数学建模：二轮滑板佳运动方式
摘
游龙板年国较流行种新型滑板该项运动提高身体柔软性衡感项深受青少年喜爱体育运动普通滑板相操作时板利双脚前摆动驱动游龙板前进许感觉游龙板前进似需助外力运动原理难想象游龙板结构然简单设计相巧妙两结构特殊轮子板横摆动转换成前推动力
滑板运动程中受面轮子静摩擦力板蹬力中板蹬力活力板转动轮架偏离定角度时面轮子静摩擦力滑板前运动体扭动角度板转动起着关重作
滑板前进速度水推进力相关摆动周期水推进力越活力板获加速度周期速度值水推进力轮架旋转角度关建立关模型解时面滑板摩擦力完全提供水推进力时 滑板作力做功转化板子转动动轮子转动动刚体转动动定理建立关系假设化简关系进建立微分方程通龙格库塔法解四分周期满足微分方程积分板子佳旋转角度37佳扭动角度
关键词： 游龙板 扭动角度 龙格库塔法
问题重述
二轮滑板称作两轮滑板陆浪板种新型滑板普通四轮滑板样两轮运动起龙蛇样扭动国称游龙板活力板体运动理巧妙力学原理利身体（腰部臀部）双脚扭动手摆动驱动活力板前进滑板运动淋漓致发挥
现请建立身体扭动角度滑板前进速度关系模型找佳扭动角度
二问题分析
21活力板构造
活力板前两面板中间轴连接两面板绕中间连接轴相转动．面板方安装轮架车轮轮架绕倾斜转轴转动．构造巧妙处轮架转轴延长线通车轮面接触点段垂直距离图1示
22活力板受力
板施加力时车板会角度倾斜面车轮静摩擦
力轮架绕转轴旋转时静摩擦力会产生水分力推动活力板前运动通身体左右晃动活力板运动板面水方左右摆动体扭动角度似成板身摆动角度板身摆动角度轮轴摆动角度存定关系轮轴摆动角度水方分力关根水分力算出滑板速度终找速度扭动角度关系
三模型假设
（1）假设体扭动角度板转动角度
（2）假设轮架转动时间成正弦函数关系
（3）假设施加滑板力均匀力
（4）假设运动程受空气阻力影响
（5）假设支持力扭动角度变化变化
四符号说明
符号
说明
v
滑板前进速度
F水
滑板受水方分力
F脚
滑板作摆动力
转轴竖直方夹角
轮架旋转角度
滑板转角度
板旋转角速度
滑轮绕轮轴旋转角速度
脚滑板中心距离
L
轮轴滑轮距离
R
滑轮半径
N
面滑轮整体支持力
板质量
轮质量
五模型建立求解
51 模型建立
（）轮子结构
游龙板前两轮结构相分析轮子通轮架倾斜转轴安装板E轮子轮架绕转轴轴线转动分析方便轮子结构简化图1示
运动方
面
板面
轮子
转轴
轮架
p
q
A
O
N
D
C
q’
p’
B
图1 轮子结构简化侧视图
图中线段ABBO代表转轴轮架O点轮子圆心D点轮子触点C点AB延长线面交点轮子特殊结构体现两方：第转轴AB倾斜设竖直方夹角第二 C点D点重合落D点前面站板时面轮D点支持力设N双脚板面前进方相垂直方摆动轮子轮架会绕转轴摆动进产生前推动力面推动力产生原进行具体分析
（二）推动力产生原分析
图2示设轮架绕转轴摆角度轮子摆定角度CD蹲点位置发生变化设轮子受面支持力N方竖直点面问静摩擦力设F水前进方夹角做直线∥滑板前进方致
(1)支持力N转轴转矩
①产生转矩力计算
轮子支持力N产生轮子绕转轴回摆转矩N垂直方分力(垂直)轮子绕转动效力：
运动方
A
q
p
q’
p’
B
F
T
N
N’
C
S
D’
O
图2 轮子绕转轴转意角度B立体图
p
T
N
N’
P’
S
H
D’
C’
B
图3 转动力矩计算
②产生转矩力臂计算
图2应局部放图3示做垂直滑板前进方水线H点⊥面B
两面B行∥面B分力直线转轴距离等点面B距离长度
图3知：
(1)
转轴力臂
支持力N转轴转矩L：
(2)
(2)静摩擦力F转轴转矩
①产生转矩力计算
图4示静摩擦力F产生阻止轮子回摆力矩F垂直方分力 (垂直)产生转矩效力
N
T
p
G
P’
S
F’
D’
C’
F
R
图4 转动力矩计算
做辅助线⊥S点TR⊥R点连接SR证明：SR⊥求出F夹角设求出：
(3)
：
(4)
(5)
②产生转矩力臂计算
图4示转轴行面转动力臂行面距离点做面垂线交面点G连接G两点求力臂
证明：SRT设图出：
(6)
：
(7)
(8)
求出力F阻止轮架回摆力矩：
(9)
(3)推动力
令(1)(2)中L求出：
