
A 4 B 6 C 8 D 12
2 已知双曲线 x2a2−y231(a>0) 离心率 2 a
A 2 B 62 C 52 D 1
3 双曲线 y2a2−x2b21a>0b>0 条渐线点 31该双曲线离心率
A 5 B 2 C 3 D 2
4 抛物线 C 顶点圆心圆交 C AB 两点交 C 准线 DE 两点．已知 ∣AB∣42∣DE∣25 C 焦点准线距离
A 2 B 4 C 6 D 8
5 已知 M 抛物线 Cy22px 意点 M 圆心圆直线 x−1 相切点 N10设斜率 1 直线抛物线 C 交 PQ 两点线段 PQ 中点坐标
A 2 B 4 C 6 D 8
6 顶点原点焦点 F0−1 抛物线方程
A y2−2x B y2−4x C x2−2y D x2−4y
7 已知 F1F2 分双曲线 x2a2−y2b21ab>0 左右焦点l1l2 双曲线两条渐线．设点 Mb0 行 l1 直线交 l2 点 P． PF1⊥PF2该双曲线离心率
A 3 B 5 C 14−2412 D 14+2412
8 命题 px−1命题 qx1 p q
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 非充分非必条件
9 椭圆点椭圆两焦点顶点三角形面积值 1该椭圆长轴长值
A 22 B 2 C 2 D 22
10 已知双曲线 x2a2−y2b21a>0b>0 条渐线行直线 l2x+2y+50双曲线焦点直线 l 双曲线方程
A x220−y251 B x25−y2201 C 3x225−3y21001 D 3x2100−3y2251
11 点 M11 抛物线 yax2 准线距离 2 a 值
A 14 B −112 C 14 −112 D −14 112
12 已知双曲线渐线方程 y±3x焦点坐标 −4040双曲线方程
A x28−y2241 B x212−y241 C x224−y281 D x24−y2121
13 设 F1F2 分双曲线 x2a2−y2b21a>0b>0 左右焦点双曲线右支存点 P 满足 PF2F1F2 ∠PF2F190∘双曲线离心率
A 2−1 B 2 C 2+1 D 22+1
14 椭圆 Cx24+y231 左右顶点分 A1A2点 P C 直线 PA2 斜率取值范围 −2−1直线 PA1 斜率取值范围
A 1234 B 3834 C 121 D 341
15 面直角坐标系 xOy 中已知直线 l 点右移 2 单位长度移 4 单位长度该直线直线 l 斜率
A −2 B −12 C 12 D 2
16 已知 AB 双曲线 E 左右顶点点 M E △ABM 等腰三角形顶角 120∘ E 离心率
A 5 B 2 C 3 D 2
17 椭圆 Cx2a2+y2b21a>b>0 左右焦点分 F1F2椭圆 C 恰 6 点 P △F1F2P 等腰三角形椭圆 C 离心率取值范围
A 1323 B 121
C 231 D 1312∪121
18 正方形 ABCD 边长 1点 E 边 AB 点 F 边 BC AE12BF14．动点 P E 出发直线 F 运动碰正方形边时反弹反弹时反射角等入射角点 P 第次碰 E 时P 正方形边碰撞次数
A 3 B 4 C 6 D 8
19 抛物线 y28x 准线 x 轴交点 Q点 Q 直线 l 抛物线公点直线 l 斜率取值范围
A −1212 B −22 C −11 D −44
20 已知面直角坐标系曲线 C1：Fxy0曲线 C2：Fxy−Fx0y00点 Px0y0 曲线 C1 列说法正确
A 曲线 C1 C2 公点
B 曲线 C1 C2 少公点
C 曲线 C1 C2 公点
D 曲线 C1 C2 公点数法确定
二填空题（5题25分）
21 抛物线 y2x 准线方程 ．
22 已知抛物线焦点坐标 0−3抛物线标准方程 ．
23 双曲线 x2a2−y2b21a>0b>0 渐线正方形 OABC 边 OAOC 直线点 B 该双曲线焦点．正方形 OABC 边长 2 a ．
