绝密☆启前 试卷类型：A
2022年普通高等学校招生全国统考试
数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：
1．答卷前考生务必黑色字迹钢笔签字笔姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（A）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答答案效
4．考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1 集合（ ）
A B C D
答案D
解析
分析求出集合求
详解
选：D
2 （ ）
A B C 1 D 2
答案D
解析
分析利复数法求求
详解题设
选：D
3 中点D边AB．记（ ）
A B C D
答案B
解析
分析根条件面量线性运算解出．
详解点D边AB
．
选：B．
4 南水北调工程缓解北方区水资源短缺问题中部分水蓄入某水库已知该水库水位海拔时相应水面面积水位海拔时相应水面面积该水库两水位间形状作棱台该水库水位海拔升时增加水量约（）（ ）
A B C D
答案C
解析
分析根题意求出棱台高利棱台体积公式求出．
详解题意知棱台高(m)增加水量棱台体积．
棱台底面积底面积
∴
．
选：C．
5 287整数中机取2数2数互质概率（ ）
A B C D
答案D
解析
分析古典概型概率公式结合组合列举法解
详解287整数中机取2数种取法
两数互质取法：7种
求概率
选：D
6 记函数正周期T．图象关点中心称（ ）
A 1 B C D 3
答案A
解析
分析三角函数图象性质求参数进函数解析式代入解
详解函数正周期T满足解
函数图象关点称
选：A
7 设（ ）
A B C D
答案C
解析
分析构造函数 导数判断单调性确定
详解设
时时
函数单调递减单调递增
设
令
时函数单调递减
时函数单调递增
时
时函数单调递增
选：C
8 已知正四棱锥侧棱长l顶点球面该球体积该正四棱锥体积取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
分析设正四棱锥高球截面性质列方程求出正四棱锥底面边长高关系确定正四棱锥体积取值范围
详解∵ 球体积球半径
设正四棱锥底面边长高
正四棱锥体积
时时
时正四棱锥体积取值值
时时
正四棱锥体积值
该正四棱锥体积取值范围
选：C
二选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分．
9 已知正方体（ ）
A 直线成角 B 直线成角
C 直线面成角 D 直线面ABCD成角
答案ABD
解析
分析数形结合次选项进行判断
详解图连接直线成角直线成角
四边形正方形直线成角A正确
连接面面
面
面B正确
连接设连接
面面
面
直线面成角
设正方体棱长
直线面成角C错误
面直线面成角易D正确
选：ABD
10 已知函数（ ）
A 两极值点 B 三零点
C 点曲线称中心 D 直线曲线切线
答案AC
解析
分析利极值点定义判断A结合单调性极值判断B利移判断C利导数意义判断D
详解题令
令
单调递减单调递增
极值点A正确
函数零点
时函数零点
综述函数零点B错误
令该函数定义域
奇函数称中心
图象移动单位图象
点曲线称中心C正确
令
切点时切线方程切点时切线方程
D错误
选：AC
11 已知O坐标原点点抛物线点直线交CPQ两点（ ）
A C准线 B 直线ABC相切
C D
答案BCD
解析
分析求出抛物线方程判断A联立AB抛物线方程求交点判断B利距离公式弦长公式判断CD
详解点代入抛物线方程抛物线方程准线方程A错误
直线方程
联立解B正确
设直线直线轴重合直线抛物线交点
直线斜率存设方程
联立
C正确
D正确
选：BCD
12 已知函数导函数定义域均记均偶函数（ ）
A B C D
答案BC
解析
分析转化题设条件函数称性结合原函数导函数图象关系根函数性质逐项判断解
详解均偶函数
C正确
函数图象分关直线称
函数导
B正确D错误
函数满足题设条件函数（C常数）满足题设条件法确定函数值A错误
选：BC
点睛关键点点睛：解决题关键转化题干条件抽象函数性质准确握原函数导函数图象间关系准确握函数性质（必时结合图象）解
三填空题：题4题题5分20分．
13 展开式中系数________________（数字作答）．
答案28
解析
分析化结合二项式展开式通项公式求解
详解
展开式中含项
展开式中系数28
答案：28
14 写出圆相切条直线方程________________．
答案
解析
分析先判断两圆位置关系分情况讨
详解圆圆心半径圆圆心半径
两圆圆心距等两圆半径两圆外切
图
切线l时设方程
Ol距离解l方程
切线m时设直线方程中
题意解
切线n时易知切线方程
答案：
15 曲线两条坐标原点切线a取值范围________________．
答案
解析
