常考二级结应
观中学数学教材基题组成(部分概念介绍)高考试题部分源教
材编教材离开题授课离开题学数学离开题考试更离开题实际高考试题通
教材例题题加工改造引申推广成仅试题表示方式语言表达
教材保持致考生种似相识感觉仔细琢磨教材题研究位结
合高考真题终独创题型
+
模型全新教学法篇中高考试题中常出现
教材体现部分二级结呈现家部分结学生解题指导作时演
算结果精准验证作学解答高考题时做准确快捷
结
子集数问题集合 A 含n(n∈N*)元素集合 A 子集
2
n 非空子集
2
n
1
真子集
2
n
1
非空真子集
2
n
2
理解A 子集
2
n 元素取舍理解例元素两种选择n 元素
2
n 种选择
例 1 设集合 A (xy)
x2
4 +
y2
161{}B (xy)|y3
x{} A∩B 子集数( )
A4 B3 C2 D1变式1
已知集合 A x|x2
3x+20x∈R{}B x|0集合C 数( )
A1 B2 C3 D4
结二
子集关系问题A⊆B⇔A∩BA⇔A∪BB⇔A∩∁IB∅⇔∁IA∪BI中I 全集
(
1
) AB 时显然成立(
2
) A⫋B 时
Venn
图图
21
示结正确
图21
例 2 已知 MN 集合I 非空子集 MN 相等 N∩∁IM ∅ M ∪N( )
AMBNCID∅变式1
已知集合P x|x2
≤1
{}M {a}P∪M Pa 取值范围( )
A(∞1]B[1+∞)C[11]D(∞1]∪[1+∞)
变式2
设集合 A x|x2
6x+50
{}B x|ax10
{} A∩BB实数a 取值
组成集合C ( )
A11
5
{}B1
21
3
{}C011
5
{}D01
21
3
{}2
结三
交补(非)间关系(德·摩根定律)
(
1
)集合形式
∁I(A∩B)
∁IA()
∪ ∁IB()
∁I(A∪B)
∁IA()
∩ ∁IB()
(
2
)命题形式
(p∧q)
(
p)
∨
(
q)
(p∨q)
(
p)
∧
(
q)
例 3 设全集U{abcd}集合 A{ab}B{bcd}
∁UA()
∪ ∁UB()
变式1
全集U{123456}集合 M {23}N{14}集合{56}等( )
AM ∪NBM ∩N
C∁UM()
∪ ∁UN()
D∁UM()
∩ ∁UN()
变式2
已知全集UA∪B 中m 元素∁UA()
∪ ∁UB() 中n 元素A∩B 非空A∩B 元素
数( )
Amn Bm+n Cnm Dmn
结四
奇函数中值性质已知函数f(x)定义区间 D 奇函数意x∈D
f(x)
+f(
x)
0特
0∈Df f(
0
)
0奇函数f(x) Df 值f(x)
max+
f(x)
min0
证明f(x)奇函数
∀x∈D
x∈Df(
x)
f(x)f(x)
+f(
x)
0
0∈Df 令x0
f(
0
)
+f(
0
)
0
f(
0
)
0奇函数f(x) Df 值设
f(x)
maxf(x0
)f(x0
)
≥f(x)(x∈D)f(
x0
)
f(x0
)
≤f(x)
f(
x)(
x∈
D)f(x)
minf(
x0
)f(x0
)
+f(
x0
)
0
f(x)
max+f(x)
min0
例 4 设函数f(x)
(x+1)2
+sinx
x2
+1
值 M值 m M +m
变式1
设f(x)定义R奇函数x≥0
时f(x)2
x
+2x+b(b常数)f(1)( )
A3 B1 C1 D3
变式2
已知函数f(x)ln 1+9x2
3x() +1f(lg2)+f lg1
2
æ
è
ç ö
ø
÷
( )
A1 B0 C1 D2
结五
函数周期性问题已知定义 R函数f(x)意x∈R总存非零常数 T
f(x+T)
f(x)称f(x)周期函数T 周期周期函数定义外常见
周期函数关结
(
1
)果f(x+a)
f(x)(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|
(
2
)果f(x+a)
1f(x)(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|
(
3
)果f(x+a)
+f(x)
c(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|3
例 5 已知函数f(x)意实数x 满足f(x+2) 1f(x)f(3)5f(2017)
变式1
已知定义 R函数f(x)满足f x+3
2
æ
è
ç ö
ø
÷
f(x)f(2)f(1)1f(0)
2f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)+f(11)( )
A2 B1 C0 D1
结六
复合函数单调性问题已知函数yf g(x)[] 定义 D 函数f(x)g(x)单调性
相yf g(x)[] D 增函数f(x)g(x)单调性相反yf g(x)[] D
减函数增异减特f(x)定义域 D 单调函数方程f f(x)[]
x D
解x0
f(x0
)
x0
例 6 定义域[01]连续函数f(x)果时满足
3
条件
①
意x∈[01]总f(x)≥0
②f(1)1
③
x1≥0x2≥0x1+x2≤1f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立称函数f(x)理想函数
函数f(x)理想函数假定存x0∈[01]f(x0)∈[01]f f(x0)[]
x0
求证f(x0)x0
变式1
设函数f(x) e
x
+xa(a∈Re
然数底数)存b∈[01]f[f(b)]b
成立a 取值范围( )
A[1e]B[11+e]C[e1+e]D[01]
变式2
函数yloga (x2
ax+1)(a>0
a≠1)(12)增函数实数a 取值范围
34
结七
1二次函数解析式三种形式
二次函数f(x)
ax2
+bx+c(般式)
a x+
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
2
+4acb2
4a
(顶点式)(a≠0
x∈R)
a(xx1
)(xx2
)(双根式)
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
2二次函数基性质
(
1
)a>0
时f(x)
∞
b
2a
æ
è
ç ù
û
úú 减函数
b
2a
+∞
é
ë
êê
ö
ø
÷ 增函数
f(x)x
b
2a
处取值f
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
4acb2
4a
值
(
2
)a<0
时f(x)
∞
b
2a
æ
è
ç ù
û
úú 增函数
b
2a
+∞
é
ë
êê
ö
ø
÷ 减函数
f(x)x
b
2a
处取值f
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
4acb2
4a
值
(
3
)称轴x
b
2a
f(x1
)
f(x2
)x1+x2
b
a
(
4
)抛物线yf(x)y 轴交点(
0
c)
例 7 已知a>0x0
满足关x 方程axb 充条件( )
A∃x∈R1
2
ax2
bx≥1
2
ax2
0bx0 B∃x∈R1
2
ax2
bx≤1
2
ax2
0bx0
C∀x∈R1
2
ax2
bx≥1
2
ax2
0bx0 D∀x∈R1
2
ax2
bx≤1
2
ax2
0bx0
变式1
已知函数f(x)x2
+ax+b(ab∈R)值域[0+∞)关x 等式f(x)(mm+6)实数c 值
变式2
定义
min[f(x)g(x)]
f(x)f(x)≤g(x)
g(x)f(x)>g(x)
{函数f(x)x2
+tx+s 图两点
(x10)(x20)存整数 m m成立( )
Amin[f(m)f(m+1)]<1
4 Bmin[f(m)f(m+1)]>1
4
Cmin[f(m)f(m+1)]1
4 Dmin[f(m)f(m+1)]≥1
4
结八
