2014年全国统高考数学试卷（文科）（纲版）
选择题（题12题题5分）
1．（5分）设集合M{12468}N{123567}M∩N中元素数（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α终边点（﹣43）cosα（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）等式组解集（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中EAB中点异面直线CEBD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数yln（+1）（x＞﹣1）反函数（ ）
A．y（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y（1﹣ex）3（x∈R） D．y（ex﹣1）3（x∈R）
6．（5分）已知单位量夹角60°（2﹣）•（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等数列{an}前n项Sn．S23S415S6（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
10．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）离心率2焦点渐线距离C焦距等（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）定义域Rf（x+2）偶函数f（1）1f（8）+f（9）（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）（x﹣2）6展开式中x3系数 ．（数字作答）
14．（5分）函数ycos2x+2sinx值 ．
15．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 ．
16．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
三解答题
17．（10分）数列{an}满足a11a22an+22an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bnan+1﹣an证明{bn}等差数列
（Ⅱ）求{an}通项公式．
18．（12分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲乙丙丁求工作日需设备数k概率01求k值．
21．（12分）函数f（x）ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）f（x）区间（12）增函数求a取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
2014年全国统高考数学试卷（文科）（纲版）
参考答案试题解析
选择题（题12题题5分）
1．（5分）设集合M{12468}N{123567}M∩N中元素数（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
考点1A：集合中元素数值1E：交集运算．菁优网版权
专题5J：集合．
分析根MN找出两集合交集找出交集中元素．
解答解：∵M{12468}N{123567}
∴M∩N{126}M∩N中元素数3．
选：B．
点评题考查交集运算熟练掌握交集定义解题关键．
2．（5分）已知角α终边点（﹣43）cosα（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
考点G9：意角三角函数定义．菁优网版权
专题56：三角函数求值．
分析条件直接利意角三角函数定义求cosα值．
解答解：∵角α终边点（﹣43）∴x﹣4y3r5．
∴cosα﹣
选：D．
点评题考查意角三角函数定义两点间距离公式应属基础题．
3．（5分）等式组解集（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
考点7E：等式解法．菁优网版权
专题59：等式解法应．
分析解元二次等式绝值等式分求出等式组中等式解集取交集求．
解答解：等式组 解0＜x＜1
选：C．
点评题考查元二次等式绝值等式解法属基础题．
4．（5分）已知正四面体ABCD中EAB中点异面直线CEBD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
考点LM：异面直线成角．菁优网版权
专题5G：空间角．
分析EAB中点取AD中点F连接EF∠CEF异面直线CEBD成角设出正四面体棱长求出△CEF三边长然利余弦定理求解异面直线CEBD成角余弦值．
解答解：图
取AD中点F连接EFCF
∵EAB中点
∴EF∥DB
∠CEF异面直线BDCE成角
∵ABCD正四面体EF分ABAD中点
∴CECF．
设正四面体棱长2a
EFa
CECF．
△CEF中余弦定理：
．
选：B．
点评题考查异面直线成角关键找角考查余弦定理应中档题．
5．（5分）函数yln（+1）（x＞﹣1）反函数（ ）
