数字信号处理辅导
离散时间信号系统时域分析
（） 离散时间信号
（1）基概念
信号：信号传递信息函数独立变量函数变量时间空间位置等
连续信号：某时间区间限间断点外瞬时均确定值
模拟信号：连续信号特例时间幅度均连续
离散信号：时间连续幅度连续常见离散信号——序列
数字信号：幅度量化时间幅度均连续
（2）基序列（课第7——10页）
1）单位脉序列 2）单位阶跃序列
3）矩形序列 4）实指数序列
5）正弦序列 6）复指数序列
（3）周期序列
1）定义：序列存正整数
称周期序列记周期
注意正弦周期序列周期性判定（课第10页）
2）周期序列表示方法：
a值区间表示法
b模N表示法
3）周期延拓
设N点非周期序列周期序列L作限次移位相加周期序列
时 时
（4）序列分解
序列轭称分解定理：意定整数M序列分解成关轭称序列轭反称序列
（4）序列运算
1）基运算
运算
性质描述
序列相
序列相加
序列翻转
（轴称轴翻转）
尺度变换
（序列隔m1点取点形成序列）
单位脉序列表示
2）线性卷积：
序列y轴中心做翻转然做m点移位应点相求——翻转移位相求
定义式：
线性卷积计算：A图解
B解析法
C进位法（必须掌握）
3）单位复指数序列求（必须掌握）
果根洛达法
结合作业题322进行练
（5）序列功率量
量：
功率：
（6）相关函数——机信号定义运算相
（二） 离散时间系统
1．系统性质
（1）线性性质
定义：设系统输入分输出分
统输意定常数式成立
该系统服线性叠加原理线性系统否非线性系统
判定系统线性性质时直接定义
（2）时变性质
统果系统输入信号运算关系整运算程中时间变化称该系统时变系统意定整数i式成立：
称该系统时变系统否时变系统
判定系统时变性质时直接定义
（3）系统果性
定义：果系统n时刻输出序列取决n时刻前输入序列n时刻输入序列关称该系统具果性质系统果系统否非果系统
离散时间LTI系统具果性充条件：系统单位脉响应满足
（4）系统稳定性
定义：意界输入系统输出界该系统稳定否稳定
离散时间LTI系统具果性充条件：系统单位脉响应满足绝
（5）离散时间LTI系统描述
（1）时域：差分方程
（2）Z域：系统函数
2．信号系统
线性卷积相关知识计算信号系统学基性质套
二离散时间信号系统频域分析
（） 离散时间信号
1．序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform）（书中离散时间信号傅里叶变换）
（1）定义
SFT：
ISFT：
说明：
1物理意义：序列傅里叶变换质序列种分解般序列分解穷数字角频率中复指数序列称序列频谱模称幅频特性幅角称相频特性
2序列离散时间信号序列傅里叶变换数字角频率言连续函数序列傅里叶变换连续
3
式知序列傅里叶变换周期周期函数原正言周期数字角频率相差单位复指数序列等价单位复指数序列周期离散时间信号周期性整数倍表示信号直流分量奇数倍表示信号高频率
（2）性质
名称
性质描述
线性性质
时移性质
频移性质
轭称性质
线性卷积性质
帕斯瓦尔定理
相性质
序列n
（3）基序列傅里叶变换
序列
傅里叶变换
1
1
2．Z变换（熟悉复信号系统相关容书23相关容）
（1）定义
ZT：
IZT：
（2）性质——课49页表233
（3）收敛域基序列Z变换——课45页表231表232
3 离散时间信号Z变换SFT关系
Z变换SFT推广反果某序列Z变换收敛域包括通ZT求序列SFT
式表明SFT正序列ZT值
（二） 离散时间系统
1系统函数收敛域系统果性稳定性
仅系统函数H(z)收敛域单位圆某圆园外时系统果稳定
2系统函数零极点分布系统果性稳定性