(10)
轮子绕转轴摆意角度时滑板受推动力实际F水前进方分力
(11)
综述游龙板前进推动力源轮子面间静摩擦力轮子结构决定轮子绕转轴转角度轮子面间会静摩擦力F存F运动方水分量驱动游龙板前进光滑路面静摩擦力存游龙板法前进
做该项运动时操作者双脚板面断力前摆动目保持角直存角必须外力保持
图2示时脚施力方垂直纸面外设应该力F垂直运动方分力相衡：
(12)
见力力F赖存保证存F存系统受推动力终源脚施力方滑板前进方垂直轮子结构特殊性转换成前推动力滑板前进系统动源做功
分析速度水方力关系知周期水方力达时加速度力零时加速度零速度假设时间t关系呈正弦规律变化幅值角频率式：
(13)
外轮子结构变化时会牵扯系统重心高低变化时系统重心低处稳定衡状态时系统重心高处稳定衡状态游龙板方运动倒滑取
（13）式水方力关系代入(11)式matlab中画图形图5示图求优解时水力文身体扭动角度似做滑板面转动角度
图5 轮子旋转角度水推进力关系
板施加力轮轴控制轮架轮子进行滑动首先找关系建立刚体转动动定理（忽略转动程中阻力做功）滑板做功等滑板动增量轮子动增量（14）式示中关时间t函数：
(14)
关系（12）式代入式解时通转动惯量计算公式解出：
(15)
(16)
（12）（15）（16）式代入（14）式两边时t求导：
(17)
终建立扭动角度滑板速度模型：
(18)
数代入微分方程matlab中函数ode45通龙格库塔法求关时间变化关系图6示时扭动角度佳代入（13）式时t025代入（18）式时扭动角度佳
matlab中函数ode45通龙格库塔法求关时间变化关系图6示：
图6 关时间变化关系
六模型评价推广
文模糊佳扭动角度求解问题转化滑板旋转角度问题样清楚求出滑板前进速度滑板旋转角度间函数关系复杂问题通转化变简单问题刚体转动程考虑初始状态末状态考虑程中作力具体情况问题求解变简单求解微分方程运龙格库塔法计算程中改变步长需计算高阶导数具精度高收敛稳定等优点
列刚体转动动关系时没考虑摩擦力做功模型求解时参数估计存定误差
七参考文献
[1] 刘卫国 MATLAB程序设计应[M] 北京：高等教育出版社2006
[2] 卓金武 MATLAB数学建模中应[M] 北京：北京航空航天学出版社2011
[3] 活力板游龙板视频教学 2014819
[4] 游龙板教学 2014819
[5] 张晓娜梁亚波 活力板力学原理[J]科学眼光世界2012(7)4647
八附录
图1
程序1：
mainc
clcclearclose all
global j_boad j_wheel lp alpha N belta0 jiaopinlv
m_wheel04
m_boad3
lp56*001
l2*001
r4*001
alphapi6
N700
belta_rowbest_belta(alpha)
belta0max(belta_row)
j_boad112*m_boad*lp^2
j_wheelm_wheel*(2*l*r+r^2)
jiaopinlv8*pi
Tpi2jiaopinlv
[tomega]ode45(＇myfun＇[0T]01)
anglepara_integar(0Tomegalength(t))*180pi
beltabelta0*sin(jiaopinlv*t)
figure
plot(tomega)
xlabel(＇ts＇)
ylabel(＇omegarad*s^1＇)
grid on
figure
plot(tbelta)
grid on
程序2：
function [ bf ] best_belta( alpha )
UNTITLED2 请处输入函数概
请处输入详细说明
beltalinspace(0pi1000)
tmp1sin(alpha)*sin(belta)*sin(belta)
tmp21sin(alpha)*sin(alpha)*sin(belta)*sin(belta)
tmp31+tan(alpha)*tan(alpha)*cos(belta)*cos(belta)
