2022年普通高等学校招生全国统考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分．题出四选项中项符合题目求
1 已知集合（ ）
A B C D
答案B
解析
分析方法：求出集合求
详解[方法]：直接法
选：B
[方法二]：优解代入排法
代入集合满足排AD
代入集合满足排C
选：B
整体点评方法：直接解等式利交集运算求出通性通法
方法二：根选择题特征利特殊值代入验证该题优解．
2 （ ）
A B C D
答案D
解析
分析利复数法求
详解
选：D
3 图1中国古代建筑中举架结构桁相邻桁水距离称步垂直距离称举图2某古代建筑屋顶截面示意图．中举相等步相邻桁举步分．已知成公差01等差数列直线斜率0725（ ）
A 075 B 08 C 085 D 09
答案D
解析
分析设关方程求出解正确选项
详解设
题意
选：D
4 已知量（ ）
A B C 5 D 6
答案C
解析
分析利量运算量夹角余弦公式坐标形式化简求
详解解：解
选：C
5 甲乙丙丁戊5名学站成排参加文艺汇演甲站两端丙丁相邻排列方式（ ）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
答案B
解析
分析利捆绑法处理丙丁插空法安排甲利排列组合计数原理解
详解丙丁起先丙丁捆绑做元素连乙戊成三元素排列种排列方式甲两端必须需甲三元素中间两位置选位置插入2种插空方式注意丙丁两序交换2种排列方式安排5名学：种排列方式
选：B
6 （ ）
A B
C D
答案C
解析
分析两角差正余弦公式化简结合角三角函数商数关系解
详解[方法]：直接法
已知：
：
：选：C
[方法二]：特殊值排法
解法设β0sinα +cosα 0取排A B
取α0sinβ +cosβ 2sinβ取β排D选C
[方法三]：三角恒等变换
选：C
[方法四]：
已知：
：
：
选：C
7 已知正三棱台高1底面边长分顶点球面该球表面积（ ）
A B C D
答案A
解析
分析根题意求出正三棱台底面圆面半径根球心距圆面半径球半径间关系解出球半径出球表面积．
详解设正三棱台底面圆面半径设球心底面距离分球半径解符合题意球表面积．
选：A．
8 已知函数定义域R（ ）
A B C 0 D 1
答案A
解析
分析法：根题意赋值知函数周期求出函数周期中值解出．
详解[方法]：赋值加性质
令令
函数偶函数令知函数周期．
周期．226余4
．选：A．
[方法二]：优解构造特殊函数
联想余弦函数差化积公式
设方法中知解取
符合条件周期
226余4
．选：A．
整体点评法：利赋值法求出函数周期解出该题通性通法
法二：作选择题利熟悉函数抽象问题具体化简化推理程直接具体函数性质解题简单明该题优解
二选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分
9 已知函数图关点中心称（ ）
A 区间单调递减
B 区间两极值点
C 直线曲线称轴
D 直线曲线切线
答案AD
解析
分析根三角函数性质逐判断选项解出．
详解题意：
时．
A时正弦函数图象知单调递减
B时正弦函数图象知1极值点解函数唯极值点
C时直线称轴
D：
解
：
函数点处切线斜率
切线方程：．
选：AD．
10 已知O坐标原点抛物线焦点F直线C交AB两点中A第象限点（ ）
A 直线斜率 B
C D
答案ACD
解析
分析抛物线方程求斜率公式判断A选项表示出直线方程联立抛物线求求出判断B选项抛物线定义求出判断C选项求钝角判断D选项
详解
A易点垂直分线点横坐标
代入抛物线直线斜率A正确
B斜率直线方程联立抛物线方程
设代入抛物线解
B错误
C抛物线定义知：C正确
D钝角
钝角
D正确
选：ACD
11 图四边形正方形面记三棱锥体积分（ ）
A B
C D
答案CD
解析
分析直接体积公式计算连接交点连接计算出次判断选项
详解
设面
连接交点连接易
面面面面
作易四边形矩形
AB错误CD正确
选：CD
12 xy满足（ ）
A B
C D
答案BC
解析
分析根基等式者取特值判断选项真假．
详解（R）变形解仅时仅时A错误B正确
变形解仅时取等号C正确
变形设
时满足等式成立D错误．