系统果稳定H(z)极点必定单位圆
3系统函数零极点分布系统频率响应特性影响
1极点言：单位圆点转某极点附时附出现峰值极点越单位圆振幅特性峰值越极点出现单位圆时振幅特性出现穷系统稳定
2零点言：单位圆点转某零点附时附出现谷点零点出现单位圆时振幅特性零零点位单位圆外影响稳定性
两概念——
1相位系统：系统H(z)全部零极点单位圆某点单位圆逆时针旋转周时系统相位变化
2相位系统：H(z)全部零点单位圆外系统相位变化
说明：处坐标原点零极点影响系统幅频响应利零极点分析系统幅频响应仅低阶系统效
（三） 离散时间信号模拟（连续）时间信号
1．时域关系
设连续时间信号离散时间信号
2．频域关系
时域信号抽样频域特征频谱采样频率周期进行周期延拓
域离散必然导致域周期延拓
域周期延拓必然导致域离散
应变量关系：
三离散傅里叶变换（DFT）
（） 离散傅里叶级数变换（DFST）
说明：周期序列满足绝条件适序列傅里叶变换定义式展开成离散傅里叶级数（Discrete Fourier SeriesDFS）利离散傅里叶级数周期序列离散傅里叶变换表示式
1定义
DFST：
IDFST：
注：1周期单位复指数序列
周期单位复指数序列nk言N周期
2周期N周期序列分解成N周期复指数序列周期复指数序列数字角频率
周幅度相位离散傅里叶级数决定
2基周期序列离散傅里叶级数变换
时域序列
离散傅里叶级数变换（DFST）
1
1
3周期序列离散傅里叶变换
类信号系统中周期信号傅里叶变换具体推导程见课76页
（二） 离散傅里叶变换（DFT）
1定义
DFT：
IDFT：
点：
（1）DFT没实际物理含义理解SFT等间隔采样
（2）变换区间：[0N1]限长N点
（3）变换结果：序列长度N关N足够时包络趋曲线
（4）频谱分析意义：
表示频点幅度谱线果模拟信号采样采样间隔Tk相应模拟频率关系： 模拟频率域言N点DFT意味着频域采样间隔DFT进行谱分析时称频率分辨率NT表示时域采样区间长度(观察时间记录长度)显然提高分辨率必须记录长度足够
（5）DFT隐含周期性
1）DFTSFT等间隔采样周期
2）周期性
3）时域抽样频域周期延拓频域采样时域周期延拓
2DFT性质
性质
时域（）
频域（）
线性性质
时域循环移位性质
频域循环移位性质
时域循环卷积
频域循环卷积
复轭序列DFT
轭称性
帕斯瓦尔定理
3基序列离散傅里叶变换
时域序列
离散傅里叶级数变换（DFST）
1
4频域采样定理
设序列傅里叶变换区间进行N点等间隔采样（采样间隔）序列应IDFT
频域等间隔采样导致时域序列周期延拓区间采样序列IDFT原序列N周期进行周期延拓值序列序列长度M频域采样点数时时频域采样序列恢复
（三）连续信号傅里叶变换（CFT）序列傅里叶变换（SFT）离散傅里叶级数变换（DFST）离散傅里叶变换（DFT）关系
变量应关系：
编者：什DFT？
外界接收信号连续信号现代类计算机信号进行处理计算机识离散值需接收连续信号进行采样截短离散序列域离散必然导致域周期延拓时域连续信号进行采样时频谱必然进行周期延拓序列傅里叶变换连续周期样计算机没法频谱进行分析时时域信号进行周期延拓会频谱离散化两域分离散化周期延拓时DFST应关系分两域取值适合计算机处理时域频域序列DFT应运生（家言仅供参考）
（四） 卷积计算
1循环卷积线性卷积（限长序列卷积）
设限长序列长度N长度M线性卷积结果长度循环卷积结果长度两类卷积应关系：（设）
（1）时
（2）时
（3）时
2重叠保留法重叠相加法（限长序列卷积）
（1）重叠保留法
基思路：两序列中长度较长限长序列均匀分段计算限长子序列短序列线性卷积结果重叠相加起输出（