A．y（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y（1﹣ex）3（x∈R） D．y（ex﹣1）3（x∈R）
考点4R：反函数．菁优网版权
专题51：函数性质应．
分析已知式子解出x然互换xy位置反函数．
解答解：∵yln（+1）
∴+1eyey﹣1
∴x（ey﹣1）3
∴求反函数y（ex﹣1）3
选：D．
点评题考查反函数解析式求解属基础题．
6．（5分）已知单位量夹角60°（2﹣）•（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题5A：面量应．
分析条件利两量数量积定义求值（2﹣）•值．
解答解：题意1×1×cos60°1
∴（2﹣）•2﹣0
选：B．
点评题考查两量数量积定义属基础题．
7．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
考点D9：排列组合简单计数问题．菁优网版权
专题5O：排列组合．
分析根题意分2步分析先6名男医生中选25名女医生中选出1组合数公式次求出步情况数目分步计数原理计算答案．
解答解：根题意先6名男医生中选2C6215种选法
5名女医生中选出1C515种选法
选法15×575种
选：C．
点评题考查分步计数原理应注意区分排列组合．
8．（5分）设等数列{an}前n项Sn．S23S415S6（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
考点89：等数列前n项．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析等数列性质S2S4﹣S2S6﹣S4成等数列代入数计算．
解答解：S2a1+a2S4﹣S2a3+a4（a1+a2）q2S6﹣S4a5+a6（a1+a2）q4
S2S4﹣S2S6﹣S4成等数列
312S6﹣15成等数列
1223（S6﹣15）
解S663
选：C．
点评题考查等数列性质出S2S4﹣S2S6﹣S4成等数列解决问题关键属基础题．
9．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析利△AF1B周长4求出a根离心率c1求出b出椭圆方程．
解答解：∵△AF1B周长4
∵△AF1B周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a
∴4a4
∴a
∵离心率
∴c1
∴b
∴椭圆C方程+1．
选：A．
点评题考查椭圆定义方程考查椭圆性质考查学生计算力属基础题．
10．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
考点LG：球体积表面积LR：球接面体．菁优网版权
专题11：计算题5F：空间位置关系距离．
分析正四棱锥P﹣ABCD外接球球心高PO1记O求出PO1OO1解出球半径求出球表面积．
解答解：设球半径R
∵棱锥高4底面边长2
∴R2（4﹣R）2+（）2
∴R
∴球表面积4π•（）2．
选：A．
点评题考查球表面积球接体问题考查计算力基础题．
11．（5分）双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）离心率2焦点渐线距离C焦距等（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析根双曲线离心率焦点直线距离公式建立方程组结．
解答解：∵：﹣1（a＞0b＞0）离心率2
∴e双曲线渐线方程y妨取ybx﹣ay0
c2ab
∵焦点F（c0）渐线bx﹣ay0距离
∴d
解c2
焦距2c4
选：C．
点评题考查双曲线基运算利双曲线离心率焦点直线距离公式建立方程组解决题关键较基础．
12．（5分）奇函数f（x）定义域Rf（x+2）偶函数f（1）1f（8）+f（9）（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
考点3K：函数奇偶性性质判断．菁优网版权
专题51：函数性质应．
分析根函数奇偶性性质f（x+8）f（x）结．
解答解：∵f（x+2）偶函数f（x）奇函数
∴设g（x）f（x+2）
g（﹣x）g（x）
f（﹣x+2）f（x+2）
∵f（x）奇函数
∴f（﹣x+2）f（x+2）﹣f（x﹣2）
f（x+4）﹣f（x）f（x+8）f（x+4+4）﹣f（x+4）f（x）
f（8）f（0）0f（9）f（1）1
∴f（8）+f（9）0+11
选：D．
点评题考查函数值计算利函数奇偶性性质函数称轴解决题关键．
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）（x﹣2）6展开式中x3系数 ﹣160 ．（数字作答）
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题11：计算题．
分析根题意二项式定理（x﹣2）6展开式通项令x系数3r3r3代入通项计算T4﹣160x3答案．
解答解：根题意（x﹣2）6展开式通项Tr+1C6rx6﹣r（﹣2）r（﹣1）r•2r•C6rx6﹣r
令6﹣r3r3
时T4（﹣1）3•23•C63x3﹣160x3x3系数﹣160
答案﹣160．
点评题考查二项式定理应关键（x﹣2）6展开式通项．
14．（5分）函数ycos2x+2sinx值 ．