选：BC．
三填空题：题4题题5分20分
13 已知机变量X服正态分布____________．
答案##．
解析
分析根正态分布曲线性质解出．
详解．
答案：．
14 曲线坐标原点两条切线方程________________________．
答案 ① ②
解析
分析分两种情况时设切点求出函数导函数求出切线斜率表示出切线方程根切线坐标原点求出求出切线方程时理
详解[方法]：化分段函数分段求
分两种情况时设切点求出函数导函数求出切线斜率表示出切线方程根切线坐标原点求出求出切线方程时理
解：
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程答案：
[方法二]：根函数称性数形结合
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
偶函数图象：
时切线需找关y轴称直线
[方法三]：
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
答案：
15 设点直线关称直线圆公点a取值范围________．
答案
解析
分析首先求出点关称点坐标直线方程根圆心直线距离等半径等式解
详解解：关称点坐标直线
直线直线直线
圆圆心半径
题意圆心直线距离
解
答案：
16 已知直线l椭圆第象限交AB两点lx轴y轴分交MN两点l方程___________．
答案
解析
分析令中点设利点差法设直线求出坐标根求出解
详解[方法]：弦中点问题：点差法
令中点设利点差法
设直线求出坐标
根求出解
解：令中点
设
设直线
令令
解（舍）
解（舍）
直线
答案：
[方法二]：直线圆锥曲线相交常规方法
解：题意知点线段中点线段MN中点
设设直线
联立直线AB椭圆方程消掉y
中
∴AB中点E横坐标∴
∵∴解m2
直线
[方法三]：
令中点
设
设直线
令令
解（舍）
解（舍）
直线
答案：
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 已知等差数列公2等数列．
（1）证明：
（2）求集合中元素数．
答案（1）证明见解析
（2）．
解析
分析（1）设数列公差根题意列出方程组证出
（2）根题意化简解出．
问1详解
设数列公差解原命题证．
问2详解
（1）知解满足等式解集合中元素数．
18 记角ABC边分abc分abc边长三正三角形面积次已知．
（1）求面积
（2）求b．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）先表示出求结合余弦定理方关系求面积公式求解
（2）正弦定理求解
问1详解
题意
余弦定理整理
问2详解
正弦定理：
19 某区进行流行病学调查机调查100位某种疾病患者年龄样数频率分布直方图：
（1）估计该区种疾病患者均年龄（组中数该组区间中点值代表）
（2）估计该区位种疾病患者年龄位区间概率
（3）已知该区种疾病患病率该区年龄位区间口占该区总口该区中选年龄位区间求患种疾病概率．（样数中患者年龄位区间频率作患者年龄位该区间概率精确00001）
答案（1）岁
（2）
（3）．
解析
分析（1）根均值等矩形面积应区间中点值求出
（2）设{患种疾病年龄区间}根立事件概率公式解出
（3）根条件概率公式求出．
问1详解
均年龄
（岁）．
问2详解
设{患种疾病年龄区间}
．
问3详解
设选年龄位区间[4050)该区中选患种疾病
已知：
条件概率公式
该区中选年龄位区间患种疾病概率．
20 图三棱锥高E中点．
（1）证明：面
（2）求二面角正弦值．
答案（1）证明见解析
（2）
解析
分析（1）连接延长交点连接根三角形全等根直角三角形性质中点证
（2）建立适空间直角坐标系利空间量法求出二面角余弦绝值根角三角函数基关系计算
问1详解
证明：连接延长交点连接
三棱锥高面面
中点中点
面面
面
问2详解
解：点作图建立面直角坐标系
设面法量令
设面法量
令
设二面角
二面角正弦值
21 已知双曲线右焦点渐线方程．
（1）求C方程
（2）F直线C两条渐线分交AB两点点C．P斜率直线Q斜率直线交点M面①②③中选取两作条件证明外成立：