24 已知双曲线点 43渐线方程 y±12x该双曲线标准方程 ．
25 直线 ykx+1k>0 抛物线 y24x 相交 AB 两点 AB 两点抛物线准线射影分 MN BN2AM k 值 ．
三解答题（5题65分）
26 已知点 1ee32 椭圆 C：x2a2+y2b21a>b>0 中 e 椭圆离心率椭圆右顶点 D．
（1）求椭圆 C 方程
（2）直线 l 椭圆 C 左焦点 F 交椭圆 C AB 两点直线 DADB 分直线 x−ae 交 NM 两点求证：NF⋅MF0．
27 抛物线顶点原点焦点直线 x−2y−40 求抛物线标准方程．
28 已知双曲线 C 焦点坐标轴渐线方程 y±2x点 P621．
（1）求双曲线 C 标准方程
（2）否存点 B11 分弦果存求出弦直线方程果存请说明理．
29 已知 A20B01 椭圆 Cx2a2+y2b21a>b>0 两点Pxy 椭圆 C 动点O 坐标原点．
（1）求椭圆 C 方程
（2） ∣OP∣ 表示 x 函数求 ∣OP∣ 取值范围．
30 解答列问题．
（1）已知函数 fx+13x+2求 fx
（2）已知 fx−1xx2+1x2求 fx
（3）已知函数 fx 意 x fx−2f−x1+2x求 fx．
答案
第部分
1 B 解析抛物线方程 p2422根抛物线定义知求距离 4+26．
2 D
3 B 解析双曲线 y2a2−x2b21a>0b>0 条渐线：by−ax0渐线点 31 b3a b23a2 c2−a23a2
c24a2c2a
双曲线离心率 eca2．
4 B 解析妨设 C：y22pxp>0Ax122 x12222p4p题意知 ∣OA∣∣OD∣ 4p2+82p2+5解 p4（舍负）．
5 A
解析设 Mx0y0
M 圆心圆直线 x−1 相切点 N10
x0+1x0−12+y02
y022px0．
p2．
抛物线方程 y24x．
yx+by24x⇒y2−4y−4b0．
y1+y24
线段 PQ 中点坐标 y1+y222．
6 D
7 B 解析直线 PM 方程 y−bax+b2a 联立直线 l2 直线 PM Pb2b22a PF1⊥PF2 PF1⋅PF20 c2−5a20 双曲线离心率 5．
8 A
9 B
10 A
解析双曲线 x2a2−y2b21 渐线 y±bax
渐线 x+2y+50 行．
ba12
a2b ⋯⋯①
双曲线焦点 −c0 −c+50
c5
c2a2+b2 a2+b225 ⋯⋯②
①②求 a220b25
双曲线方程 x220−y251．
11 C 解析抛物线 yax2 准线方程 y−14a
点 M11 抛物线 yax2 准线距离 2
1+14a2
解 a14 a−112．
12 D
13 C 解析 PF2F1F22c ∠PF2F190∘
PF122c
双曲线定义 22c−2c2a
ca2+1．
14 B
15 A
解析设点 Px0y0 直线 l 点点 P 右移 2 单位长度移 4 单位长度 Pʹx0+2y0−4已知 Pʹx0+2y0−4 直线 l ．斜率 ky0−4−y0x0+2−x0−2．
16 D 解析设双曲线 E 标准方程 x2a2−y2b21a>0b>0 −a0Ba0
妨设点 M 第象限易 M2a3a
M 点双曲线 E 2a2a2−3a2b21解 b2a2
e1+b2a22．
17 D 解析 ∣PF1∣∣PF2∣ 时椭圆存两点 △F1F2P 等腰三角形 ∣PF1∣∣F1F2∣ ∣PF2∣∣F1F2∣ 时存两点 ∣PF1∣∣F1F2∣ 时 ∣PF1∣2c∣PF2∣2a−2c椭圆 6 点 P 时 4c>2a−2c2a−2c≠2c解 1318 C
19 C 解析题意 Q−20．设 l 方程 ykx+2代入 y28x k2x2+4k2−2x+4k20 k0 时直线 l 抛物线恒交点 k≠0 时Δ16k2−22−16k4≥0 k2≤1 −1≤k≤1 k≠0综−1≤k≤1．
20 A
解析假设曲线 C1 C2 公点 Qx1y1 Fx1y10 Fx1y1−Fx0y00 时成立
Fx0y00