重叠卷积结果）
设限长序列长度M限长序列
计算步骤：1）均匀分段段长度N
2）计算段子序列短序列线性卷积
设计算线性卷积
3）子序列线性卷积结果移位相加总输出
令
（2）重叠保留法
基思路：两序列中长度较长限长序列时间重叠分段计算限长子序列短序列线性卷积保留段结果中间N点相加输出（重叠较长序列）
设限长序列长度M限长序列
计算步骤：1）重叠分段（段kN前重叠M1点）段长度N+M1
2）计算段子序列短序列线性卷积
设计算线性卷积长度N+2M2前M1点掉M1点掉保留中间N点
3）子序列线性卷积结果移位相加总输出
说明：重叠保留相加法必须掌握公式必记忆明白算法思想会计算计算时注意三步走（写卷子）否答案正确没分（数学纳法样固定格式）
（五） DFT进行频谱分析误差
1泄漏现象
产生原：DFT进行分析时隐含序列时域加窗截断信号原频率量频率泄漏
减少方法：（1）加窗长增加实际DFT计算点数
（2）变换时域加窗函数形式
2栅栏现象
产生原：DFT计算频谱
减少方法：序列末尾加零增加DFT点数
3混叠现象
产生原：序列截断采样频率完全满足采样定理
减少方法：较高采样频率信号进行采样序列通数字低通滤波器降低采样频率进行DFT分析
4DFT分辨率： 参数选择般原：
a．已知信号高频率防止混叠选定采样频率
b．根频率分辨率F确定需DFT长度
c．N确定确定相应模拟信号时间长度里T采样周期
（六） 离散时间信号抽取插
1离散时间信号整数倍抽取
时域：
频域：
整数倍抽取导致数字频谱展宽
2离散时间信号整数倍插
时域：
频域：
序列相邻采样点间插零导致数字频谱压缩
说明：抽取插公式记住学会画图分析程
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离散时间信号系统时域分析
（） 离散时间信号
（1）基概念
信号：信号传递信息函数独立变量函数变量时间空间位置等
连续信号：某时间区间限间断点外瞬时均确定值
模拟信号：连续信号特例时间幅度均连续
离散信号：时间连续幅度连续常见离散信号——序列
数字信号：幅度量化时间幅度均连续
（2）基序列（课第7——10页）
1）单位脉序列 2）单位阶跃序列
3）矩形序列 4）实指数序列
5）正弦序列 6）复指数序列
（3）周期序列
1）定义：序列存正整数
称周期序列记周期
注意正弦周期序列周期性判定（课第10页）
2）周期序列表示方法：
a值区间表示法
b模N表示法
3）周期延拓
设N点非周期序列周期序列L作限次移位相加周期序列
时 时
（4）序列分解
序列轭称分解定理：意定整数M序列分解成关轭称序列轭反称序列
（4）序列运算
1）基运算
运算
性质描述
序列相
序列相加
序列翻转
（轴称轴翻转）
尺度变换
（序列隔m1点取点形成序列）
单位脉序列表示
2）线性卷积：
序列y轴中心做翻转然做m点移位应点相求——翻转移位相求
定义式：
线性卷积计算：A图解
B解析法
C进位法（必须掌握）
3）单位复指数序列求（必须掌握）
果根洛达法
结合作业题322进行练
（5）序列功率量
量：
功率：
（6）相关函数——机信号定义运算相
（二） 离散时间系统
1．系统性质
（1）线性性质
定义：设系统输入分输出分
统输意定常数式成立
该系统服线性叠加原理线性系统否非线性系统
判定系统线性性质时直接定义
（2）时变性质
统果系统输入信号运算关系整运算程中时间变化称该系统时变系统意定整数i式成立：
称该系统时变系统否时变系统
判定系统时变性质时直接定义
（3）系统果性
定义：果系统n时刻输出序列取决n时刻前输入序列n时刻输入序列关称该系统具果性质系统果系统否非果系统
