高等数学积分表公式推导

高等数学高等数学高等数学高等数学
积积积积 分分分分 表表表表
公公公公 式式式式 推推推推 导导导导目目目目 录录录录
（）含（）含（）含（）含 bax + 积分积分积分积分（1~9）·······················································1
（二）含（二）含（二）含（二）含 bax + 积分积分积分积分（10~18）···················································5
（三）含（三）含（三）含（三）含 22 ax ± 积分积分积分积分（19~21）····················································9
（四）含（四）含（四）含（四）含 )0( 2 >+ abax 积分积分积分积分（22~28）············································11
（五）含（五）含（五）含（五）含 )0( 2 >++ acbxax 积分积分积分积分（29~30）········································14
（六）含（六）含（六）含（六）含 )0( 22 >+ aax 积分积分积分积分（31~44）·········································15
（七）含（七）含（七）含（七）含 )0( 22 >− aax 积分积分积分积分（45~58）·········································24
（八）含（八）含（八）含（八）含 )0( 22 >− axa 积分积分积分积分（59~72）·········································37
（九）含（九）含（九）含（九）含 )0( 2 >++± acbxa 积分积分积分积分（73~78）····································48
（十）含（十）含（十）含（十）含 ))(( xbax −− 积分积分积分积分（79~82）···························51
（十）含三角函数积分（十）含三角函数积分（十）含三角函数积分（十）含三角函数积分（83~112）···········································55
（十二）含反三角函数积分（中（十二）含反三角函数积分（中（十二）含反三角函数积分（中（十二）含反三角函数积分（中 0>a ))))（113~121）·······················68
（十三）含指数函数积分（十三）含指数函数积分（十三）含指数函数积分（十三）含指数函数积分（122~131）··········································73
（十四）含数函数积分（十四）含数函数积分（十四）含数函数积分（十四）含数函数积分（132~136）··········································78
（十五）含双曲函数积分（十五）含双曲函数积分（十五）含双曲函数积分（十五）含双曲函数积分（137~141）··········································80
（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142~147）····························································81
附录：常数基初等函数导数公式附录：常数基初等函数导数公式附录：常数基初等函数导数公式附录：常数基初等函数导数公式·········································85
说明说明说明说明·····················································································86
团队员团队员团队员团队员··············································································87
bx
ax
−
−± 1
（）含（）含（）含（）含 bax + 积分积分积分积分（1~9）
Cbaxlnabax
dxbaxt
C t lna
dttabax
dx
dtadxadxdtttb ax
a
bxxbax)x(f
Cbaxlnabax
dx
++⋅++
+⋅
+∴
∴≠+
−≠+
++⋅+
∫
∫∫
∫
1
1
11
1 )0(
}|{ 1
1 1
代入式：
令
定义域积函数证明：
Cbax
μa
dxbaxbaxt
C tμa
dttadxbax
dtadxadxdttbax
μCbaxμadxbax
μμ
μ
μμ
μμ
++⋅
+
++
+⋅+
+∴
∴+
−≠++⋅++
+
+
+
∫
∫∫
∫
1
1
1
)(
)1(
1)(
)1(
1
1)(
1
1)( )()1(
1)( 2
代入式：
令证明：
()
()
()
()
()C bax lnbbax
a
dxbax
xbaxt
C t lnbta
C t lna
b
a
t
dtt
b
adta
dtt
b1adta·t
btadxbax
x
dtadx btaxt tbax
a
bx|xbax
x)x(f
C bax lnbbaxadxbax
x
2
2
22
22
2
2
++⋅−+++
+⋅−
+⋅−
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
−
+∴
−≠+
−≠+
++⋅−++
∫
∫ ∫
∫∫∫
∫
1
1

11
11
1

11 )0(
}{
1 3
代入式：
令
定义域积函数证明： 2
Cbaxlnbbaxbbaxadxbax
x
Cbaxlna
bbaxdbaxa
bdxbax
b
a
Cbaxlna
bxa
b
baxdbaxa
bdxa
b
axdbax
bbax
a
bdxbax
abx
a
Cbaxadxbaxa
dxbax
b
adxbax
abx
adxbaxa
dxbax
babxbax
adxbax
x
Cbaxlnbbaxbbaxadxbax
x
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +⋅++−++
+++++
++−
++−
+
−++
+++
+−+−+
+
−−++
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +⋅++−++
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫
)( 2)(2
11
)(11
22
)(122
)(221
)(2
1)(1
121)(1
)2)(1
)( 2)(2
11 4
22
3
2
33
2
3
22
2
23
2
3
3
2
3
32
1
2
32
2
222
22
2
2
22
3
2
式整理：
证明：
∵
Cx
baxlnb
Cbax
xlnb
Cbaxlnbxlnb
)bax(dbaxbdxxb
dxbaxb
adxxbdx)bax(b
a
bxbaxx
dx
b
a
b
Ab
BAa
bxaxbaxbax
B
xbaxx
a
bx|xbaxx)x(f
Cx
baxlnbbaxx
dx
++⋅−
++⋅
++⋅−⋅
++−
+−+⋅−+
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−

⇒
⎩
⎨
⎧

+∴
+++++++⋅
−≠+⋅
++⋅−+
∫∫
∫∫∫∫
∫
1
1
1 1
1111
111]1[)(
B
1A
1
0
AB)(AB)A(1 A
)(
1
}{ )(
1
1
)( 5


设
定义域积函数证明：
blogblog aa −−1 提示： 3
Cx
baxln
b
a
bx
Cbaxln
b
a
bxxln
b
a
baxdbaxb
adxxbdxxb
a
dxbaxb
adxxbdxxb
a
baxx
dx
b
aC
b
b
a
Bb
aBAb
CAa
baBAbxax
Cxbaxbaxxbax
C
x
B
xbaxx
a
bxx
baxx
xf
Cx
baxln
b
a
bxbaxx
dx
++⋅+−
++⋅+−⋅−
++++−
+++−+
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧


−
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧

+
+
∴
++++
+++++++
+⋅
−≠
+⋅

++⋅+−
+
∫∫∫
∫∫∫∫
∫
1
1
)(1111
1111
)(
1B
A

1
0
0

1B)( C)(A
)B()( A1 A
)(
1
}|{
)(
1)(
1
)(
6
2
22
222
2
2
222
2
2
2
2
2
22
2
22



设
定义域积函数证明：
Cbax
bbaxln
a
C
baxa
bbaxln
a
baxd
baxa
bbaxdbaxa
dx
baxa
bdxbaxadx
bax
x
a
bB
a
BAb
Aa
xBAbax
baxx
bax
B
bax
A
bax
x
a
bx|x
bax
x)x(f
Cbax
bbaxln
a
dx
bax
x
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
+++
+
+
++⋅
+
+
−++
+
−+
+
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−

⇒
⎩
⎨
⎧
+
∴
++⋅
++
+
++
+
−≠
+

+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
+++
+
∫∫
∫∫∫
∫
1
)(
1
)(
)(
1 )(11

)(
1 11
)(

1A
0
1
)(A
B)A(
)(

)(

}{
)(

1
)(
7
2
22
222
22
22
2
22



设
定义域积函数证明： 4
()
C bax
b bax lnbbaxadxbax
xbaxt
Ct
b t lnbta
C t lna
btata
b
dtta
bdtadtta
bdtta
bttbdxbax
x
ta
bttb
ta
tb
bax
x
dtadx btaxt tbax
a
bx|xbax
x)x(f
C bax
b bax lnbbaxadxbax
x
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+⋅−+++
+−⋅−
+⋅−⋅+−
−+−++∴
−+−+∴
−≠+
−≠+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+⋅−++
∫
∫∫∫∫∫
∫
2
32
2
2
3
333
2
3323
2
23
22
2
2
22
22
22
2
2
2
2
2
2
32
2
21
)(
)2(1
21
12112
)(
2)(
)(
11 )0(
}{)(
21
)( 8
代入式：
令
定义域 积函数 证明：
C|x
bax|ln·
bbaxb
C
bax
·
b
b||axln
b
|x|ln
b

dx
baxb
adx
baxb
adx
xbbaxx
dx
b
aD
b
aB
b
A

1Ab
0DBbAab2
0BaAa

AbDBbAab2xBaAax
DxBbxBaxAabx2AbxAa
DxbaxBxbaxA1
bax
D
bax
B
x
A
baxx
a
bx|x
baxx
)x(f
C|
x
bax|ln
bbaxbbaxx
dx
2
2
2
22
2222
2
2
++−+
+
+
++⋅−⋅
+
−
+
−
+
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
−

⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧

++
+
∴
+++++
+++++
++++
+
+++
+
−≠
+

++−
+

+
∫∫∫∫
∫
2
22
222
2
2
2
2
22
1
)(
1
1111
)(
1111
)(

1

)()(
)()(
)()(
1
}{
)(
1
·1
)(
1
)(
9



设：
定义域 证明：积函数 5
（二）含（二）含（二）含（二）含 bax + 积分积分积分积分（10~18）
Cbaxa
Cbaxabaxdbaxadxbax
Cbaxadxbax
++⋅
++⋅
+
⋅+++
++⋅+
+
∫∫
∫
3
12
1
2
1
3
)(3
2
)(
2
11
11)()(1
)(3
2 10
证明：
Cbaxbax
a
Cbaxbbaxadxbaxxbaxt
Cbta
t
Ct
a
bt
a
dt
a
bdt
a
dtbttadta
tta
btdxbaxx
ta
btbaxxdta
tdxa
btxttbax
Cbaxbax
a
dxbaxx
++⋅−⋅
++⋅−+++
+−
+⋅−⋅−
−⋅⋅−+∴
⋅−+−≥+
++⋅−⋅+
∫
∫∫
∫∫∫
∫
3
2
3
2
2
2
3
3
2
5
2
3
2
5
2
24
2
2
22
3
2
)()23(
15
2
)(]5)(3[15
2
)53(15
2
3
2
5
2
3
2
5
2
)(22
2 )0(
)()23(
15
2 11
代入式：
令证明：
[]
Cbaxbabxxaa
baxbbabxbxabax
a
dxbaxx
baxt
Cbtbt
a
t
Cta
bta
bta
Ct
a
bt
a
bt
a
dtt
a
bdtt
a
bdtt
a
dtbttbtt
a
dxbaxx
a
bttbtta
btbaxx
dta
tdxa
btxttbax
Cbaxbabxxa
a
dxbaxx
++⋅+−⋅
+⋅−++++⋅+
+
+−+⋅
+⋅−⋅+⋅
+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅
−−
−+⋅+∴
−+⋅−+
−≥+
++⋅+−⋅+
∫
∫∫∫
∫∫
∫
+++
3222
3
22223
3
2
224
3
3
5
3
3
3
2
7
3
14
3
21
3
2
16
3
4
3
2
3
2
6
3
325
3
2
2
325
2
22
2
2
3222
3
2
)()81215(105
2
)(4235301515 )(
105
2

)423515(
105
2
5
4
3
2
7
2
41
14
21
12
61
12
422
)2(2
2)(
2 )0(
)()81215(
105
2 12
代入式：
令证明： 6
Cbaxbax
a
Cbax
a
bbaxbax
a
dx
bax
xbaxt
Cta
bta
Ct
a
bt
a
bdtadtta
dta
t
at
btdx
bax
x
dta
tdxa
btxttbax
Cbaxbaxadx
bax
x
++⋅−⋅
++⋅−+⋅+⋅
+
+
+⋅−⋅
+⋅−⋅+⋅
−
⋅−
+
∴
−>+
++⋅−⋅
+
∫
∫∫
∫∫
∫
+
)()2(
3
2
)(2)()(
3
2
2
3
2
2
21
12
22
2
2 )0(
)()2(3
2 13
2
22
2
3
2
2
12
2
2
2
2
2
2
2
代入式：
令证明：
[]
Cbaxbabxxa
a
Cbaxbaxbbabxbxabax
a
dx
bax
x
baxt
Cbtbta
t
Ctbtbt
a
dtt
a
bdtb
a
dtt
a
dtbtbta
dta
t
ta
btdx
bax
x
dta
tdxa
btxttbax
Cbaxbabxxaadx
bax
x
++⋅+−⋅
++⋅+⋅−+++⋅+⋅
+
+
+−+⋅
+−+
−+
−+
⋅⋅−
+
∴
−>+
++⋅+−⋅
+
∫
∫∫∫
∫
∫∫
∫
)()843(
15
2
)()(1015)2(3)(
15
2

)10153(15
2
)3
2
5
1(2
422
)2(2
21)(
2 )0(
)()843(15
2 14
222
3
2222
3
2
224
3
325
3
2
3
2
3
4
3
224
3
2
22
2
222
3
2
代入式：
令证明： 7
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>+−
+⋅
−
>+
++
−+⋅

+
+−
+⋅
−

+
+
+
−
⋅
−

−+
−<
+
++
−+⋅
+
+
+
+
−⋅
−

−
>
−
⋅
⋅−

+
∴
−>+
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<+−
+⋅
−
>+
++
−+⋅

+
∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
)0( 2
)0( 1
2 1
2
t 2
)(
122 0 2
1
1
)(
122 0b 1
2
21
2 )0(
)0( 2
)0( 1
15
222
222
2
2
2
bCb
baxarctan
b
bC
bbax
bbaxln
b
baxx
dx
Cb
baxarctan
bbaxx
dxbaxt
C
b
arctan
b
dt
bt
dtbtb
C
bbax
bbaxln
bbaxx
dxbaxt
C
bt
btln
b
dt
bt
dt
bt
dtbt
dta
t
ta
btbaxx
dx
dta
tdxa
btxttbax
bCb
baxarctan
b
bC
bbax
bbaxln
b
baxx
dx
：综合讨
代入式：
时
代入式：
时
令证明：
C
ax
axln
aax
dx +
+
−⋅
−∫
2
1 21 22：公式
Ca
xarctanaax
dx +⋅+∫ 1 19 22：公式 8
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
+
−+−
+
++−
+
−
+⋅++−
+
−
+++−
+
−
+−
+
−
++
+
−
+
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧

−
⇒
⎩
⎨
⎧

+∴
++++
+

+⋅
+
−+−
+
−
baxx
dx
b
a
bx
bax
dx
baxxb
a
bx
baxdx
baxxb
a
dxbaxa
xbbx
baxdx
baxxb
a
baxdxbbx
baxdx
baxxb
a
xdbaxbdx
baxxb
a
dx
x
bax
bdx
baxxb
a
baxx
dx
b
b
a
Bb
BaA
baxx
x
baxB
baxxbaxx
baxx
dx
b
a
bx
bax
baxx
dx
2
1
2
1
)(2
111
111
1 11
11


1B
A
1
0
)B( A1 A1
2
16
2
1
22
22
2


设证明：
2
2
12 )(2
2
122
122
1
122
122 2
2 2
2 )0(
2 17
2
2
2
2
22
222
2
2
2
2
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
+
++
+
⋅−+++++
⋅
−
+
−
++∴
−
∴
−+
−
+
−
+−
−⋅−+∴
−≥+
+
+++
baxx
dxbbax
dx
bax
a
bbaxbbaxdxx
baxbaxt
dxt
a
bt
bt
dt
bt
btdx
x
bax
dt
bt
Rb
dtbtbt
dt
bt
bdtdt
bt
bbt
dtbt
tdta
t
bt
atdxx
bax
dta
tdxa
btxttbax
baxx
dxbbaxdxx
bax
代入式：
明确积分符号正负取值
令证明：
∵ 9
（三）含（三）含（三）含（三）含 22 ax ± 积分积分积分积分（19~21）
2
2)(1
1
1
2 18
2
1
2
2
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
+
++−
⋅+⋅++−
+++−
+−+
+
++−+
−
baxx
dxa
x
bax
dxabaxxx
bax
baxdxx
bax
xdbaxdxx
bax
baxx
dxa
x
baxdx
x
bax
证明：
Ca
xarctanaax
dx
a
xarctant
a
xarctan ttanta x
Cta
dta
t dtseca
tsecaax
dx
tsecattana
dx
ax
t dtsecatantaddxπtπtantax
Ca
xarctanaax
dx
2
22
222
2
+⋅+
∴⋅
+⋅

⋅⋅
+
∴

+⋅

+
⋅⋅<<−⋅
+⋅+
∫
∫
∫∫
∫
1

1
1
1
1
)1(
1
)( )22(
1 19
22
22
222
22
代入式：
令证明：
∵ 10
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
−−
−−
+
+
+
+
+
−−
−−
+⋅−
−+
+⋅⋅−

⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−+
+⋅−

+
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−+
+

+
∴
+−++−
+
−
+
+
+

+
−++
+

+
+
+

⋅+⋅−⋅−+
+−++
+⋅−
−+
+⋅⋅−

+
12221222
122122222
22222122
1222222
122
2
2222
122
222
22
122
2
22
122
22
222222
1222122222
)()1(2
32
)()1(2

)(
)32(
)()1(2
1
)(
1
)(
)12(
)(2
1
)(
1
)(
1
)()( )21(
)(
12
)(
12
)(

)(
2
)(

)(
2
)(

2)()()(
)(
1 )()(
)()1(2
32
)()1(2)(
20
nn
nnn
nnn
n
2
nn
nnn
nn
nn
n
n
nnn
nnn
ax
dx
an
n
axan
x
ax
dxn
ax
x
anax
dxnn
ax
dxn
ax
x
na
dx
ax
dxax2naax
x
ax
dxn
dx
ax
nadx
ax
n
ax
x
dx
ax
aaxn
ax
x
dx
ax
xn
ax
x
dxxaxnxax
x
axdxax
x
ax
dx
ax
dx
an
n
axan
x
ax
dx
令
移项整理：
证明：
Cax
axln a
Caxlnaaxlna
dxaxadxaxa
dxaxaxaax
dx
C
ax
axln
aax
dx
++
−⋅
++⋅−−⋅
+−−
+−−
−
+
+
−⋅
−
∫∫
∫∫
∫
2
1
2
1 2
1
1
2
11
2
1
]11[2
1

2
1 21
22
22
证明： 11
（四）含（四）含（四）含（四）含 )0( 2 >+ abax 积分积分积分积分（22~28）

)0(
2
1
)0( 1
2 1

2
1
1
2
1
)(
11
1
)(
11
)(
11 0 2
1
C1
)(
11
1
)(
1111 0b 1

)(
)0(
2
1
)0( 1
22
2
22
2
222
2
22
2
222
2
2
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<+
−+⋅
−−⋅⋅
−
>+⋅⋅
+
+
−+⋅
−−⋅⋅
−