①M②③．
注：选择组合分解答第解答计分
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）利焦点坐标求值利渐线方程求关系进利方关系求值双曲线方程
（2）先分析直线斜率存零设直线AB斜率k M(x0y0)③|AM||BM|等价分析直线斜率直线方程结合双曲线方程两点间距离公式直线PQ斜率②等价转化①直线等价然选择两作已知条件作结进行证明
问1详解
右焦点∴∵渐线方程∴∴∴∴∴．
∴C方程：
问2详解
已知直线斜率存零直线斜率零
选①②推③选②③推①：②成立知直线斜率存零
选①③推②线段中点假直线斜率存双曲线称性知轴焦点时称性知关轴称已知符
总直线斜率存零
设直线斜率直线方程
条件①等价
两渐线方程合
联立消y化简整理：
设线段中点
设
条件③等价
移项利方差公式整理：
题意知直线斜率 直线斜率
∴
∴
直线斜率
直线
代入双曲线方程中
：
解横坐标：
理：
∴
∴
∴条件②等价
综述：
条件①等价
条件②等价
条件③等价
选①②推③
①②解：∴③成立
选①③推②：
①③解：
∴∴②成立
选②③推①：
②③解：∴
∴∴①成立
22 已知函数．
（1）时讨单调性
（2）时求a取值范围
（3）设证明：．
答案（1）减区间增区间
（2）
（3）见解析
解析
分析（1）求出讨符号单调性
（2）设求出先讨时题设中等式成立结合放缩法讨符号结合放缩法讨范围参数取值范围
（3）（2）意恒成立意恒成立结合裂项相消法证题设中等式
问1详解
时
时时
减区间增区间
问2详解
设
设
连续间断函数
存总
增函数
增函数题设矛盾
证：意总成立
证明：设
减函数成立
述等式
总成立减函数
时
减函数
综
问3详解
取总成立
令
意恒成立
意
整理：
等式成立
点睛思路点睛：函数参数等式恒成立问题应该利导数讨函数单调性注意结合端点处导数符号合理分类讨导数背景数列等式证明应根已函数等式合理构建数列等式
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（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分．题出四选项中项符合题目求
1 已知集合（ ）
A B C D
答案B
解析
分析方法：求出集合求
详解[方法]：直接法
选：B
[方法二]：优解代入排法
代入集合满足排AD
代入集合满足排C
选：B
整体点评方法：直接解等式利交集运算求出通性通法
方法二：根选择题特征利特殊值代入验证该题优解．
2 （ ）
A B C D
答案D
解析
分析利复数法求
详解
选：D
3 图1中国古代建筑中举架结构桁相邻桁水距离称步垂直距离称举图2某古代建筑屋顶截面示意图．中举相等步相邻桁举步分．已知成公差01等差数列直线斜率0725（ ）
A 075 B 08 C 085 D 09
答案D
解析
分析设关方程求出解正确选项
详解设
题意
选：D
4 已知量（ ）
A B C 5 D 6
答案C
解析
分析利量运算量夹角余弦公式坐标形式化简求
详解解：解
选：C
5 甲乙丙丁戊5名学站成排参加文艺汇演甲站两端丙丁相邻排列方式（ ）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
答案B
解析
分析利捆绑法处理丙丁插空法安排甲利排列组合计数原理解
详解丙丁起先丙丁捆绑做元素连乙戊成三元素排列种排列方式甲两端必须需甲三元素中间两位置选位置插入2种插空方式注意丙丁两序交换2种排列方式安排5名学：种排列方式
选：B
6 （ ）
A B
C D
答案C
解析
分析两角差正余弦公式化简结合角三角函数商数关系解
详解[方法]：直接法
已知：
：
：选：C
[方法二]：特殊值排法
解法设β0sinα +cosα 0取排A B
取α0sinβ +cosβ 2sinβ取β排D选C
[方法三]：三角恒等变换
选：C
[方法四]：
已知：
：
：
选：C
7 已知正三棱台高1底面边长分顶点球面该球表面积（ ）
A B C D
答案A
解析
分析根题意求出正三棱台底面圆面半径根球心距圆面半径球半径间关系解出球半径出球表面积．