分析设出切点横坐标利导数意义求切线方程根切线原点关方程根方程应两实数根求取值范围
详解∵∴
设切点切线斜率
切线方程：
∵切线原点∴
整理：
∵切线两条∴解
∴取值范围
答案：
16 已知椭圆C顶点A两焦点离心率．垂直直线C交DE两点周长________________．
答案13
解析
分析利离心率椭圆方程根离心率直线斜率进利直线垂直关系直线斜率写出直线方程：代入椭圆方程整理化简：利弦长公式求根称性周长转化周长利椭圆定义周长
详解∵椭圆离心率∴∴∴椭圆方程妨设左焦点右焦点图示∵∴∴正三角形∵垂直直线C交DE两点线段垂直分线∴直线斜率斜率倒数 直线方程：代入椭圆方程整理化简：
判式
∴
∴
∵线段垂直分线根称性∴周长等周长利椭圆定义周长
答案：13
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 记数列前n项已知公差等差数列．
（1）求通项公式
（2）证明：．
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）利等差数列通项公式求利项关系时进：利累法求检验成立通项公式
（2）（1）结利裂项求法进证
问1详解
∵∴∴
∵公差等差数列
∴∴
∴时
∴
整理：
∴
显然成立
∴通项公式
问2详解
∴
18 记角ABC边分abc已知．
（1）求B
（2）求值．
答案（1）
（2）．
解析
分析（1）根二倍角公式两角差余弦公式化成结合求出
（2）（1）知利正弦定理二倍角公式化成然利基等式解出．
问1详解
问2详解
（1）知
．
．
仅时取等号值．
19 图直三棱柱体积4面积．
（1）求A面距离
（2）设D中点面面求二面角正弦值．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）等体积法运算解
（2）面面垂直性质判定面建立空间直角坐标系利空间量法解
问1详解
直三棱柱中设点A面距离h
解
点A面距离
问2详解
取中点E连接AE图
面面面面
面面
直三棱柱中面
面面
面相交面
两两垂直B原点建立空间直角坐标系图
（1）
中点
设面法量
取
设面法量
取
二面角正弦值
20 医疗团队研究某种方性疾病居民卫生惯（卫生惯分良够良两类）关系已患该疾病病例中机调查100例（称病例组）时未患该疾病群中机调查100（称组）数：
够良
良
病例组
40
60
组
10
90
（1）否99握认患该疾病群体未患该疾病群体卫生惯差异？
（2）该群中选A表示事件选卫生惯够良B表示事件选患该疾病．值卫生惯够良患该疾病风险程度项度量指标记该指标R．
（ⅰ）证明：
（ⅱ）利该调查数出估计值利（ⅰ）结果出R估计值．
附
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
答案（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析(ii)
解析
分析(1)数结合公式求出值界值较确定否99握认患该疾病群体未黄该疾病群体卫生惯差异(2)(i) 根定义结合条件概率公式完成证明(ii)根（i）结合已知数求
问1详解
已知
99握认患该疾病群体未患该疾病群体卫生惯差异
问2详解
(i)
(ii)
已知
21 已知点双曲线直线l交CPQ两点直线斜率0．
（1）求l斜率
（2）求面积．
答案（1）
（2）．
解析
分析（1）点双曲线求出易知直线l斜率存设根解出l斜率
（2）根直线斜率0知直线倾斜角互补根求出直线斜率分联立直线双曲线方程求出点坐标直线方程长点直线距离公式求出点直线距离出面积．
问1详解
点双曲线解双曲线
易知直线l斜率存设
联立
．
化简
时直线点题意符舍
．
问2详解
妨设直线倾斜角
解
直线直线
联立
方程根
理．
点直线距离
面积．
22 已知函数相值．
（1）求a
（2）证明：存直线两条曲线三交点左右三交点横坐标成等差数列．
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）根导数函数单调性相应值根值相等求a注意分类讨
（2）根（1）时 解数解数均2构建新函数利导数该函数零点关系根存直线曲线三交点取值根两类方程根关系证明三根成等差数列
问1详解
定义域
时值
定义域
时减函数
时增函数
时减函数
时增函数
相值
整理中
设
减函数
唯解解
综
问2详解
（1）值
时考虑解数解数
设
时时
减函数增函数
设中
增函数
两零点解数2
设
时时
减函数增函数
两零点解数2
（1）讨仅零点
时（1）讨均零点
存直线曲线三交点
设中
设
增函数
增函数
零点：
时
时
存直线曲线三交点
时两零点
时两零点
方程解理方程解
化
方程解理方程解
点睛思路点睛：函数值问题需利导数讨函数单调性时注意参数分类讨方程根性质注意利方程特征找两类根间关系
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2022年普通高等学校招生全国统考试