+
−+
−−
⋅⋅
−

−−

+
∴
⋅
−−
⋅
−−

+
<
+⋅⋅
+⋅⋅⋅
+

+
∴
⋅
+
⋅
+

+
>
>
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<+
−+⋅
−−⋅⋅
−
>+⋅⋅
+
∫
∫∫
∫∫
∫
bC
bxa
bxaln
ab
bCxb
aarctan
ab
bax
dx
C
bxa
bxaln
ab
C
a
bx
a
bx
lna
a
b
dx
a
bxabax
dx
a
a
bxa
a
bxbax
b
Cxb
aarctan
ab
xb
aarctanb
a
a
dx
a
bxabax
dx
a
a
bxa
a
bxbax
0a
bC
bxa
bxaln
ab
bCxb
aarctan
ab
bax
dx
：综合讨
时
时
证明：
Cb axlna
baxdbaxa
dx
bax
dx
bax
x
aCbaxlnadx
bax
x
2
2
++⋅
++
+

+
>++⋅
+
∫
∫∫
∫
2
1
)(1
2
1
1
2
1
)0( 2
1 23
2
2
2
22
2
证明： 12
∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
+−
+−
+
−
⋅
+

+
>+−+
bax
dx
a
b
a
x
dxbaxa
bdxba
b
dx
baxba
b
dxbbax
ax
a
bdx
bax
x
abax
dx
a
b
a
xdxbax
x
2
2
2
2
2
2
2
22
2

11
)11(
1
)0( 24
证明：
C
2
1
2
1 2
1
)(1
2
11
2
1
1
2
1
2
1
]
)(
1[
2
1
)(

1
1
)()(1
)(
1
)(
1
2
1
)()(

)( C
2
1
)(
25
2
2
22
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+

++−
+
+
−
+
−
+
−
+
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−

⇒
⎩
⎨
⎧

+∴
++++
+
+
+
+

+

+
>+
+
⋅
+
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫
bax
xln·
b
Cbax ln ·bxln·b
baxd
baxbdx
xb
dx
baxb
adx
xb

dx
baxb
a
bxbaxx
dx
b
aB
b
A
Ab
0BAa
AbBAax BxbaxA
bax
B
x
A
baxx
dx
baxx
dx
baxx
x
baxx
dx
0a
bax
xln
bbaxx
dx
2
2
22
222
222
2
22
2



设：
证明： 13
∫
∫∫
∫∫
∫∫
+
−−
+
−
+
−
+
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−

⇒
⎩
⎨
⎧

+∴
++++
+
+
+
>
+
−−
+
bax
dx
b
a
bx

dx
baxb
adx
xb
dx
baxb
a
bxbaxx
dx
b
aB
bA
Ab
0BAa
AbBAax BxbaxA
bax
B
x
A
baxx
a
bax
dx
b
a
bxbaxx
dx
2
2
22
222
222
22
1
111
]
)(
1[
)(

1
1
)()(1
)(
1
0)( 1
)(
26
2
22
2
2



设： 证明：
C
bxx
bax
ln
b
a
Cbax ln ·
b
a
bx
xln·
b
a
dx
baxb
adx
xbdx
xb
a
baxx
dx
b
aC
b
aA
bB

Bb
BaAb
CAa
BbxBaAbxCAa
CxbaxBbaxAx
bax
C
x
B
x
A
baxx
dx
baxx
dx
baxx
x
baxx
dx
0aC
bxx
bax
ln
b
a
baxx
dx
22
2
22
222
2
22
2
+−
+

+++−−
+
++−
+
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

−

⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧

+
+
∴
++++
++++
+
++
+
+

+

+
>+−
+

+
∫∫∫∫
∫
∫∫
∫
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
4
2
223
2
2
2
4
42
44
2
4
43
22
2
23
2
1
2

22
1
2

1
2
1
2
11
2

)(

1
1
0
0

)()(
)()(1
)(
1
)(
1
2
1
)()(

)(
2
1
2)(
27



设：
证明： 14
（五）含（五）含（五）含（五）含 )0( 2 >++ acbxax 积分积分积分积分（29~30）
[]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>+
−++
−−+⋅
−
<+
−
+⋅
−

++
+
−++
−−+⋅
−

+
−−+

−−+

−++

++
>
+
−
+⋅
−

+
−++

−++

++
<
−++++∴
−++++
>
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>+
−++
−−+⋅
−
<+
−
+⋅
−

++
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫
)4(
4
4
4
1
)4(
4
2
2 1

4
4
4
1
)2(
)4()(
1
2
4
)4()(
14
)()(
14 4 2

4
2
)2(
)()(
1
2
4
)()(
14 4 1
)()(
14
)()(4
1
)0(
)4(
4
4
4
1
)4(
4
2
29
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
22
222
2
22
22
2
2
2
2
2
acbC
acbb2ax
acbb2axln
acb
acbC
b4ac
b2axarctan
bac
cbxax
dx
C
acbb2ax
acbb2axln
acb
baxd
acbb2axa
a
dx
acbb2ax
a
dx
b4acb2ax
a
cbxax
dxacb
C
b4ac
b2axarctan
bac
baxd
b4acb2axa
a
dx
b4acb2ax
a
cbxax
dxacb
dxb4acb2axacbxax
dx
b4acb2axacbxax
a
acbC
acbb2ax
acbb2axln
acb
acbC
b4ac
b2axarctan
bac
cbxax
dx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
：综合讨
时
时
证明：∵
Ca
x arctanaax
dx +⋅+∫ 1 19 22：公式
C 2
1 21 22 ++
−⋅−∫ ax
axlnaax
dx：公式
2
1
)(2
)(2
1
2
1
)(2)(2
1
2
1
2
1
)(2
1
)(2
1
2
11
2
1
)(2
1
))(2
1
2
1()(2
1
2
1
1
1
02
2 2)(1 2)(2
1
2
1 11
2
1
2
1 11
2
1 1
2
1
)(

)( 2
1
)(2)( 28
2
2
2
2
2
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫
+++
+++
−+++++−
++−+−
+−−+−
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−

⇒
⎩
⎨
⎧

+∴
+++++++
⋅+−+⋅−
+
+
+
⋅−
+
−
+
>++++
bax
dx
bbaxb
x
dxbaxbbbaxabx
bbaxdxbaxbbabxbaxax
dxbaxbbdxxabbaxax
dxbaxbabxbaxax
bB
bA
Ab
BaAa
Abx)BaAa(BaxbaxAbax
B
ax
A
baxax
dxaxbaxbaxax
ax
d
baxbaxaxbax
d
axbax
dx
0abax
dx
bbaxb
x
bax
dx
22
22
2
22
222
222
22
222
22
2222
222
式

设：
证明： 15
（六）含（六）含（六）含（六）含 )0( 22 >+ aax 积分积分积分积分（31~44）
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
++−++⋅
++−++++
++
−+
++
+
++
−+⋅
++
>++−++⋅++
cbxax
dx
a
bcbxaxlna
dxcbxaxa
bcbxaxdcbxaxa
dx
cbxax
b
adx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
bbax
adx
cbxax
x
acbxax
dx
a
bcbxaxlnadxcbxax
x
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2 2
1
1
2)(1
2
1
2
12
2
1
2
2
1
)0( 2 2
1 30
证明：
C)(





1
|AB| |AC| BRt


1
01 22
|| ) )22(
}{1
)0( C)( 31
22
22
22
3
22
2
22
2
22
222
22
22
2
22
22
22
22
22
122
+++
+
∴
>++
+++
+−++
+++
++
+
∴
+∴
+∠
++

⋅
+
∴
+∴><<−
+<<−
∈
+

>++++
+
∫
∫
∫
∫∫
∫
axxln
ax
dx
0xax
C xax ln
Clna xax ln
C a
xax ln
C tant sect ln
ax
dx
a
xtant a
ax
costsect
axxa|BC|tABCΔ
C tant sect ln
dtsect
dtt seca sectaax
dx
sectaaxcostsectπtπ
sectaaxtdt secatanta(ddx πtπtantax
Rx|x
ax
)x(f
aaxxlnCa
xarsh
ax
dx
2
2
∵
∵
中设
令
定义域 积函数 证明：
Cttantseclntdtsec ++∫ || 87 ：公式 16
1
)(

|AB|
|AC|sint
|AB| |AC| || BRt
1cos1
11 1
)(

)( 01 22
||)( ) ( )22(
}|{
)(
1)(
)0(
)(
32
2222322
22
22
22
2322
322
322
322
222322
C
axa
xCsintaax
dx
ax
x
axxaBCtABCΔ
Csintatdta
dtsectadtt secat secaax
dx
t secaaxcostsectπtπ
t secaaxtdt secatantaddx πtπtantax
Rxx
ax
xf
aC
axa
x
ax
dx
2
33
33
332
+
+
+⋅
+
∴
+
∴
+∠
+
⋅
+
∴
+∴><<−
+<<−
∈
+

>+
+

+
∫
∫
∫∫∫
∫
中设
令
定义域 积函数 证明：
∵
Caxdx
ax
xaxt
Ctdt
dt
at
t
t
atdx
ax
x
dt
at
ttdtatdx
atxttax
aCaxdx
ax
x
++
+
+
+
−
⋅−
+
∴
−
⋅−∴
−>+
>++
+
∫
∫
∫∫
∫
−
22
22
22
22
22
22
22
2
1
22
2222
22
22



2)(2
1
)0(
)0( 33
代入式：
令证明：
C
ax
Cax
axdax
dxaxdxaxxdx
ax
x
aC
ax
dx
ax
x
+
+
−
++⋅
−
×
++
++⋅
+
>+
+
−
+
−
−
−−
∫
∫∫∫
∫
22
2
3122
222
3
22
22
3
222
3
22
322
22322
1
)(
2
31
1
2
1
)()(2
1
)(2
1)(
)(

)0( 1
)(
34
证明： 17
C)( 22
C)( )( 22
31)( C)( 1
39)( C)( 22
1

)0( C)( 22 35
22
2
22
22222
2
22
22
2
22
22
22
2
2222
22
222
22
222
22
2
22
2
22
22
2
+++⋅−+⋅
+++⋅−++++⋅
+
∴
+++
+
+++⋅++⋅+
+
−+
+
−+
+
>+++−+⋅
+
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
axxlnaaxx
axxlnaaxxlnaaxxdx
ax
x
axxlnxd
ax
axxlnaaxxdxax
xd
ax
adxax
dx
ax
aaxdx
ax
x
aaxxlnaaxxdx
ax
x
公式
公式
证明：
∵
C)(
)(





)(

1
|AB| |AC| || BRt

cos1
1
)(

)(
01 22
)(
) ( )22(
}|{
)(
)(
)0( C)(
)(
36
22
22322
2
22
22
22
22
22
322
2
22
22
22
322
2
322
2
322
2
322
2
22
22322
2
++++
+
−
+
∴
>++
+−
+
−++
+
+
−++
+−+
+
∴
+
+
∴
+∠
+−+
−−
−⋅
+
∴

+
∴><<−

+
<<−
∈
+

>++++
+
−
+
∫
∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫
axxln
ax
xdx
ax
x
0xax
Clna
ax
x xax ln
C
ax
x a
xax ln
Csint tant sectlndx
ax
x
a
ax
cost sect a
xtant
ax
xsint
axxaBCtABCΔ
Csint tant sectln
dttdtsectdtsectdtsect
dtsect
tsecdtsect
ttantdt secat seca
ttandx
ax
x
t seca
ttan
ax
x
costsectπtπ
|t seca|
ttana
ax
xtdt secatantaddx πtπtantax
Rxx
ax
xxf
aaxxln
ax
xdx
ax
x
1
1
1
1
22
2
3
2
3
2
33
22
2
∵
∵
中设
令
定义域 积函数 证明：
Ctantsectlndtt ++∫ | | sec 87 ：公式 18


1
)( 2
1
)( 2
1
)( 2
1
2
1
1
1
2)(2
1
)0(
)0(
1 37
22
2
222
222
222
22
22
22
2
22
222222
22
2
1
22
2222
22
22
C
x
aaxln
a
C
x
aax lna
C
aax
aax lnaaxx
dxaxt
C
at
at lna
Cat
at lna
dt
at
dt
at
t
attaxx
dx
dt
at
ttdtatdx
atxttax
aCx
aaxlnaaxx
dx
+−+⋅
+−+⋅
+
−+
−+⋅
+⋅
+
+
−
−⋅
++
−⋅
−

−
⋅
−⋅

+⋅
∴
−
⋅−∴
−>+
>+−+⋅
+⋅
∫
∫
∫∫
∫
−
代入式：
令证明：
C 2
1 21 22 ++
−⋅−∫ ax
axlnaax
dx：公式
bnlogblog a
n
a 提示：
1
11
)1(
2
11
1
2
1
)1(
1
1
2
1
1
2
2
1
11
111
1 )0( 1
11
)0( 38
2
22
222
22
2
2
1122
2
22
222
22
2
2
22
2
2
22
22222
2
22
222
C
xa
ax
axx
dx
xt
Ctaa
Cta
a
tad
taa
dt
ta
ta
a
dt
ta
tdt
a
t
xd
ax
txtxt
xd
axaxx
dx
aC
xa
ax
axx
dx
++−
+⋅

++⋅−
++
−
⋅−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−∴
≠
+
−
+⋅
>++−
+⋅
∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫
−
代入式：
令
证明： 19
Caxxln2
aax2
xdxax
axxlnaaxxdxax
Caxxlna
dx
ax
adx
ax
xdxax
axxdx
ax
xdxax
dx
ax
xaxx
axdxaxxdxax
a Caxxln2
aax2
xdxax
22
2
2222
2222222
222
22
2
22
2
22
22
22
2
22
22
2
22
222222
22
2
2222
+++⋅+++
++⋅++++
+++⋅
+

+
−+
+
+
++∴
+
−+
+−++
>+++⋅+++
∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫
)(
)( 2
)(



1
)0( )( 39
1

② ①
②
①
：证法 ∵
Caxxln2
aax2
xdxax
lna2
aaxxln2
aax2
x
|a
axx|ln2
aax2
x |tantsect|lnatantsecta
a
xtanta
xa
costsect
xa|AB|xtanta|AC|
a|BC|tBABCΔ tantax
C|tantsect|lna2tantsecta2dtantsecta
C|tantsect|lnsectdt
sectdtatantsecta2dtantsecta
sectdtdtantsect
dtcostdttcoscostdttcos
tcos
dt
tcos
tsintantdtsecttant tantdsect
tantdsectatantsecta
dtantsectatantasectdadxax
sectaaxtcostsec2
πt2
π
sectattanaax 2
πt2
πtantax
0a Caxxln2
aax2
xdxax
22
2
2222
2
22
2
22
222
2222
22
22
2
222
1
222
23
2
3
2
22
222
22
222
22
2
2222
+++⋅++⋅+
⋅−++⋅++⋅
++⋅++⋅++∴
+∴
+
∠∴⋅
+++⋅
++
+
−
−⋅−
⋅⋅
−⋅
+∴
+∴><<−
++<<−⋅
>+++⋅++⋅+
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫ ∫∫
∫
∫∫∫
∫
)(
)(
2
1·2
1
1
·
Rt
11
87
)·(1

1111


)·(·
· 01
·1 )( 2
)()( 39
综合①②③④⑤

中设
⑤联立③④
④）（公式
③联立①②
②

①
令：证法
∵
∵
tsecttan 221 +提示：
)0( )(131 >+++
+∫ a Caxxlndx
ax
22
22
：公式 20
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫∫
∫
+++⋅⋅+++⋅+∴
+++⋅++⋅⋅+++
+++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅⋅∴
+∴
+∠
++⋅+⋅+⋅
+++⋅⋅
+⋅⋅

+−⋅
⋅−−⋅
⋅−⋅
−⋅
+
+−⋅
⋅−−⋅
⋅−⋅
⋅−⋅
⋅⋅⋅−⋅
−⋅
⋅+∴
⋅+∴><<−
+<<−
∈+
>+++⋅⋅+++⋅+
Caxxlnaaxaxxdxax
Cxaxln8
3aax8
xa3axaxx
Ca
xaxlna8
3
a
x
a
ax
8
a3axa
ax
a
xatantdtseca
a
ax
t sect a
xtant
axxaBCtABCΔ
Ctantsectlna8
3tantsecta8
3tanttsecatantdtseca
Ctantsectlntantsect
dtsecttantsecttantdtseca
dttsectantdsect
dtsectdttsectantsect
sectdttsectantsect
sectdtttantantsect
sectdtanttantsecttantdsect
tantdsectatanttsecatantdtseca
tantdsectatantdtsecatanttseca
tantdsecttsecatanttseca
tantdsectttanatanttseca
dttsecttanatanttseca
dttantsecttsectantatanttseca
tsecdtantatanttseca
tantdtsecatantadtsecadxax
tsecaaxcostsectπtπ
t secaax πtπtantax
Rxxaxxf
aCaxxlnaaxaxxdxax
4
3
33
3
3
3
2
2
33
33
23
23
323
23
33
333
33
33
)( 8
3)52(8 )(
)(4
4
cos
1
|AB| |AC| || BRt
4
1
2
1 2
1
2
1 2
1


)1(


) 3 (4
1
3 3
)1(3
3
3
3

) ( )(
)( 01 22
||)( )22(
}|{)()(
)0( )( 8
3)52(8 )( 40
2242222322
2222
2
2222
1
22
4
224
22
3
224
4
22
22
1
4444
1
4
444
444
44
44
44
44
44
4322
322
322
322
2242222322
中设
联立①④
④
联立②③：
③
②
①移项整理：
令
定义域 积函数 证明：
∵
∵
∵
Ctantsectlndtt ++∫ | | sec 87 ：公式 21
Cax
Cax
axdax
dxaxdxaxx
aCaxdxaxx
++
++⋅
+
×
++
++⋅
>+++⋅
+
∫
∫∫
∫
322
2
1122
222
1
22
22
1
2222
32222
)(3
1
)(
2
11
1
2
1
)()(2
1
)(2
1
)0( )(3
1 41
证明： 22
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
∫∫∫∫
∫
+++⋅−++⋅+⋅∴
++⋅++⋅∴>++
+++⋅−++⋅
++⋅+++⋅−+⋅
++⋅⋅+++⋅−+⋅⋅⋅∴
+∴
+∠
+⋅++−⋅⋅
++−⋅⋅
−⋅⋅
−−⋅
−−⋅
⋅+−⋅
−⋅−⋅
⋅⋅+
⋅⋅+⋅
−⋅⋅+
−⋅⋅+
−⋅⋅+
++⋅
⋅
⋅⋅⋅+⋅∴
⋅+⋅∴><<−
+⋅<<−
∈+⋅
>+++⋅−++⋅+⋅
Caxxlnaaxaxxdxaxx
axxlnaxaxlnaxax
Cxaxlnaaxaxx
Caxxxaxlnaaxxa
Ca
ax
a
xa
a
xaxlna
a
ax
a
xatdsectsectanta
a
ax
t sect a
xtant
axxaBCtABCΔ
Csectttanatantsectlnatantsectatdsectsectanta
Ctantsectlntantsect
dtsecttantsectsectdtant
sectdtant dtsecttantsect
dtsectttan dtsecttantsect
sectdtttantantsect
tdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtant
tsecttanatdsectanta
tsecttanatdsectantatdsectsectanta
dsecttanttsecatsecttanatdsectanta
dtttantsecatsecttanatdsectanta
tdtantsecatsecttanatdsectanta
tdsecttanatdsectantatdsecttantanta
tdsectsectanta
tdtsecttanatantdsectttanatantadsectttanadxaxx
sectttanaaxxcostsectπtπ
sectattanaaxx πtπtantax
Rxxaxxxf
aCaxxlnaaxaxxdxaxx
2
32
2
2
3
3
32
3
23
33
32
2
3222
2
2
)( 8)2(8
)( 8 8 0
8)2(8
4 88
4 88
cos
1
|AB| |AC| || BRt
4 88
2
1 2
1
2
1 2
1