典等式
(
1
)指数形式
e
x
≥x+1
(x∈R)仅x0
时取等号
(
2
)数形式
ln
(x+1
)
≤x(x>1
)仅x0
时取等号
证明(
1
)令g(x)
e
x
x1
(x∈R)g＇(x)
e
x
1令g＇(x)
0
解x0g＇(x)g(x)x
变化表
21
示5
表21
x (∞0) 0 (0+∞)
g＇(x) 0 +
g(x) ↘
极值
↗
g(x)(
∞
0
)减函数(
0
+ ∞
)增函数 x0
时g(x)值
0
∀x∈R
e
x
x1≥g(
0
)
0
e
x
≥x+1
(x∈R)恒成立仅x0
时取等号
(
2
)
e
x
≥x+1
两边取
e
底数
ln
(
e
x )
≥ln
(x+1
)
ln
(x+1
)
≤x(x>1
)
例 8 已知函数f(x) 1
ln(x+1)xyf(x)图致( )
A B C D
变式1
已知函数f(x)e
x
x∈R求证曲线yf(x)曲线y1
2
x2
+x+1
唯公点
变式2
设函数f(x)1e
x 求证x>1
时f(x)≥
x
x+1
56
结九
函数称性问题已知函数f(x)定义 R函数
(
1
)f(a+x)
f(bx)恒成立yf(x)图关直线x
a+b
2
轴称
特f(a+x)
f(ax)恒成立yf(x)图关直线xa 轴称
(
2
)f(a+x)
+f(bx)
cyf(x)图关点 a+b
2
c
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 中心称
特f(a+x)
+f(ax)
2b 恒成立yf(x)图关点(ab)中心称
尤注意三角函数图称性问题
例 9 已知函数f(x)Asin(ωx+φ)图图
22
示f π
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
3f(0)( )
A2
3 B2
3 C1
2 D1
2
图22
图23
变式1
已知函数yg(x)图f(x)sin2x 图右移φ(0<φ<π)单位两
函数部分图图
23
示φ
结十
三点线结设面三点OAB 线面意点P AB 线充条件
存实数λ μOP→λOA→+μOB→λ+μ1特P 线段AB 中点时OP→
1
2
OA→+1
2
OB→
证明先证必性图
24
示PAB 三点线AP→∥AB→存t∈RAP→
tAB→OP→OA→t OB→OA→()OP→OA→+tOB→tOA→
(
1t)OA→+tOB→
设
1tλtμOP→λOA→+μOB→λ+μ1
证充分性OP→λOA→+μOB→λ+μ1
(λ+μ)OP→λOA→+μOB→
λOP→λOA→μOB→μOP→λAP→μPB→AP→∥PB→ APB 三点线7
综述PAB 三点线充条件存实数λ μOP→λOA→+μOB→λ+μ1
图24
例 10
△ABC 中AB→cAC→b点 D 满足BD→2DC→AD→( )
A2
3
b+1
3
c B5
3
c2
3
b C2
3
b1
3
c D1
3
b+2
3
c
变式1
直线l存三点ABC关实数x 方程x2 OA→+xOB→+BC→0解
(点O 直线l)方程解集( )
A∅ B{10}C{1}D1+ 5
2 1 5
2
{}
变式2
已知两单位量ab 夹角
60°cta+(1t)bb·c0t
结十
1
量OA→OB→线 P 线段 AB 中点OA→·OB→ OP→ 2
|PA→|
2
|OP→|
2
|PB→|
2
|OP→|
2
AB→
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
2
矩形 ABCD 面量
|OA→|
2
+|OC→|
2
|OB→|
2
+|OD→|
2(O 面点)
证明
1
图
25
示
△OAB 中点P 线段AB 中点PA→+PB→0
OA→·OB→ OP→+PA→()·OP→+PB→()
OP→+PA→()·OP→PA→()
|OP→|
2
|PA→|
2
|OP→|
2
|PB→|
2
|OP→|
2
AB→
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
2
图
26
示设矩形 ABCD 角线AC BD 交点PP AC BD 中点
OA→+OC→2OP→OA→OC→CA→(OA→+OC→)2
+
(OA→OC→)2
4|OP→|
2
+|CA→|
2
2
(
|OA→|
2
+|OC→|
2)
4|OP→|
2
+|CA→|
2
|OA→|
2
+|OC→|
2
2|OP→|
2
+|CA→|
2
2
理
|OB→|
2
+|OD→|
2
2|OP→|
2
+|BD→|
2
2
ABCD 矩形
|AC→||BD→|
|OA→|
2
+|OC→|
2
|OB→|
2
+|OD→|
2
图25 图26
78
例 11
△ABC 中M BC 中点AM 3BC10AB→·AC→
变式1
△ABC 中设 P0
边 AB 定点满足 P0B1
4
AB边 AB 点 P恒
PB→·PC→≥P0B→·P0C→( )
A∠ABC90° B∠BAC90° CABACDACBC
变式2
Rt△ABC 中点D 斜边AB 中点点P 线段CD 中点|PA|
2
+|PB|
2
|PC|
2 ( )
A2 B4 C5 D10变式3
已知圆 Mx2
+(y1)2
1圆 Nx2
+(y+1)2
1直线l1l2
分圆心 MNl1
圆 M 相交点ABl2
圆 N 相交点CD点P 椭圆y2
4+
x2
3 1
意动点
PA→·PB→+PC→·PD→值
结十二
数列{an}等差数列
⇔an an1d(n≥2
n∈N*)
⇔an+1an d(n∈N*)
⇔2an+1an +an+2
意n∈N* 恒成立
⇔
通项公式an kn+b(kb 常数n∈N*)次型
⇔
前n 项公式Sn An2
+Bn
(AB 常数n∈N*)二次型
⇔
数列 Sn
n{} 等差数列
已知等差数列{an }公差d前n 项Sn 求证Sn
n{} 等差数列
证明通项公式an a1+
(n1
)d 知前n 项Sn
(a1+an )·n
2 na1+
n(n1
)
2
·d
d
2
n2
+ a1
d
2
æ
è
ç ö
ø
÷n(n∈N*)Sn
n
d
2
n+a1
d
2 ①
n≥2
时Sn1
n1
d
2
(n1
)
+ a1
d
2
æ
è
ç ö
ø
÷
②
式
①
式
②
Sn
n
Sn1
n1
d
2
(n≥2
n∈N*)数列 Sn
n{} S1
1 a1
首项d
2
公差等
差数列
例 12 已知等差数列{an }前n 项Sn 满足S3
3
S2
2 1数列{an }公差( )
A1
2 B1 C2 D3
变式1
已知等差数列{an }前n 项Sn S10100S10010S110
结十三
已知等差数列{an }前n 项Sn 等数列{bn }前n 项积Tn mnst∈N*
(
1
) m+ns+tam +an as+atbm ·bn bs·bt
(
2
) m+n2tam +an 2atbm ·bn b2t
(
3
)S2n1
(
2n1
)·an T2n1b2n1n
(
4
)等差数列{an }{cn }前n 项分Sn Gn an
cn
S2n1
G2n1
9
例 13 等差数列{an }中已知a4+a816该数列前
11
项S11( )
A58 B88 C143 D176变式1
等差数列{an }中2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)24数列前
13
项S13( )
A13 B26 C52 D156
变式2
已知两等差数列{an}{bn}前n 项分AnBnAn
Bn 7n+45n+3 (n∈N*)a5
b5 ( )
A7 B8 C9 D10
结十四
已知等数列{an }前n 项Sn 公q
(
1
)q1
Sn na1
{an }时等差数列公差
0
(
2
)q≠1
Sn
a1
(
1qn )
1q
a1a1qn
1q
a1
1q