点 Px0y0 曲线 C1 已知条件点 Px0y0 曲线 C1 矛盾．
假设成立
曲线 C1 C2 公点．
第二部分
21 x−14
解析抛物线 y2x 准线方程 x−14．
22 x2−12y
23 2
解析妨令 B 双曲线右焦点A 第象限双曲线图示．
四边形 OABC 正方形∣OA∣2
c∣OB∣22∠AOBπ4．
直线 OA 渐线方程 ybax
batan∠AOB1 ab．
a2+b2c28
a2．
24 x24−y21
解析法：双曲线渐线方程 y±12x
设双曲线方程 x2−4y2λλ≠0
双曲线点 43
λ16−4×324
双曲线标准方程 x24−y21．
法二：
渐线 y12x 点 42 3<2
点 43 渐线 y12x 方 y−12x 方（图）．
双曲线焦点 x 轴
设双曲线方程 x2a2−y2b21a>0b>0
已知条件 ba1216a2−3b21 解 a24b21
双曲线标准方程 x24−y21．
25 223
解析设 Ax1y1Bx2y2 ykx+1y24x ky2−4y+4k0 y1⋅y24 ⋯⋯① BN2AM点 A −10 B 中点 y22y1代入① y12x112求 k223．
第三部分
26 （1） 题意：1a2+e2b21e2a2+34b21
解 a22b21椭圆 C 方程 x22+y21．
（2） （Ⅰ） ae2图．
设 Ax1y1Bx2y2N−2y3M−2y4
直线 l：xmy−1 代入椭圆方程 m2+2y2−2my−10
y1+y22mm2+2y1⋅y2−1m2+2
MBD 三点线 y4−2−2y2x2−2
y4y2−2−2x2−2y2−2−2my2−1−2 ⋯⋯①
理 NAD 三点线 y3y1−2−2my1−1−2 ⋯⋯②
kNF⋅kMFy3−2+1⋅y4−2+1y3y4 ⋯⋯③
①②代入③
kNF⋅kMFy2−2−2my2−1−2⋅y1−2−2my1−1−2y1y22+22m2y1y2−m1+2y1+y2+1+226+42m2+22+2m2−2+m222+3−1
NF⋅MF0．
27 题意焦点坐标轴直线 x−2y−40 ．
令 x0焦点 0−2令 y0焦点 40．
焦点 0−2 时抛物线方程 x2−8y焦点 40 时抛物线方程 y216x．
28 （1） 双曲线 C 焦点坐标轴渐线方程 y±2x
设双曲线方程 x2−y22λλ≠0
点 P621 坐标代入 λ1
双曲线 C 标准方程 x2−y221．
（2） 假设存点 B11 分弦记弦直线 l．
设 B11 弦 MN 中点设 Mx1y1Nx2y2
x1+x22y1+y22．
点 MN 双曲线 C
坐标满足双曲线方程 x12−y1221x22−y2221
两式相减 2x1+x2x1−x2−y1−y2y1+y20
4x1−x22y1−y2
kMNy1−y2x1−x22
直线 l 方程 y−12x−1 2x−y−10．
联立直线 l 双曲线方程 x2−y2212x−y−10
消 y 2x2−4x+30
显然 Δ16−4×2×3−8<0
直线 l 双曲线交点
直线 l 存
存点 B11 分弦．
29 （1） 题意知 a2b1
椭圆方程 x24+y21．
（2） 点 Pxy 椭圆 C
x24+y21 0≤x2≤4．
∣OP∣x2+y2x2+1−x241+3x24
0≤3x24≤3
1≤1+3x24≤4
1≤∣OP∣≤2
∣OP∣ 取值范围 12．
30 （1） 方法（换元法）：
令 x+1t xt−1
ft3t−1+23t−1 fx3x−1．
方法二（配凑法）：
fx+13x+23x+1−1 fx3x−1．
（2） fx−1xx2+1x2x−1x2+2
令 tx−1x ftt2+2 fxx2+2．
（3） 题意 fx−2f−x1+2x 中
−x 代 x f−x−2fx1−2x
联立 fx−2f−x1+2xf−x−2fx1−2x
消 f−x fx23x−1．
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选择题（20题100分）