)1(

4 4
) (4
1
3
3

)1(

) ( )(
)( 01 22
||)( )22(
}|{)(
)0( )( 8)2(8 42
22
4
2222222
22
4
22
4
22
22
4
2222
2
22
3
22
4
22
4
1
22
3
34224224
4
22
22
1
444
4
1
44
444
2444
3444
444
444
4
443222
3222
2222
222
22
4
2222222

中设
联立①②：
②
移项整理：
①
移项整理：
令
定义域 积函数 证明：
∵
∵
∵
Ctantsectlndtt ++∫ | | sec 87 ：公式 23

)(
)( 2
)( 2 2
1
1

2)(2
1
)0(
}0|{)(
)0( 43
22
22
22
22
222
222
22
22
22
22
2
2
22
2
22
222
22
2
2222
22
22
2
1
22
2222
22
22
22
22
Cx
aaxlnaax
Cx
aax lnaax
Caax
aax lnaaxdxx
axaxt
C
at
at lnatCat
at lnaat
dtatadtdtat
aat
dtat
tdt
at
t
at
tdxx
ax
dt
at
ttdtatdx
atxatttax
xxx
axxf
aCx
aaxlnaaxdxx
ax
+−+⋅++
+−+⋅++
+−+
−+⋅++++
+
−
−⋅+++
−⋅⋅+
−+−
+−
−
−
⋅
−
+∴
−
⋅−∴
−≠≥+
≠+
>+−+⋅+++
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫
−
代入式：
令
定义域 积函数 证明：
C)( 2 1
C)( 0 2
C)( 0


1
|AB| |AC| || BRt
1
1
1
)1(
01 20
) ( )20( 0 1
}0|{)(
)0( C)( 44
22
22
2
22
22
22
2
22
22
22
2
22
22
22
22
2222
2
22
22
22
22
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
2
22
+++++−+
+++++−+<
+++++−+∴>++
+−++++−
++−+++∴
+
+
∴
+∠
+−+
++
⋅+⋅+
+⋅⋅+∴
+∴><<+
<<>
≠+
>+++++−+
∫
∫
∫
∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
∫
xaxlnx
axdxx
ax
xaxlnx
axdxx
axx
xaxlnx
axdxx
axxax
Clna xax lnx
ax
Cx
ax a
xax lndxx
ax
a
ax
cost sect a
xtant
ax
xsint
axxaBCtABCΔ
Csint tant sectln
dsinttsindtsectdttsin
costdtsect
dttsin
tcos
costdtsectdtttan
sectdtsect
dtttan
ttan
secttdt seca
ttan a
sectdx
x
ax
ttan a
sect
x
ax
costsectπt
ttan a
secta
x
ax
tdt secatantaddx πttantaxx
xx
x
axxf
aaxxlnx
axdxx
ax
1
1
1
22
2
2
2
2
2
2
2
222
2
： 综合讨
理证： 时
中设

令 时
定义域 积函数 证明：
∵
∵
Ctantsectlndtt ++∫ | | sec 87 ：公式
C 2
1 21 22 ++
−⋅−∫ ax
axlnaax
dx：公式 24
（七）含（七）含（七）含（七）含 )0( 22 >− aax 积分积分积分积分（45~58）
2 1
||
||
||
1||
|| 1
2


1
Rt
20
)20( 1
}{ 1 1
)0( 45
3
C|axx|lnCa
|x|arsh|x|
x
ax
dx
Caxxln
Ca
axxln
C
axx
ln Caxxln
Caμμln
aμ
dμ
ax
dx
μxxμaxax
C|axx|ln
|a
axx|ln|ttantsec|ln
ax
dx
a
ax
|BC|
|AC|ttana
x
tcostsec
ax|AC|x|AB|a|BC|tBABCΔ
C |tantsect|ln
sectdtdttanta
tantsecta
ax
dx
tantaaxπt tanta1tsecaax
tantdtsectadxπtsectaxax
axax|x
ax
f(x)
a C|axx|lnCa
|x|arsh|x|
x
ax
dx
22
122
5
22
42
22
4224
22
4
22
2222
22
22
22
22
22
2
22
22222
22
22
122
+−++⋅
−
+−−−
+−+−
+
−+−
+−+−−
+−+−
−
−
−
−−>−−<
+−+
−++
−
∴
−∴
−∠
++
⋅
⋅⋅
−
∴
⋅−<<⋅−−
⋅⋅<<⋅>
−<>
−

>+−++⋅
−
∫
∫∫
∫
∫ ∫∫
∫
写成综合讨
知讨
时令
中设

设时
定义域积函数：证法
∵
Cttantseclntdtsec ++∫ || 87 ：公式 25
2 1
||
||
||
1)(
|| 1
2
||



1
}{ 1 2
)0( 45
C|axx|lnCa
|x|arsh|x|
x
ax
dx
Caxxln
C
a
axxln
C
axx
ln Caxxln
Caμμln
aμ
dμ
ax
dx
μxxμaxax
Caxxln
C1a
x
a
xlnCa
xarch
Ctdtdtshta
shta
ax
dx
shtdtadxshtaatchaax
a
xarcht0)(tchtaxax
axax|x
ax
f(x)
a C|axx|lnCa
|x|arsh|x|
x
ax
dx
22
122
5
22
42
22
4224
22
4
22
2222
3
22
2
2
122
22222
22
22
122
+−++⋅
−
+−−−
+−+−
+
−+−
+−+−−
+−+−
−
−
−
−−>−−<
+−+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛++
+⋅
⋅
−
∴
⋅⋅−−
>⋅>
−<>
−

>+−++⋅
−
∫
∫∫
∫ ∫∫
∫
写成综合讨
知讨
时令
设时
定义域积函数：证法 26
C
axa
x
ax
dx
C
axa
x
ax
dxxμ
C
aμa
μ
aμ
μd
aμ
μd
ax
dx
μxxμaxax
C
axa
x
ax
dx
x
axtsin
ax|AC|x|AB|a|BC|tBABCΔ
Ctsina
sintdtsina
dttsin
tcos
adttsin
tcos
tcosa
dtttan
sect
adtttana
tantsecta
ax
dx
ttanaaxtantπt ttanaax
tantdtsectadxπtsectaxax
axax|x
ax
f(x)
a C
axa
x
ax
dx
2222
2222
2222
2222
2222
22
22
22
2222
22
2222
+
−⋅
−
−
+
−⋅
−
−
−
+
−⋅

−
−
−
−
−
∴
−−>−−<
+
−⋅
−
−
∴
−∴
−∠
+−

⋅
⋅
⋅⋅
−
∴
⋅−><<⋅−
⋅⋅<<⋅>
−<>
−

>+
−⋅
−
−
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫ ∫∫
∫
23
23
23
33
23
2
22
222
2
2
32333
333333
3
23
)(
2 1
)(

)()(
1
)()(

2
)(


Rt
1
11
111
1
)(

)( 0 20 )(
)20( 1
}{
)(
1
)0(
)(
46
：综合讨
代入：
知讨
时令
中设

设时
定义域积函数：证明
∵

)(
2
11
1
2
1
)()(2
1
)(2
1
)0( 47
2
1122
222
1
22
1
Cax
Cax
axdax
dxaxdx
ax
x
aCaxdx
ax
x
22
22
22
22
22
22
+−
+−
−
×
−−
−
−
>+−
−
−
−
−
∫
∫∫
∫
：证明 27
1
)(
2 1
1
)(

1
)(
1
)()(

2
11
)(


Rt
11
11 1

)(


)(
20


)(

)20( 1
}{
)(

)0( 1
)(
48
3
3
3
33
3
2
22
2
323
323333
3
3
C
ax
dx
ax
x
C
ax
dx
ax
xxμ
C
aμ
μd
aμ
μ
μd
aμ
μdx
ax
x
μxxμaxax
C
ax
C
ax
a
adx
ax
x
ax
atcot
ax|AC|x|AB|a|BC|tBABCΔ
Ctcotatdtcsca
dttsinadtttan
tsec
a
dttantsectattana
sectdx
ax
x
ttana
sect
ax
xπt
ttana
secta
ax
x
tantdtsectadxπtsectaxax
axax|x
ax
xf(x)
a C
ax
dx
ax
x
2222
2222
2222
2222
222222
22
22
22
2222
22
2222
+
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−

−
∴
−−>−−<
+
−
−+
−
⋅−
−
∴
−
∴
−∠
+⋅−−−

⋅⋅⋅⋅
−
∴
⋅
−
<<
⋅
⋅
−
⋅⋅<<⋅>
−<>
−

>+
−
−
−
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
：综合讨
代入：
知讨
时令
中设

设时
定义域积函数：证明
∵
Caxxlnaaxxdx
ax
x
Caxxlna
ax
dxa
Caxxlnaaxxdxax
dx
ax
adxax
dx
ax
aax
dx
ax
aaxdx
ax
x
a Caxxlnaaxxdx
ax
x
2222
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
2222
22
+−+⋅+−
−
+∴
+−+⋅
−
+−+⋅−−⋅−
−
+−
−
+−
−
+−
−
>+−+⋅+−
−
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
22
45)(
53)(
22

1
)(

)0( 22 49
22
22
2
2222
2
2
22
22
②：①
公式②
公式①
证明：
∵ 28
Caxxln
ax
xdx
ax
x
Caxxln
ax
x
C
xax
lnaln
ax
xC
xax
xaxln
ax
x
C
xax
xaxxaxln
ax
xdx
ax
x
Caxxln
ax
xdx
ax
xxμ
Caμμln
aμ
μμd
aμ
μ
μd
aμ
μdx
ax
x
μxxμaxax
Caxxln
ax
xCa
axxln
ax
xdx
ax
x
a
xtsec
a
axttan
x
axtsin
ax|AC|x|AB|a|BC|tBABCΔ
CtsecttanlntsinC
tcos
tsinlntsin
C
tsin
tsinln
tsin
C
tsin
tsinln
tsin
Ctsinlntsinln
tsin
tsindtsintsindtsintsind
tsin
tsindtsintsintsind
tsin
tsind
tsin
tsind
tsin
tsind
tsin
tsind
tsin
tsind
tsintsin
tsind
tsintsin
dt
tcostsin
tcos
dttcostsindttsin
tcos
tcosdtttan
tsecdttantsectattana
tsecdx
ax
x
ttana
tsec
ax
xπt
ttana
tseca
ax
x
tantdtsectadxπtsectaxax
axax|x
ax
xf(x)
a Caxxln
ax
xdx
ax
x
22
2222
22
22
222222
22
22
22
2222
2222
22
2222
22
2222
2222
22
22
22
2222
2222
22
22
2222
22
22
2222
+−++
−
−
−
+−++
−
−
+
+−
−+
−
−+
+−
−−−
−
−
+
+−
+−−−−
−
−
−

+−+−−
−
−
−
−
+−+−
−

−
−
−
−
−
∴
−−>−−<
+−++
−
−+−++
−
−
−
∴
−−∴
−∠
+++−+−⋅++−
+
−
++−+
−
++−
+−−++−
−−−+++
−−++
−
−
−
+
−
+
−

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
∴
⋅

−
∴<<
⋅
⋅
−
⋅⋅<<⋅>
−<>
−

>+−++
−
−
−
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫ ∫∫∫
∫

)(
2 1

1 2
)(

))((
)(


)(


)(
1
)()(

2

)(


Rt
1 1)(1( 2
11

1
1(
2
11
1
1
2
11
1
2
1 1
2
11
)1(1
1
2
1)1(1
1
2
1

1
)1
1
1
1(2
1

1
1
1

1
1
1

1
)
1
1

1(
)(1
1
11
)(


)(
20


)(

)20( 1
}{
)(

)0(
)(
50
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
23
2
212
2
12
2
1
1
2
2
2222
222222
22
2
32
3
3
2
3
2
3
2
3
2
33
22
3
2
3
2
3
2
： 综合讨
代入：
知 讨
时令
中设
）
）

设 时
定义域 积函数 ：证明
∵
blognblog a
n
a 提示： 29
|| 1 2 1
1
1 1
2
1

1
1

20 1
}{ 1 1
)0( || 1 51
1
2
22
Cx
aarccosaaxx
dx
Cx
aarccosa
Cμ
aarccosaaμμ
dμ
axx
dx
μxxμaxax
Cx
aarccosaaxx
dx
x
aarccostx
acostsectax
Cta
dtadttantsecta
tanttseca
axx
dx
tdtantsectadx tantsecta1tsectsecaaxx
)πt(sectaxax
axax|x
axx
f(x)
a Cx
aarccosaaxx
dx
22
22222
22
22
222
22
22
+⋅
−
+−⋅
+⋅
−

−
−−>−−<
+⋅
−
∴
∴∴⋅
+
⋅
⋅⋅
−
∴
⋅⋅⋅−⋅−
<<⋅>
−<>
−

>+⋅
−
∫
∫∫
∫
∫ ∫∫
∫
写成 综合讨
知 讨
时令
设 时
定义域 积函数 ：证法
∵ 30
1 2 1
1
1 1
2
1) ( 1

) (
) (
Rt
1
) ( 1
1
111
11

)0( 1
}{ 1 2
)0( || ·1 51
C|x|
a arccosaaxx
dx
Cx
aarccosa
Cμ
aarccosaaμμ
dμ
axx
dx
μxxμaxax
Cx
a arccosaCshtarctanaaxx
dx
Cx
aarccos)arctan(sht
x
ashtarctan coscosy
x
a
|AB|
|BC|cosy
x|BC||AC||AB|ax|AC|shtarctany
a|BC|yBa
axshttanyABCΔ
a
axtch sht a
xcht chtax
Cshtarctana
dsht
tshadt
tch
cht
a
dtchtadtshtchta
shta
axx
dx
dt shtadx shtchtashtachtaaxx
ttchaxax
axax|x
axx
f(x)
a Cx
aarccosaaxx
dx
22
22222
22
2222
22
22
2
22
22
222
22
22
+⋅
−
+−⋅
+⋅
−

−
−−>−−<
+⋅+⋅
−
∴
+∴

∴
+−∴
∠−
−−∴∴⋅
+⋅
+

⋅⋅⋅
⋅
−
∴
⋅⋅⋅⋅⋅−
<⋅>
−<>
−

>+
−
∫
∫∫
∫
∫∫
∫ ∫∫
∫
写成综合讨
知讨
时令

中设
设时
定义域积函数：证法
∵
Ca
xarctanaax
dx +
+∫ 1 19 22：公式 31
2 1

1
2
0

1
1 )1(11 1 1
1
)1(
2
11
1
2
1 )1()1(2
1
)1(
2
1
1

)1(
1
1
1 1 )10( 1 1
}{ 1
)0( 52
22
22
222
22
2
22
22
22
2
22
2
1122
2
222
1
22
2
22
1
22
22
222
3
2
22
3
22
2
22
C
xa
ax
axx
dx
C
xa
ax
axx
dxxμ
C
μa
aμ
aμμ
μd
axx
dx
μxxμaxax
C
xa
ax
axx
dxax
Cx
ax
a
C
x
ax
a
Cxa
aaxx
dx
xttx
C
a
ta
Ctaatadtaa
dttadt
ta
t
dt
tta
t
axx
dx
ta
t
axx
dt
t
dxattxax
axax|x
axx
f(x)
a C
xa
ax
axx
dx
22
22
22
22
22
2222
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
+−
−
+−
−
−
+−−
−
−
−
−−>−−<
+−
−
∴>>
+−⋅
+−⋅+−⋅
−

+−
+−⋅
−
⋅−−
−−
−
−
−⋅
−

−
∴
−

−
−<<>
−<>
−

>+−
−
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
−−
−
： 综合讨
代入式：
知 讨
时令
代入式：
设 时
定义域 积函数 ：证明
∵ 32
Caxxlnaaxxdxax
tπsectaxax
Caxxlnaaxx
a
xaxlna
a
x
a
axa
tsecdttanadxax
a
xtseca
axttan
ax|AC|x|AB|a|BC|tBABCΔ
ttantseclnatsecttanatsecdttana
tsecdttanattantseclnatsecttana
tsecdttanadttsecatsecttana
dtttantsecadttsecatsecttana
dtttantsecatsecttana
dttsecatsecttana
ttandtsecatsecttana
tsecdttanasectadttanadxax
ttanaaxπt
ttanaaxπtsectaxax
axax|xaxf(x)
a Caxxlnaaxxdxax
222222
2222
2222
22
22
22
22
22
22
22
222222
+−+⋅−−−
<<−⋅−<
+−+⋅−−
++−⋅−⋅−⋅
−∴
−∴
−∠
++⋅−⋅⋅
−+⋅−⋅⋅
−−⋅⋅
−−⋅⋅
+−⋅⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
⋅⋅−∴
⋅−∴<<
⋅−<<⋅>
−<>−
>+−+⋅−−−
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫∫
∫

22
2 1
)02( 2
22
C 22


Rt
C 22



)(1


)(

2
0
)20( 1
}{
)0( 22 53
2
2
1
22
2
1
22
2
222
222
2222
222
322
22
2
2
： 综合讨
理证 时设
中设
移项整理：