a1
1q
·qn
λλ·qn λ
a1
1q
æ
è
ç ö
ø
÷
(
3
)数列 1an
{} 等数列公1q
例 14 已知{an }首项
1
等数列Sn {an }前n 项
9S3S6数列 1an
{} 前
5
项
( )
A15
8
5 B31
16
5 C31
16 D15
8
变式1
等数列{an}中公q前n 项Sn 已知S531
16a31
41a1+1a2+1a3+1a4+1a5
变式2
等数列{an }前n 项Sn 已知意n∈N*点(nSn )均函数ybx
+r(b>0b≠1br 常数)图求r 值
变式3
设f(n)3+3
3
+3
5
+3
7
+…+3
2n+9 n∈Ν()f(n)
910
结十五
已知数列{an }前n 项Sn 前n 项积Tn
(
1
){an }等差数列公差dSn S2n Sn S3n S2n …等差数列公差n2d
(
2
){an } 等 数 列公 q Sn S2n Sn S3n S2n … 等 数 列 ( n 偶 数 时
q≠1
)公qn
(
3
){an }等数列公qTn T2n
Tn
T3n
T2n
…等数列公qn2
例 15 设等数列{an }前n 项Sn S6
S33S9
S6( )
A2 B7
3 C8
3 D3
变式1
设等差数列{an }前n 项Sn S39S636a7+a8+a9( )
A63 B45 C36 D27
结十六
1已知圆O 方程(xm)2
+
(yn)2
R2点P(ab)直线l(am)(xm)
+
(bn)·
(yn)
R2
(
1
)点P 圆O 直线l圆O 相切P 切点l切线
(
2
)点P 圆O 外直线l圆O 相交两交点分点P 作圆两切线切点l 切点弦
直线
(
3
)点P 圆O (圆心)直线l圆O 相离圆心直线l距离d 满足
R2
|OP|
·d
2圆圆锥曲线点P(x0
y0
)切线方程
(
1
)圆C(xa)2
+
(yb)2
R2 点P(x0
y0
)切线方程(x0a)(xa)
+
(y0b)·
(yb)
R2
(
2
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
点P(x0
y0
)切线方程x0x
a2 +
y0y
b2 1
(
3
)抛物线Cy2
2px(p≠0
)点P(x0
y0
)切线方程y0yp(x+x0
)
3已知点 M(x0
y0
)抛物线Cy2
2px(p≠0
)直线ly0yp(x+x0
)
(
1
)点 M 抛物线C 时直线l抛物线C 相切中 M 切点l切线
(
2
)点 M 抛物线C 外时直线l抛物线C 相交中两交点点 M 连线分抛物线切
线直线l切点弦直线
(
3
)点 M 抛物线C 时直线l抛物线C 相离
理解
(
1
)求圆锥曲线(外)点切线方程时助直线圆锥曲线位置关系解题套路(联
立方程判式)
(
2
)求圆外点P(x0
y0
)圆切线方程时应注意理解两点
①
求切线定两条
②
设直线方程前应求直线斜率否存加讨11
例 16 点(31)作圆(x1)2
+y2
1
两条切线切点分AB直线AB 方程( )
A2x+y30 B2xy30
C4xy30 D4x+y30变式1
已知点 M(ab)圆Ox2
+y2
1
外直线ax+by1
圆O 位置关系( )
A相切
B相交
C相离
D确定
变式2
椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
焦点x 轴点
11
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 作圆x2
+y2
1
切线切点分 AB
直线 AB 恰椭圆右焦点顶点椭圆方程
结十七
中点弦相关结
(
1
)椭圆方程x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)时P(x0
y0
)中点弦直线斜率k
b2x0
a2y0
(y0≠
0
)k·kOP
b2
a2
椭圆方程y2
a2 +
x2
b2 1
(a>b>0
)时相应结k
a2x0
b2y0
(y0≠0
)k·kOP
a2
b2
(
2
)P(x0
y0
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)部点 P 中点弦直线斜率k
b2x0
a2y0
(y0≠0
)k·kOP
b2
a2
双曲线方程y2
a2
x2
b2 1
时相应结k
a2x0
b2y0
(y0≠0
)k·kOP
a2
b2
(
3
)P(x0
y0
)抛物线y2
2px(p≠0
)部点时P 中点弦直线斜率k
p
y0
(y0≠0
)
方程x2
2py 时相应结k
x0
p
例 17 直线 m 椭圆x2
2 +y2
1
分交点 P1P2线段 P1P2
中点 P设直线 m 斜率
k1(k1≠0)直线OP 斜率k2k1·k2
值( )
A2 B2 C1
2 D1
2变式1
抛物线y2
4x 焦点作直线抛物线相交PQ 两点线段PQ 中点轨迹方程
( )
Ay2
2x1 By2
2x2
Cy2
2x+1 Dy2
2x+2变式2
直线xy2
抛物线y2
4x 交AB 两点线段 AB 中点坐标
变式3
焦点
0±2 2
() 椭圆截直线
3xy30
弦中点横坐标1
2椭圆方程
1112
结十八
圆锥曲线(椭圆双曲线抛物线)中曲线定点 P(非顶点)曲线两动点 AB 满
足直线PA 直线PB 斜率互相反数(倾斜角互补)直线 AB 斜率定值
(
1
)图
27
(
a
)示已知椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)椭圆设 AB
椭圆两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线 AB
斜率kAB 定值b2x0
a2y0
(
2
)图
27
(
b
)示已知双曲线x2
a2
y2
b2 1
(ab>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)双曲线设
AB 双曲线两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线
AB 斜率kAB 定值
b2x0
a2y0
(
3
)图
27
(
c
)示已知抛物线y2
2px(p>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)抛物线设 AB
抛物线两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线 AB
斜率kAB 定值
p
y0
(a)
(b)
(c)
图27
面双曲线例出证明椭圆抛物线中相关证明方法参考结面例题变式
证明
设 A(x1
y1
)B(x2
y2
)设直线PA 方程yk(xx0
)
+y0
令 my0kx0
联立方程
ykx+m
x2
a2
y2
b2 1
ì
î
í
ïï
ïï
整理(b2
a2k2)x2
2a2kmxa2m2
a2b2
0
x1x0
a2m2
+a2b2
b2
a2k2
解x1
a2(y0kx0
)2
+a2b2
(b2
a2k2)x0
理x2
a2(y0+kx0
)2
+a2b2
(b2
a2k2)x0
直线 AB 斜率kAB
y2y1
x2x1
(
kx2+y0+kx0
)
(kx1+y0kx0
)
x2x1 2kx0k(x1+x2
)
x2x1
b2x0
a2y0
定值13
例 18 已知椭圆C
x2
4 +
y2
31A 椭圆定点坐标 A 13
2
æ
è
ç ö
ø
÷
EF 椭圆C 两动
点果直线 AE 斜率AF 斜率互相反数求证直线EF 斜率定值求出定值
变式1
已知抛物线Cy2
2x定点P(84)抛物线设AB 抛物线两动点直线PA
PB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0求证直线 AB 斜率kAB 定值求出该定值