forcetmp1(sqrt(tmp2tmp3))
fmax(force)
nfind(forcef)
bbelta(n)
figure
plot(beltaforce)
xlabel(＇belta＇)
ylabel(＇force＇)
grid on
end
程序3：
function [ dy ] myfun( tomega )
UNTITLED2 请处输入函数概
请处输入详细说明
global temp1 temp2 temp3
global j_boad j_wheel lp alpha N belta0 jiaopinlv
beltabelta0*sin(16*pi*t)
tmp1N*sin(alpha)*sin(belta)*cos(belta)
tmp21sin(alpha)*sin(alpha)*sin(belta)*sin(belta)
tmp31+tan(alpha)*tan(alpha)*cos(belta)*cos(belta)
forcetmp1(sqrt(tmp2tmp3))
temp1lp*forcej_boad
temp22*j_wheel*(pi2*jiaopinlv*cos(jiaopinlv*t))*(pi2*jiaopinlv^2*sin(jiaopinlv*t))
dytemp1temp2(j_boad*omega)
end
程序4：
function [ s ] para_integar(abyn )
离散点抛物线积分数值解法
a积分限值
b积分限值
n分割区间数
h(ba)n
temp10
temp20
for i1n1
if rem(i2)~0
temp1temp1+y(i+1)
end
if rem(i2)0
temp2temp2+y(i+1)
end
end
tempy(1)+y(n)+4*temp1+2*temp2
sh6*temp
end
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摘
游龙板年国较流行种新型滑板该项运动提高身体柔软性衡感项深受青少年喜爱体育运动普通滑板相操作时板利双脚前摆动驱动游龙板前进许感觉游龙板前进似需助外力运动原理难想象游龙板结构然简单设计相巧妙两结构特殊轮子板横摆动转换成前推动力
滑板运动程中受面轮子静摩擦力板蹬力中板蹬力活力板转动轮架偏离定角度时面轮子静摩擦力滑板前运动体扭动角度板转动起着关重作
滑板前进速度水推进力相关摆动周期水推进力越活力板获加速度周期速度值水推进力轮架旋转角度关建立关模型解时面滑板摩擦力完全提供水推进力时 滑板作力做功转化板子转动动轮子转动动刚体转动动定理建立关系假设化简关系进建立微分方程通龙格库塔法解四分周期满足微分方程积分板子佳旋转角度37佳扭动角度
关键词： 游龙板 扭动角度 龙格库塔法
问题重述
二轮滑板称作两轮滑板陆浪板种新型滑板普通四轮滑板样两轮运动起龙蛇样扭动国称游龙板活力板体运动理巧妙力学原理利身体（腰部臀部）双脚扭动手摆动驱动活力板前进滑板运动淋漓致发挥
现请建立身体扭动角度滑板前进速度关系模型找佳扭动角度
二问题分析
21活力板构造
活力板前两面板中间轴连接两面板绕中间连接轴相转动．面板方安装轮架车轮轮架绕倾斜转轴转动．构造巧妙处轮架转轴延长线通车轮面接触点段垂直距离图1示
22活力板受力
板施加力时车板会角度倾斜面车轮静摩擦
力轮架绕转轴旋转时静摩擦力会产生水分力推动活力板前运动通身体左右晃动活力板运动板面水方左右摆动体扭动角度似成板身摆动角度板身摆动角度轮轴摆动角度存定关系轮轴摆动角度水方分力关根水分力算出滑板速度终找速度扭动角度关系
三模型假设
（1）假设体扭动角度板转动角度
（2）假设轮架转动时间成正弦函数关系
（3）假设施加滑板力均匀力
（4）假设运动程受空气阻力影响
（5）假设支持力扭动角度变化变化
四符号说明
符号
说明
v
滑板前进速度
F水
滑板受水方分力
F脚
滑板作摆动力
转轴竖直方夹角
轮架旋转角度
滑板转角度
板旋转角速度
滑轮绕轮轴旋转角速度