考点HW：三角函数值．菁优网版权
专题11：计算题．
分析利二倍角公式函数化简ycos2x+2sinx1﹣2sin2x+2sinx结合﹣1≤sinx≤1二次函数性质求函数值
解答解：∵ycos2x+2sinx1﹣2sin2x+2sinx
∵﹣1≤sinx≤1
sinx时函数值
答案：
点评题考查利二倍角度公式三角函数进行化简二次函数闭区间值求解解题中注意﹣1≤sinx≤1条件．
15．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 5 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题31：数形结合．
分析约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式图优解联立方程组求出优解坐标代入目标函数答案．
解答解：约束条件作出行域图
联立解C（11）．
化目标函数zx+4y直线方程斜截式．
图知直线C点时直线y轴截距z．
时zmax1+4×15．
答案：5．
点评题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
16．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
考点IV：两直线夹角角问题．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部直角三角形中边角关系求sinθ 值cosθtanθ 值根tan2θ计算求结果．
解答解：设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部
点A圆心O间距离OA
圆半径r
∴sinθ
∴cosθtanθ
∴tan2θ
答案：．
点评题考查直线圆相切性质直角三角形中变角关系角三角函数基关系二倍角正切公式应属中档题．
三解答题
17．（10分）数列{an}满足a11a22an+22an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bnan+1﹣an证明{bn}等差数列
（Ⅱ）求{an}通项公式．
考点83：等差数列性质84：等差数列通项公式8H：数列递推式．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析（Ⅰ）an+22an+1﹣an+2变形：an+2﹣an+1an+1﹣an+2条件bn+1bn+2根条件求出b1等差数列定义证明{bn}等差数列
（Ⅱ）（Ⅰ）等差数列通项公式求出bn代入bnan+1﹣an令n1开始取值次（n﹣1）式子然相加利等差数列前n项公式求出{an}通项公式an．
解答解：（Ⅰ）an+22an+1﹣an+2
an+2﹣an+1an+1﹣an+2
bnan+1﹣anbn+1bn+2
bn+1﹣bn2
b1a2﹣a11
{bn}首项1公差2等差数列．
（Ⅱ）（Ⅰ）bn1+2（n﹣1）2n﹣1
bnan+1﹣anan+1﹣an2n﹣1
a2﹣a11a3﹣a23a4﹣a35…an﹣an﹣12（n﹣1）﹣1
an﹣a11+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
（n﹣1）2
a11
{an}通项公式an（n﹣1）2+1n2﹣2n+2．
点评题考查等差数列定义通项公式前n项公式累加法求数列通项公式转化思想属中档题．
18．（12分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
考点GL：三角函数中恒等变换应HP：正弦定理．菁优网版权
专题58：解三角形．
分析3acosC2ccosA利正弦定理3sinAcosC2sinCcosA利角三角函数基关系式tanC利tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）出．
解答解：∵3acosC2ccosA
正弦定理3sinAcosC2sinCcosA
∴3tanA2tanC
∵tanA
∴2tanC3×1解tanC．
∴tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）﹣﹣﹣1
∵B∈（0π）
∴B
点评题考查正弦定理角三角函数基关系式两角差正切公式诱导公式等基础知识基技方法考查推理力计算力属中档题．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
考点LW：直线面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离．
分析（Ⅰ）已知数结合线面垂直判定性质
（Ⅱ）作辅助线证∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角解三角形反三角函数．
解答解：（Ⅰ）∵A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C
∴面AA1C1C⊥面ABCBC⊥AC
∴BC⊥面AA1C1C连结A1C
侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
AC1⊥BCA1C∩BCC