设 时
定义域 积函数 ：证明
∵ 33
Caxxlnaaxaxx
Caxxlnaaxaxaxxax
Caxxlnaaxaxaxxdxax
Caxxlnaaxxxdax
xdaxaaxxdxax
xdaxaxdaxaxx
xdaxaaxaxx
xdaxxaxx
xdaxxxaxx
axxdaxxdxax
aCaxxlnaaxaxxdxax
+−+⋅⋅+−−⋅
+−+⋅⋅+−⋅⋅−−−
+−+⋅⋅+−⋅⋅−−−
+−+⋅−−−
−−−⋅−
−−−−−⋅
−+−−−⋅
−−−⋅
−⋅⋅⋅−−⋅
−−−⋅−
>+−+⋅⋅+−−⋅−
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
8
3)52(8
8
3
8
3)44(
8
3
8
3)(4 )(

53) ( 22 )(
)(4
3)(4 )(
)(3 )(3)(
))((3)(
)(3)(
)()2(2
3)(
)( )( )(
)0( 8
3)52(8 )( 54
2242222
22422222
23
2242222
3
22322
22
2
222
1
22
2
1
22
2
2
3
22322
2
1
2222
3
222
3
22
2
1
222222
3
22
2
1
2222
3
22
2
1
222
3
22
2
3
222
3
22322
2242222322
联立①②：
②公式
①移项整理：
证明：
C )(3
1
)(
2
11
1
2
1
)( )(2
1
2
1
)0( C )(3
1 55
322
2
1122
222
1
22
22222
32222
+−
+−⋅
+
×
−−
−−
>+−−
+
∫
∫∫
∫
ax
Cax
axdax
dxaxdxaxx
aaxdxaxx
证明： 34 Caxxlnaaxaxxdxaxx
Caxxlnaaxaxxdxaxxxμ
Caμμlnaaμ)aμ(μ
μdaμμdxaxx
μxxμaxax
Caxxlnaaxaxx
Caxxlnaaxxaaxaxx
Ca
axxlna
a
x
a
axaaxa
ax
a
xadtttandtseca
a
x
tcos sect a
axtant
axxa|BC|tABCΔ
Ctantsectlnatantsectasectttanadtttandtseca
Ctantsectlntantsect
dtsecttantsectsectdtant
sectdtant dtsecttantsect
dtsectttan dtsecttantsect
sectdtttantantsect
tdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtant
tsecdttanattantsecadtttandtseca
tsecdttanadttsecttanattantseca
tsecdttanatsectdsecttanattantseca
tsecdtsecttanattantseca
tsecdttanattantseca
ttandsectadtttantsecsecta
dtttandtsecasecta d tanttsecadxaxx
tanttsecaaxxttanπt
tant atsecaaxx πtsectaxax
axax|xaxx)x(f
aCaxxlnaaxaxxdxaxx
23
323
2
2
3
23
2
232
2
2
+−+⋅−−−⋅−
+−+⋅−−−⋅−−
+−+−⋅+−−⋅−
−−−
−−>−−<
+−+⋅−−−⋅
+−+⋅−−⋅+−⋅−⋅
+−+⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅⋅∴
−∴
−∠
++−⋅+⋅
++−⋅⋅
−⋅⋅
−−⋅
−−⋅
⋅+−⋅
−⋅−⋅
+⋅⋅
+⋅−⋅⋅
+⋅−⋅⋅
−−⋅⋅
−⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅−∴
⋅−∴><<
−<<⋅>
−<>−
>+−+⋅−−−⋅−
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫
8)2(8 21
8)2(8
828
1
2
8)2(8

88
)(
4

884
1
|AC| |AB| BRt
884

2
1
2
1

2
1
2
1


)1(


44

3 33
3 33
)1(
33

33
3 33
) (
0 20
|| )
2
0( 1
}{
)0( 8)2(8 56
22
4
2222222
22
4
2222222
22
4
2222
222222
22
4
2222
2
22
4
22
2
2222
1
224224
22
3
224
4
22
22
1
444
4
1
4
3
4
4
4
32
4
3
4
4
2
4
3
4
2
4
3
4
3
4
3
4
3
4
2
4
43222
3222
2222
222
22
4
2222222
：综合讨
代入式：
：讨
时令
中设
③式代入②式：
③
移项整理：

②移项整理：
①
令时
定义域积函数证明：
∵ 35
Cx
aarccosaaxdxx
ax
Cx
a arccosaax
Cμ
a arccosaaμμdμ
aμdxx
ax
μxxμaxax
C
x
a arccosaax
Ctatantadx
x
ax
a
ax
|BC|
|AC|tant
ax|AC|x|AB|atABCΔ
x
aarccost x
acost sectax
Ctatanta
dtdt
tcos
adt
tcos
tcosadt
tcos
tsina
tdttanadtsecta
tantsectatantadxx
ax
t d tantsectadx secta
tanta
x
ax
)2
πt(0 sectaxax
axax|xx
axf(x)
a Cx
aarccosaaxdxx
ax
22
22
22
22
2222
22
22
22
22
22
2
2
2
2
22
22
22
22
22
+⋅−−−
+−⋅−−
+⋅−−−−
−−>−−<
+⋅−−
+⋅−⋅−∴
−∴
−∠
∴∴⋅
+⋅−⋅
−−
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−∴
⋅⋅⋅
⋅−
<<⋅>
−<>−
>+⋅−−−
∫
∫∫
∫
∫∫∫∫
∫ ∫∫
∫
|| 2 1
1
2

|BC|BRt

11

1
}{ 1
)0( || 57
写成： 综合讨
知 讨
时令
中设

设 时
定义域 积函数 ：证法
∵ 36
chttsh
shtcht
tshtch 22
′
′
−
)(
)(
1 ：提示
Ca
xarctanaax
dx
22 +⋅+∫ 1 19 ：公式
2 1
1
2
) (
) (
) (
Rt
1
)(
1
1
1

0 1
}{ 2
)0( 57
C|x|
aarccosaaxdxx
ax
Cx
aarccosaax
C
μ
aarccosaaμdμ
μ
aμdx
x
ax
μxxμaxax
Cx
aarccosaaxdxx
ax

x
aarccosshtarctan
x
ashtarctan coscosy
x
a
|AB|
|BC|cosy
x|BC||AC||AB|ax|AC|shtarctany
a|BC|yB
a
axshttanyABCΔ
a
axtch sht a
xcht chtax
C shtarctanashta
dsht
tsh
achtdta
dt
tch
chtachtdtadt
cht
tcha
dtcht
tshadt shtacht
shtdxx
ax
dt shtadx cht
sht chta
shta
x
ax
)t(tchaxax
axax|x
x
axf(x)
a C|x|
aarccosaaxdxx
ax
22
22
22
22
2222
22
22
2222
22
22
2
2
2
2
222
22
22
22
22
+⋅−−−
+−⋅−−
+⋅−−−−
−−>−−<
+⋅−−−∴
∴

∴
+−∴
∠−
−−∴∴⋅
+⋅−⋅
+
−
−−
⋅⋅−∴
⋅⋅
⋅−
<⋅>
−<>−
>+⋅−−−
∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫
写成： 综合讨
知 讨
时令

中设

设 时
定义域 积函数 ：证法
∵ 37
（八）含（八）含（八）含（八）含 )0( 22 >− axa 积分积分积分积分（59~72）
Caxxln
ax
dx +−+
−∫ 45 22
22
：公式
Ca
xarcsin
xa
dx
a
xarcsinttsinax
Ct
dt
dttcosatcosaxa
dx
tcosaxa
tcos πtπ
tcosaxa
dttcosadxπtπsintax
axa|x
xa
)x(f
a Ca
xarcsin
xa
dx
22
22
+
−
∴
∴⋅
+

⋅⋅⋅
−
∴
⋅
−
∴><<−
⋅
−
⋅<<−⋅∴
<<−
−

>+
−
∫
∫
∫∫
∫
22
22
22
22




1
110 22
11 )22(
}{ 1
)0( 59
∵
∵
设
定义域 积函数 ：证明
Caxxlnx
ax
dx
axx
ax
dxaxxxx
ax
axdxx
ax
xdaxdxx
ax
aCaxxlnx
axdxx
ax
+−++−−
−
+−−
−⋅⋅⋅+−−
−+−−
−−−
>+−++−−−
∫
∫
∫
∫∫
∫
−

1
)(22
11
1
1
)0( 58
22
22
22
22
2
1
22
22
22
22
22
2
22
22
22
2
22
证明： 38
C
xaa
x
xa
dx
xa
xttan
xa|BC|x|AC|a|AB|tBABCΔ
Cttana
dttseca
dt
tcosa
dttcosa
tcosaxa
dx
tcosaxa
tcos πtπ
tcosaxa
dttcosadxπtπsintax
axa|x
xa
)x(f
a C
xaa
x
xa
dx
22
22
+
−⋅

−
∴
−
∴
−∠
+⋅
⋅
⋅

⋅⋅
⋅

−
∴
⋅

−
∴><<−
⋅

−
⋅<<−⋅∴
<<−
−

>+
−⋅

−
∫
∫
∫
∫∫
∫
222322
2
2
2
22
33322
33322
33322
322
222322
)(


Rt
1
1
1
1
)(
1
)(
10 22
1
)(
1 )22(
}{
)(
1
)0(
)(
60
中设
设
定义域 积函数 ：证明
∵
C
)(
2
11
1
2
1
)( )(2
1
)(2
1
)0( C 61
22
2
112
222
1
22
22
1
22
22
22
22
+−−
+−⋅
−
×−
−−−
−
−
>+−−
−
−
−
−
∫
∫∫
∫
xa
Cxa
xadxa
dxxadx
xa
x
axadx
xa
x
证明： 39
C 1
)(
2
31
1
2
1
)( )(2
1
)(2
1
)(

)0( C 1
)(
62
22
2
3122
222
3
22
22
3
22
322
22322
+
−

+−⋅
−
×−
−−−
−
−
>+
−

−
−
−
−
∫
∫∫
∫
xa
Cxa
xadxa
dxxadx
xa
x
a
xa
dx
xa
x
证明：
Ca
xarcsinaxaxdx
xa
x
a
xa costa
xsint
xaBCxACaABtBABCΔ
Ccostsintata
Csin2tata
tdtadta
dtta
dttsina
dttacost
tsinadx
xa
x
cost
tsina
xa
xt πtπ
cost a
tsina
xa
xdttadxπtπsint ax
axax
xa
xxf
0aCa
xarcsinaxaxdx
xa
x
22
2
2
2
22
+⋅+−−
−
∴
−∴
−∠
+⋅⋅−⋅
+⋅−⋅
−
−

⋅⋅⋅
−
∴
⋅
−
∴><<−
⋅
⋅
−
⋅<<−⋅∴
<<−
−

>+⋅+−−
−
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
22

|| || || Rt
22

42
)2( 2cos42
2
2cos1

cos
0cos
22

cos )
22
(
}|{ )(
)( 22 63
2
22
22
2
22
22
22
22
2
2
22
2
22
2
22
2
22
2
2
22
22
2
中设
设
定义域积函数：证明
∵
costsint sin2t
t2sin
tsintcoscos2t
2
22
⋅⋅
−
−
2
1
提示： 40
Ca
xarcsin
xa
xdx
xa
x
xa
xtant
xaBCxACaABtBABCΔ
Cttant
dttantd
dtdttcos
dt
tcos
tcos
dt
tcos
tsin
dtta
tcosa
tsindx
xa
x
tcosa
tsin
xa
xt πtπ
t cos a
tsina
xa
xdttadxπtπsint ax
axax
xa
xxf
0aCa
xarcsin
xa
xdx
xa
x
22
2
2
2
2
2
2
2
22
+−
−

−
∴
−
∴
−∠
+−
−
−
−

⋅⋅
⋅

−
∴
⋅

−
∴><<−
⋅
⋅
−
⋅<<−⋅∴
<<−
−

>+−
−

−
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
22322
2
22
322
2
3322
2
33322
2
322
2
22322
2

)(


|| || || Rt


1
1

cos

)(
0cos 22

)(
cos )22(
}|{
)(
)(
)(
)(
64
中设
设
定义域积函数：证明
∵ 41


1 2 1
)20( 0 2

1
0
1
)1( 1 1
1
Rt
1
1 1
1 2
1
)1(
1
1 2
1
1
1 2
1
1 2
1 1 2
1
1
1
1
2
11
1
1
2
1
1
1 1
1
2
1
1
11
1
11
1
0 0
2

)0
2
( 0 1
}0{ 1
)(

1 65
22
22
22
22
3
2222
2
2
2
2
12
2
1
1
2
222
22222
22
22
22
C
x
xaaln
axax
dx
πtsint axax
Cx
xaalnaxax
dx
xaa
Cx
xaalna
Cx
xaalnaCx
axalnaxax
dx
x
a
sintcsctx
xacott
xa|BC|x|AC|a|AB|tBABCΔ
Ccsctcottlna
C
sint
costln
a
Ctsin
)cost(lna
C
tcos
)cost(lna
Ccost
costlna
Ccostlnacostlna
)tcos(d
costa
)t(cosd
costa
tcosd)costcost(a
tcosdtcosa
dt
tsin
sint
a
dtsinta
dttcosatcossintaxax
dx
tcossintaxax tcos tπ |tcosa|sintaxax
dttcosadxtπsint axxa
xaxa|x
xax
)x(f
0a C
x
xaaln
axax
dx
22
22
2222
22
22
2
2
+−−⋅
−
<<⋅<<
+−−⋅
−
∴
>−−
+−−⋅
+−⋅−−⋅+−−⋅
−
∴
−∴
−∠
+−⋅
+−⋅
+−⋅
+−⋅
−
−⋅
++
−⋅
+−⋅++⋅−
−
−
++
+
−
−++−
−−


⋅⋅⋅⋅
−
∴
⋅⋅−∴><<−⋅⋅⋅−
⋅<<−⋅<<−
≠<<−
−

>+−−⋅
−
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
：综合讨
理证设时
中设
设时
定义域积函数：证明
∵
∵ 42
C
xa
xa
xax
dx
πtsint axax
C
xa
xa
xax
dx
x
xacott
xaBCxACaABtBABCΔ
Ccotta
dttcsc
a
dt
tsina
dtta
costtsinaxax
dx
costtsinaxax
t πtπ
tatsinaxax
dttadxtπsint axxa
xaxax
xax
xf
0aC
xa
xa
xax
dx
2
23
23
2
+−−
−
<<⋅<<
+−−
−
∴
−∴
−∠
+⋅−
−−

⋅⋅
⋅⋅

−
∴
⋅⋅

−
∴><<−
⋅⋅
⋅

−
⋅<<−⋅<<−
≠<<−
−

>+−−
−
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
2
22
222
2
22
222
22
22
2
2
2
2
222
222
2222
222
2
22
222
2 1
)
2
0( 0 2


|| || || Rt
1
1
11
cos 1
11 0cos 22
cos
111
cos )02( 0 1
}0|{ 1)(
)( 66
：综合讨
理证设时
中设
设时
定义域积函数：证明
∵ 43
Ca
xarcsinaxax
C
a
x
a
xaa
a
xarcsinadxxa
a
xa cost
a
xsint
xa|BC|x|AC|a|AB|tBABCΔ
Ccostsintatadxxa
costsintatacostsintadtadxxa
dttsinacostsinta
d costsintacostsinta
sintdcosta
dttcosadxxa
dttsinadta
dt)tsin(a
dttcosa
dttcosatcosadxxa
tcosaxa tcos πtπ
tcosaxadttcosadxπtπsint ax
axa|xxa)x(f
0a C
a
xarcsinaxaxdxxa
22
22
22
22
2222
22
2
2
2
2
2
+⋅+−
+⋅−⋅+⋅−∴
−∴
−∠
+⋅⋅+−∴
⋅⋅+⋅⋅+−+
+⋅⋅
−⋅⋅

−
−
−

⋅⋅⋅−∴
⋅−∴><<−
⋅−⋅<<−⋅∴
<<−−
>+⋅+−−
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
22
22


Rt
22
2





1


0
22

)22(
}{
)(
22
67
2
22
22
22
22
22
2
2
2
222
22
2
2
22
22
22
22
2
2222
中设
②：①
②

①
设
定义域积函数：证明
∵ 44
Ca
xarcsinaxaxax
Ca
xarcsinaxaaxxaxxa
Ca
xarcsinaxaaxxaxdxxa
Ca
xarcsinaxaxxdxa
xdxaaxaxdxxa
xdxaaxdxaxax
xdxaaaxxax
xdxaxxax
xdxaxxxax
xaxdxaxdxxa
aCa
xarcsinaxaxaxdxxa
+⋅⋅+−−⋅
+⋅⋅+−⋅⋅+−−
+⋅⋅+−⋅⋅+−−
+⋅+−−
−+−⋅−
−+−−−⋅
−+−+−⋅
−+−⋅
−⋅−⋅⋅−−⋅
−−−⋅−
>+⋅⋅+−−⋅−
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
42222
422222
32
42222
3
22322
2
222
1
22
2
1
22
2
2
3
22322
2
1
2222
3
222
3
22
2
1
222222
3
22
2
1
2222
3
22
2
1
222
3
22
2
3
222
3
22322
42222322
8
3)25(8
8
3
8
3)44(
8
3
8
3)(4 )(

67) ( 22 )(
)(4
3)(4 )(
)(3 )(3)(
))((3)(
)(3)(
)()2(2
3)(
)( )( )(
)0( 8
3)25(8 )( 68
联立①②：
②公式
①移项整理：
证明：
Cxa
Ctsinadxxax
a
xa
a
xatsin
a
x sintπtπsint a x
Ctsina
Ctcosa dcosttcosa
sint dttadttacostsintadxxax
cost sintaxaxt πtπ
tataxaxdttadxπtπsint ax
axaxxaxxf
aCxadxxax
2
2
2
32
+−−
+−−−∴
−−−∴
∴<<−⋅
+−−
+−−
⋅⋅⋅⋅⋅−∴
⋅⋅−∴><<−
⋅⋅⋅−⋅<<−⋅∴
<<−−
>+−−−
∫
∫
∫∫∫
∫
322
2
33
22
3
322
2
3
2
22
2
3
2
33
3
3
23222
222
22
22
32222
)(3
1
)1( 3
)()()(1
)22(
)1(3
3
cos cos
0cos 22
|cos|sin cos )22(
}|{ )(
)0( )(3
1 69
∵
∵
设
定义域 积函数 ：证明 45
Ca
xarcsinaxaaxx
Ca
xarcsina
a
x
a
xaa
a
x
a
xaadxxax
a
x sint a
xacost
xaxaBtABCΔ
tacostsintatsintadxxax
tcostsint
dtcostsintcostdsint
dttsincostdsint
dttsindtcostsint
dttsin costsint
dttcostsint
sintdcostcostsintcostdsint
d costsintatsinta
dttcostsinadxxax
dttcostsinad costsintatsinta
d costtcossintad costsintatsinta
d costtcossintatsinta
t d costsinatsinta
tsindtcosa
dttcostcostsina
dttcostsinasinta d costtsinadxxax
costtsinaxaxtπtπ
cost atsinaxax πtπsintax
axaxxaxxf
aCa
xarcsinaxaaxxdxxax
2
2
2
2
22
2
2
2
3
3
2
222
2
2
+⋅+−−⋅
+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−∴
−∴
−∠
+⋅−⋅⋅−⋅⋅−
+⋅−⋅⋅
−⋅⋅
−
+−⋅
−−⋅
−⋅
−⋅
−⋅⋅
⋅−
⋅+−⋅⋅
⋅+−⋅⋅
−⋅−⋅⋅
−⋅⋅

⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−∴
⋅⋅−∴><<−
⋅⋅−<<−⋅∴
<<−−
>+⋅+−−⋅−
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫∫∫
∫
8)2(8
884

|BC| |AC| |A| BRt
C
8

8
cos
4

C
2
1
2
1
2
1 2
1


) 1(
cos

4cos4

3 3cos3
3 3cos3
)(1
3
cos
3

3cos3
3
3
3

)(
0cos 22
|| )22(
}|{)(
)0( 8)2(8 70
4
2222
4224
3
3224
222
22
22
44
3
4
222
1
4
3
4
4222
2
44
3
4
44
3
4
4
3
4
4
3
4
4
4
43222
3222
2222
222
4
2222222
中设
联立①④：
④
联立②③：
③
②
①
移项整理：
令
定义域积函数证明：
∵
∵
∵ 46
2 1
)20( 0 2

0
1
)1(

1
|| || || Rt
cos
cos 1
cos )1( 2
cos )1(
1
)1( 2
cos 1
1 2
cos 1 2 1 2
)1( 1
1
2)1(cos 1
1
2
cos)
1
1
1
1(
2


1
1
1 1
cos coscos
cos 0cos 02 |cos|
cos )02( 0 1
}0|{ 1)(
)( 71
22
22
22
22
22
22
22
3
2222
2
2222
2
222222
2222
22
2
2
2
2
12
2
1
1
2
222
2222
22
22
22
22
Cx
xaalnaxadxx
xa
πtsint axax
Cx
xaalnaxadxx
xa
xaa
Ca
xaax
xaalna
Ca
xaax
xaalna
C
a
xaa
x
axalnadx
x
xa
a
xacostx
a
sintcsctx
xacott
xaBCxACaABtBABCΔ
Ctacsctcottlna
Cta
sint
costlna
Cta
tsin
costlna
Cta
tcos
costlna
Ctacost
costlna
Ctacostlnacostlna
dtsintacostdcost
atdcost
a
dtsintatd
costcost
a
dtsinta dcost
tcos
adtsintadt
tsin
sinta
dtsintadtsintadtsint
tsina
dtsint
tadttasint
tdxx
xa
sint
t
x
xat tπ sinta
ta
x
xa
dttadxtπsint axxa
xaxax
xax
xf
0aCx
xaalnaxadxx
xa
2
2
2
+−−⋅+−−
<<⋅<<
+−−⋅+−−∴
>−−
+−⋅+−−⋅
+−⋅+−⋅−−⋅
+−⋅+−−⋅−∴
−−∴
−∠
+⋅+−⋅
+⋅+−⋅
+⋅+−⋅
+⋅+−⋅
−
−⋅
+⋅++
−⋅
+⋅+−⋅++⋅−
−−−+++−
−
−
+
+
−
−
−
−−
−−
⋅⋅−∴
−∴><<−⋅
⋅−
⋅<<−⋅<<−
≠<<−
−

>+−−⋅+−−
∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫
：综合讨
理证设时
中设
设时
定义域积函数：证明
∵
∵ 47
Ca
xarcsinx
xadxx
xa
πtsint axax
Ca
xarcsinx
xadx
x
xa
x
xacott
xaBCxACaABtBABCΔ
Ctcott
dttdtcsc
dt
tsin
tsin
dt
tsin
tcos
dtta
tsina
tdx
x
xa
tsina
t
x
xat tπ
tsina
ta
x
xadttadxtπsint axxa
xaxax
x
xaxf
0aCa
xarcsinx
xadx
x
xa
2
2
2
2
2
2
2
2
+−−−−
<<⋅<<
+−−−−∴
−∴
−∠
+−−
−
−

⋅⋅
⋅
−∴
⋅
−∴><<−
⋅
⋅−⋅<<−⋅<<−
≠<<−−
>+−−−−
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫∫
∫
22
2
22
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2
22
22
2
22
2 1
)20( 0 2


|| || || Rt

1

cos cos
cos 0cos 0
2

cos cos )02( 0 1
}0|{ )(
)( 72
：综合讨
理证设时
中设
设时
定义域积函数：证明
∵ 48
（九）含（九）含（九）含（九）含 )0( 2 >++± acbxa 积分积分积分积分（73~78）
C22 1
)(42 1
)()2(2 1
)2(
)()2(
11
)2(
)()2(
1
2
2
)()2(
12
])()2[(4
1
]4)2[(4
1
0Δ 0
01
)0( C22 1 73
2
2
22
22
22
222
22
222
2
2
2
2
+++++⋅
+++⋅++⋅
+−−+++⋅
+
−−+

+
−−+

−−+

++
∴
−−+
−++++
>−∴>
>++
++

>+++++⋅
++
∫
∫
∫∫
∫
cbxaxabaxln
a
C cbxaxabaxln
a
C 4acbbaxbaxln
a
baxd
4acbbaxa
baxd
4acbbaxa
a
dx
4acbbax
a
cbxax
dx
4acbbaxa
bacbaxacbxax
4acba
cbxax
cbxax
f(x)
a cbxaxabaxln
acbxax
dx
2
2
2
2
2
2
∵
∵
恒成立 成立 积函数 证明：
C cbxaxabaxln
a
b4accbxaxa
bax
C cbxaxabaxln
a
b4accbxaxabax
a
C 4acbbaxbaxln
a
b4accbxaxabax
a
4acbbaxbaxln 4acb4acbbaxbax
aa
baxd4acbbax
aa
dx4acbbax
a
dxcbxax
4acbbaxa
bacbaxacbxax
4acba
cbxaxcbxaxf(x)
a cbxaxabaxln
a
baccbxaxa
baxdxcbxax
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+++++⋅−+++⋅+
+++⋅++⋅−+++⋅+⋅
+−−+++⋅−+++⋅+⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−+++⋅−−−−++⋅
⋅

+−−+
⋅

−−+++∴
−−+
−++++
>−∴>
>++++
>+++++⋅−++++++
∫
∫∫
∫
2
3
2
2
3
2
3
22
3
2
3
2222
22
222
22
222
22
2
3
2
22
22
84
2
)(42
8
22
2
4
1
)()2(2
8
22
2
4
1
)()2(2 2)()2(2
2
4
1
)2()()2(
22
1
)()2(
2
1
])()2[(4
1
]4)2[(4
1
0Δ 0
0
)0( C22
8
4
4
2 74
∵
∵
恒成立 成立 积函数 证明：
Caxxlnaaxxdxax 222222 +−+⋅−−−∫ 22 53
2
：公式
C|axx|ln
ax
dx 22
22
+−+
−∫ 45：公式 49
()
()
C22
2
1
22
2

)73 ( 22 1
2
1
2
1
2
1
1
2)(2
1
1
221
2
1
22
21
)2()(
)0( C22
2
1 75
2
3
2
2
1
2
3
1
2
2
2
2
2
22
1
2
22
22
2
2
3
2
2
+++++⋅−++
++
∴
+++++⋅
+++++⋅⋅
++
++
−++
++
−++++
++
−+⋅
++
∴
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅
++++
∴
+++
>+++++⋅−++
++
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
−
cbxaxabaxln
a
bcbxaxadx
cbxax
x
C cbxaxabaxln
a
b
C cbxaxabaxln
aa
bdx
cbxaxa
b
dx
cbxaxa
bcbxaxa
dx
cbxaxa
bcbxaxdcbxaxa
dx
cbxaxa
bdxbax
cbxaxa
dxa
b
a
bax
cbxax
dx
cbxax
x
dxbaxcbxaxd
a cbxaxabaxln
a
bcbxaxadx
cbxax
x
公式
式
变换成
证明：∵
C21
)2()(
12
4
)2(
4
])2([4
1
0Δ 0
01
)0( C21 67
222
2
222
2
2
2
+
+
−⋅
−−+

−+
∴
−−+
+−−−+
>+∴>
>−+
−+

>+
+
−⋅
−+
∫∫
∫
4acb
baxarcsin
a
dx
bax4acb
a
axbxc
dx
a
bax
a
4acb
cbaxbaaxbxc
4acba
axbxc
axbxc
f(x)
a
4acb
baxarcsin
aaxbxc
dx
2
2
2
2
2
∵
∵
解成立积函数证明：
误原题： C21
2
+
+
−⋅−
−+∫ 4acb
baxarcisn
aaxbxc
dx
2 50
C2
88
2
2
8
)(4
8
2
2
2)2()(2
2
4
1
)2( )2()(
22
1
)2()(
2
1
4
)2(
4
])2([4
1
0Δ 0
0
)0( C2
88
2 77
3
2
3
2
3
22
3
22
222
2
222
22
3
22
+
+
−⋅++−+−
+
+
−⋅++−+⋅−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−⋅++−−+−
−−−+
⋅

−−+−+∴
−−+
+−−−+
≥+∴>
≥−+−+
>+
+
−⋅++−+−−+
∫
∫∫
∫
4acb
baxarcsin
a
4acbaxbxca
bax
C
4acb
baxarcsin
a
4acbaxbxca
a
bax
C
4acb
baxarcsin4acbbax4acbbax
a
baxdbax4acb
aa
dxbax4acb
a
dxaxbxc
a
bax
a
4acb
cbaxbaaxbxc
4acba
axbxcaxbxcf(x)
a
4acb
baxarcsin
a
4acbaxbxca
baxdxaxbxc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∵
∵
解成立积函数证明：
22 67
2
2222 Ca
xarcsinaxaxdxxa +⋅+−−∫：公式
[]
C2
2
1
2
2
)(4
2
1
2
2
)2()(
2
1
)2(
)2()(
1
2
)2(
)2()(
2
2
1
)2(
)2()(
2
2
1
2
12

)2()(
2
)2(4
1
])2([4
1
0Δ 0
0
)0( C2
2
1 87
3
2
3
2
3
3
22
3
223223
22
222
2
222
2
2
3
2
2
+
+
−⋅+−+−
+
+
−⋅+−+⋅−
+
+
−⋅+−−+−
−
−−+
+−
−−+
−
−
−−+
+−⋅⋅
−−+

−+
∴
−−+
+−−−+
>+∴>
>−+
−+

>+
+
−⋅+−+−
−+
∫∫
∫
∫∫
∫
4acb
baxarcsin
a
baxbxca
C
4acb
baxarcsin
a
baxbxca
a
C
4acb
baxarcsin
a
bbax4acb
a
baxd
bax4acba
bbaxd
bax4acb
bax
a
baxd
bax4acb
bbax
aaa
dx
bax4acb
xadx
axbxc
x
bax4acba
cbaxbaaxbxc
4acba
axbxc
axbxc
xf(x)
a
4acb
baxarcsin
a
baxbxcadx
axbxc
x
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
∵
∵
解 成立 积函数 证明：
Ca
xarcsin
xa
dx +
−∫ 22
59公式
C 61 22
22
+−−
−∫ xadx
xa
x：公式 51
（十）含（十）含（十）含（十）含 ))(( xbax −− 积分积分积分积分（79~82）
bx
ax
−
−±
C )( )()(
C )( )()(
C )()(
C)( )(
C
)1(
)(
1
1 )(
C1
)(
1
1 )( 1
1 )(
C]
)1(2

1
1 2
1)[(2 1
1 )(
1 1
1
1
1
1
|AB| 1|AC| 1 |BC| B Rt
2
1 2
11
2
1
2
1
11
2
1
2
1 111
1
)1(
1
)1( )2(0
)0( )1(
1 )1(
1

)1(
1)(2 1
1 )(
)1(
1)(2 1
1 2
1)(2
)1(
1)(2
1
1)(2
)1(
1)(2
1
1)(2
])1(
1
1
1[)(2)1(
11)(2
)1(
)(2
)1(
)(2
)1(
)(2
1
)0( 0
C )( )()( 79
1
1
1
12
2
122
122
2
22
2
22
233
2
3
2
4422
422
2222
2222
222222
22222
2
22
2
22
222
2
+−+−⋅−+−
−−
+−+−−+−−+−
−−
+
−+−
−−+−
−−
+
−
−⋅
−
−−−
−
−+−
−
−
⋅−
−
−∴
−
−
+
−
⋅−−
+
−⋅−
+−
⋅−−
−
−⋅−−+
−⋅−
+
−
−
−
−⋅−−++
−⋅−−
−∴
−
−

−
∴
−∠
⋅−−⋅−−⋅−
−+⋅−−−
⋅⋅−∴
⋅−<<∴
>−−
−
−++
−⋅−
−
−++
−⋅⋅−
−
−+
−
−
−
−−
−
−
−−−−−
+−−
−
−
−
−⋅⋅−
−∴
−
−⋅
−
−>−
−>−
−
+−+−⋅−+−
−−−
−
∫
∫
∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
bxaxlnabbx
axbx
bxaxlnabablnbabx
axbx
bxax
ablnbabx
axbx
ab
bx
bx
axba
bx
bxax
bx
ab
lnbadx
bx
ax
bx
axt
t
tba
t
tlnba
t
tba
t
tlnbat
tlnba
t
t
t
tlnbat
tlnbadxbx
ax
t
tksintkcos
t
kcot
t
t
ksinkcsc
t tk ABCΔ
ksin
kcoscotk cscklndkksinksin
kcos
dk
ksin
dk
ksinksin
kcosdk
ksin
dk
ksin
dk
ksin
ksin
dkksin
kcosdkktan
kseckdktanksecktandtt
kdktanksecksecdktantπkksect
tdttdtt
dt
t
bat
tlnbadt
t
bat
tlnba
dt
t
badt
t
badt
t
abdt
t
ab
dtttabdtt
tab
dt
t
tbadt
t
battdxbx
ax
dt
t
bat dx
t
btaxtbx
axtbx
ax
bxaxlnabbx
axbxdxbx
ax
代入式：
中
令

令证明 ∵ 52
C)()(
C)()(
C)( )(
C1)(
1
)(
C
11
1)(
1
)(
1

1
1
1|AB| 1|AC| 1 |BC| B Rt
)()(
]24
1
2)[(2)(2
24
1
2
22
1
2
1)2(12
1
11 )1(
1
)1( )2(0
)0( )1(
1
)1(
1)(2 1
1 )( )1(
1)(2 1
1 2
1)(2
)1(
1)(2)(2 )1(
1)(21
1)(2
])1(
1
1
1[)(2)1(
11)(2
)1()(2)1(
)(2
)1(
)(2 1 )0( 0
C )()( 80
1
1
122
1222
22
2
1
1
1
2
2
2
422
2422
22
2222
22222
22222
2
22
2
22
222
2
+−
−⋅−+−
−−
+−
−⋅−−−
−−
+−
−
−
−⋅−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−−
−∴−
−
++⋅−−
+
−
+
+
⋅
+
⋅−−
+
−−
−∴
+

+
∴
+∠
+⋅−−−
+⋅+−−−−
−∴
+⋅+
++
⋅+∴
+<<∴
>+
−−++
−⋅−−−++
−⋅⋅−
+−−−+−−+−
+−+−+
−+−
+−+
−⋅⋅−
−∴
+
−⋅+
+>−
−>−
−
+−
−⋅−+−
−−−
−
∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
xb
axbxab
axarcsinab
xb
axxbab
axarcsinab
ab
xb
xb
axabxb
ax
ab
xbarcsinabdxxb
ax
xb
axt
t
tab
t
tarcsinab
t
t
t
ab
t
tarcsinabdxxb
ax
t
tksin
t
kcos
t k ABCΔ
Ckcosksinabkab
Cksinkabkabdxxb
ax
Cksink
dkkcoskddkkcos
dkkcosdkkseckdksecksecdtt
kdksecdtksectπkktant
tdtt
dttbat
tlnbadttbat
tlnba
dttbaarcsintabdttabdttab
dtttabdtt
tab
dtt
tabdtt
abttdxxb
ax
dtt
abt dxt
btaxtxb
axtxb
ax
ab
axarcsinabxb
axbxdxxb
ax
代入式：
中
令

令证明∵ 53
2
))((


|BC||AC||AB| |BC|
|AC| B Rt

2
)19 ( 21
12
)1(
)(211 ||
1
1)(||
)1(
)(2 1
)( || 1
||
1
))((

)( 2
)(
81
22
2
222
2
2
2
222
2
2
2
Cab
axarcsin
xbax
dx
ab
axarcsinμ ab
axμsin
ab xb
axμ ABCΔ
xb
axarctanμxb
axμtan
Cxb
axarctan
Ctarctandtt
dtt
abttt
t
abdxxb
ax
ax
t
tabaxab
dtt
abt dxt
tabaxt
btaxxb
axt
dxxb
ax
axxbax
dx
baCab
axarcsin
xb)(ax
dx
+−
−
−−
∴
−
−∴−
−∴
−+−∴
−∠
−
−−
−
+−
−
++
+
−⋅⋅⋅+⋅−−
−⋅−
+⋅−−∴>
+
−+
−−+
+−
−
−
−⋅−
−−
<+−
−
−−
∫
∫
∫∫
∫∫
∫

中
令
公式

令
证明
∵ 54
C 4
)())((4
2))((
C))1(
)1(
1
(4
)(
C))1()1(1
(4
)(
)
11
1
1
1
111
1
1
(4
)())((
1
1
1

1|AB| |AC| 1 |BC| B Rt
C)(4
)(
C)(8
1)(2))((
8
1
8
1
8
)44(32
1
8
432
1
8
44
1
2
2
8
1
24
1)2(4
1
)1(
)1( )2(0 )0( )1(
)1()(2
)1(
)(2
1))((
1
11
)1(
)(2
)1(
)(2)1(2 1 )0( 0
))((
)( C 4
)())((4
2))(( 82
2
22
2
2
2
2222
3
2
2
222
22
2
22
2
22
2
33
2
332
33
33
22
22
4
2
2
6
2
32
2
2632
32
2
32
2
2
222
2
22
22
2222
22
2
2
2
+−
−⋅−+−−−−−−−
−
++
−−
+
⋅−−
++++−
+
⋅−−
+
⋅
+++
+
⋅+⋅
+
−
+
⋅−−−−∴
+