结十九
圆锥曲线中接直角三角形直角顶点圆锥曲线顶点重合斜边直线定点
(
1
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)异右顶点两动点 AB AB 直径圆右顶点(a
0
)直线lAB 定点 a2
b2
a2
+b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 AB 直径圆左顶点(
a
0
)时直线lAB
定点
a2
b2
a2
+b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷
(
2
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)异右顶点两动点 ABAB 直径圆右顶点
(a
0
) 直 线 lAB 定 点 a2
+b2
a2
b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 左 顶 点 (
a
0
) 定 点
a2
+b2
a2
b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷
1314
A
A1 x
y
O
B
图28
(
3
)抛物线y2
2px(p>0
)异顶点两动点 ABOA→·OB→0
弦 AB 直线定
点(
2p
0
)理抛物线x2
2py(p>0
)异顶点两动点 ABOA→⊥OB→弦 AB 定
点(
0
2p)
面椭圆例出证明双曲线抛物线证明方法参考结面例题变式
证明图
28
示设 A(x1
y1
)B(x2
y2
)A1
(a
0
)设直线l方程xty+m(m≠a)
联立
x2
a2 +
y2
b2 1
xty+m
ì
î
í
ïï
ïï
消x (a2
+b2t2)y2
+2b2mty+b2m2
a2b2
0
Δ
(
2b2mt)2
4
(a2
+b2t2)(b2m2
a2b2)
>0
y1+y2 2b2mt
a2
+b2t2
y1y2
b2(m2
a2)
a2
+b2t2
(
*
)
AB 直径圆椭圆右顶点A1
A1A→·A1B→0
(x1ay1
)·(x2ay2
)
0
x1x2a(x1+x2
)
+a2
+y1y20
(ty1+m)(ty2+m)
a[t(y1+y2
)
+2m]
+a2
+y1y20
(t2
+1
)y1y2+
(ma)t(y1+y2
)
+
(ma)2
0
(
*
)式代入式(t2
+1
)b2(m2
a2)
a2
+b2t2 +
(ma)t·2b2mt
a2
+b2t2+
(ma)2
0
化简 m
(a2
b2)a
a2
+b2
直线l定点 (a2
b2)a
a2
+b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
理证 AB 直径圆左顶点(
a
0
)l定点 a(a2
b2)
a2
+b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
类椭圆双曲线x2
a2
y2
b2 1
(ab>0
)异右顶点两动点 AB AB 直径圆
右顶点 (a
0
)lAB 定点 a(a2
+b2)
a2
b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 该 圆 左 顶 点 (
a
0
) lAB 定 点
a(a2
+b2)
a2
b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
例 19 已知椭圆x2
4 +
y2
31直线lykx+m 椭圆交AB 两点(AB 左右顶点)
AB 直径圆椭圆右顶点求证直线l定点求出该定点坐标15
变式1
已知抛物线y2
2px(p>0)异顶点两动点AB 满足AB 直径圆顶点求证
AB 直线定点求出该定点坐标
变式2
图
29
示O 坐标原点直线lx 轴截距a(a>0)交抛物线y2
2px(p>0)
M(x1y1)N(x2y2)两点a2p 时求证∠MONπ
2
图29
1516
结二十
AB 抛物线y2
2px(p>0
)焦点F 弦(焦点弦)点 AB 分作准线lx
p
2
垂
线垂足分 A1
B1
E A1B1
中点
(
1
)图
210
(
a
)示 AB 直径圆准线l相切点E
(
2
)图
210
(
b
)示 A1B1
直径圆弦 AB 相切点FEF2
A1A·BB1
(
3
)图
210
(
c
)示 AF 直径圆y 轴相切
(a)
(b)
(c)
图210
证明(
1
)图
210
(
a
)示抛物线定义知AA1AFBB1BF设点P 弦AB 中点
EP
AA1+BB1
2
AB
2
点E AB 直径圆EP∥AA1
EP⊥A1B1
准线圆P 相切切点点E
(
2
)图
210
(
b
)示联结 A1FB1F抛物线定义知AA1AF
∠AA1F∠AFA1
理
∠BB1F∠BFB1 AA1∥BB1
∠B1BF+∠A1AF180°
2∠AFA1+2∠BFB1180°
∠B1FA190°
A1F⊥B1F
点F A1B1
直径圆 EA1 EFEB1
∠BFE∠EFB1 +∠BFB1
∠EB1F+∠BB1F90°
EF⊥BFEF⊥ABA1B1
直径圆弦AB 相切点F
结合结二 十 (
1
) 知AE ⊥BE
Rt△AEB 中EF ⊥AB
Rt△BEF ∽Rt△EAF
BF
EF
EF
AF
EF2
AF·BFAA1
·BB1
(
3
)图
210
(
c
)示设准线x 轴交点点F1
AF 中点点P点 P 作PQ⊥y 轴垂足
点Q延长PQ 交准线l点P1
P AF 中点知PP1
AA1+FF1
2
AA1
2 +
p
2
PQ
AA1
2
AF
2
点Q AF 直径圆 PQ⊥y 轴 AF 直径圆y 轴相切
切点点Q
例 20 已知抛物线Cy2
8x 点 M(22)C 焦点斜率k 直线C 交AB 两点
MA→·MB→0k( )
A1
2 B2
2
C2 D217
变式1
抛物线y2
2px(p>0)称轴点 A(a0)(a>0)直线抛物线相交 MN 两
点点 MN 直线lxa 作垂线垂足分点 M1N1a
p
2
时求证AM1⊥AN1
结二十
图211
焦点三角形面积
(
1
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)中F1
F2
分左右焦点P 椭圆点
△PF1F2
面积
S△PF1F2 b2·
tan
θ
2
中θ∠F1PF2
(
2
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)中F1
F2
分左右焦点P 双曲线点
△PF1F2
面积S△PF1F2
b2
tan
θ
2
中θ∠F1PF2
证明(
1
)
△PF1F2
般 三 角 形 图
211
示 S△PF1F2 1
2|PF1||PF2|sinθ(θ 表 示
∠F1PF2
)余弦定理
|PF1|
2
+|PF2|
2
2|PF1||PF2|cosθ|F1F2|
2
|PF1|+|PF2|2a
|F1F2|2c
|PF1|+|PF2|
()2
2|PF1||PF2|
·(
1+cosθ)
4c2
2|PF1||PF2|
(
1+cosθ)
4a2
4c2
4b2
|PF1||PF2| 2b2
1+cosθ
S△PF1F2 1
2|PF1||PF2|sinθ
b2
sinθ
1+cosθ
2b2
sin
θ
2cos
θ
2
2cos
2
θ
2
b2
tan
θ
2
(
2
)双曲线中相关结请读者证明
1718
例 21 图
212
示F1F2
椭圆C1
x2
4 +y2
1
双曲线C2
公焦点AB 分C1C2
第二四象限公点四边形 AF1BF2
矩形C2
离心率( )
A2 B3 C3
2 D6
2
图212
变式1
已知F1F2
椭圆C
x2
a2 +
y2