∴AC1⊥面A1BCAB1⊂面A1BC
∴AC1⊥A1B
（Ⅱ）∵BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1
∴面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1
∴A1E直线AA1面BCC1B1距离A1E
∵A1C∠ACC1分线∴A1DA1E
作DF⊥ABF垂足连结A1F
AB⊥A1DA1F∩A1DA1
∴AB⊥面A1DF∵A1F⊂面A1DF
∴A1F⊥AB
∴∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角
AD1知DAC中点
∴DF
∴tan∠A1FD
∴二面角A1﹣AB﹣Carctan
点评题考查二面角求解作出证明二面角面角解决问题关键属中档题．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲乙丙丁求工作日需设备数k概率01求k值．
考点C8：相互独立事件相互独立事件概率法公式．菁优网版权
专题5I：概率统计．
分析（Ⅰ）4需设备概率4中3设备概率相加求．
（Ⅱ）（Ⅰ）k2满足条件．k3求工作日需设备数3概率006＜01满足条件出结．
解答解：（Ⅰ）题意工作日少3需设备概率
06×05×05×04+（1﹣06）×05×05×04+06×（1﹣05）×05×04+06×05×（1﹣05）×04+06×05×05×（1﹣04）031．
（Ⅱ）（Ⅰ）k2工作日需设备数2概率031＞01满足条件．
k3工作日需设备数3概率 06×05×05×04006＜01满足条件．
k值3．
点评题考查相互独立事件概率法公式体现分类讨数学思想属中档题．
21．（12分）函数f（x）ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）f（x）区间（12）增函数求a取值范围．
考点6B：利导数研究函数单调性6D：利导数研究函数极值．菁优网版权
专题53：导数综合应．
分析（Ⅰ）求出函数导数通导数0利二次函数根通a范围讨f（x）单调性
（Ⅱ）a＞0x＞0时f（x）区间（12）增函数a＜0时f（x）区间（12）增函数推出f′（1）≥0f′（2）≥0求a取值范围．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）ax3+3x2+3x
∴f′（x）3ax2+6x+3
令f′（x）03ax2+6x+30△36（1﹣a）
①a≥1时△≤0f′（x）≥0∴f（x）R增函数
②a≠0∴a≤1a≠0时△＞0f′（x）0方程两根x1x2
0＜a＜1时x∈（﹣∞x2）（x1+∞）时f′（x）＞0函数（﹣∞x2）（x1+∞）增函数（x2x1）减函数
a＜0时x∈（﹣∞x1）（x2+∞）f′（x）＜0函数（﹣∞x1）（x2+∞）减函数（x1x2）增函数
（Ⅱ）a＞0x＞0时f′（x）3ax2+6x+3＞0 a＞0时f（x）区间（12）增函数
a＜0时f（x）区间（12）增函数
仅：f′（1）≥0f′（2）≥0解﹣
a取值范围[）∪（0+∞）．
点评题考查函数导数应判断函数单调性已知单调性求解函数中变量范围考查分类讨思想应．
22．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
考点KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C方程求x0根|QF||PQ|求 p值C方程．
（Ⅱ）设l方程 xmy+1 （m≠0）代入抛物线方程化简利韦达定理中点公式弦长公式求弦长|AB|．直线l′方程代入抛物线方程化简利韦达定理弦长公式求|MN|．MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|求m值直线l方程．
解答解：（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C：y22px（p＞0）
x0∵点P（04）∴|PQ|．
|QF|x0++|QF||PQ|
∴+×求 p2 p﹣2（舍）．
C方程 y24x．
（Ⅱ）题意直线l坐标轴垂直y24x焦点F（10）
设l方程 xmy+1（m≠0）
代入抛物线方程y2﹣4my﹣40显然判式△16m2+16＞0y1+y24my1•y2﹣4．
∴AB中点坐标D（2m2+12m）弦长|AB||y1﹣y2|4（m2+1）．
直线l′斜率﹣m∴直线l′方程 x﹣y+2m2+3．
F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点
线l′方程代入抛物线方程 y2+y﹣4（2m2+3）0∴y3+y4y3•y4﹣4（2m2+3）．
线段MN中点E坐标（+2m2+3）∴|MN||y3﹣y4|
∵MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|
∴+DE2MN2
∴4（m2+1）2 ++×化简 m2﹣10
∴m±1∴直线l方程 x﹣y﹣10 x+y﹣10．
点评题考查求抛物线标准方程直线圆锥曲线位置关系应韦达定理弦长公式应体现转化数学思想属难题．
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选择题（题12题题5分）