脚滑板中心距离
L
轮轴滑轮距离
R
滑轮半径
N
面滑轮整体支持力
板质量
轮质量
五模型建立求解
51 模型建立
（）轮子结构
游龙板前两轮结构相分析轮子通轮架倾斜转轴安装板E轮子轮架绕转轴轴线转动分析方便轮子结构简化图1示
运动方
面
板面
轮子
转轴
轮架
p
q
A
O
N
D
C
q’
p’
B
图1 轮子结构简化侧视图
图中线段ABBO代表转轴轮架O点轮子圆心D点轮子触点C点AB延长线面交点轮子特殊结构体现两方：第转轴AB倾斜设竖直方夹角第二 C点D点重合落D点前面站板时面轮D点支持力设N双脚板面前进方相垂直方摆动轮子轮架会绕转轴摆动进产生前推动力面推动力产生原进行具体分析
（二）推动力产生原分析
图2示设轮架绕转轴摆角度轮子摆定角度CD蹲点位置发生变化设轮子受面支持力N方竖直点面问静摩擦力设F水前进方夹角做直线∥滑板前进方致
(1)支持力N转轴转矩
①产生转矩力计算
轮子支持力N产生轮子绕转轴回摆转矩N垂直方分力(垂直)轮子绕转动效力：
运动方
A
q
p
q’
p’
B
F
T
N
N’
C
S
D’
O
图2 轮子绕转轴转意角度B立体图
p
T
N
N’
P’
S
H
D’
C’
B
图3 转动力矩计算
②产生转矩力臂计算
图2应局部放图3示做垂直滑板前进方水线H点⊥面B
两面B行∥面B分力直线转轴距离等点面B距离长度
图3知：
(1)
转轴力臂
支持力N转轴转矩L：
(2)
(2)静摩擦力F转轴转矩
①产生转矩力计算
图4示静摩擦力F产生阻止轮子回摆力矩F垂直方分力 (垂直)产生转矩效力
N
T
p
G
P’
S
F’
D’
C’
F
R
图4 转动力矩计算
做辅助线⊥S点TR⊥R点连接SR证明：SR⊥求出F夹角设求出：
(3)
：
(4)
(5)
②产生转矩力臂计算
图4示转轴行面转动力臂行面距离点做面垂线交面点G连接G两点求力臂
证明：SRT设图出：
(6)
：
(7)
(8)
求出力F阻止轮架回摆力矩：
(9)
(3)推动力
令(1)(2)中L求出：
(10)
轮子绕转轴摆意角度时滑板受推动力实际F水前进方分力
(11)
综述游龙板前进推动力源轮子面间静摩擦力轮子结构决定轮子绕转轴转角度轮子面间会静摩擦力F存F运动方水分量驱动游龙板前进光滑路面静摩擦力存游龙板法前进
做该项运动时操作者双脚板面断力前摆动目保持角直存角必须外力保持
图2示时脚施力方垂直纸面外设应该力F垂直运动方分力相衡：
(12)
见力力F赖存保证存F存系统受推动力终源脚施力方滑板前进方垂直轮子结构特殊性转换成前推动力滑板前进系统动源做功
分析速度水方力关系知周期水方力达时加速度力零时加速度零速度假设时间t关系呈正弦规律变化幅值角频率式：
(13)
外轮子结构变化时会牵扯系统重心高低变化时系统重心低处稳定衡状态时系统重心高处稳定衡状态游龙板方运动倒滑取
（13）式水方力关系代入(11)式matlab中画图形图5示图求优解时水力文身体扭动角度似做滑板面转动角度
图5 轮子旋转角度水推进力关系
板施加力轮轴控制轮架轮子进行滑动首先找关系建立刚体转动动定理（忽略转动程中阻力做功）滑板做功等滑板动增量轮子动增量（14）式示中关时间t函数：
(14)
关系（12）式代入式解时通转动惯量计算公式解出：
(15)
(16)
（12）（15）（16）式代入（14）式两边时t求导：
(17)
终建立扭动角度滑板速度模型：
(18)
数代入微分方程matlab中函数ode45通龙格库塔法求关时间变化关系图6示时扭动角度佳代入（13）式时t025代入（18）式时扭动角度佳
matlab中函数ode45通龙格库塔法求关时间变化关系图6示：
图6 关时间变化关系
六模型评价推广
文模糊佳扭动角度求解问题转化滑板旋转角度问题样清楚求出滑板前进速度滑板旋转角度间函数关系复杂问题通转化变简单问题刚体转动程考虑初始状态末状态考虑程中作力具体情况问题求解变简单求解微分方程运龙格库塔法计算程中改变步长需计算高阶导数具精度高收敛稳定等优点
列刚体转动动关系时没考虑摩擦力做功模型求解时参数估计存定误差
七参考文献