数学
试卷4页22题满分150分考试时120分钟
注意事项：
1．答卷前考生务必黑色字迹钢笔签字笔姓名考生号考场号座位号填写答题卡2B铅笔试卷类型（A）填涂答题卡相应位置条形码横贴答题卡右角条形码粘贴处
2．作答选择题时选出题答案2B铅笔答题卡应题目选项答案信息点涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答案答试卷
3．非选择题必须黑色字迹钢笔签字笔作答答案必须写答题卡题目指定区域相应位置需改动先划掉原答案然写新答案准铅笔涂改液求作答答案效
4．考生必须保持答题卡整洁考试结束试卷答题卡交回
选择题：题8题题5分40分题出四选项中项符合题目求
1 集合（ ）
A B C D
答案D
解析
分析求出集合求
详解
选：D
2 （ ）
A B C 1 D 2
答案D
解析
分析利复数法求求
详解题设
选：D
3 中点D边AB．记（ ）
A B C D
答案B
解析
分析根条件面量线性运算解出．
详解点D边AB
．
选：B．
4 南水北调工程缓解北方区水资源短缺问题中部分水蓄入某水库已知该水库水位海拔时相应水面面积水位海拔时相应水面面积该水库两水位间形状作棱台该水库水位海拔升时增加水量约（）（ ）
A B C D
答案C
解析
分析根题意求出棱台高利棱台体积公式求出．
详解题意知棱台高(m)增加水量棱台体积．
棱台底面积底面积
∴
．
选：C．
5 287整数中机取2数2数互质概率（ ）
A B C D
答案D
解析
分析古典概型概率公式结合组合列举法解
详解287整数中机取2数种取法
两数互质取法：7种
求概率
选：D
6 记函数正周期T．图象关点中心称（ ）
A 1 B C D 3
答案A
解析
分析三角函数图象性质求参数进函数解析式代入解
详解函数正周期T满足解
函数图象关点称
选：A
7 设（ ）
A B C D
答案C
解析
分析构造函数 导数判断单调性确定
详解设
时时
函数单调递减单调递增
设
令
时函数单调递减
时函数单调递增
时
时函数单调递增
选：C
8 已知正四棱锥侧棱长l顶点球面该球体积该正四棱锥体积取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
分析设正四棱锥高球截面性质列方程求出正四棱锥底面边长高关系确定正四棱锥体积取值范围
详解∵ 球体积球半径
设正四棱锥底面边长高
正四棱锥体积
时时
时正四棱锥体积取值值
时时
正四棱锥体积值
该正四棱锥体积取值范围
选：C
二选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分部分选2分选错0分．
9 已知正方体（ ）
A 直线成角 B 直线成角
C 直线面成角 D 直线面ABCD成角
答案ABD
解析
分析数形结合次选项进行判断
详解图连接直线成角直线成角
四边形正方形直线成角A正确
连接面面
面
面B正确
连接设连接
面面
面
直线面成角
设正方体棱长
直线面成角C错误
面直线面成角易D正确
选：ABD
10 已知函数（ ）
A 两极值点 B 三零点
C 点曲线称中心 D 直线曲线切线
答案AC
解析
分析利极值点定义判断A结合单调性极值判断B利移判断C利导数意义判断D
详解题令
令
单调递减单调递增
极值点A正确
函数零点
时函数零点
综述函数零点B错误
令该函数定义域
奇函数称中心
图象移动单位图象
点曲线称中心C正确
令
切点时切线方程切点时切线方程
D错误
选：AC
11 已知O坐标原点点抛物线点直线交CPQ两点（ ）
A C准线 B 直线ABC相切
C D
答案BCD
解析
分析求出抛物线方程判断A联立AB抛物线方程求交点判断B利距离公式弦长公式判断CD
详解点代入抛物线方程抛物线方程准线方程A错误
直线方程
联立解B正确
设直线直线轴重合直线抛物线交点
直线斜率存设方程
联立
C正确
D正确
选：BCD
12 已知函数导函数定义域均记均偶函数（ ）
A B C D
答案BC
解析
分析转化题设条件函数称性结合原函数导函数图象关系根函数性质逐项判断解
详解均偶函数
C正确
函数图象分关直线称
函数导
B正确D错误
函数满足题设条件函数（C常数）满足题设条件法确定函数值A错误
选：BC
点睛关键点点睛：解决题关键转化题干条件抽象函数性质准确握原函数导函数图象间关系准确握函数性质（必时结合图象）解
三填空题：题4题题5分20分．
13 展开式中系数________________（数字作答）．
答案28
解析
分析化结合二项式展开式通项公式求解
详解
展开式中含项
展开式中系数28
答案：28
14 写出圆相切条直线方程________________．
答案
解析
分析先判断两圆位置关系分情况讨
详解圆圆心半径圆圆心半径
两圆圆心距等两圆半径两圆外切
图
切线l时设方程
Ol距离解l方程
切线m时设直线方程中
题意解