1 设抛物线 y28x 点 P y 轴距离 4点 P 该抛物线焦点距离
A 4 B 6 C 8 D 12
2 已知双曲线 x2a2−y231(a>0) 离心率 2 a
A 2 B 62 C 52 D 1
3 双曲线 y2a2−x2b21a>0b>0 条渐线点 31该双曲线离心率
A 5 B 2 C 3 D 2
4 抛物线 C 顶点圆心圆交 C AB 两点交 C 准线 DE 两点．已知 ∣AB∣42∣DE∣25 C 焦点准线距离
A 2 B 4 C 6 D 8
5 已知 M 抛物线 Cy22px 意点 M 圆心圆直线 x−1 相切点 N10设斜率 1 直线抛物线 C 交 PQ 两点线段 PQ 中点坐标
A 2 B 4 C 6 D 8
6 顶点原点焦点 F0−1 抛物线方程
A y2−2x B y2−4x C x2−2y D x2−4y
7 已知 F1F2 分双曲线 x2a2−y2b21ab>0 左右焦点l1l2 双曲线两条渐线．设点 Mb0 行 l1 直线交 l2 点 P． PF1⊥PF2该双曲线离心率
A 3 B 5 C 14−2412 D 14+2412
8 命题 px−1命题 qx1 p q
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 非充分非必条件
9 椭圆点椭圆两焦点顶点三角形面积值 1该椭圆长轴长值
A 22 B 2 C 2 D 22
10 已知双曲线 x2a2−y2b21a>0b>0 条渐线行直线 l2x+2y+50双曲线焦点直线 l 双曲线方程
A x220−y251 B x25−y2201 C 3x225−3y21001 D 3x2100−3y2251
11 点 M11 抛物线 yax2 准线距离 2 a 值
A 14 B −112 C 14 −112 D −14 112
12 已知双曲线渐线方程 y±3x焦点坐标 −4040双曲线方程
A x28−y2241 B x212−y241 C x224−y281 D x24−y2121
13 设 F1F2 分双曲线 x2a2−y2b21a>0b>0 左右焦点双曲线右支存点 P 满足 PF2F1F2 ∠PF2F190∘双曲线离心率
A 2−1 B 2 C 2+1 D 22+1
14 椭圆 Cx24+y231 左右顶点分 A1A2点 P C 直线 PA2 斜率取值范围 −2−1直线 PA1 斜率取值范围
A 1234 B 3834 C 121 D 341
15 面直角坐标系 xOy 中已知直线 l 点右移 2 单位长度移 4 单位长度该直线直线 l 斜率
A −2 B −12 C 12 D 2
16 已知 AB 双曲线 E 左右顶点点 M E △ABM 等腰三角形顶角 120∘ E 离心率
A 5 B 2 C 3 D 2
17 椭圆 Cx2a2+y2b21a>b>0 左右焦点分 F1F2椭圆 C 恰 6 点 P △F1F2P 等腰三角形椭圆 C 离心率取值范围
A 1323 B 121
C 231 D 1312∪121
18 正方形 ABCD 边长 1点 E 边 AB 点 F 边 BC AE12BF14．动点 P E 出发直线 F 运动碰正方形边时反弹反弹时反射角等入射角点 P 第次碰 E 时P 正方形边碰撞次数
A 3 B 4 C 6 D 8
19 抛物线 y28x 准线 x 轴交点 Q点 Q 直线 l 抛物线公点直线 l 斜率取值范围
A −1212 B −22 C −11 D −44
20 已知面直角坐标系曲线 C1：Fxy0曲线 C2：Fxy−Fx0y00点 Px0y0 曲线 C1 列说法正确
A 曲线 C1 C2 公点
B 曲线 C1 C2 少公点
C 曲线 C1 C2 公点
D 曲线 C1 C2 公点数法确定
二填空题（5题25分）
21 抛物线 y2x 准线方程 ．
22 已知抛物线焦点坐标 0−3抛物线标准方程 ．
23 双曲线 x2a2−y2b21a>0b>0 渐线正方形 OABC 边 OAOC 直线点 B 该双曲线焦点．正方形 OABC 边长 2 a ．