离散时间LTI系统具果性充条件：系统单位脉响应满足
（4）系统稳定性
定义：意界输入系统输出界该系统稳定否稳定
离散时间LTI系统具果性充条件：系统单位脉响应满足绝
（5）离散时间LTI系统描述
（1）时域：差分方程
（2）Z域：系统函数
2．信号系统
线性卷积相关知识计算信号系统学基性质套
二离散时间信号系统频域分析
（） 离散时间信号
1．序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform）（书中离散时间信号傅里叶变换）
（1）定义
SFT：
ISFT：
说明：
1物理意义：序列傅里叶变换质序列种分解般序列分解穷数字角频率中复指数序列称序列频谱模称幅频特性幅角称相频特性
2序列离散时间信号序列傅里叶变换数字角频率言连续函数序列傅里叶变换连续
3
式知序列傅里叶变换周期周期函数原正言周期数字角频率相差单位复指数序列等价单位复指数序列周期离散时间信号周期性整数倍表示信号直流分量奇数倍表示信号高频率
（2）性质
名称
性质描述
线性性质
时移性质
频移性质
轭称性质
线性卷积性质
帕斯瓦尔定理
相性质
序列n
（3）基序列傅里叶变换
序列
傅里叶变换
1
1
2．Z变换（熟悉复信号系统相关容书23相关容）
（1）定义
ZT：
IZT：
（2）性质——课49页表233
（3）收敛域基序列Z变换——课45页表231表232
3 离散时间信号Z变换SFT关系
Z变换SFT推广反果某序列Z变换收敛域包括通ZT求序列SFT
式表明SFT正序列ZT值
（二） 离散时间系统
1系统函数收敛域系统果性稳定性
仅系统函数H(z)收敛域单位圆某圆园外时系统果稳定
2系统函数零极点分布系统果性稳定性
系统果稳定H(z)极点必定单位圆
3系统函数零极点分布系统频率响应特性影响
1极点言：单位圆点转某极点附时附出现峰值极点越单位圆振幅特性峰值越极点出现单位圆时振幅特性出现穷系统稳定
2零点言：单位圆点转某零点附时附出现谷点零点出现单位圆时振幅特性零零点位单位圆外影响稳定性
两概念——
1相位系统：系统H(z)全部零极点单位圆某点单位圆逆时针旋转周时系统相位变化
2相位系统：H(z)全部零点单位圆外系统相位变化
说明：处坐标原点零极点影响系统幅频响应利零极点分析系统幅频响应仅低阶系统效
（三） 离散时间信号模拟（连续）时间信号
1．时域关系
设连续时间信号离散时间信号
2．频域关系
时域信号抽样频域特征频谱采样频率周期进行周期延拓
域离散必然导致域周期延拓
域周期延拓必然导致域离散
应变量关系：
三离散傅里叶变换（DFT）
（） 离散傅里叶级数变换（DFST）
说明：周期序列满足绝条件适序列傅里叶变换定义式展开成离散傅里叶级数（Discrete Fourier SeriesDFS）利离散傅里叶级数周期序列离散傅里叶变换表示式
1定义
DFST：
IDFST：
注：1周期单位复指数序列
周期单位复指数序列nk言N周期
2周期N周期序列分解成N周期复指数序列周期复指数序列数字角频率
周幅度相位离散傅里叶级数决定
2基周期序列离散傅里叶级数变换
时域序列
离散傅里叶级数变换（DFST）
1
1
3周期序列离散傅里叶变换
类信号系统中周期信号傅里叶变换具体推导程见课76页
（二） 离散傅里叶变换（DFT）
1定义
DFT：
IDFT：
点：
（1）DFT没实际物理含义理解SFT等间隔采样
（2）变换区间：[0N1]限长N点
（3）变换结果：序列长度N关N足够时包络趋曲线
（4）频谱分析意义：