切线n时易知切线方程
答案：
15 曲线两条坐标原点切线a取值范围________________．
答案
解析
分析设出切点横坐标利导数意义求切线方程根切线原点关方程根方程应两实数根求取值范围
详解∵∴
设切点切线斜率
切线方程：
∵切线原点∴
整理：
∵切线两条∴解
∴取值范围
答案：
16 已知椭圆C顶点A两焦点离心率．垂直直线C交DE两点周长________________．
答案13
解析
分析利离心率椭圆方程根离心率直线斜率进利直线垂直关系直线斜率写出直线方程：代入椭圆方程整理化简：利弦长公式求根称性周长转化周长利椭圆定义周长
详解∵椭圆离心率∴∴∴椭圆方程妨设左焦点右焦点图示∵∴∴正三角形∵垂直直线C交DE两点线段垂直分线∴直线斜率斜率倒数 直线方程：代入椭圆方程整理化简：
判式
∴
∴
∵线段垂直分线根称性∴周长等周长利椭圆定义周长
答案：13
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 记数列前n项已知公差等差数列．
（1）求通项公式
（2）证明：．
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）利等差数列通项公式求利项关系时进：利累法求检验成立通项公式
（2）（1）结利裂项求法进证
问1详解
∵∴∴
∵公差等差数列
∴∴
∴时
∴
整理：
∴
显然成立
∴通项公式
问2详解
∴
18 记角ABC边分abc已知．
（1）求B
（2）求值．
答案（1）
（2）．
解析
分析（1）根二倍角公式两角差余弦公式化成结合求出
（2）（1）知利正弦定理二倍角公式化成然利基等式解出．
问1详解
问2详解
（1）知
．
．
仅时取等号值．
19 图直三棱柱体积4面积．
（1）求A面距离
（2）设D中点面面求二面角正弦值．
答案（1）
（2）
解析
分析（1）等体积法运算解
（2）面面垂直性质判定面建立空间直角坐标系利空间量法解
问1详解
直三棱柱中设点A面距离h
解
点A面距离
问2详解
取中点E连接AE图
面面面面
面面
直三棱柱中面
面面
面相交面
两两垂直B原点建立空间直角坐标系图
（1）
中点
设面法量
取
设面法量
取
二面角正弦值
20 医疗团队研究某种方性疾病居民卫生惯（卫生惯分良够良两类）关系已患该疾病病例中机调查100例（称病例组）时未患该疾病群中机调查100（称组）数：
够良
良
病例组
40
60
组
10
90
（1）否99握认患该疾病群体未患该疾病群体卫生惯差异？
（2）该群中选A表示事件选卫生惯够良B表示事件选患该疾病．值卫生惯够良患该疾病风险程度项度量指标记该指标R．
（ⅰ）证明：
（ⅱ）利该调查数出估计值利（ⅰ）结果出R估计值．
附
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
答案（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析(ii)
解析
分析(1)数结合公式求出值界值较确定否99握认患该疾病群体未黄该疾病群体卫生惯差异(2)(i) 根定义结合条件概率公式完成证明(ii)根（i）结合已知数求
问1详解
已知
99握认患该疾病群体未患该疾病群体卫生惯差异
问2详解
(i)
(ii)
已知
21 已知点双曲线直线l交CPQ两点直线斜率0．
（1）求l斜率
（2）求面积．
答案（1）
（2）．
解析
分析（1）点双曲线求出易知直线l斜率存设根解出l斜率
（2）根直线斜率0知直线倾斜角互补根求出直线斜率分联立直线双曲线方程求出点坐标直线方程长点直线距离公式求出点直线距离出面积．
问1详解
点双曲线解双曲线
易知直线l斜率存设
联立
．
化简
时直线点题意符舍
．
问2详解
妨设直线倾斜角
解
直线直线
联立
方程根
理．
点直线距离
面积．
22 已知函数相值．
（1）求a
（2）证明：存直线两条曲线三交点左右三交点横坐标成等差数列．
答案（1）
（2）见解析
解析
分析（1）根导数函数单调性相应值根值相等求a注意分类讨
（2）根（1）时 解数解数均2构建新函数利导数该函数零点关系根存直线曲线三交点取值根两类方程根关系证明三根成等差数列
问1详解
定义域
时值
定义域
时减函数
时增函数
时减函数
时增函数
相值
整理中
设
减函数
唯解解
综
问2详解
（1）值
时考虑解数解数
设
时时
减函数增函数
设中
增函数
两零点解数2
设
时时
减函数增函数
两零点解数2
（1）讨仅零点
时（1）讨均零点
存直线曲线三交点
设中
设
增函数
增函数
零点：
时
时
存直线曲线三交点
时两零点
时两零点
方程解理方程解
化
方程解理方程解
点睛思路点睛：函数值问题需利导数讨函数单调性时注意参数分类讨方程根性质注意利方程特征找两类根间关系
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