1．（5分）设集合M{12468}N{123567}M∩N中元素数（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α终边点（﹣43）cosα（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）等式组解集（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中EAB中点异面直线CEBD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数yln（+1）（x＞﹣1）反函数（ ）
A．y（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y（1﹣ex）3（x∈R） D．y（ex﹣1）3（x∈R）
6．（5分）已知单位量夹角60°（2﹣）•（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等数列{an}前n项Sn．S23S415S6（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
10．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）离心率2焦点渐线距离C焦距等（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）定义域Rf（x+2）偶函数f（1）1f（8）+f（9）（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）（x﹣2）6展开式中x3系数 ．（数字作答）
14．（5分）函数ycos2x+2sinx值 ．
15．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 ．
16．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
三解答题
17．（10分）数列{an}满足a11a22an+22an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bnan+1﹣an证明{bn}等差数列
（Ⅱ）求{an}通项公式．
18．（12分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲乙丙丁求工作日需设备数k概率01求k值．
21．（12分）函数f（x）ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）f（x）区间（12）增函数求a取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
2014年全国统高考数学试卷（文科）（纲版）
参考答案试题解析
选择题（题12题题5分）
1．（5分）设集合M{12468}N{123567}M∩N中元素数（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
考点1A：集合中元素数值1E：交集运算．菁优网版权
专题5J：集合．
分析根MN找出两集合交集找出交集中元素．
解答解：∵M{12468}N{123567}
∴M∩N{126}M∩N中元素数3．
选：B．
点评题考查交集运算熟练掌握交集定义解题关键．
2．（5分）已知角α终边点（﹣43）cosα（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
考点G9：意角三角函数定义．菁优网版权
专题56：三角函数求值．
分析条件直接利意角三角函数定义求cosα值．
解答解：∵角α终边点（﹣43）∴x﹣4y3r5．
∴cosα﹣
选：D．
点评题考查意角三角函数定义两点间距离公式应属基础题．
3．（5分）等式组解集（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
考点7E：等式解法．菁优网版权
专题59：等式解法应．
分析解元二次等式绝值等式分求出等式组中等式解集取交集求．
解答解：等式组 解0＜x＜1
选：C．
点评题考查元二次等式绝值等式解法属基础题．
4．（5分）已知正四面体ABCD中EAB中点异面直线CEBD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
考点LM：异面直线成角．菁优网版权
专题5G：空间角．
分析EAB中点取AD中点F连接EF∠CEF异面直线CEBD成角设出正四面体棱长求出△CEF三边长然利余弦定理求解异面直线CEBD成角余弦值．
解答解：图
取AD中点F连接EFCF
∵EAB中点
∴EF∥DB
∠CEF异面直线BDCE成角
∵ABCD正四面体EF分ABAD中点
∴CECF．
设正四面体棱长2a
EFa
CECF．
△CEF中余弦定理：
．
选：B．
点评题考查异面直线成角关键找角考查余弦定理应中档题．
5．（5分）函数yln（+1）（x＞﹣1）反函数（ ）