24 已知双曲线点 43渐线方程 y±12x该双曲线标准方程 ．
25 直线 ykx+1k>0 抛物线 y24x 相交 AB 两点 AB 两点抛物线准线射影分 MN BN2AM k 值 ．
三解答题（5题65分）
26 已知点 1ee32 椭圆 C：x2a2+y2b21a>b>0 中 e 椭圆离心率椭圆右顶点 D．
（1）求椭圆 C 方程
（2）直线 l 椭圆 C 左焦点 F 交椭圆 C AB 两点直线 DADB 分直线 x−ae 交 NM 两点求证：NF⋅MF0．
27 抛物线顶点原点焦点直线 x−2y−40 求抛物线标准方程．
28 已知双曲线 C 焦点坐标轴渐线方程 y±2x点 P621．
（1）求双曲线 C 标准方程
（2）否存点 B11 分弦果存求出弦直线方程果存请说明理．
29 已知 A20B01 椭圆 Cx2a2+y2b21a>b>0 两点Pxy 椭圆 C 动点O 坐标原点．
（1）求椭圆 C 方程
（2） ∣OP∣ 表示 x 函数求 ∣OP∣ 取值范围．
30 解答列问题．
（1）已知函数 fx+13x+2求 fx
（2）已知 fx−1xx2+1x2求 fx
（3）已知函数 fx 意 x fx−2f−x1+2x求 fx．
答案
第部分
1 B 解析抛物线方程 p2422根抛物线定义知求距离 4+26．
2 D
3 B 解析双曲线 y2a2−x2b21a>0b>0 条渐线：by−ax0渐线点 31 b3a b23a2 c2−a23a2
c24a2c2a
双曲线离心率 eca2．
4 B 解析妨设 C：y22pxp>0Ax122 x12222p4p题意知 ∣OA∣∣OD∣ 4p2+82p2+5解 p4（舍负）．
5 A
解析设 Mx0y0
M 圆心圆直线 x−1 相切点 N10
x0+1x0−12+y02
y022px0．
p2．
抛物线方程 y24x．
yx+by24x⇒y2−4y−4b0．
y1+y24
线段 PQ 中点坐标 y1+y222．
6 D
7 B 解析直线 PM 方程 y−bax+b2a 联立直线 l2 直线 PM Pb2b22a PF1⊥PF2 PF1⋅PF20 c2−5a20 双曲线离心率 5．
8 A
9 B
10 A
解析双曲线 x2a2−y2b21 渐线 y±bax
渐线 x+2y+50 行．
ba12
a2b ⋯⋯①
双曲线焦点 −c0 −c+50
c5
c2a2+b2 a2+b225 ⋯⋯②
①②求 a220b25
双曲线方程 x220−y251．
11 C 解析抛物线 yax2 准线方程 y−14a
点 M11 抛物线 yax2 准线距离 2
1+14a2
解 a14 a−112．
12 D
13 C 解析 PF2F1F22c ∠PF2F190∘
PF122c
双曲线定义 22c−2c2a
ca2+1．
14 B
15 A
解析设点 Px0y0 直线 l 点点 P 右移 2 单位长度移 4 单位长度 Pʹx0+2y0−4已知 Pʹx0+2y0−4 直线 l ．斜率 ky0−4−y0x0+2−x0−2．
16 D 解析设双曲线 E 标准方程 x2a2−y2b21a>0b>0 −a0Ba0
妨设点 M 第象限易 M2a3a
M 点双曲线 E 2a2a2−3a2b21解 b2a2
e1+b2a22．
17 D 解析 ∣PF1∣∣PF2∣ 时椭圆存两点 △F1F2P 等腰三角形 ∣PF1∣∣F1F2∣ ∣PF2∣∣F1F2∣ 时存两点 ∣PF1∣∣F1F2∣ 时 ∣PF1∣2c∣PF2∣2a−2c椭圆 6 点 P 时 4c>2a−2c2a−2c≠2c解 13
19 C 解析题意 Q−20．设 l 方程 ykx+2代入 y28x k2x2+4k2−2x+4k20 k0 时直线 l 抛物线恒交点 k≠0 时Δ16k2−22−16k4≥0 k2≤1 −1≤k≤1 k≠0综−1≤k≤1．
20 A
解析假设曲线 C1 C2 公点 Qx1y1 Fx1y10 Fx1y1−Fx0y00 时成立