+
∴
+∠
+⋅+⋅−⋅−−
+⋅+⋅−⋅⋅−−−−
+⋅+⋅⋅−
+⋅−⋅⋅−
+⋅−
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅−
⋅⋅
⋅⋅+∴
+<<∴>+
+−−
+
−⋅⋅+
−−−∴
+
−−∴<
+
−+
−−+−
+
−+
+−+⋅+
+>−
−>−
−
−
−−−−
<+−
−⋅−+−−−−−−
∫
∫
∫
∫∫
∫∫∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
xb
axarcsinabxbaxbaxdxxbaxax
xbt
t
tt
t
tarcsinab
t
t
t
t
t
tarcsinab
t
t
tt
t
t
t
t
tt
tarcsinabdxxbax
t
ksin
t
tkcos
t tk ABCΔ
kcosksinkcosksinkab
kcosksinkcosksinkabdxxbax
Ckcosksinkcosksink
Ckcosksinkcosksink
Cksink
Cksink
dkksindkkcosksin
dkkcosksindkksec
ktankdksecksec
ktandtt
t
kdksecdtksectπkktanttdtt
t
dtt
tba
dtt
battt
abdxxbax
t
abaxba
t
ab
t
atabatax
dtt
batdtt
batttat dxt
atbxtax
xbtax
xb
dxax
xbaxdxxbax
baxb
axarcsinabxbaxbaxdxxbax
代入式：
中
联立两式：
令
令
证明
∵
∵ 55
（十）含三角函数积分（十）含三角函数积分（十）含三角函数积分（十）含三角函数积分（83~112）
()
()
C||
1
C|1|1 2
1
1
1 2
1C|1
1|2
1
C|1|2
1|1|2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
CC|)24( | 87
2
2
2
2
2
2
++
+−
++++⋅
+−
+⋅+−
+⋅
+−⋅−+⋅
−++−

++++
∫∫∫
∫∫ ∫
∫
xtanxsecln
Ccox
xsin
xcosln
xcos
xsinlnC
xcos
xsinln
Cxsin
xsinlnxsin
xsinln
xsinlnxsinln
xsindxsinxsindxsinxsindxsin
dx
xcos
xcosdxxcosxdxsec
x|tanxsec|lnxπtanlnxdxsec
：证明
Ccosx
dcosx dxsinx
sinx cosxsinxcosx
dxsinx dxsinx
Ccosxdxsinx
+−
−∴
−−′
−−
+−
∫∫
∫∫
∫


)(
)(
83
原函数
证明：
∵
Cxsin
xsind dxxcos
xcosxsin xcosxsin
Cxsindxxcos
+
∴
′
+
∫∫
∫


)(
84
原函数证明：∵
Ccosxln
xcos dxcos
dxxcos
sinx dxxtan
Ccosxlndxxtan
+−
−

+−
∫
∫∫
∫

1

85
证明：
Cxsinln
xsin dxsin
dxxsin
xcos dxxcot
Cxsinlndxxcot
+


+
∫
∫∫
∫

1

86
证明： 56

1
)1( 2
1
)1(
1
)1( 2
1
1
1 2
1
1 2
1 1 2
1
)1( 1
1
2
1)1( 1
1
2
1
1
1 1
1(2
1
1
1

1 2
2
1
222
22
22
2
2
2
2
2
2
2
1
222
222
1
222
2
1
2
1
2
22
21
222
22
222
11 1
2 88
2
2
2
12
2
1
1
2
22
2
2
2
222
Cxcotxcscln
Csint
costln
C
tsin
tcosln
C
tcos
tcosln
Ccost
costln
Ccostlncostln
tcosdcosttcosdcost
tcos)dcostcost
tcosdtcos
dt
tsin
sint
dtsintdxxcsc
CxcotxcsclnCxtanlndxxcsc
xcotxcscxsin
xcos
xcosxsin
xsin
xcosxsin
xsin
xcos
xsinxtan
Cxtanln
xtandxtan
xtandxcosxcosxsin
dxxcsc
xtandxcosdx
dxxcos
xtand
xtan
xtan
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsinxsinxcsc
CxcotxcsclnCxtanlndxxcsc
2
2
+−
+−
+−⋅
+−⋅
−
−⋅
++
−⋅
+−⋅++⋅−
−−+++−
−++−
−−


+−+∴
−−
⋅

⋅

+

⋅⋅
⋅⋅
∴
⋅∴
⋅
+

⋅⋅
+

⋅⋅

+−+
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
：证法

：证法
∵
∵
∵ 57
Cxtan
ttanddxxsec
xsecxtan xsecxtan
Cxtandxxsec
+
∴
′
+
∫∫
∫


)(
89
2
22
2
原函数证明：∵
Ccotx
cotxdx dxcsc
xcscxcot xcsccotx
dxxcscx dxcsc
Ccotxx dxcsc
2
22
2
+−
−∴
−−′
−−
+−
∫ ∫
∫ ∫
∫


)(
)(
90
22 原函数
证明：
∵
Cxsec
xsecdx dxtanxsec
xtanxsecxsec xtanxsecxsec
Cxsecx dxtanxsec
+
⋅∴
⋅⋅′
+⋅
∫∫
∫


)(
91
原函数证明：∵
Cxcsc
xcscdx dxcotcscx
xcotcscxxcsc xcotcscxxcsc
dxxcotcscxx dxcotcscx
Cxcscx dxcotcscx
+−
−⋅∴
⋅−⋅−′
⋅−−⋅
+−⋅
∫∫
∫ ∫
∫


)(
)(
92
原函数
证明：
∵
Cxsinx
xdcos2xdx
dxcos2x dxxsin
Cxsinxdxxsin
+−
−
⋅−
+⋅−
∫∫
∫∫
∫
24
1
2
2 4
1
2
1
)2
1
2
1(
24
1
2 93
2
2
证明：
2
21 2 xcosxsin −提示：
Cxsinx
xdcos2xdx
dxcos2x dxxcos
Cxsinxdxxcos
++
+
⋅+
+⋅+
∫∫
∫∫
∫
24
1
2
2 4
1
2
1
)2
1
2
1(
24
1
2 94
2
2
证明：
2
21 2 xcosxcos +提示： 58
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
−−
−+⋅⋅−∴
−+⋅−
−−−+⋅−
⋅−−+⋅−
⋅−+⋅−
⋅⋅−⋅+⋅−
+⋅−
−
⋅
−+⋅⋅−
dxxsinn
nxcosxsinndxxsin
dxxsinnxsinxcosdxxsinn
dxxsinndxxsinnxsinxcos
dxxsinxsinnxsinxcos
dxxsinxcosnxsinxcos
dxxcosxsinnxcosxsinxcos
xsindxcosxsinxcos
xcosdxsin
dxxsinxsindxxsin
dxxsinn
nxcosxsinndxxsin
nnn
nnn
nnn
nn
nn
nn
nn
n
nn
nnn
11
)1(
)1( )1(
)(1)1(
)1(
)1(



11 95
21
21
21
221
221
21
11
1
1
21
移项整理：
证明：
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
−−
−+⋅⋅∴
−+⋅
−−−+⋅
⋅−−+⋅
⋅−+⋅
⋅⋅−⋅+⋅
−⋅

⋅
−+⋅⋅
dxxcosn
nxcosxsinndxxsin
dxxcosnxcosxsindxxcosn
dxxcosndxxcosnxcosxsin
dxxcosxcosnxcosxsin
dxxcossxsinnxcosxsin
dxxsinxcosnxsinxcosxsin
xcosdxsinxcosxsin
xsindxcos
dxxcosxcosdxxcos
dxxcosn
nxsinxcosndxxcos
nnn
nnn
nnn
nn
nn
nn
nn
n
nn
nnn
11
)1(
)1( )1(
)(1)1(
)1(
)1(



11 96
21
21
21
221
221
21
11
1
1
21
移项整理：
证明： 59
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
−−
−
−
−
−
−−
−
−
−−
−
−+⋅−−∴
−+−
−−−−
−−−+−
−−+−
−+−
⋅⋅−⋅+−
+−
−
−⋅−
−
−+⋅−−
xsin
dx
n
n
xsin
xcos
ndx
xsin
dx
dxxsinnxsin
xcos
dxxsinnxsin
xcotdxxsin
dxn
dx
xsin
ndx
xsin
dxn
xsin
xcot
dxxsin
xsinnxsin
xcot
dx
xsin
xcosn
xsin
xcot
dxxcosxsinnxcotxsin
xcot
xsin
dxcot
xsin
xcot
xcotd
xsin
dxxsinxsindxxsin
dx
xsin
dx
n
n
xsin
xcos
ndx
xsin
dx
nnn
nn
nnn
nnn
nn
nn
n
n
nn
n
nn
nnn
21
21
22
22
2
2
2
2
1
2
22
2
22
21
1
2
1
1
1)2(
1)(2 )1(
1)(2 )(2
1)(2
)(2
)(2
1
1
11
1
2
1
1 97
移项整理：
证明：
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
−−
−
−
−
−
−−
−
−
−−
−
−+⋅−−∴
−+
−+−
−+−−
−−−
−−
⋅⋅−⋅+
+

⋅
−
−+⋅−−
xcos
dx
n
n
xcos
xsin
nxcos
dx
dxxcosnxcos
xsin
dxxcosnxcos
xsin
xcos
dxn
dx
xcos
ndx
xcos
dxn
xcos
xsin
dxxcos
xcosnxcos
xtan
dx
xcos
xsinn
xcos
xtan
dxxsinxcosnxtanxcos
xtan
xcos
dxtan
xcos
xtan
xtand
xcos
dxxcosxcosxcos
dx
xcos
dx
n
n
xcos
xsin
nxcos
dx
nnn
nn
nnn
nnn
nn
nn
n
n
nn
n
nn
nnn
21
21
21
21
2
2
2
2
1
2
22
2
22
21
1
2
1
1
1)2(
1)2( )1(
1)2( )2(
1)2(
)2(
)(2
1
1
11
1
2
1
1 98
移项整理：
证明： 60
11
1)(1
])1[(
)]()1[(
1)](1)[(
])1()1[()(
)(11
1
)(
11
1)(1
])1[(
)]()1[(
)]1()1[(
])1()1([)(
)(11
1
)(
11
11 99
211
211
2
2
22
1111211
1111
11
1
211
211
2
2
22
22
1111211
1111
11
1
211
211
xdxsinxcosnm
nxsinxcosnmxdxsinxcos
xdxsinxcosnm
nxcosxsinxdcosnm
dxxsinxcosn
dxxsin
xcosxsinxsinxcosn
dxxcosxsinxsinxcosn
dxxsinxsinxcosnxcosxcosxsinnxcosxsind
xcosxsinxdcosnmxcosxsinnm
xcosxdsinxcosnmxdxsinxcos
xdxsinxcosnmxcosd
xdxsinxcosnm
mxsinxcosnmxdxsinxcos
xdxsinxcosnm
mxsinxcosxdsinnm
dxxcosxsinm
dxxcos
xcosxsinxcosxsinm
dxxcosxsinxcosxsinm
dxxcosxcosxsinmxsinxsinxcosmxsinxcosd
xsinxcosxdsinnmxsinxcosnm
xsinxdsinxcosnmxdxsinxcos
xdxcosxsinnmxdxsind
xdxsinxcosnm
nxsinxcosnm
xdxsinxcosnm
mxsinxcosnmxdxsinxcos
nmnmnm
nmnnnm
nn
nn
22nn
nnnnnn
nnnmmn
nmnnnm
nmnm
nmnmnm
nmmmnm
mm
mm
mm
mmmmmm
mmnmnm
nmmmnm
nmnm
nmnm
nmnmnm
−−+
−−−+
−−
−
−−
−−−−−−−
−−++−
+−−
−++
−+−
−−−+
−−
−
−−
−−−−−−−
−−++−
+−−
−++
−−+
−+−
⋅+
−+⋅⋅+−⋅∴
⋅+
−⋅+∴
⋅⋅−
+⋅⋅⋅−
+⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−⋅
⋅++⋅⋅+
−
⋅+
−⋅∴
⋅⋅+−
⋅+
−+⋅⋅+⋅∴
⋅+
−⋅+−∴
⋅⋅−
+⋅⋅⋅−
+⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−−⋅
⋅+−⋅⋅+
⋅+⋅∴
⋅⋅+
⋅+
−+⋅⋅+−
⋅+
−+⋅⋅+⋅
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∵
∵
∵
∵
证明②：
证明①：
②
① 61
xbacosbaxbacosba
xbadxbasinbaxbadxbasinba
dxxbasindxxbasin
dxxbasinxbasindxbxcosaxsin
xbacosbaxbacosbadxbxcosaxsin
)()(2
1 )()(2
1
)( )( )2(
1)( )( )2(
1
)(2
1 )( 2
1
])( )( [2
1
C)()(2
1 )()(2
1 100
−⋅−−+⋅+−
−−−++++
−+
−++⋅
+−⋅−−+⋅+−⋅
∫∫
∫∫
∫∫
∫
证明：
C )( )(2
1)( )(2
1
)( )( )2(
1)( )( )2(
1
)( 2
1 )( 2
1
])( )( [2
1
C)( )(2
1 )( )(2
1 101
++⋅+−−⋅−
+++−−−−
+−−
+−−⋅
+−⋅−++⋅+−⋅
∫∫
∫∫
∫∫
∫
xbasinbaxbasinba
xbadxbacosbaxbadxbacosba
dxxbacosdxxbacos
dxxbacosxbacosdxbxsinaxsin
xbasinbaxbasinbadxbxsinaxsin
证明：
C )( )(2
1)( )(2
1
)( )( )2(
1)( )( )2(
1
)( 2
1 )( 2
1
])( )( [2
1
C)( )(2
1 )( )(2
1 102
+−⋅−++⋅+
−−−++++
−++
−++⋅
+−⋅−++⋅+⋅
∫∫
∫∫
∫∫
∫
xbasinbaxbasinba
xbadxbacosbaxbadxbacosba
dxxbacosdxxbacos
dxxbacosxbacosdxbxcosaxcos
xbasinbaxbasinbadxbxcosaxcos
证明：
)]( )( [2
1 βαsinβαsinβcosαsin −++提示：
)]( )([2
1 βαcosβαcosβsinαsin −++−提示：
)]( )( [2
1 βαcosβαcosβcosαcos −++提示： 62
Ca
xarctanaax
dx
22 +⋅+∫ 1 19 ：公式
C22
2

C2
)(
)( )(
12 )(
)( )(
12
0
)( )( )(
12
)( )(
12

)(
12

2
12
1
2
2)1(
1
1
2)1(
1
2
1
2
)1(2
1 )21(2
1
22
1) 2(
1
2
21
22
222 2
)( C22 103
2222
2222
2222222
2222
222
222
2
2
2
22
2
2
2
22
222
2
2
22
2222
+
−
+⋅
⋅
−

+

+
−
+⋅
−

+
−++
+
−++
>−>
+−++
−++
+−+

++

+⋅++
+⋅+∴
+
++
+
+⋅+
+
∴
++⋅
+

+
⋅
⋅⋅
>+
−
+⋅
⋅
−
⋅+
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
ba
bxtana
arctan
baxsinba
dxxtant
ba
batarctan
ba
batd
babat
batd
babat
baba
batdbabat
dtbabata
dt
aa
b
a
bta
dt
abtta
dttbtta
t
xsinba
dx
t
btta
t
btaxsinbadt
t
dx
dxtdxxtandxxsecdxxtandt
t
t
xtan
xtanxcosxsinxsinxtant
ba
ba
bxtana
arctan
baxsinba
dx
代入式：
时
令证明： 63
C 2
1 21 22 ++
−⋅
−∫ ax
axlnaax
dx：公式
C
2
2 1 2

2
12
)(
)( )(
12
)(
)( )(
12)(
)( )(
12
0
)( )( )(
12
)( )(
12

)(
12

2
12
1
2
2)1(
1
1
2)1(
1
2
1
2
)1(2
1 )21(2
1
22
1) 2(
1
2
21
22
222 2
)( C
2
2 1 104
22
22
22
22
22
22
2222
222222
2222
222
222
2
2
2
22
2
2
2
22
222
2
2
22
22
22
22
+
−++⋅
−−+⋅
⋅
−
+
+
−++
−−+⋅
−
×
+
−−+

+
−−+
+
−++
<−<
+−++
−++
+−+

++

+⋅++
++∴
+
++
+
++
+
∴
++⋅
+

+
⋅
⋅⋅
<+
−++⋅
−−+⋅
⋅
−
+
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
abbxtana
abbxtana
ln
abxsinba
dxxtant
C
abbat
abbatln
ab
batd
abbat
batd
abbat
batd
babat
baba
batdbabat
dtbabata
dt
aa
b
a
bta
dt
abtta
dttbtta
t
xsinba
dx
t
btta
t
btaxsinbadt
t
dx
dxtdxxtandxxsecdxxtandt
t
t
xtan
xtanxcosxsinxsinxtant
ba
abbxtana
abbxtana
ln
abxsinba
dx
代入式：
时
令证明： 64
2
21θ 2 θcoscos +：提示
Ca
xarctanaax
dx
22 +⋅
+∫ 1 19 ：公式
()()
Cxtanba
baarctanba
ba
baxcosba
dxxtant
Ctba
baarctanba
ba
ba
Ctba
baarctanbaba
Ctba
baarctanba
ba
ba
Ctba
baarctanba
ba
ba
dt
tba
babadt
b)atba
baba
dt
batbaxcosba
dx
dttdx
dxtdxxcosdxxcos
dxxsecxtanddt
t
batba
t
tbaxcosba
t
t
xtan
xtan
xcosxtant
aCxtanba
baarctanba
ba
baxcosba
dx
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
−
−
+⋅+⋅+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
−⋅−
+⋅+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
−⋅−⋅+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
−⋅+
−⋅−
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
−⋅+
−⋅−
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−
−++
>>
−++
⋅+∴
+∴
++⋅
+
−+++
−⋅+⋅+∴
+
−
+
−

>+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+
−
−
+⋅+⋅+
∫
∫∫
∫∫
∫
2 2 2
2
12
2
2
12
()(
2
||||
)()(
2
1
2
2
1
1
1
22
1
22
1
2
1
)()(
1
1
1
1
21
21
2
)b( 2 2 105
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
代入式：
时
令证明：
∵ 65
()()

