专 题 3 等 高 线 定 理 运
秒杀秘籍:等高线定理
图设 1e 2e 面两线量 OP 21 yexe 1 yx 21 '' eyexOQ kyx ''
OQ
k
OP
证明:设 OPOQ 根相似三角形关系知 :
1 2 1 2 1 2''OQ xe ye xe ye x e y e
yxyx '' ''
OQ
x y k
OP
例 1图面三量OA
OB
OC
中 OA
OB
夹角120°OA
OC
夹角30°
1OAOB 2 3OC . ()OC mOA nOB m n R m n 值 .
解析法:连接 AB交OC
点 D 30DOAOAD 90BOD 3
3ODDA 2 3
3DB
2 1
3 3ODOAOB 2 3 6OCOD 2 16 4 23 3OCOAOBOAOB
6m n
法二:根等高线定理:
OC k m nOD
+ 根性质 3tan30 3
OD
OB
2 3 6
3
3
k
例 1 题图 例 2 题图
例 2矩形 ABCD 中 1AB 2AD 动点 P 点 C 圆心 BD 相切圆 AP mAB nAD
nm 值()
A. 3 B. 22 C. 5 D. 2
解析图作 BD 行线根相似三角形应高发现行线圆心 C 时候 2 nm
BD 行线 PN 圆 C 相切时点 P 位 1P 点时时 AN
AD
取值
AD
AN 取
值 3 nm 值 3选 A
例 3扇形OAB 中 60AOB C 弧 AB 动点OC xOA yOB 3x y 取值范
围 .第 二 章 量
解析图 取点 D 1
3ODOA 3OC xOA yOB xOD yOB 作系列
BD 行直线圆弧相交构造等高线模型易知:点C 点 A 重合时3x y
取值 3点C 位直线 BD 时(点 C 点 B 重合时) 3x y 取值 1
3x y 取值范围 1 3
秒杀秘籍:未知夹角量积
第步:选定基底谓图形中模夹角清楚两量 a b
第二步:利加法减法三点线两量 1 1 2 2a b a b
第三步:利量积知识算出结果.
例 4图正三角形 ABC 中D 边 BC 点 3AB 1BD ABAD .
解析令 AB a AC b 3a 3b 9cos60 2a b a b
2 1
3 3AD a b 22 1 2 1 2 1 9 1593 3 3 3 3 3 2 2ABAD a a b a ab
.
例 4 题图 例 5 题图
例 5图边长 1 正三角形 ABC 中 设 2BCBD 3CACE ADBE .
解析令 AB a AC b 1a 1b 1cos60 2a b a b
1 1
2 2AD a b 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3BEBABC a b a a b
2 21 1 2 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 2 6 3 2 12 3 4ADBE a b a b a ab b
.
例 6图等腰梯形 ABCD 中已知 AB∥DCAB2BC1∠ABC60°点 E F 分线段 BC
DC 2
3BEBC
1
6DFDC AEAF
× 值 .
解析图令 AB a BC b 2a 1b cos120 1a b a b 2
3AEABBE a b
5 1 7
6 2 12AFABBCCF a b a a b
2 22 7 7 25 2 7 25 2 29
3 12 12 18 3 3 18 3 18AEAF a b a b a ab b
.
例 6 题图 例 7 题图第 二 章 量
例 7已知正方形 ABCD 边长 1点 E AB 边动点 DEDC
× 值 .
解析图令 DC a DA b 1a 1b cos90 0a b a b AE a
DEDAAE a b 2
DEDC a b a a ab max 1 .
例 8(2019•天津)四边形 ABCD 中ADBC 2 3AB 5AD 30A 点 E 线段CB
延长线 AEBE BDAE
.
解析AEBE ADBC 30A 等腰三角形 ABE 中 120BEA 2 3AB 2AE
2
5BEAD AEABBE 2
5AEABAD BDBAADABAD ()BDAEABAD
2()5ABAD 2 27 2
5 5ABABADAD
2 27 2| | | |cos5 5ABABADAAD
7 3 212 5 2 3 255 2 5
1 答案 1 .
例 9(2019•江苏)图 ABC 中D BC 中点E 边 AB 2BEEA
AD CE 交点 O. 6ABACAOEC
AB
AC
值 .