b2 1(a>b>0)两焦点P 椭圆C 点PF1→⊥PF2→
△PF1F2
面积
9b
变式2 F1
F2
椭圆x2
4 +y2
1
两焦点P 椭圆点
△F1F2P 面积
1
时
PF1→·PF2→
变式3
已知双曲线x2
y2
21
焦点 F1F2点 M 双曲线MF1→·MF2→0点 M x
轴距离( )
A4
3 B5
3 C2 3
3 D3
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+
模型全新教学法篇中高考试题中常出现
教材体现部分二级结呈现家部分结学生解题指导作时演
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结
子集数问题集合 A 含n(n∈N*)元素集合 A 子集
2
n 非空子集
2
n
1
真子集
2
n
1
非空真子集
2
n
2
理解A 子集
2
n 元素取舍理解例元素两种选择n 元素
2
n 种选择
例 1 设集合 A (xy)
x2
4 +
y2
161{}B (xy)|y3
x{} A∩B 子集数( )
A4 B3 C2 D1变式1
已知集合 A x|x2
3x+20x∈R{}B x|0
A1 B2 C3 D4
结二
子集关系问题A⊆B⇔A∩BA⇔A∪BB⇔A∩∁IB∅⇔∁IA∪BI中I 全集
(
1
) AB 时显然成立(
2
) A⫋B 时
Venn
图图
21
示结正确
图21
例 2 已知 MN 集合I 非空子集 MN 相等 N∩∁IM ∅ M ∪N( )
AMBNCID∅变式1
已知集合P x|x2
≤1
{}M {a}P∪M Pa 取值范围( )
A(∞1]B[1+∞)C[11]D(∞1]∪[1+∞)
变式2
设集合 A x|x2
6x+50
{}B x|ax10
{} A∩BB实数a 取值
组成集合C ( )
A11
5
{}B1
21
3
{}C011
5
{}D01
21
3
{}2
结三
交补(非)间关系(德·摩根定律)
(
1
)集合形式
∁I(A∩B)
∁IA()
∪ ∁IB()
∁I(A∪B)
∁IA()
∩ ∁IB()
(
2
)命题形式
(p∧q)
(
p)
∨
(
q)
(p∨q)
(
p)
∧
(
q)
例 3 设全集U{abcd}集合 A{ab}B{bcd}
∁UA()
∪ ∁UB()
变式1
全集U{123456}集合 M {23}N{14}集合{56}等( )
AM ∪NBM ∩N
C∁UM()
∪ ∁UN()
D∁UM()
∩ ∁UN()
变式2
已知全集UA∪B 中m 元素∁UA()
∪ ∁UB() 中n 元素A∩B 非空A∩B 元素
数( )
Amn Bm+n Cnm Dmn
结四
奇函数中值性质已知函数f(x)定义区间 D 奇函数意x∈D
f(x)
+f(
x)
0特
0∈Df f(
0
)
0奇函数f(x) Df 值f(x)
max+
f(x)
min0
证明f(x)奇函数
∀x∈D
x∈Df(
x)
f(x)f(x)
+f(
x)
0
0∈Df 令x0
f(
0
)
+f(
0
)
0
f(
0
)
0奇函数f(x) Df 值设
f(x)
maxf(x0
)f(x0
)
≥f(x)(x∈D)f(
x0
)
f(x0
)
≤f(x)
f(
x)(
x∈
D)f(x)
minf(
x0
)f(x0
)
+f(
x0
)
0
f(x)
max+f(x)
min0
例 4 设函数f(x)
(x+1)2
+sinx
x2
+1
值 M值 m M +m
变式1
设f(x)定义R奇函数x≥0
时f(x)2
x
+2x+b(b常数)f(1)( )
A3 B1 C1 D3
变式2
已知函数f(x)ln 1+9x2
3x() +1f(lg2)+f lg1
2
æ
è
ç ö
ø
÷
( )
A1 B0 C1 D2
结五
函数周期性问题已知定义 R函数f(x)意x∈R总存非零常数 T
f(x+T)
f(x)称f(x)周期函数T 周期周期函数定义外常见
周期函数关结
(
1
)果f(x+a)
f(x)(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|
(
2
)果f(x+a)
1f(x)(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|
(
3
)果f(x+a)
+f(x)
c(a≠0
)f(x)周期函数中周期T2|a|3
例 5 已知函数f(x)意实数x 满足f(x+2) 1f(x)f(3)5f(2017)
变式1
已知定义 R函数f(x)满足f x+3
2
æ
è
ç ö
ø
÷
f(x)f(2)f(1)1f(0)
2f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10)+f(11)( )
A2 B1 C0 D1
结六
复合函数单调性问题已知函数yf g(x)[] 定义 D 函数f(x)g(x)单调性
相yf g(x)[] D 增函数f(x)g(x)单调性相反yf g(x)[] D
减函数增异减特f(x)定义域 D 单调函数方程f f(x)[]
x D
解x0
f(x0
)
x0
例 6 定义域[01]连续函数f(x)果时满足
3
条件
①
意x∈[01]总f(x)≥0
②f(1)1
③
x1≥0x2≥0x1+x2≤1f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立称函数f(x)理想函数
函数f(x)理想函数假定存x0∈[01]f(x0)∈[01]f f(x0)[]
x0
求证f(x0)x0
变式1
设函数f(x) e
x
+xa(a∈Re
然数底数)存b∈[01]f[f(b)]b
成立a 取值范围( )
A[1e]B[11+e]C[e1+e]D[01]
变式2
函数yloga (x2
ax+1)(a>0
a≠1)(12)增函数实数a 取值范围
34
结七
1二次函数解析式三种形式
二次函数f(x)
ax2
+bx+c(般式)
a x+
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
2
+4acb2
4a
(顶点式)(a≠0
x∈R)
a(xx1
)(xx2
)(双根式)
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
2二次函数基性质
(
1
)a>0
时f(x)
∞
b
2a
æ
è
ç ù
û
úú 减函数
b
2a
+∞
é
ë
êê
ö
ø
÷ 增函数
f(x)x
b
2a
处取值f
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
4acb2
4a
值
(
2
)a<0
时f(x)
∞
b
2a
æ
è
ç ù
û
úú 增函数
b
2a
+∞
é
ë
êê
ö
ø
÷ 减函数
f(x)x
b
2a
处取值f
b
2a
æ
è
ç ö
ø
÷
4acb2
4a
值
(
3
)称轴x
b
2a
f(x1
)
f(x2
)x1+x2
b
a
(
4
)抛物线yf(x)y 轴交点(
0
c)
例 7 已知a>0x0
满足关x 方程axb 充条件( )
A∃x∈R1
2
ax2
bx≥1
2
ax2
0bx0 B∃x∈R1
2
ax2
bx≤1
2
ax2
0bx0
C∀x∈R1
2
ax2
bx≥1
2
ax2
0bx0 D∀x∈R1
2
ax2
bx≤1
2
ax2
0bx0
变式1
已知函数f(x)x2
+ax+b(ab∈R)值域[0+∞)关x 等式f(x)
变式2
定义
min[f(x)g(x)]
f(x)f(x)≤g(x)
g(x)f(x)>g(x)
{函数f(x)x2
+tx+s 图两点
(x10)(x20)存整数 m m
Amin[f(m)f(m+1)]<1
4 Bmin[f(m)f(m+1)]>1
4
Cmin[f(m)f(m+1)]1