详解设正三棱台底面圆面半径设球心底面距离分球半径解符合题意球表面积．
选：A．
8 已知函数定义域R（ ）
A B C 0 D 1
答案A
解析
分析法：根题意赋值知函数周期求出函数周期中值解出．
详解[方法]：赋值加性质
令令
函数偶函数令知函数周期．
周期．226余4
．选：A．
[方法二]：优解构造特殊函数
联想余弦函数差化积公式
设方法中知解取
符合条件周期
226余4
．选：A．
整体点评法：利赋值法求出函数周期解出该题通性通法
法二：作选择题利熟悉函数抽象问题具体化简化推理程直接具体函数性质解题简单明该题优解
二选择题：题4题题5分20分题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分
9 已知函数图关点中心称（ ）
A 区间单调递减
B 区间两极值点
C 直线曲线称轴
D 直线曲线切线
答案AD
解析
分析根三角函数性质逐判断选项解出．
详解题意：
时．
A时正弦函数图象知单调递减
B时正弦函数图象知1极值点解函数唯极值点
C时直线称轴
D：
解
：
函数点处切线斜率
切线方程：．
选：AD．
10 已知O坐标原点抛物线焦点F直线C交AB两点中A第象限点（ ）
A 直线斜率 B
C D
答案ACD
解析
分析抛物线方程求斜率公式判断A选项表示出直线方程联立抛物线求求出判断B选项抛物线定义求出判断C选项求钝角判断D选项
详解
A易点垂直分线点横坐标
代入抛物线直线斜率A正确
B斜率直线方程联立抛物线方程
设代入抛物线解
B错误
C抛物线定义知：C正确
D钝角
钝角
D正确
选：ACD
11 图四边形正方形面记三棱锥体积分（ ）
A B
C D
答案CD
解析
分析直接体积公式计算连接交点连接计算出次判断选项
详解
设面
连接交点连接易
面面面面
作易四边形矩形
AB错误CD正确
选：CD
12 xy满足（ ）
A B
C D
答案BC
解析
分析根基等式者取特值判断选项真假．
详解（R）变形解仅时仅时A错误B正确
变形解仅时取等号C正确
变形设
时满足等式成立D错误．
选：BC．
三填空题：题4题题5分20分
13 已知机变量X服正态分布____________．
答案##．
解析
分析根正态分布曲线性质解出．
详解．
答案：．
14 曲线坐标原点两条切线方程________________________．
答案 ① ②
解析
分析分两种情况时设切点求出函数导函数求出切线斜率表示出切线方程根切线坐标原点求出求出切线方程时理
详解[方法]：化分段函数分段求
分两种情况时设切点求出函数导函数求出切线斜率表示出切线方程根切线坐标原点求出求出切线方程时理
解：
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程答案：
[方法二]：根函数称性数形结合
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
偶函数图象：
时切线需找关y轴称直线
[方法三]：
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
时设切点切线方程
切线坐标原点解切线方程
答案：
15 设点直线关称直线圆公点a取值范围________．
答案
解析
分析首先求出点关称点坐标直线方程根圆心直线距离等半径等式解
详解解：关称点坐标直线
直线直线直线
圆圆心半径
题意圆心直线距离
解
答案：
16 已知直线l椭圆第象限交AB两点lx轴y轴分交MN两点l方程___________．
答案
解析
分析令中点设利点差法设直线求出坐标根求出解
详解[方法]：弦中点问题：点差法
令中点设利点差法
设直线求出坐标
根求出解
解：令中点
设
设直线
令令
解（舍）
解（舍）
直线
答案：
[方法二]：直线圆锥曲线相交常规方法
解：题意知点线段中点线段MN中点
设设直线
联立直线AB椭圆方程消掉y
中
∴AB中点E横坐标∴
∵∴解m2
直线
[方法三]：
令中点
设
设直线
令令
解（舍）
解（舍）
直线
答案：
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 已知等差数列公2等数列．