解析设 ()2AOADABAC ()AOAEEOAEECAEACAE
1(1 ) 3AEACABAC
1
2 3
2
1
2
1
4
1 1 ()2 4AOADABAC
1
3ECACAEABAC 1 16 6 ()()4 3AOECABACABAC
2 23 1 2()2 3 3ABABACAC
2 21 3
2 2ABABACAC
2 21 3
2 2ABACABABACAC
2 21 3
2 2ABAC
2
2 3AB
AC
3AB
AC
.答案 3
例 9(2019•浙江)已知正方形 ABCD 边长 1. ( 1i i 23456) 取遍
1 时 1 2 3 4 5 6| |ABBCCDDAACBD 值 值 .
解析正方形 ABCD 边长 1 ABADAC BDADAB 0ABAD
1 2 3 4 5 6| |ABBCCDDAACBD
1 2 3 4 5 5 6 6| |ABADABADABADADAB
1 3 5 6 2 4 5 6| ()() |ABAD 2 2
1 3 5 6 2 4 5 6()()
( 1i i 23456) 取遍 1 1 3 5 6 0 2 4 5 6 0 取 5 6 1 1 3 1
2 1 4 1 求值 0 1 3 5 6 2 4 5 6 值 4取 2 1 4 1
5 6 1 1 1 3 1 求值 2 5 .答案 0 2 5 .第 二 章 量
等 高 线 专 题 训 练
1.(2019•咸阳二模)已知G ABC 重心 GC xAB yAC x y R x y ()
A. 1 B.1 C. 1
3 D. 1
3
2.(2019•潍坊期中)已知 O ABC 点 0OAOBOC 点 M OBC (含边界)
AMABAC 2 取值范围()
A. 5(1)2 B.(12)C. 2(1)3 D. 1(1)2
3.(2019•武昌模拟)已知点 C 扇形 AOB 弧 AB 意点 120AOB
()OCOAOBR 取值范围()
A.[ 2 2]B.(1 2]C.[1 2]D.[1 2]
4.(2019•武汉期中)定两长度 1 面量OA
OB
夹角 90 点 C O 圆心圆
弧 AB 运动 OC xOA yOB 中 x y R 3 5x y 值()
A. 34 B.5 C. 37 D.6
5.(2019•湖北模拟)图圆 O 边长 2 3 等边三角形 ABC 切圆 BC 边相切点 D点 M
圆意点()BM xBA yBD x y R 2x y 值()
A. 2 B. 3 C.2 D. 2 2
6.(2019•岳麓月考)已知 ABC 角
3A O ABC 面点满足| | | | | |OAOBOC
设 AO mAB nAC m n 值()
A. 2
3 B.1 C. 4
3 D.2
第 5 题图 第 7 题图 第 8 题图
7.(2019•濮阳模拟)图面两单位量OA
OB
夹角 60 OC
OA
OB
量
夹角 30 | | 2 3OC OCOAOB 值()
A.2 B.4 C. 2 3 D. 4 3
8.(2019•萍乡模)图已知| | | | 1OAOB | | 2OC 4tan 3AOB 45BOC OC mOA nOB
m
n
等()
A. 5
7 B. 7
5 C. 3
7 D. 7
3第 二 章 量
高 考 真 题 训 练
1.(2018•新课标Ⅰ) ABC 中AD BC 边中线E AD 中点 EB ()
A. 3 1
4 4ABAC
B. 1 3
4 4ABAC
C. 3 1
4 4ABAC
D. 1 3
4 4ABAC
2.(2015•新课标Ⅰ)设 D ABC 面点 3BCCD ()
A. 1 4
3 3ADABAC
B. 1 4
3 3ADABAC
C. 4 1
3 3ADABAC
D. 4 1
3 3ADABAC
3.(2014•新课标Ⅰ)设 DEF 分 ABC 三边 BCCAAB 中点 EBFC ()
A.AD
B. 1
2 AD
C.BC
D. 1
2 BC
4.(2009•山东)设 P ABC 面点 2BCBABP ()
A. 0PAPB B. 0PCPA C. 0PBPC D. 0PAPBPC
5.(2008•辽宁)已知四边形 ABCD 三顶点 (02)A( 1 2)B (31)C 2BCAD 顶点 D 坐
标()
A. 7(2)2 B. 1(2)2
C.(32)D.(13)
6.(2008•全国卷Ⅰ) ABC 中AB c AC b .点 D 满足 2BDDC AD ()
A. 2 1
3 3b c B. 5 2
3 3c b C. 2 1
3 3b c D. 1 2
3 3b c