4 Dmin[f(m)f(m+1)]≥1
4
结八
典等式
(
1
)指数形式
e
x
≥x+1
(x∈R)仅x0
时取等号
(
2
)数形式
ln
(x+1
)
≤x(x>1
)仅x0
时取等号
证明(
1
)令g(x)
e
x
x1
(x∈R)g＇(x)
e
x
1令g＇(x)
0
解x0g＇(x)g(x)x
变化表
21
示5
表21
x (∞0) 0 (0+∞)
g＇(x) 0 +
g(x) ↘
极值
↗
g(x)(
∞
0
)减函数(
0
+ ∞
)增函数 x0
时g(x)值
0
∀x∈R
e
x
x1≥g(
0
)
0
e
x
≥x+1
(x∈R)恒成立仅x0
时取等号
(
2
)
e
x
≥x+1
两边取
e
底数
ln
(
e
x )
≥ln
(x+1
)
ln
(x+1
)
≤x(x>1
)
例 8 已知函数f(x) 1
ln(x+1)xyf(x)图致( )
A B C D
变式1
已知函数f(x)e
x
x∈R求证曲线yf(x)曲线y1
2
x2
+x+1
唯公点
变式2
设函数f(x)1e
x 求证x>1
时f(x)≥
x
x+1
56
结九
函数称性问题已知函数f(x)定义 R函数
(
1
)f(a+x)
f(bx)恒成立yf(x)图关直线x
a+b
2
轴称
特f(a+x)
f(ax)恒成立yf(x)图关直线xa 轴称
(
2
)f(a+x)
+f(bx)
cyf(x)图关点 a+b
2
c
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 中心称
特f(a+x)
+f(ax)
2b 恒成立yf(x)图关点(ab)中心称
尤注意三角函数图称性问题
例 9 已知函数f(x)Asin(ωx+φ)图图
22
示f π
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
3f(0)( )
A2
3 B2
3 C1
2 D1
2
图22
图23
变式1
已知函数yg(x)图f(x)sin2x 图右移φ(0<φ<π)单位两
函数部分图图
23
示φ
结十
三点线结设面三点OAB 线面意点P AB 线充条件
存实数λ μOP→λOA→+μOB→λ+μ1特P 线段AB 中点时OP→
1
2
OA→+1
2
OB→
证明先证必性图
24
示PAB 三点线AP→∥AB→存t∈RAP→
tAB→OP→OA→t OB→OA→()OP→OA→+tOB→tOA→
(
1t)OA→+tOB→
设
1tλtμOP→λOA→+μOB→λ+μ1
证充分性OP→λOA→+μOB→λ+μ1
(λ+μ)OP→λOA→+μOB→
λOP→λOA→μOB→μOP→λAP→μPB→AP→∥PB→ APB 三点线7
综述PAB 三点线充条件存实数λ μOP→λOA→+μOB→λ+μ1
图24
例 10
△ABC 中AB→cAC→b点 D 满足BD→2DC→AD→( )
A2
3
b+1
3
c B5
3
c2
3
b C2
3
b1
3
c D1
3
b+2
3
c
变式1
直线l存三点ABC关实数x 方程x2 OA→+xOB→+BC→0解
(点O 直线l)方程解集( )
A∅ B{10}C{1}D1+ 5
2 1 5
2
{}
变式2
已知两单位量ab 夹角
60°cta+(1t)bb·c0t
结十
1
量OA→OB→线 P 线段 AB 中点OA→·OB→ OP→ 2
|PA→|
2
|OP→|
2
|PB→|
2
|OP→|
2
AB→
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
2
矩形 ABCD 面量
|OA→|
2
+|OC→|
2
|OB→|
2
+|OD→|
2(O 面点)
证明
1
图
25
示
△OAB 中点P 线段AB 中点PA→+PB→0
OA→·OB→ OP→+PA→()·OP→+PB→()
OP→+PA→()·OP→PA→()
|OP→|
2
|PA→|
2
|OP→|
2
|PB→|
2
|OP→|
2
AB→
2
æ
è
ç ö
ø
÷
2
2
图
26
示设矩形 ABCD 角线AC BD 交点PP AC BD 中点
OA→+OC→2OP→OA→OC→CA→(OA→+OC→)2
+
(OA→OC→)2
4|OP→|
2
+|CA→|
2
2
(
|OA→|
2
+|OC→|
2)
4|OP→|
2
+|CA→|
2
|OA→|
2
+|OC→|
2
2|OP→|
2
+|CA→|
2
2
理
|OB→|
2
+|OD→|
2
2|OP→|
2
+|BD→|
2
2
ABCD 矩形
|AC→||BD→|
|OA→|
2
+|OC→|
2
|OB→|
2
+|OD→|
2
图25 图26
78
例 11
△ABC 中M BC 中点AM 3BC10AB→·AC→
变式1
△ABC 中设 P0
边 AB 定点满足 P0B1
4
AB边 AB 点 P恒
PB→·PC→≥P0B→·P0C→( )
A∠ABC90° B∠BAC90° CABACDACBC
变式2
Rt△ABC 中点D 斜边AB 中点点P 线段CD 中点|PA|
2
+|PB|
2
|PC|
2 ( )
A2 B4 C5 D10变式3
已知圆 Mx2
+(y1)2
1圆 Nx2
+(y+1)2
1直线l1l2
分圆心 MNl1
圆 M 相交点ABl2
圆 N 相交点CD点P 椭圆y2
4+
x2
3 1
意动点
PA→·PB→+PC→·PD→值
结十二
数列{an}等差数列
⇔an an1d(n≥2
n∈N*)
⇔an+1an d(n∈N*)
⇔2an+1an +an+2
意n∈N* 恒成立
⇔
通项公式an kn+b(kb 常数n∈N*)次型
⇔
前n 项公式Sn An2
+Bn
(AB 常数n∈N*)二次型
⇔
数列 Sn
n{} 等差数列
已知等差数列{an }公差d前n 项Sn 求证Sn
n{} 等差数列
证明通项公式an a1+
(n1
)d 知前n 项Sn
(a1+an )·n
2 na1+
n(n1
)
2
·d
d
2
n2
+ a1
d
2
æ
è
ç ö
ø
÷n(n∈N*)Sn
n
d
2
n+a1
d
2 ①
n≥2
时Sn1
n1
d
2
(n1
)
+ a1
d
2
æ
è
ç ö
ø
÷
②
式
①
式
②
Sn
n
Sn1
n1
d
2
(n≥2
n∈N*)数列 Sn
n{} S1
1 a1
首项d
2
公差等
差数列
例 12 已知等差数列{an }前n 项Sn 满足S3
3
S2
2 1数列{an }公差( )
A1
2 B1 C2 D3
变式1
已知等差数列{an }前n 项Sn S10100S10010S110
结十三
已知等差数列{an }前n 项Sn 等数列{bn }前n 项积Tn mnst∈N*
(
1
) m+ns+tam +an as+atbm ·bn bs·bt
(
2
) m+n2tam +an 2atbm ·bn b2t
(
3
)S2n1
(
2n1
)·an T2n1b2n1n
(
4
)等差数列{an }{cn }前n 项分Sn Gn an
cn
S2n1
G2n1
9
例 13 等差数列{an }中已知a4+a816该数列前
11
项S11( )
A58 B88 C143 D176变式1
等差数列{an }中2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)24数列前
13
项S13( )
A13 B26 C52 D156
变式2
已知两等差数列{an}{bn}前n 项分AnBnAn
Bn 7n+45n+3 (n∈N*)a5
b5 ( )
A7 B8 C9 D10
结十四
已知等数列{an }前n 项Sn 公q
(
1
)q1
Sn na1
{an }时等差数列公差
0
(
2
)q≠1
Sn
a1
(
1qn )
1q
a1a1qn
1q
a1
1q
a1
1q
·qn