A．y（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y（1﹣ex）3（x∈R） D．y（ex﹣1）3（x∈R）
考点4R：反函数．菁优网版权
专题51：函数性质应．
分析已知式子解出x然互换xy位置反函数．
解答解：∵yln（+1）
∴+1eyey﹣1
∴x（ey﹣1）3
∴求反函数y（ex﹣1）3
选：D．
点评题考查反函数解析式求解属基础题．
6．（5分）已知单位量夹角60°（2﹣）•（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题5A：面量应．
分析条件利两量数量积定义求值（2﹣）•值．
解答解：题意1×1×cos60°1
∴（2﹣）•2﹣0
选：B．
点评题考查两量数量积定义属基础题．
7．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
考点D9：排列组合简单计数问题．菁优网版权
专题5O：排列组合．
分析根题意分2步分析先6名男医生中选25名女医生中选出1组合数公式次求出步情况数目分步计数原理计算答案．
解答解：根题意先6名男医生中选2C6215种选法
5名女医生中选出1C515种选法
选法15×575种
选：C．
点评题考查分步计数原理应注意区分排列组合．
8．（5分）设等数列{an}前n项Sn．S23S415S6（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
考点89：等数列前n项．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析等数列性质S2S4﹣S2S6﹣S4成等数列代入数计算．
解答解：S2a1+a2S4﹣S2a3+a4（a1+a2）q2S6﹣S4a5+a6（a1+a2）q4
S2S4﹣S2S6﹣S4成等数列
312S6﹣15成等数列
1223（S6﹣15）
解S663
选：C．
点评题考查等数列性质出S2S4﹣S2S6﹣S4成等数列解决问题关键属基础题．
9．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析利△AF1B周长4求出a根离心率c1求出b出椭圆方程．
解答解：∵△AF1B周长4
∵△AF1B周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a
∴4a4
∴a
∵离心率
∴c1
∴b
∴椭圆C方程+1．
选：A．
点评题考查椭圆定义方程考查椭圆性质考查学生计算力属基础题．
10．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
考点LG：球体积表面积LR：球接面体．菁优网版权
专题11：计算题5F：空间位置关系距离．
分析正四棱锥P﹣ABCD外接球球心高PO1记O求出PO1OO1解出球半径求出球表面积．
解答解：设球半径R
∵棱锥高4底面边长2
∴R2（4﹣R）2+（）2
∴R
∴球表面积4π•（）2．
选：A．
点评题考查球表面积球接体问题考查计算力基础题．
11．（5分）双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）离心率2焦点渐线距离C焦距等（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析根双曲线离心率焦点直线距离公式建立方程组结．
解答解：∵：﹣1（a＞0b＞0）离心率2
∴e双曲线渐线方程y妨取ybx﹣ay0
c2ab
∵焦点F（c0）渐线bx﹣ay0距离
∴d
解c2
焦距2c4
选：C．
点评题考查双曲线基运算利双曲线离心率焦点直线距离公式建立方程组解决题关键较基础．
12．（5分）奇函数f（x）定义域Rf（x+2）偶函数f（1）1f（8）+f（9）（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
考点3K：函数奇偶性性质判断．菁优网版权
专题51：函数性质应．
分析根函数奇偶性性质f（x+8）f（x）结．
解答解：∵f（x+2）偶函数f（x）奇函数
∴设g（x）f（x+2）
g（﹣x）g（x）
f（﹣x+2）f（x+2）
∵f（x）奇函数
∴f（﹣x+2）f（x+2）﹣f（x﹣2）
f（x+4）﹣f（x）f（x+8）f（x+4+4）﹣f（x+4）f（x）
f（8）f（0）0f（9）f（1）1
∴f（8）+f（9）0+11
选：D．
点评题考查函数值计算利函数奇偶性性质函数称轴解决题关键．
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）（x﹣2）6展开式中x3系数 ﹣160 ．（数字作答）
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题11：计算题．
分析根题意二项式定理（x﹣2）6展开式通项令x系数3r3r3代入通项计算T4﹣160x3答案．
解答解：根题意（x﹣2）6展开式通项Tr+1C6rx6﹣r（﹣2）r（﹣1）r•2r•C6rx6﹣r
令6﹣r3r3
时T4（﹣1）3•23•C63x3﹣160x3x3系数﹣160
答案﹣160．
点评题考查二项式定理应关键（x﹣2）6展开式通项．
14．（5分）函数ycos2x+2sinx值 ．
考点HW：三角函数值．菁优网版权