7.(2008•辽宁)已知 OAB 面三点直线 AB 点 C满足 2 0ACCB OC
等
()
A. 2OAOB B. 2OAOB C. 2 1
3 3OAOB D. 1 2
3 3OAOB
8.(2008•广东)行四边形 ABCD 中AC BD 交点 OE 线段 OD 中点AE 延长线 CD
交点 F. AC a BD b AF ()
A. 1 1
4 2a b B. 2 1
3 3a b C. 1 1
2 4a b D. 1 2
3 3a b
9.(2007•全国卷Ⅱ) ABC 中已知 D AB 边点 2ADDB 1
3CDCACB ()
A. 2
3 B. 1
3 C. 1
3
D. 2
3
10.(2016•天津)已知 ABC 边长 1 等边三角形点 DE 分边 ABBC 中点连接 DE
延长点 F 2DEEF AFBC 值()第 二 章 量
A. 5
8
B. 1
4 C. 1
8 D. 11
8
11.(2015•四川)设四边形 ABCD 行四边形| | 6AB | | 4AD 点 MN 满足 3BMMC 2DNNC
AMNM ()
A. 20 B.15 C.9 D. 6
12.(2012•天津) ABC 中 90A 1AB 2AC .设点 PQ 满足 APAB (1 )AQAC
R . 2BQCP ()
A. 1
3 B. 2
3 C. 4
3 D. 2
13.(2018•天津)图面图形中已知 1OM 2ON 120MON 2BMMA 2CNNA
BCOM 值()
A. 15 B. 9 C. 6 D. 0
13 题图 14 题图
14.(2010•天津)图 ABC 中ADAB 3BCBD | | 1AD ACAD ()
A. 2 3 B. 3
2 C. 3
3 D. 3
15.(2017•新课标Ⅲ)矩形 ABCD 中 1AB 2AD 动点 P 点 C 圆心 BD 相切圆.
APABAD 值()
A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2
16.(2017•新课标Ⅱ)已知 ABC 边长 2 等边三角形P 面 ABC 点 ()PAPBPC
值()
A. 2 B. 3
2
C. 4
3
D. 1
17.(2006•安徽)行四边形 ABCD 中AB a
AD b 3ANNC M BC 中点 MN
( a b 表示).
18.(2015•北京) ABC 中点 MN 满足 2AMMC BNNC MN xAB yAC x
y .
19.(2007•天津) ABC 中 2AB 3AC D 边 BC 中点 ADBC .第 二 章 量
20.(2009•安徽)定两长度1面量 OA
OB
夹角120 .图示点 C O
圆心 1 半径圆弧 AB 变动. OC xOA yOB 中 x y R x y 值 .
19 题图 20 题图 21 题图 22 题图
21.(2007•天津)图 ABC 中 120BAC 2AB 1AC D 边 BC 点 2DCBD
ADBC
.
22.(2007•江西)图 ABC 中点 O BC 中点.点 O 直线分交直线 ABAC 两
点 MN AB mAM AC nAN m n 值 .
23.(2013•新课标Ⅰ)已知两单位量 a b
夹角 60 (1 )c ta t b . 0b c t .
24.(2013•天津)行四边形 ABCD 中 1AD 60BAD E CD 中点. 1ACBE AB
长 .
25.(2013•新课标Ⅱ)已知正方形 ABCD 边长 2E CD 中点 AEBD .
26.(2017•天津) ABC 中 60A 3AB 2AC . 2BDDC ()AEACABR
4ADAE 值 .
27.(2015•天津)等腰梯形 ABCD 中已知 ABDC 2AB 1BC 60ABC 点 E F 分
线段 BC DC 2
3BEBC 1
6DFDC AEAF 值 .
28.(2015•天津)等腰梯形 ABCD 中已知 ABDC 2AB 1BC 60ABC .动点 E F 分
线段 BC DC BEBC 1
9DFDC AEAF 值 .
29.(2014•天津)已知菱形 ABCD 边长 2 120BAD 点 EF 分边 BCDC 3BCBE
DCDF 1AEAF 值 .
30.(2017•江苏)图面量 OA
OB
OC
模分 11
2 OA
OC
夹角 tan 7 OB
OC
夹角 45.
()OC mOA nOB m n R m n .
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