2
2 1 2
1
1 1)1(
1 2
12
12 12
)()(
2
()(
2
0 ||||
)()(
2
1
2
2
1
1
1
22
1
22
1
2
1
)()(
1
1
1
1
21
21
2
)b(
2
2 1 106
2
22
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
C
ab
baxtan
ab
baxtan
lnab
ba
baxcosba
dxxtant
C
ab
bat
ab
bat
lnab
ba
ba
C
ab
bat
ab
bat
lnab
ba
baC
ab
bat
ab
bat
lnabba
C
ab
bat
ab
bat
lnba
ab
baC
ab
bat
ab
bat
lnba
ab
ba
dt
ab
bat
badt
tab
baab
dt
abtba
dt
b)atba
abbaba
dtbatbaxcosba
dx
dt
t
dx
dxtdxxcosdxxcos
dxxsecxtanddt
t
batba
t
tbaxcosba
t
t
xtan
xtan
xcosxtant
aC
ab
baxtan
ab
baxtan
lnab
ba
baxcosba
dx
+
−
+−
−
++
⋅−
+⋅+⋅+
+
−
+−
−
++
⋅−
+⋅+
+
−
++
−
+−
⋅−
+⋅+−+
−
++
−
+−
⋅−⋅+−
+
−
++
−
+−
⋅+
−⋅−+
−
++
−
+−
⋅+
−⋅⋅−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+−
−−+

−++
>−∴<<
−++⋅+∴
+
∴
++⋅
+
−++
+
−⋅+⋅+∴
+
−
+
−

<+
−
+−
−
++
⋅−
+⋅+⋅+
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
代入式：

令证明：
∵
2
21θ 2 θcoscos +：提示
C 2
1 21 22 ++
−⋅−∫ ax
axlnaax
dx：公式 66
Cxtana
barctanab
Cxtana
barctana
b
b
xtand
xtanb
ab
xtand
xtan
b
ab
xtand
xtanba
dxxtanbaxcosxsinbxcosa
dx
Cxtana
barctanabxsinbxcosa
dx
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⋅
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⋅⋅
+

+

+

+⋅+
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⋅+
∫
∫
∫
∫∫
∫
1
1

))(
11

)(
11
1
11
1 107
2
22
2
2
2
22
222
22222222
2222
证明：
Ca
xarctanaax
dx
22 +⋅
+∫ 1 19 ：公式
Caxtanb
axtanblnab
Caxtanb
axtanblnab
Caxtanb
axtanblnab
xtanbdaxtanbb
xtanbdxtanbab
xtand
xtanba
dx
xtanbaxcosxsinbxcosa
dx
Caxtanb
axtanblnabxsinbxcosa
dx
+−⋅
+⋅⋅
++⋅
−⋅⋅−
++⋅
−⋅⋅⋅−
⋅−⋅−
⋅⋅−
−

−
⋅
−
+−⋅
+⋅⋅
−
∫
∫
∫
∫∫
∫
2
1
2
1
2
11
)( )(
11
)( )(
11
1
11
2
1 108
22
22
222
22222222
2222
证明：
C 2
1 21 22 ++
−⋅−∫ ax
axlnaax
dx：公式
blogblog aa −−1 提示： 67
Caxsin
a
axcosxa
daxaxcos
a
axcosxa
dxaxcosaaxcosxa
axcosdxadxaxsinx
Caxcosxaaxsin
a
dxaxsinx
+⋅+⋅⋅−
+⋅⋅−
+⋅⋅−
−⋅
+⋅⋅−⋅⋅
∫
∫
∫∫
∫
2
2
2
11
11
11
1
11 109
证明：
axcos
a
axsinx
a
axcosxa
daxaxsinaaxsinxaaxcosxa
axsindx
a
axcosxa
dxaxcosxaaxcosxa
dxaxcosaaxcosxa
axcosdxadxaxsinx
Caxcos
a
axsinx
a
axcosxadxaxsinx
⋅+⋅⋅+⋅⋅−
⋅−⋅⋅+⋅⋅−
⋅+⋅⋅−
⋅+⋅⋅−
+⋅⋅−
−⋅
+⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
32
2
32
2
2
2
2
22
22
32
22
2 21
2 21
21
21
11
1
221 110
证明：
Caxcos
a
axsinxa
daxaxsin
a
axsinxa
dxaxsinaaxsinxa
axsindxadxaxcosx
Caxsinxaaxcos
a
dxaxcosx
+⋅+⋅⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
⋅
+⋅⋅−⋅⋅
∫
∫
∫∫
∫
2
2
2
11
11
11
1
11 111
证明：
Caxsin
a
axcosx
a
axsinxa
daxaxcosaaxcosxaaxsinxa
axcosdx
a
axsinxa
dxaxsinxaaxsinxa
dxaxsinaaxsinxa
axsindxadxaxcosx
Caxsin
a
axcosx
a
axsinxadxaxcosx
+⋅−⋅⋅+⋅⋅
⋅−⋅⋅+⋅⋅
⋅−⋅⋅
⋅+⋅⋅
−⋅⋅
⋅
+⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
32
2
32
2
2
2
2
22
22
32
22
2 21
2 21
21
21
11
1
221 112
证明： 68
（十二）含反三角函数积分（中（十二）含反三角函数积分（中（十二）含反三角函数积分（中（十二）含反三角函数积分（中 0>a ))))（113~121）
Cxaa
xarcsinx
Cxaa
xarcsinx
xadxaa
xarcsinx
dx
xaa
xarcsinx
dx
xa
x
a
xarcsinx
dxa
a
x
xa
xarcsinx
a
xarcsindxa
xarcsinxdxa
xarcsin
aCxaa
xarcsinxdxa
xarcsin
+−+⋅
+−⋅
−
⋅+⋅
−−+⋅
−
−⋅
−
−⋅
⋅
−
⋅−⋅
−⋅
>+−+⋅
−
−
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
22
2
1122
222
1
22
2
22
22
2
22

)(
2
11
1
2
1
)()(2
1
1
2
1

1
)(1
1

)0( 113
证明：
4 )42(
4 4 2
4 4 2

Rt
442
4)1(24
2824
2 2824
2424
2 4 22
)(

)0( 4 )42( 114
22
22
222
22
2
2
22
2
2
2
2
2
22
22
22
22
2
22
22
Cxax
a
xarcsinax
Cxax
a
xarcsina
a
xarcsinax
Ca
xa
a
xa
a
xarcsina
a
xa
a
xarcsinadxa
xarcsinx
a
xtsina
xatcos
xa|BC|x|AC|a|AB|tBABCΔ
Ctcostsinatatcosta
Ctcostsinatcosta
Ctsinatcosta
tdtcosatcosta
dttcosatcosta
tcosdtadttsinta
dt costtsintatsinadttsinadxa
xarcsinx
tsinaxa
xarcsint
aCxax
a
xarcsinaxdxa
xarcsinx
22
2222
22
22
+−+⋅−
+−⋅+⋅+⋅−
+−⋅⋅+⋅+−⋅⋅−⋅∴
−∴
−∠
+⋅⋅+⋅+⋅⋅−
+⋅⋅+−⋅⋅−
+⋅+⋅⋅−
+⋅⋅−
+⋅⋅−
−⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴
⋅
>+−+⋅−⋅
∫
∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫
中设
令证明：
12
2
22
2
22
−
−
⋅⋅
xcos
xsinxcosxcos
xcosxsinxsin提示： 69
Cxaaxa
xarcsinx
Cxaxaxaa
a
xarcsinx
Cxaa
xaa
a
xaa
a
x
a
xarcsinadxa
xarcsinx
a
xtsina
xatcos
xa|BC|x|AC|a|AB|tBABCΔ
Ctcosatcosatsinta
Ctcosatcosatsinta
tcosdtcosatcosatsinta
dttcostsinadttsinatsinta
dttcostsinatsinta
dttsinatsinta
tsindta
dt costtsintatsinadttsinadxa
xarcsinx
tsinaxa
xarcsint
aCxaaxa
xarcsinxdxa
xarcsinx
22
22
22
22
2222
22
22
+−++⋅
+−⋅−−−⋅+⋅
+−⋅−⋅−−⋅+⋅⋅⋅∴
−∴
−∠
+⋅−⋅+⋅⋅
+⋅+⋅−⋅+⋅⋅
−⋅+⋅⋅
⋅+−⋅⋅
−−⋅⋅
−⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴
⋅
>+−++⋅⋅
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫∫
∫
2222
3
23
3
33
3
33
2
3
33
3
3
3
33
3
3
2
33
3
3
2
33
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
23222
2222
3
2
)2(9
1 3
93

3

93 3

Rt
933
21
1
333
333
3 33
)1(
33

33
3
)(

)0( )2(9
1 3 115
中设
令证明： 70
Cxaa
xarccosx
Cxaa
xarccosx
xadxaa
xarccosx
dx
xaa
xarccosx
dx
xa
x
a
xarccosx
dxa
a
x
xa
xarccosx
a
xarccosdxa
xarccosxdxa
xarccos
aCxaa
xarccosxdxa
xarccos
+−−⋅
+−⋅
−
⋅−⋅
−−−⋅
−
+⋅
−
+⋅
⋅
−
⋅+⋅
−⋅
>+−−⋅
−
−
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
22
2
1122
222
1
22
2
22
22
2
22

)(
2
11
1
2
1
)()(2
1
1
2
1

1
)(1
1

)0( 116
证明：
4 )42(
4 4 2
4 4 2

Rt
442
4)1(24
2824
2 2824
2424
2 4 22
)(

)0( 4 )42( 117
22
22
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
22
22
22
22
2
22
22
Cxax
a
xarcsinax
Cxax
a
xarcsina
a
xarcsinx
Ca
xa
a
xa
a
xarcsina
a
x
a
xarcsinadxa
xarccosx
a
xtcosa
xatsin
xa|AC|x|BC|a|AB|tBABCΔ
Ctcostsinatatcosta
Ctcostsinatcosta
Ctsinatcosta
tdtcosatcosta
dttcosatcosta
tcosdtadttsinta
dttsin tcostatcosadttcosadxa
xarccosx
tcosaxa
xarccost
aCxax
a
xarccosaxdxa
xarccosx
22
2
222
22
22
+−+⋅−
+−⋅−⋅−⋅
+−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅∴
−∴
−∠
+⋅⋅−⋅−⋅⋅
+⋅⋅−−⋅⋅
+⋅−⋅⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
⋅−
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅∴
⋅
>+−−⋅−⋅
∫
∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫
中设
令证明：
12
2
22
2
22
−
−
⋅⋅
xcos
xsinxcosxcos
xcosxsinxsin提示： 71
Cxaaxa
xarcsinx
Cxaxaxaa
a
xarcsinx
Cxa
a
xaa
a
xaa
a
x
a
xarcsinadxa
xarccosx
a
xtcosa
xatsin
xa|AC|x|BC|a|AB|tBABCΔ
Ctsinatsinatcosta
Ctsinatsinatcosta
tsindtsinatsinatcosta
dttsintcosadttcosatcosta
dttsintcosatcosta
dttcosatcosta
tcosdta
dttsin tcostatcosadttcosadxa
xarccosx
tcosaxa
xarccost
aCxaaxa
xarccosxdxa
xarccosx
22
22
22
22
2222
22
22
+−+−⋅
+−⋅−+−⋅−⋅
+−⋅−⋅+−⋅−⋅⋅⋅∴
−∴
−∠
+⋅+⋅−⋅⋅
+⋅+⋅+⋅−⋅⋅
+⋅−⋅⋅
⋅+−⋅⋅
−−⋅⋅
−⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅∴
⋅
>+−+−⋅⋅
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫∫
∫
2222
3
23
3
33
3
33
2
3
33
3
3
3
33
3
3
2
33
3
3
2
33
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
23222
2222
3
2
)2(9
1 3
93 3
93 3

Rt
933
21
1
333
333
3 33
)1( 33
33
3
)(

)0( )2(9
1 3 118
中设
令证明：
Cxalna
a
xarctanxdxa
xarctan
xa
Cxalna
a
xarctanx
xad
xa
a
a
xarctanx
dx
xa
a
a
xarctanx
dxxa
xaa
xarctanx
dxa
a
xxa
xarctanx
a
xarctanxdxa
xarctanxdxa
xarctan
aCxalna
a
xarctanxdxa
xarctan
++⋅−⋅∴
>+
++⋅−⋅
+
+
−⋅
+
−⋅
+−⋅
⋅
+
⋅−⋅
⋅−⋅
>++⋅−⋅
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
)( 2
0
2
)(1
2
1
2

1
)(1
1

)0( )( 2 119
22
22
22
22
22
2
22
22
2
22
∵
证明： 72
Cxa
a
xarctanxa
Ca
xa
a
xa
a
xarctanadxa
xarctanx
a
xttana
xa
tcostsec
xa|AB|x|AC|a|BC|tBABCΔ
Cttanatsecta
dttsecatsecta
tsecdta
dtttan tsectattanadtttanadxa
xarctanx
ttanaxa
xarctant
aCxa
a
xarctanxadxa
xarctanx
2
22
22
22
+⋅−⋅+
+⋅−+⋅⋅⋅∴
+∴
+∠
+⋅−⋅⋅
−⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴
⋅
>+⋅−⋅+⋅
∫
∫
∫
∫∫∫
∫
2 )(2
1
2 2
1
Rt
22
22
2
)(

)0( 2 )(2
1 120
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
中设
令证明：
Cxalnaxa
a
xarctanxdxa
xarctanx
xa
Cxalnaxa
a
xarctanx
axdxa
adxa
a
xarctanx
dx
xa
aadxa
a
xarctanx
dx
xa
aaxa
a
xarctanx
dxxa
xa
a
xarctanx
dx
xa
xa
a
xarctanx
dxa
a
xxa
xarctanx
dxa
xarctandxa
xarctanx
aCxalnaxa
a
xarctanxdxa
xarctanx
+++⋅−⋅⋅∴
>+
+++⋅−⋅
+++−⋅
+
+−⋅
+
−+−⋅
+−⋅
+
−⋅
⋅
+
⋅−⋅
⋅∴
>+++⋅−⋅⋅
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
)( 66 3
0
66 3
)(1
66 3
66 3
6 3
6 3
3 3
1
)(1
1
3
1 3
3
1
)0( )( 66 3 121
22
3
2
3
2
22
22
3
2
3
22
22
3
2
3
2
22
2
2
3
2
22
2223
2
22
23
22
33
2
3
3
32
22
3
2
3
2
∵
证明： 73
（十三）含指数函数积分（十三）含指数函数积分（十三）含指数函数积分（十三）含指数函数积分（122~131）
Caaln
daalndxa
aalnaalnaa
dxaalnalndxa
Caalndxa
x
xx
xxxx
xx
xx
+⋅
∴
′
⋅
+⋅
∫∫
∫∫
∫
1
1
)(
1
1 122
原函数
证明：
∵
Cea
Ceadμeadxe
dμa dxa
μxμ ax
Ceadxe
ax
μμax
axax
+⋅
+⋅∴

+⋅
∫∫
∫
1
11
1
1 123
令证明：
Ceaxa
Ce
a
exa
daxeaexa
dxeaexa
dexadxex
Ceaxadxex
ax
axax
axax
axax
axax
axax
+−
+−⋅⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
⋅
+−⋅
∫
∫
∫∫
∫
)1(1
1 1
1 1
1 1
1
)1(1 124
2
2
2
2
证明：
dxexa
nexa
dxeaexa
dexadxex
dxexa
nexadxex
axnaxn
naxaxn
axnaxn
axnaxnaxn
∫
∫
∫∫
∫∫
⋅−⋅⋅
−⋅⋅
⋅
⋅−⋅⋅⋅
−
−
1
1
1
1 1
1
1 125
证明： 74
Caalnaxaln
dxaalnaxaln
daxalndxax
Ca
aln
aaln
xdxax
xx
xx
xx
xxx
+⋅−⋅⋅
−⋅⋅
⋅
+⋅−⋅⋅
∫
∫∫
∫
2
2
)(
1 1
1 1
1
)(
1 126
证明：
Caalndxa xx +⋅∫ 1 122：公式
dxaxaln
naxaln
dxaalnaxaln
daxalndxax
dxaxaln
naxalndxax
xnxn
nxxn
xnxn
xnxnxn
∫
∫
∫∫
∫∫
⋅−⋅⋅
−⋅⋅
⋅
⋅−⋅⋅⋅
−
−
1
1
1
1 1
1
1 127
证明：
Cbxcosbbxsinae
ba
Cbxsine
ba
abxcose
ba
bdxbxsine
Cbxsineb
abxcosebdxbxsineb
ba
debxsin
b
abxsine
b
abxcoseb
debxsinb
abxsineb
abxcoseb
debxcosbbxcoseb
bxcosdebdxbxsine
Cbxcosbbxsinae
ba
dxbxsine
ax
axaxax
axaxax
axaxax
axaxax
axax
axax
axax
+⋅−⋅⋅
+

+⋅⋅
+
+⋅⋅
+
−⋅∴
+⋅⋅+⋅⋅−⋅+
−⋅⋅+⋅⋅−
−⋅⋅+⋅⋅−
+⋅⋅−
−⋅
+⋅−⋅⋅
+
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
)(1

1
1
1
11
1
)(1 128
22
2222
22
22
22
22
22
移项整理：
证明： 75
Cbxcosabxsinbe
ba
bxdxcose
bxcoseb
abxsinebbxdxcoseb
babxdxcoseb
a
bxdxcose
b
abxcose
b
abxsineb
ebxdcos
b
abxcose
b
abxsine
b
bxcosde
b
abxsineb
dxebxsinb
abxsineb
debxsin
b
bxsine
b
bxsindebbxdxcose
Cbxcosabxsinbe
ba
bxdxcose
axax
axaxaxax
axaxax
axaxax
axax
axax
axax
axax
axax
+⋅+⋅⋅
+
⋅∴
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+∴
⋅−⋅⋅+⋅⋅
−⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅
⋅−⋅⋅
−⋅⋅
⋅
+⋅+⋅⋅
+
⋅
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
)(1
1)1(
1
1
1
1
11
1
)(1 129
22
22
22
2
2
2
2
2
22
2
22
证明： 76
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
∫
−
−
−−
−−
−−
−−
−
−
−
−−
−
−−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
⋅+
−⋅+
⋅−⋅⋅⋅
+