专题11：计算题．
分析利二倍角公式函数化简ycos2x+2sinx1﹣2sin2x+2sinx结合﹣1≤sinx≤1二次函数性质求函数值
解答解：∵ycos2x+2sinx1﹣2sin2x+2sinx
∵﹣1≤sinx≤1
sinx时函数值
答案：
点评题考查利二倍角度公式三角函数进行化简二次函数闭区间值求解解题中注意﹣1≤sinx≤1条件．
15．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 5 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题31：数形结合．
分析约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式图优解联立方程组求出优解坐标代入目标函数答案．
解答解：约束条件作出行域图
联立解C（11）．
化目标函数zx+4y直线方程斜截式．
图知直线C点时直线y轴截距z．
时zmax1+4×15．
答案：5．
点评题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
16．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
考点IV：两直线夹角角问题．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部直角三角形中边角关系求sinθ 值cosθtanθ 值根tan2θ计算求结果．
解答解：设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部
点A圆心O间距离OA
圆半径r
∴sinθ
∴cosθtanθ
∴tan2θ
答案：．
点评题考查直线圆相切性质直角三角形中变角关系角三角函数基关系二倍角正切公式应属中档题．
三解答题
17．（10分）数列{an}满足a11a22an+22an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bnan+1﹣an证明{bn}等差数列
（Ⅱ）求{an}通项公式．
考点83：等差数列性质84：等差数列通项公式8H：数列递推式．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析（Ⅰ）an+22an+1﹣an+2变形：an+2﹣an+1an+1﹣an+2条件bn+1bn+2根条件求出b1等差数列定义证明{bn}等差数列
（Ⅱ）（Ⅰ）等差数列通项公式求出bn代入bnan+1﹣an令n1开始取值次（n﹣1）式子然相加利等差数列前n项公式求出{an}通项公式an．
解答解：（Ⅰ）an+22an+1﹣an+2
an+2﹣an+1an+1﹣an+2
bnan+1﹣anbn+1bn+2
bn+1﹣bn2
b1a2﹣a11
{bn}首项1公差2等差数列．
（Ⅱ）（Ⅰ）bn1+2（n﹣1）2n﹣1
bnan+1﹣anan+1﹣an2n﹣1
a2﹣a11a3﹣a23a4﹣a35…an﹣an﹣12（n﹣1）﹣1
an﹣a11+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
（n﹣1）2
a11
{an}通项公式an（n﹣1）2+1n2﹣2n+2．
点评题考查等差数列定义通项公式前n项公式累加法求数列通项公式转化思想属中档题．
18．（12分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
考点GL：三角函数中恒等变换应HP：正弦定理．菁优网版权
专题58：解三角形．
分析3acosC2ccosA利正弦定理3sinAcosC2sinCcosA利角三角函数基关系式tanC利tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）出．
解答解：∵3acosC2ccosA
正弦定理3sinAcosC2sinCcosA
∴3tanA2tanC
∵tanA
∴2tanC3×1解tanC．
∴tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）﹣﹣﹣1
∵B∈（0π）
∴B
点评题考查正弦定理角三角函数基关系式两角差正切公式诱导公式等基础知识基技方法考查推理力计算力属中档题．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
考点LW：直线面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离．
分析（Ⅰ）已知数结合线面垂直判定性质
（Ⅱ）作辅助线证∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角解三角形反三角函数．
解答解：（Ⅰ）∵A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C
∴面AA1C1C⊥面ABCBC⊥AC
∴BC⊥面AA1C1C连结A1C
侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
AC1⊥BCA1C∩BCC
∴AC1⊥面A1BCAB1⊂面A1BC