Fx0y00
点 Px0y0 曲线 C1 已知条件点 Px0y0 曲线 C1 矛盾．
假设成立
曲线 C1 C2 公点．
第二部分
21 x−14
解析抛物线 y2x 准线方程 x−14．
22 x2−12y
23 2
解析妨令 B 双曲线右焦点A 第象限双曲线图示．
四边形 OABC 正方形∣OA∣2
c∣OB∣22∠AOBπ4．
直线 OA 渐线方程 ybax
batan∠AOB1 ab．
a2+b2c28
a2．
24 x24−y21
解析法：双曲线渐线方程 y±12x
设双曲线方程 x2−4y2λλ≠0
双曲线点 43
λ16−4×324
双曲线标准方程 x24−y21．
法二：
渐线 y12x 点 42 3<2
点 43 渐线 y12x 方 y−12x 方（图）．
双曲线焦点 x 轴
设双曲线方程 x2a2−y2b21a>0b>0
已知条件 ba1216a2−3b21 解 a24b21
双曲线标准方程 x24−y21．
25 223
解析设 Ax1y1Bx2y2 ykx+1y24x ky2−4y+4k0 y1⋅y24 ⋯⋯① BN2AM点 A −10 B 中点 y22y1代入① y12x112求 k223．
第三部分
26 （1） 题意：1a2+e2b21e2a2+34b21
解 a22b21椭圆 C 方程 x22+y21．
（2） （Ⅰ） ae2图．
设 Ax1y1Bx2y2N−2y3M−2y4
直线 l：xmy−1 代入椭圆方程 m2+2y2−2my−10
y1+y22mm2+2y1⋅y2−1m2+2
MBD 三点线 y4−2−2y2x2−2
y4y2−2−2x2−2y2−2−2my2−1−2 ⋯⋯①
理 NAD 三点线 y3y1−2−2my1−1−2 ⋯⋯②
kNF⋅kMFy3−2+1⋅y4−2+1y3y4 ⋯⋯③
①②代入③
kNF⋅kMFy2−2−2my2−1−2⋅y1−2−2my1−1−2y1y22+22m2y1y2−m1+2y1+y2+1+226+42m2+22+2m2−2+m222+3−1
NF⋅MF0．
27 题意焦点坐标轴直线 x−2y−40 ．
令 x0焦点 0−2令 y0焦点 40．
焦点 0−2 时抛物线方程 x2−8y焦点 40 时抛物线方程 y216x．
28 （1） 双曲线 C 焦点坐标轴渐线方程 y±2x
设双曲线方程 x2−y22λλ≠0
点 P621 坐标代入 λ1
双曲线 C 标准方程 x2−y221．
（2） 假设存点 B11 分弦记弦直线 l．
设 B11 弦 MN 中点设 Mx1y1Nx2y2
x1+x22y1+y22．
点 MN 双曲线 C
坐标满足双曲线方程 x12−y1221x22−y2221
两式相减 2x1+x2x1−x2−y1−y2y1+y20
4x1−x22y1−y2
kMNy1−y2x1−x22
直线 l 方程 y−12x−1 2x−y−10．
联立直线 l 双曲线方程 x2−y2212x−y−10
消 y 2x2−4x+30
显然 Δ16−4×2×3−8<0
直线 l 双曲线交点
直线 l 存
存点 B11 分弦．
29 （1） 题意知 a2b1
椭圆方程 x24+y21．
（2） 点 Pxy 椭圆 C
x24+y21 0≤x2≤4．
∣OP∣x2+y2x2+1−x241+3x24
0≤3x24≤3
1≤1+3x24≤4
1≤∣OP∣≤2
∣OP∣ 取值范围 12．
30 （1） 方法（换元法）：
令 x+1t xt−1
ft3t−1+23t−1 fx3x−1．
方法二（配凑法）：
fx+13x+23x+1−1 fx3x−1．
（2） fx−1xx2+1x2x−1x2+2
令 tx−1x ftt2+2 fxx2+2．
（3） 题意 fx−2f−x1+2x 中
−x 代 x f−x−2fx1−2x
联立 fx−2f−x1+2xf−x−2fx1−2x
消 f−x fx23x−1．
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