λλ·qn λ
a1
1q
æ
è
ç ö
ø
÷
(
3
)数列 1an
{} 等数列公1q
例 14 已知{an }首项
1
等数列Sn {an }前n 项
9S3S6数列 1an
{} 前
5
项
( )
A15
8
5 B31
16
5 C31
16 D15
8
变式1
等数列{an}中公q前n 项Sn 已知S531
16a31
41a1+1a2+1a3+1a4+1a5
变式2
等数列{an }前n 项Sn 已知意n∈N*点(nSn )均函数ybx
+r(b>0b≠1br 常数)图求r 值
变式3
设f(n)3+3
3
+3
5
+3
7
+…+3
2n+9 n∈Ν()f(n)
910
结十五
已知数列{an }前n 项Sn 前n 项积Tn
(
1
){an }等差数列公差dSn S2n Sn S3n S2n …等差数列公差n2d
(
2
){an } 等 数 列公 q Sn S2n Sn S3n S2n … 等 数 列 ( n 偶 数 时
q≠1
)公qn
(
3
){an }等数列公qTn T2n
Tn
T3n
T2n
…等数列公qn2
例 15 设等数列{an }前n 项Sn S6
S33S9
S6( )
A2 B7
3 C8
3 D3
变式1
设等差数列{an }前n 项Sn S39S636a7+a8+a9( )
A63 B45 C36 D27
结十六
1已知圆O 方程(xm)2
+
(yn)2
R2点P(ab)直线l(am)(xm)
+
(bn)·
(yn)
R2
(
1
)点P 圆O 直线l圆O 相切P 切点l切线
(
2
)点P 圆O 外直线l圆O 相交两交点分点P 作圆两切线切点l 切点弦
直线
(
3
)点P 圆O (圆心)直线l圆O 相离圆心直线l距离d 满足
R2
|OP|
·d
2圆圆锥曲线点P(x0
y0
)切线方程
(
1
)圆C(xa)2
+
(yb)2
R2 点P(x0
y0
)切线方程(x0a)(xa)
+
(y0b)·
(yb)
R2
(
2
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
点P(x0
y0
)切线方程x0x
a2 +
y0y
b2 1
(
3
)抛物线Cy2
2px(p≠0
)点P(x0
y0
)切线方程y0yp(x+x0
)
3已知点 M(x0
y0
)抛物线Cy2
2px(p≠0
)直线ly0yp(x+x0
)
(
1
)点 M 抛物线C 时直线l抛物线C 相切中 M 切点l切线
(
2
)点 M 抛物线C 外时直线l抛物线C 相交中两交点点 M 连线分抛物线切
线直线l切点弦直线
(
3
)点 M 抛物线C 时直线l抛物线C 相离
理解
(
1
)求圆锥曲线(外)点切线方程时助直线圆锥曲线位置关系解题套路(联
立方程判式)
(
2
)求圆外点P(x0
y0
)圆切线方程时应注意理解两点
①
求切线定两条
②
设直线方程前应求直线斜率否存加讨11
例 16 点(31)作圆(x1)2
+y2
1
两条切线切点分AB直线AB 方程( )
A2x+y30 B2xy30
C4xy30 D4x+y30变式1
已知点 M(ab)圆Ox2
+y2
1
外直线ax+by1
圆O 位置关系( )
A相切
B相交
C相离
D确定
变式2
椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
焦点x 轴点
11
2
æ
è
ç ö
ø
÷ 作圆x2
+y2
1
切线切点分 AB
直线 AB 恰椭圆右焦点顶点椭圆方程
结十七
中点弦相关结
(
1
)椭圆方程x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)时P(x0
y0
)中点弦直线斜率k
b2x0
a2y0
(y0≠
0
)k·kOP
b2
a2
椭圆方程y2
a2 +
x2
b2 1
(a>b>0
)时相应结k
a2x0
b2y0
(y0≠0
)k·kOP
a2
b2
(
2
)P(x0
y0
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)部点 P 中点弦直线斜率k
b2x0
a2y0
(y0≠0
)k·kOP
b2
a2
双曲线方程y2
a2
x2
b2 1
时相应结k
a2x0
b2y0
(y0≠0
)k·kOP
a2
b2
(
3
)P(x0
y0
)抛物线y2
2px(p≠0
)部点时P 中点弦直线斜率k
p
y0
(y0≠0
)
方程x2
2py 时相应结k
x0
p
例 17 直线 m 椭圆x2
2 +y2
1
分交点 P1P2线段 P1P2
中点 P设直线 m 斜率
k1(k1≠0)直线OP 斜率k2k1·k2
值( )
A2 B2 C1
2 D1
2变式1
抛物线y2
4x 焦点作直线抛物线相交PQ 两点线段PQ 中点轨迹方程
( )
Ay2
2x1 By2
2x2
Cy2
2x+1 Dy2
2x+2变式2
直线xy2
抛物线y2
4x 交AB 两点线段 AB 中点坐标
变式3
焦点
0±2 2
() 椭圆截直线
3xy30
弦中点横坐标1
2椭圆方程
1112
结十八
圆锥曲线(椭圆双曲线抛物线)中曲线定点 P(非顶点)曲线两动点 AB 满
足直线PA 直线PB 斜率互相反数(倾斜角互补)直线 AB 斜率定值
(
1
)图
27
(
a
)示已知椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)椭圆设 AB
椭圆两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线 AB
斜率kAB 定值b2x0
a2y0
(
2
)图
27
(
b
)示已知双曲线x2
a2
y2
b2 1
(ab>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)双曲线设
AB 双曲线两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线
AB 斜率kAB 定值
b2x0
a2y0
(
3
)图
27
(
c
)示已知抛物线y2
2px(p>0
)定点 P(x0
y0
)(x0y0≠0
)抛物线设 AB
抛物线两动点直线PAPB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0
直线 AB
斜率kAB 定值
p
y0
(a)
(b)
(c)
图27
面双曲线例出证明椭圆抛物线中相关证明方法参考结面例题变式
证明
设 A(x1
y1
)B(x2
y2
)设直线PA 方程yk(xx0
)
+y0
令 my0kx0
联立方程
ykx+m
x2
a2
y2
b2 1
ì
î
í
ïï
ïï
整理(b2
a2k2)x2
2a2kmxa2m2
a2b2
0
x1x0
a2m2
+a2b2
b2
a2k2
解x1
a2(y0kx0
)2
+a2b2
(b2
a2k2)x0
理x2
a2(y0+kx0
)2
+a2b2
(b2
a2k2)x0
直线 AB 斜率kAB
y2y1
x2x1
(
kx2+y0+kx0
)
(kx1+y0kx0
)
x2x1 2kx0k(x1+x2
)
x2x1
b2x0
a2y0
定值13
例 18 已知椭圆C
x2
4 +
y2
31A 椭圆定点坐标 A 13
2
æ
è
ç ö
ø
÷
EF 椭圆C 两动
点果直线 AE 斜率AF 斜率互相反数求证直线EF 斜率定值求出定值
变式1
已知抛物线Cy2
2x定点P(84)抛物线设AB 抛物线两动点直线PA
PB 斜率分kPAkPB满足kPA +kPB 0求证直线 AB 斜率kAB 定值求出该定值
结十九
圆锥曲线中接直角三角形直角顶点圆锥曲线顶点重合斜边直线定点
(
1
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)异右顶点两动点 AB AB 直径圆右顶点(a