[1] 刘卫国 MATLAB程序设计应[M] 北京：高等教育出版社2006
[2] 卓金武 MATLAB数学建模中应[M] 北京：北京航空航天学出版社2011
[3] 活力板游龙板视频教学 2014819
[4] 游龙板教学 2014819
[5] 张晓娜梁亚波 活力板力学原理[J]科学眼光世界2012(7)4647
八附录
图1
程序1：
mainc
clcclearclose all
global j_boad j_wheel lp alpha N belta0 jiaopinlv
m_wheel04
m_boad3
lp56*001
l2*001
r4*001
alphapi6
N700
belta_rowbest_belta(alpha)
belta0max(belta_row)
j_boad112*m_boad*lp^2
j_wheelm_wheel*(2*l*r+r^2)
jiaopinlv8*pi
Tpi2jiaopinlv
[tomega]ode45(＇myfun＇[0T]01)
anglepara_integar(0Tomegalength(t))*180pi
beltabelta0*sin(jiaopinlv*t)
figure
plot(tomega)
xlabel(＇ts＇)
ylabel(＇omegarad*s^1＇)
grid on
figure
plot(tbelta)
grid on
程序2：
function [ bf ] best_belta( alpha )
UNTITLED2 请处输入函数概
请处输入详细说明
beltalinspace(0pi1000)
tmp1sin(alpha)*sin(belta)*sin(belta)
tmp21sin(alpha)*sin(alpha)*sin(belta)*sin(belta)
tmp31+tan(alpha)*tan(alpha)*cos(belta)*cos(belta)
forcetmp1(sqrt(tmp2tmp3))
fmax(force)
nfind(forcef)
bbelta(n)
figure
plot(beltaforce)
xlabel(＇belta＇)
ylabel(＇force＇)
grid on
end
程序3：
function [ dy ] myfun( tomega )
UNTITLED2 请处输入函数概
请处输入详细说明
global temp1 temp2 temp3
global j_boad j_wheel lp alpha N belta0 jiaopinlv
beltabelta0*sin(16*pi*t)
tmp1N*sin(alpha)*sin(belta)*cos(belta)
tmp21sin(alpha)*sin(alpha)*sin(belta)*sin(belta)
tmp31+tan(alpha)*tan(alpha)*cos(belta)*cos(belta)
forcetmp1(sqrt(tmp2tmp3))
temp1lp*forcej_boad
temp22*j_wheel*(pi2*jiaopinlv*cos(jiaopinlv*t))*(pi2*jiaopinlv^2*sin(jiaopinlv*t))
dytemp1temp2(j_boad*omega)
end
程序4：
function [ s ] para_integar(abyn )
离散点抛物线积分数值解法
a积分限值
b积分限值
n分割区间数
h(ba)n
temp10
temp20
for i1n1
if rem(i2)~0
temp1temp1+y(i+1)
end
if rem(i2)0
temp2temp2+y(i+1)
end
end
tempy(1)+y(n)+4*temp1+2*temp2
sh6*temp
end
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