表示频点幅度谱线果模拟信号采样采样间隔Tk相应模拟频率关系： 模拟频率域言N点DFT意味着频域采样间隔DFT进行谱分析时称频率分辨率NT表示时域采样区间长度(观察时间记录长度)显然提高分辨率必须记录长度足够
（5）DFT隐含周期性
1）DFTSFT等间隔采样周期
2）周期性
3）时域抽样频域周期延拓频域采样时域周期延拓
2DFT性质
性质
时域（）
频域（）
线性性质
时域循环移位性质
频域循环移位性质
时域循环卷积
频域循环卷积
复轭序列DFT
轭称性
帕斯瓦尔定理
3基序列离散傅里叶变换
时域序列
离散傅里叶级数变换（DFST）
1
4频域采样定理
设序列傅里叶变换区间进行N点等间隔采样（采样间隔）序列应IDFT
频域等间隔采样导致时域序列周期延拓区间采样序列IDFT原序列N周期进行周期延拓值序列序列长度M频域采样点数时时频域采样序列恢复
（三）连续信号傅里叶变换（CFT）序列傅里叶变换（SFT）离散傅里叶级数变换（DFST）离散傅里叶变换（DFT）关系
变量应关系：
编者：什DFT？
外界接收信号连续信号现代类计算机信号进行处理计算机识离散值需接收连续信号进行采样截短离散序列域离散必然导致域周期延拓时域连续信号进行采样时频谱必然进行周期延拓序列傅里叶变换连续周期样计算机没法频谱进行分析时时域信号进行周期延拓会频谱离散化两域分离散化周期延拓时DFST应关系分两域取值适合计算机处理时域频域序列DFT应运生（家言仅供参考）
（四） 卷积计算
1循环卷积线性卷积（限长序列卷积）
设限长序列长度N长度M线性卷积结果长度循环卷积结果长度两类卷积应关系：（设）
（1）时
（2）时
（3）时
2重叠保留法重叠相加法（限长序列卷积）
（1）重叠保留法
基思路：两序列中长度较长限长序列均匀分段计算限长子序列短序列线性卷积结果重叠相加起输出（
重叠卷积结果）
设限长序列长度M限长序列
计算步骤：1）均匀分段段长度N
2）计算段子序列短序列线性卷积
设计算线性卷积
3）子序列线性卷积结果移位相加总输出
令
（2）重叠保留法
基思路：两序列中长度较长限长序列时间重叠分段计算限长子序列短序列线性卷积保留段结果中间N点相加输出（重叠较长序列）
设限长序列长度M限长序列
计算步骤：1）重叠分段（段kN前重叠M1点）段长度N+M1
2）计算段子序列短序列线性卷积
设计算线性卷积长度N+2M2前M1点掉M1点掉保留中间N点
3）子序列线性卷积结果移位相加总输出
说明：重叠保留相加法必须掌握公式必记忆明白算法思想会计算计算时注意三步走（写卷子）否答案正确没分（数学纳法样固定格式）
（五） DFT进行频谱分析误差
1泄漏现象
产生原：DFT进行分析时隐含序列时域加窗截断信号原频率量频率泄漏
减少方法：（1）加窗长增加实际DFT计算点数
（2）变换时域加窗函数形式
2栅栏现象
产生原：DFT计算频谱
减少方法：序列末尾加零增加DFT点数
3混叠现象
产生原：序列截断采样频率完全满足采样定理
减少方法：较高采样频率信号进行采样序列通数字低通滤波器降低采样频率进行DFT分析
4DFT分辨率： 参数选择般原：
a．已知信号高频率防止混叠选定采样频率
b．根频率分辨率F确定需DFT长度
c．N确定确定相应模拟信号时间长度里T采样周期
（六） 离散时间信号抽取插
1离散时间信号整数倍抽取
时域：
频域：
整数倍抽取导致数字频谱展宽
2离散时间信号整数倍插
时域：
频域：
序列相邻采样点间插零导致数字频谱压缩
说明：抽取插公式记住学会画图分析程
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