0
)直线lAB 定点 a2
b2
a2
+b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 AB 直径圆左顶点(
a
0
)时直线lAB
定点
a2
b2
a2
+b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷
(
2
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)异右顶点两动点 ABAB 直径圆右顶点
(a
0
) 直 线 lAB 定 点 a2
+b2
a2
b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 左 顶 点 (
a
0
) 定 点
a2
+b2
a2
b2
æ
è
ç ö
ø
÷a
0
æ
è
ç ö
ø
÷
1314
A
A1 x
y
O
B
图28
(
3
)抛物线y2
2px(p>0
)异顶点两动点 ABOA→·OB→0
弦 AB 直线定
点(
2p
0
)理抛物线x2
2py(p>0
)异顶点两动点 ABOA→⊥OB→弦 AB 定
点(
0
2p)
面椭圆例出证明双曲线抛物线证明方法参考结面例题变式
证明图
28
示设 A(x1
y1
)B(x2
y2
)A1
(a
0
)设直线l方程xty+m(m≠a)
联立
x2
a2 +
y2
b2 1
xty+m
ì
î
í
ïï
ïï
消x (a2
+b2t2)y2
+2b2mty+b2m2
a2b2
0
Δ
(
2b2mt)2
4
(a2
+b2t2)(b2m2
a2b2)
>0
y1+y2 2b2mt
a2
+b2t2
y1y2
b2(m2
a2)
a2
+b2t2
(
*
)
AB 直径圆椭圆右顶点A1
A1A→·A1B→0
(x1ay1
)·(x2ay2
)
0
x1x2a(x1+x2
)
+a2
+y1y20
(ty1+m)(ty2+m)
a[t(y1+y2
)
+2m]
+a2
+y1y20
(t2
+1
)y1y2+
(ma)t(y1+y2
)
+
(ma)2
0
(
*
)式代入式(t2
+1
)b2(m2
a2)
a2
+b2t2 +
(ma)t·2b2mt
a2
+b2t2+
(ma)2
0
化简 m
(a2
b2)a
a2
+b2
直线l定点 (a2
b2)a
a2
+b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
理证 AB 直径圆左顶点(
a
0
)l定点 a(a2
b2)
a2
+b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
类椭圆双曲线x2
a2
y2
b2 1
(ab>0
)异右顶点两动点 AB AB 直径圆
右顶点 (a
0
)lAB 定点 a(a2
+b2)
a2
b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷ 理 该 圆 左 顶 点 (
a
0
) lAB 定 点
a(a2
+b2)
a2
b2
0
æ
è
ç ö
ø
÷
例 19 已知椭圆x2
4 +
y2
31直线lykx+m 椭圆交AB 两点(AB 左右顶点)
AB 直径圆椭圆右顶点求证直线l定点求出该定点坐标15
变式1
已知抛物线y2
2px(p>0)异顶点两动点AB 满足AB 直径圆顶点求证
AB 直线定点求出该定点坐标
变式2
图
29
示O 坐标原点直线lx 轴截距a(a>0)交抛物线y2
2px(p>0)
M(x1y1)N(x2y2)两点a2p 时求证∠MONπ
2
图29
1516
结二十
AB 抛物线y2
2px(p>0
)焦点F 弦(焦点弦)点 AB 分作准线lx
p
2
垂
线垂足分 A1
B1
E A1B1
中点
(
1
)图
210
(
a
)示 AB 直径圆准线l相切点E
(
2
)图
210
(
b
)示 A1B1
直径圆弦 AB 相切点FEF2
A1A·BB1
(
3
)图
210
(
c
)示 AF 直径圆y 轴相切
(a)
(b)
(c)
图210
证明(
1
)图
210
(
a
)示抛物线定义知AA1AFBB1BF设点P 弦AB 中点
EP
AA1+BB1
2
AB
2
点E AB 直径圆EP∥AA1
EP⊥A1B1
准线圆P 相切切点点E
(
2
)图
210
(
b
)示联结 A1FB1F抛物线定义知AA1AF
∠AA1F∠AFA1
理
∠BB1F∠BFB1 AA1∥BB1
∠B1BF+∠A1AF180°
2∠AFA1+2∠BFB1180°
∠B1FA190°
A1F⊥B1F
点F A1B1
直径圆 EA1 EFEB1
∠BFE∠EFB1 +∠BFB1
∠EB1F+∠BB1F90°
EF⊥BFEF⊥ABA1B1
直径圆弦AB 相切点F
结合结二 十 (
1
) 知AE ⊥BE
Rt△AEB 中EF ⊥AB
Rt△BEF ∽Rt△EAF
BF
EF
EF
AF
EF2
AF·BFAA1
·BB1
(
3
)图
210
(
c
)示设准线x 轴交点点F1
AF 中点点P点 P 作PQ⊥y 轴垂足
点Q延长PQ 交准线l点P1
P AF 中点知PP1
AA1+FF1
2
AA1
2 +
p
2
PQ
AA1
2
AF
2
点Q AF 直径圆 PQ⊥y 轴 AF 直径圆y 轴相切
切点点Q
例 20 已知抛物线Cy2
8x 点 M(22)C 焦点斜率k 直线C 交AB 两点
MA→·MB→0k( )
A1
2 B2
2
C2 D217
变式1
抛物线y2
2px(p>0)称轴点 A(a0)(a>0)直线抛物线相交 MN 两
点点 MN 直线lxa 作垂线垂足分点 M1N1a
p
2
时求证AM1⊥AN1
结二十
图211
焦点三角形面积
(
1
)椭圆x2
a2 +
y2
b2 1
(a>b>0
)中F1
F2
分左右焦点P 椭圆点
△PF1F2
面积
S△PF1F2 b2·
tan
θ
2
中θ∠F1PF2
(
2
)双曲线x2
a2
y2
b2 1
(a>0
b>0
)中F1
F2
分左右焦点P 双曲线点
△PF1F2
面积S△PF1F2
b2
tan
θ
2
中θ∠F1PF2
证明(
1
)
△PF1F2
般 三 角 形 图
211
示 S△PF1F2 1
2|PF1||PF2|sinθ(θ 表 示
∠F1PF2
)余弦定理
|PF1|
2
+|PF2|
2
2|PF1||PF2|cosθ|F1F2|
2
|PF1|+|PF2|2a
|F1F2|2c
|PF1|+|PF2|
()2
2|PF1||PF2|
·(
1+cosθ)
4c2
2|PF1||PF2|
(
1+cosθ)
4a2
4c2
4b2
|PF1||PF2| 2b2
1+cosθ
S△PF1F2 1
2|PF1||PF2|sinθ
b2
sinθ
1+cosθ
2b2
sin
θ
2cos
θ
2
2cos
2
θ
2
b2
tan
θ
2
(
2
)双曲线中相关结请读者证明
1718
例 21 图
212
示F1F2
椭圆C1
x2
4 +y2
1
双曲线C2
公焦点AB 分C1C2
第二四象限公点四边形 AF1BF2
矩形C2
离心率( )
A2 B3 C3
2 D6
2
图212
变式1
已知F1F2
椭圆C
x2
a2 +
y2
b2 1(a>b>0)两焦点P 椭圆C 点PF1→⊥PF2→
△PF1F2
面积
9b
变式2 F1
F2
椭圆x2
4 +y2
1
两焦点P 椭圆点
△F1F2P 面积
1
时
PF1→·PF2→
变式3
已知双曲线x2
y2
21
焦点 F1F2点 M 双曲线MF1→·MF2→0点 M x
轴距离( )
A4
3 B5
3 C2 3
3 D3
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