∴AC1⊥A1B
（Ⅱ）∵BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1
∴面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1
∴A1E直线AA1面BCC1B1距离A1E
∵A1C∠ACC1分线∴A1DA1E
作DF⊥ABF垂足连结A1F
AB⊥A1DA1F∩A1DA1
∴AB⊥面A1DF∵A1F⊂面A1DF
∴A1F⊥AB
∴∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角
AD1知DAC中点
∴DF
∴tan∠A1FD
∴二面角A1﹣AB﹣Carctan
点评题考查二面角求解作出证明二面角面角解决问题关键属中档题．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲乙丙丁求工作日需设备数k概率01求k值．
考点C8：相互独立事件相互独立事件概率法公式．菁优网版权
专题5I：概率统计．
分析（Ⅰ）4需设备概率4中3设备概率相加求．
（Ⅱ）（Ⅰ）k2满足条件．k3求工作日需设备数3概率006＜01满足条件出结．
解答解：（Ⅰ）题意工作日少3需设备概率
06×05×05×04+（1﹣06）×05×05×04+06×（1﹣05）×05×04+06×05×（1﹣05）×04+06×05×05×（1﹣04）031．
（Ⅱ）（Ⅰ）k2工作日需设备数2概率031＞01满足条件．
k3工作日需设备数3概率 06×05×05×04006＜01满足条件．
k值3．
点评题考查相互独立事件概率法公式体现分类讨数学思想属中档题．
21．（12分）函数f（x）ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）f（x）区间（12）增函数求a取值范围．
考点6B：利导数研究函数单调性6D：利导数研究函数极值．菁优网版权
专题53：导数综合应．
分析（Ⅰ）求出函数导数通导数0利二次函数根通a范围讨f（x）单调性
（Ⅱ）a＞0x＞0时f（x）区间（12）增函数a＜0时f（x）区间（12）增函数推出f′（1）≥0f′（2）≥0求a取值范围．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）ax3+3x2+3x
∴f′（x）3ax2+6x+3
令f′（x）03ax2+6x+30△36（1﹣a）
①a≥1时△≤0f′（x）≥0∴f（x）R增函数
②a≠0∴a≤1a≠0时△＞0f′（x）0方程两根x1x2
0＜a＜1时x∈（﹣∞x2）（x1+∞）时f′（x）＞0函数（﹣∞x2）（x1+∞）增函数（x2x1）减函数
a＜0时x∈（﹣∞x1）（x2+∞）f′（x）＜0函数（﹣∞x1）（x2+∞）减函数（x1x2）增函数
（Ⅱ）a＞0x＞0时f′（x）3ax2+6x+3＞0 a＞0时f（x）区间（12）增函数
a＜0时f（x）区间（12）增函数
仅：f′（1）≥0f′（2）≥0解﹣
a取值范围[）∪（0+∞）．
点评题考查函数导数应判断函数单调性已知单调性求解函数中变量范围考查分类讨思想应．
22．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
考点KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C方程求x0根|QF||PQ|求 p值C方程．
（Ⅱ）设l方程 xmy+1 （m≠0）代入抛物线方程化简利韦达定理中点公式弦长公式求弦长|AB|．直线l′方程代入抛物线方程化简利韦达定理弦长公式求|MN|．MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|求m值直线l方程．
解答解：（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C：y22px（p＞0）
x0∵点P（04）∴|PQ|．
|QF|x0++|QF||PQ|
∴+×求 p2 p﹣2（舍）．
C方程 y24x．
（Ⅱ）题意直线l坐标轴垂直y24x焦点F（10）
设l方程 xmy+1（m≠0）
代入抛物线方程y2﹣4my﹣40显然判式△16m2+16＞0y1+y24my1•y2﹣4．
∴AB中点坐标D（2m2+12m）弦长|AB||y1﹣y2|4（m2+1）．
直线l′斜率﹣m∴直线l′方程 x﹣y+2m2+3．
F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点
线l′方程代入抛物线方程 y2+y﹣4（2m2+3）0∴y3+y4y3•y4﹣4（2m2+3）．
线段MN中点E坐标（+2m2+3）∴|MN||y3﹣y4|
∵MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|
∴+DE2MN2
∴4（m2+1）2 ++×化简 m2﹣10
∴m±1∴直线l方程 x﹣y﹣10 x+y﹣10．
点评题考查求抛物线标准方程直线圆锥曲线位置关系应韦达定理弦长公式应体现转化数学思想属难题．
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