⋅⋅++⋅⋅⋅+−⋅⋅+
−⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅+
−⋅
⋅
⋅
−⋅⋅
+−⋅⋅
−⋅⋅
+
⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅
⋅
−⋅⋅
++⋅⋅
−⋅⋅
−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅+−⋅⋅
⋅−⋅−⋅⋅
⋅
⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−−⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅
⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
+
−⋅+
⋅−⋅⋅⋅+⋅
dxbxsinenba
bnn
bxcosnbbxsinabxsine
nba
bxsinenba
abxsinbxcosenba
bndxbxsinenba
bnn
bxsinebnnbxsinbxcosenbdxbxsinenba
bnn
dxbxsine
dxebxsin
nnb
nbabxsine
nnb
a
bxsinbxcosenbdxbxsinedxbxsine
dxebxsin
nnb
nbabxsine
nnb
a
bxsinbxcosenbdxbxcosbxsine
dxebxsinbn
nbabxsinebn
a
dxebxsinbdxebxsinbn
abxsinebn
a
bxcosedbxsin
dxebxsinbn
abxsinebndxbxcosbxsine
dxbxcosbxsinendxebxsinb
abxsineb
dxebxcosbxsinnbbxsineabxsinbbxsineb
bxsinedbxsinbbxsineb
bxsindbxsine
b
dxbxcosbxsine
dxebxsinbdxbxcosbxsinea
dxebxsinbbxcoseabxsinbxcosedbxsin
bxcosedbxsinnbbxsinbxcosenb
bxsindbxcosenbdxbxcosbxsine
dxbxcosbxsinedxbxsine
dxbxcosbxsinedxbxsinbxsinedxbxsine
dxbxsine
nba
bnn
bxcosnbbxsinabxsinenbadxbxsine
nax
nax
naxnaxnax
naxnaxnax
nax
axnnax
naxnaxnax
axnnax
naxnax
axnnax
axnaxnnax
axn
axnnaxnax
naxaxnnax
axnnaxnax
naxnax
naxnax
axnnax
axaxnaxn
axnnax
naxnax
naxnax
naxnaxnax
nax
naxnax
1)(
)(1
1)(
1)(
1
)1(
1 1)(


)1()1(

)1(
1

)1()1(

)1(
1


)(
1
)1(1
])1([ 11
)( 11
1

)( )(
)( )1(
1
)1(
1
)1(
1

)(1
1)(
)(1 130
2
222
2
1
222
222
1
222
2
222
2
2
12
222
2
2
22
2
12
2
22
2
122
22
2
1
1
1
21
1
11
1
11
11
122
222
2222
2
222
2
1
222
移项整理：
式代入①式：
⑤式代入②式：
⑤
④式代入③式：
④移项整理：

③

②

①
证明： 77
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
∫
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
−
−−
−
−−
−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−
⋅
+
−⋅+⋅+⋅⋅⋅
+

⋅⋅
+
+⋅⋅⋅
+
+⋅⋅
+
−⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅⋅
−⋅
−⋅⋅⋅−⋅−⋅
−−
−⋅
⋅
⋅−⋅⋅
+−⋅⋅−⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅
⋅−⋅⋅
+−⋅⋅−⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅++⋅⋅−
⋅+⋅+⋅⋅−
⋅
⋅+⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅−−⋅+⋅⋅−
⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅−
⋅+⋅⋅−
⋅−⋅⋅
⋅+⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅
⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
+
−⋅+
⋅+⋅⋅⋅
+
⋅
dxbxcose
nba
bnnbxsinnbbxcosabxcose
nba
bxcose
nba
abxcosbxsine
nba
bndxbxcose
nba
bnn
bxcose
bnn
abxcosbxsinenbdxbxcose
nba
bnn
dxbxcose
dxebxcosnnb
nbabxcosennb
a
bxcosbxsinenbdxbxcosedxbxcose
dxebxcosnnb
nbabxcosennb
a
bxcosbxsinenbdxbxsinbxcose
dxebxcosbn
nbabxcosebn
a
dxebxcosbdxebxcosbn
abxcosebn
a
bxsinedbxcos
dxebxcosbn
abxcosebndxbxsinbxcose
dxbxsinbxcosendxebxcosb
abxcoseb
dxebxsinbxcosnbbxcoseabxcosbbxcoseb
bxcosedbxcosbbxcoseb
bxcosdbxcosebdxbxsinbxcose
dxebxcosbdxbxsinbxcosea
dxebxcosbbxsineabxcosbxsinedbxcos
bxsinedbxcosnbbxcosbxsinenb
bxcosdbxsinenbdxbxsinbxcose
dxbxsinbxcosedxbxcose
dxbxsinbxcosedxbxcosbxcosedxbxcose
dxbxcose
nba
bnn
bxsinnbbxcosabxcose
nba
dxbxcose
naxnax
naxnaxnax
naxnaxnax
nax
axnnax
naxnaxnax
axnnax
naxnax
axnnax
axnaxnnax
axn
axnnaxnax
naxaxnnax
axnnaxnax
naxnax
naxnax
axnnax
axaxnaxn
axnnax
naxnax
naxnax
naxnaxnax
nax
naxnax
1)( )(1
1)(
)(1)(1
1 )(1

)1()1(
)(1
1
)(1)(1
)(1
1


)(
1
)1(1
])1([ 11
)( 11
1

)( )(
)( )(1
1
)(1
1
)(1
1

)(1
1)(
)( 1 131
2
222
2
1
222
222
1
222
2
222
2
2
12
222
2
2
22
2
12
2
22
2
122
22
2
1
1
1
21
1
11
1
11
11
122
222
2222
2
222
2
1
222
移项整理：
式代入①式：
⑤式代入②式：
⑤
④式代入③式：
④移项整理：

③

②

①
证明： 78
（十四）含数函数积分（十四）含数函数积分（十四）含数函数积分（十四）含数函数积分（132~136）
Cxxlnx
dxxlnx
dxxxxlnx
xlndxxlnxxdxln
Cxxlnxxdxln
+−⋅
−⋅
⋅−⋅
−⋅
+−⋅
∫
∫
∫∫
∫


1

132
证明：
Cxlnln
xlndxlndxxlnx
dx
Cxlnlndxxlnx
dx
+
⋅
+⋅
∫∫
∫

1
133
证明：
xxln 1)( ′提示：
Cnxlnxn
Cxnxn
xln
dxxnxn
xln
xlndxnxn
xln
dxn
xln
dxxnn
xlndxxlnx
Cnxlnxndxxlnx
n
nn
nn
nn
n
nn
nn
++−⋅+
+⋅+−⋅+
+−⋅+
+−⋅+
+
⋅+⋅+⋅
++−⋅+⋅
+
++
+
++
+
+
∫
∫
∫
∫∫
∫
)1
1(1
1
)1
1(1
1
1
1
1
1
1
1
)1(1
)1
1(1
1 134
1
121
1
11
1
证明： 79
k
knn
k
knkn
nnnn
nnnn
nnn
nnn
nn
nn
nnn
k
knn
k
nnn
lnxk
nx
xlnxnnn
xlnxnnn
xlnxnnn
lnx)kn(nnn)(
lnxnnnlnxxnnlnxxnlnxx
dxlnxnnnlnxxnnlnxxnlnxx
dxlnxnnlnxxnlnxx
x)lnxd(nlnxxnlnxx
dxlnxnlnxx
dxxx)ln(nxlnxx
x)lnxd(lnxxdxlnx
lnxk
nx
dxlnxnlnxxdxlnx
)()1(
)(123)2()1(1)(
)(234)2()1(1)(
)(345)2()1(1)(
)(1)2()1(1
))(2()1()()1()()(

)()2()1()()1()()(
)()1()()(
)()(
)()(
1)(
)()(
)()1(
)()()( 135
0
110
121
132
321
321
21
11
1
1
0
1
⋅⋅−
⋅⋅××−⋅−⋅⋅−+
⋅⋅××−⋅−⋅⋅−+
⋅⋅××−⋅−⋅⋅−+
+⋅+−−⋅−⋅⋅−++
−⋅−⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅
−⋅−⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅
−⋅+⋅⋅−⋅
+⋅⋅−⋅
−⋅
⋅⋅⋅−⋅
−⋅
⋅⋅−
−⋅
−

−
−
−
−−
−−−
−−−
−−
−−
−
−
−

−
∑
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∑
∫∫


证明：


⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯

∫
∫
∫
∫∫
∫∫
−+
−++
++
+
−+
⋅+−⋅⋅+
⋅⋅+−⋅⋅+
+−⋅⋅+
+⋅
⋅+−⋅⋅+⋅
dxxlnxmxlnxm
dxxxlnxmxlnxm
xlndxmxlnxm
dxxlnmdxxlnx
dxxlnxmxlnxmdxxlnx
mm
mm
mm
mm
mmm
)(1
n)(1
1
1)(1
n)(1
1
)( 1
1)(1
1
)(1
1 )(
)(1
n)(1
1 )( 136
1nn1
1n1n1
n1n1
1nn
1nn1n
证明： 80
（十五）含双曲函数积分（十五）含双曲函数积分（十五）含双曲函数积分（十五）含双曲函数积分（137~141）
Cshx
shxddxxch
chxshxchxshx
Cshxdxxch
+
∴
′
+
∫∫
∫


)(
138
原函数证明：∵
Cchx
chxddxshx
shxchxshxchx
Cchxdxshx
+
∴
′
+
∫∫
∫


)(
137
原函数证明：∵
Cchxln
chxdchx
dxchx
shxdxxth
Cchxlndxxth
+


+
∫
∫ ∫
∫

1

139
证明：
)( 2
)( 2
双曲余弦
双曲余弦：提示
xx
xx
eeshx
eechx
−
−
−
+
Cxshx
Ceex
Cxee
dxee
dxeedxxsh
Cxshxdxxsh
xx
xx
xx
xx
+⋅+−
+−⋅+−
+−−
−+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
++−
−
−
−
−
∫
∫∫
∫
2 4
1
2
24
1
2
288
)2(4
1
2

2 4
1
2 140
22
22
22
2
2
2
证明：
Cxshx
Ceex
Cxee
dxee
dxeedxxch
Cxshxdxxch
xx
xx
xx
xx
+⋅+
+−⋅+
++−
++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
+⋅+
−
−
−
−
∫
∫∫
∫
2 4
1
2
24
1
2
288

)2(4
1
2
2 4
1
2 141
22
22
22
2
2
2
证明：
)( 2
)( 2
双曲余弦
双曲余弦：提示
xx
xx
eeshx
eechx
−
−
−
+ 81
（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142~147）
0
0
)( 1)( 1
)(1
1
0
)( 2
)( 1)( 1
)(1
1
0 142


−⋅+⋅−
⋅−


⋅
−⋅−⋅
⋅


∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−−
−
−−
−
−−
−−
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
dxnxsindxnxcos
πncosnπncosn
nxcosn
dnxnxsinndxnxsin
πnsinn
πnsinnπnsinn
nxsinn
dnxnxcosndxnxcos
dxnxsindxnxcos
综合证明①②：
证明②：
证明①：
0 2 1
0
)]2(2[4
1
24
1
2 24
1
22
1

2
000
)])(()([)(2
1])()([)(2
1
)()(2
1)()(2
1
1
0 143
⋅

−−⋅−
⋅−


⋅⋅

+
−−−−−−+−++−
−−−+⋅+−⋅
≠
⋅
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
−−
−
−
−
−−
−−
−
−
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
dxnxsinmxcosdxnxcos
πmcosπmcosm
mxcosm
mxdmxsinm
mxdmxsinm
dxmxsinmxcosdxnxsinmxcos
nm
πmncosπmncosmnπnmcosπnmcosnm
xmncosmnxnmcosnmdxnxsinmxcos
nm
dxnxsinmxcos
：综合讨
时
时证明：
C)(
)(2
1 )(
)(2
1 100 +−⋅
−
−+⋅
+
−⋅∫ xbacos
ba
xbacos
ba
dxbxcosaxsin：公式
xcosxsinxsin ⋅⋅ 22 提示： 82
⎩
⎨
⎧

≠⋅

++−−⋅
⋅+⋅

⋅⋅

−
−−+−−−−+−++
−−−+⋅+⋅
≠
⎩
⎨
⎧

≠⋅
∫
∫
∫∫
∫
∫
−
−−
−
−−
−−
−
−
nmπ
nmdxnxcosmxcos
π
πππmsinπmsinm
mxmmxsinm
mxdmxcosm
dxmxcosmxcosdxnxcosmxcos
nm
πnmsinπnmsinnmπnmsinπnmsinnm
xnmsinnmxnmsinnmdxnxcosmxcos
nm
nmπ
nmdxnxcosmxcos
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π

0 2 1

22)]2( 2[4
1
2
124
1
1

2
000
)])(( )( [)(2
1)])(( )( [)(2
1
)( )(2
1)( )(2
1
1

0 144
2

：综合讨
时
时证明：


∫ +⋅+ Cxsinxdxxcos 24
1
2 94 2：公式
C)(
)(2
1 )(
)(2
1 102 +−⋅
−
++⋅
+
⋅∫ xbasin
ba
xbasin
ba
dxbxcosaxcos：公式
⎩
⎨
⎧

≠⋅

++−−⋅−
⋅−⋅

⋅

+
−−−−−+−+−++−
−−++⋅+−⋅
≠
⎩
⎨
⎧

≠⋅
∫
∫
∫∫
∫
∫
−
−−
−
−−
−−
−
−
nmπ
nmdxnxsinmxsin
π
πππmsinπmsinm
mxsinmmxm
mxdmxsinm
dxmxsindxnxsinmxsin
nm
πnmsinπnmsinnmπnmsinπnmsinnm
xnmsinnmxnmsinnmdxnxsinmxsin
nm
nmπ
nmdxnxsinmxsin
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π

0 2 1

22)]2( 2[4
1
24
1
2
1
1

2
000
)])(( )( [)(2
1)])(( )( [)(2
1
)( )(2
1)( )(2
1
1

0 145
2
2

：综合讨
时
时证明：


∫ +⋅− Cxsinxdxxsin 24
1
2 93 2：公式
C)(
)(2
1 )(
)(2
1 101 +−⋅
−
++⋅
+
−⋅∫ xbasin
ba
xbasin
ba
dxbxsinaxsin：公式 83
⎪⎩
⎪⎨
⎧

≠
⋅⋅

++−⋅
⋅+⋅

⋅⋅

++−⋅−
⋅−⋅

⋅

+
+−−+−++
−−++⋅+⋅
+
−−−+−++−
−−++⋅+−⋅
≠
⎪⎩
⎪⎨
⎧

≠
⋅⋅
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
nmπ
nm
dxnxcosmxcosdxnxsinmxsin
π
πsinπmsin
m
mxmmxsinm
mxdmxcosm
dxmxcosmxcosdxnxcosmxcos
π
πsinπmsin
m
mxsinmmxm
mxdmxsinm
dxmxsindxnxsinmxsin
nm
sinπnmsinnmsinπnmsinnm
xnmsinnmxnmsinnmdxnxcosmxcos
sinπnmsinnmsinπnmsinnm
xnmsinnmxnmsinnmdxnxsinmxsin
nm
nmπ
nm
dxnxcosmxcosdxnxsinmxsin
ππ
ππ
π
ππ
ππ
π
ππ
ππ
π
ππ
π
ππ
2
0
2 1
2
0
2
0] 2[
4
1
2
124
1
1

2
0
2
0] 2[
4
1
24
1
2
1
1

2
000
0] )( [)(2
10] )( [)(2
1
)( )(2
1)( )(2
1
000
0] )( [)(2
10] )( [)(2
1
)( )(2
1)( )(2
1
1
2
0
146
00
00
0
2
00
00
0
2
0
2
0
00
0
00
0
00


：综合讨
时
时证明：


∫
∫
∫
∫
+⋅+
+⋅−
+−⋅−++⋅+⋅
+−⋅−++⋅+−⋅
Cxsinxdxxcos
Cxsinxdxxsin
xbasinbaxbasinbadxbxcosaxcos
xbasinbaxbasinbadxbxsinaxsin
24
1
2 94
24
1
2 93
C)( )(2
1 )( )(2
1 102
C)( )(2
1 )( )(2
1 101
2
2
：公式
：公式
：公式
：公式
公式： 84
理证证明②：
时特
正偶数时
时特
正奇数时
证明①：
正偶数
正奇数
⋯⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
dxxcosI
πxdxxsinIn
π
n
n
n
n
xn
n
n
n
dxxsinn
n
n
nI
n
xcosdxxsinIn
n
n
n
n
xcosn
n
n
n
dxxsinn
n
n
nI
n
In
ndxxsinn
n
dxxsinn
ncossinπcosπsinn
dxxsinn
nxcosxsinndxxsinI
πInπ
n
n
n
n
Inn
n
n
n
In
nI
dxxcosdxxsinI
π
n
n
ππ
n
π
π
n
ππ
n
π
π
n
n
π
n
π
nnn
π
n
π
n
π
n
n
nn
π
n
π
n
n

2)( 0
22
1
4
3
2
31
)(2
1
4
3
2
31
2
1
4
3
2
31

1)( 1
13
2
5
4
2
31
)(3
2
5
4
2
31
3
2
5
4
2
31

1 1
1)0022(1
11
2 )( 22
1
4
3
2
31
1 )1( 3
2
5
4
2
31

1
147
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
211
2
0
22
0
12
0
0
1
2
2
0
2
0
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫


⋅⋅⋅⋅
−
−⋅−
⋅⋅⋅⋅−
−⋅−
⋅⋅⋅⋅−
−⋅−
−
⋅⋅⋅⋅−
−⋅−
−⋅⋅⋅⋅−
−⋅−
⋅⋅⋅⋅−
−⋅−
−−
−+⋅−⋅−
−+⋅⋅−
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅⋅⋅⋅−
−⋅−
⋅⋅⋅−
−⋅−

−

−
−
−−−
−−
− 85
附录：常数基初等函数导数公式附录：常数基初等函数导数公式附录：常数基初等函数导数公式附录：常数基初等函数导数公式
2
2
2
2
a
xx
xx
2
2
1μμ
x
arccotx
x
arctanx
x
arccosx
x
arcsinx
xlnx
alnaxxlog
ee
alnaaa
cotxcscxcscx
tanxsecxsecx7
xcsccotx6
xsectanx5
sinxcosx
cosxsinx3
0)(xxμx
C 0C
+
−′
+
′
−−
′
−
′
′
>⋅′
′
⋅′
⋅−′
⋅′
−′
′
−′
′
⋅′
′
−
1
1)( 16
1
1)( 15
1
1)( 14
1
1)( 13
1)( 12
0)( 1)( 11
) ( 10
)( ) ( 9
)( 8
)(
)(
)(
)( 4
)(
≠ )( 2
)( ) ( 1
常数
常数 86
说说说说 明明明明
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2222讲义方便位学友阅读排版采单面完整证讲义方便位学友阅读排版采单面完整证讲义方便位学友阅读排版采单面完整证讲义方便位学友阅读排版采单面完整证
明程原明程原明程原明程原
3333讲义编辑较匆忙讲义编辑较匆忙讲义编辑较匆忙讲义编辑较匆忙难免推导输入错误难免推导输入错误难免推导输入错误难免推导输入错误广学友予广学友予广学友予广学友予
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