（1）证明：
（2）求集合中元素数．
答案（1）证明见解析
（2）．
解析
分析（1）设数列公差根题意列出方程组证出
（2）根题意化简解出．
问1详解
设数列公差解原命题证．
问2详解
（1）知解满足等式解集合中元素数．
18 记角ABC边分abc分abc边长三正三角形面积次已知．
（1）求面积
（2）求b．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）先表示出求结合余弦定理方关系求面积公式求解
（2）正弦定理求解
问1详解
题意
余弦定理整理
问2详解
正弦定理：
19 某区进行流行病学调查机调查100位某种疾病患者年龄样数频率分布直方图：
（1）估计该区种疾病患者均年龄（组中数该组区间中点值代表）
（2）估计该区位种疾病患者年龄位区间概率
（3）已知该区种疾病患病率该区年龄位区间口占该区总口该区中选年龄位区间求患种疾病概率．（样数中患者年龄位区间频率作患者年龄位该区间概率精确00001）
答案（1）岁
（2）
（3）．
解析
分析（1）根均值等矩形面积应区间中点值求出
（2）设{患种疾病年龄区间}根立事件概率公式解出
（3）根条件概率公式求出．
问1详解
均年龄
（岁）．
问2详解
设{患种疾病年龄区间}
．
问3详解
设选年龄位区间[4050)该区中选患种疾病
已知：
条件概率公式
该区中选年龄位区间患种疾病概率．
20 图三棱锥高E中点．
（1）证明：面
（2）求二面角正弦值．
答案（1）证明见解析
（2）
解析
分析（1）连接延长交点连接根三角形全等根直角三角形性质中点证
（2）建立适空间直角坐标系利空间量法求出二面角余弦绝值根角三角函数基关系计算
问1详解
证明：连接延长交点连接
三棱锥高面面
中点中点
面面
面
问2详解
解：点作图建立面直角坐标系
设面法量令
设面法量
令
设二面角
二面角正弦值
21 已知双曲线右焦点渐线方程．
（1）求C方程
（2）F直线C两条渐线分交AB两点点C．P斜率直线Q斜率直线交点M面①②③中选取两作条件证明外成立：
①M②③．
注：选择组合分解答第解答计分
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）利焦点坐标求值利渐线方程求关系进利方关系求值双曲线方程
（2）先分析直线斜率存零设直线AB斜率k M(x0y0)③|AM||BM|等价分析直线斜率直线方程结合双曲线方程两点间距离公式直线PQ斜率②等价转化①直线等价然选择两作已知条件作结进行证明
问1详解
右焦点∴∵渐线方程∴∴∴∴∴．
∴C方程：
问2详解
已知直线斜率存零直线斜率零
选①②推③选②③推①：②成立知直线斜率存零
选①③推②线段中点假直线斜率存双曲线称性知轴焦点时称性知关轴称已知符
总直线斜率存零
设直线斜率直线方程
条件①等价
两渐线方程合
联立消y化简整理：
设线段中点
设
条件③等价
移项利方差公式整理：
题意知直线斜率 直线斜率
∴
∴
直线斜率
直线
代入双曲线方程中
：
解横坐标：
理：
∴
∴
∴条件②等价
综述：
条件①等价
条件②等价
条件③等价
选①②推③
①②解：∴③成立
选①③推②：
①③解：
∴∴②成立
选②③推①：
②③解：∴
∴∴①成立
22 已知函数．
（1）时讨单调性
（2）时求a取值范围
（3）设证明：．
答案（1）减区间增区间
（2）
（3）见解析
解析
分析（1）求出讨符号单调性
（2）设求出先讨时题设中等式成立结合放缩法讨符号结合放缩法讨范围参数取值范围
（3）（2）意恒成立意恒成立结合裂项相消法证题设中等式
问1详解
时
时时
减区间增区间
问2详解
设
设
连续间断函数
存总
增函数
增函数题设矛盾
证：意总成立
证明：设
减函数成立
述等式
总成立减函数
时
减函数
综
问3详解
取总成立
令
意恒成立
意
整理：
等式成立
点睛思路点睛：函数参数等式恒成立问题应该利导数讨函数单调性注意结合端点处导数符号合理分类讨导数背景数列等式证明应根已函数等式合理构建数列等式
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