学奥数公式全
34学奥数必考公式
1差倍问题：
差问题
倍问题
差倍问题
已知条件
数差
数倍数
数差倍数
公式适范围
已知两数差倍数关系
公式
①(－差)÷2较数
较数＋差较数
－较数较数
②(＋差)÷2较数
较数－差较数
－较数较数
÷(倍数＋1)数
数×倍数数
－数数
差÷(倍数1)数
数×倍数数
数＋差数
关键问题
求出条件
差
倍数
差倍数
2年龄问题三基特征：
①两年龄差变
②两年龄时增加者时减少
③两年龄倍数发生变化
3问题基特点：
问题中变量般单量题目般样速度……等词语表示
关键问题：
根题目中条件确定求出单量
4植树问题：
基类型
直线者封闭曲线植树两端植树
直线者封闭曲线植树两端植树
直线者封闭曲线植树端植树
封闭曲线植树
基公式
棵数段数＋1
棵距×段数总长
棵数段数－1
棵距×段数总长
棵数段数
棵距×段数总长
关键问题
确定属类型确定棵数段数关系
5鸡兔笼问题：
基概念：
鸡兔笼问题称置换问题假设问题假设错部分置换出
基思路：
①假设假设某种现象存（甲乙样者乙甲样）：
②假设发生题目条件差找出差少
③事物造成差固定找出出现差原
④根两差作适调整消出现差
基公式：
①鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数鸡脚数×总头数）÷（兔脚数鸡脚数）
关键问题：找出总量差单位量差
6盈亏问题：
基概念：
定量象某种标准分组产生种结果：种标准分组产生种结果分组标准造成结果差异关系求象分组组数象总量
基思路：
先两种分配方案进行较分析标准差异造成结果变化根关系求出参加分配总份数然根题意求出象总量
基题型：
①次余数次足
基公式：总份数＝（余数＋足数）÷两次份数差
②两次余数
基公式：总份数＝（较余数较余数）÷两次份数差
③两次足
基公式：总份数＝（较足数较足数）÷两次份数差
基特点：
象总量总组数变
关键问题：
确定象总量总组数
7牛吃草问题：
基思路：
假设头牛吃草速度1份根两次吃法求出中总草量差找出造成种差异原确定草生长速度总草量
基特点：
原草量新草生长速度变
关键问题：
确定两变量
基公式：
生长量（较长时间×长时间牛头数较短时间×短时间牛头数）÷（长时间短时间）
总草量较长时间×长时间牛头数较长时间×生长量
8周期循环数表规律：
周期现象：
事物运动变化程中某特征规律循环出现
周期：
连续两次出现时间周期
关键问题：
确定循环周期
闰 年：年366天
①年份4整②果年份100整年份必须400整
年：年365天
①年份4整②果年份100整400整
9均数：
基公式：
①均数总数量÷总份数
总数量均数×总份数
总份数总数量÷均数
②均数基准数＋数基准数差÷总份数
基算法：
①求出总数量总份数利基公式①进行计算
②基准数法：根出数间关系确定基准数般选数较接数者中间数基准数基准数标准求出数基准数差求出差求出差均数求差均数基准数求均数具体关系见基公式②
10抽屉原理：
抽屉原：
果（n+1）物体放n抽屉里必抽屉中少放2物体
例：4物体放3抽屉里4分解成三整数四种情况：
①44+0+0 ②43+1+0 ③42+2+0 ④42+1+1
观察面四种放物体方式会发现特点：总抽屉里22物体说必抽屉中少放2物体
抽屉原二：
果n物体放m抽屉里中n>m必抽屉少
①k[nm ]+1物体：nm整时
②knm物体：nm整时
理解知识点：
[X]表示超X整数
例[4351]4[0321]0[29999]2
关键问题：
构造物体抽屉找代表物体抽屉量抽屉原进行运算
11定义新运算：
基概念：
定义种新运算符号新运算符号包含种基（混合）运算
基思路：
严格新定义运算规已知数代入转化加减运算然基运算程规律进行运算
关键问题：
正确理解定义运算符号意义
注意事项：
①新运算定符合运算规律特注意运算序
②新定义运算符号题中
12数列求：
等差数列：
列数中意相邻两数差定样列数做等差数列
基概念：
首项：等差数列第数般a1表示
项数：等差数列数数般n表示
公差：数列中意相邻两数差般d表示
通项：表示数列中数公式般an表示
数列：数列全部数字般Sn表示．
基思路：
等差数列中涉五量：a1 an d nsn通项公式中涉四量果知中三求出第四求公式中涉四量果知中三求第四
基公式：
通项公式：an a1+（n－1）d
通项＝首项＋（项数1)×公差
数列公式：sn (a1+ an)×n÷2
数列＝（首项＋末项）×项数÷2
项数公式：n (an+ a1)÷d＋1
项数（末项首项）÷公差＋1
公差公式：d （an－a1））÷（n－1）
公差（末项－首项）÷（项数－1）
关键问题：
确定已知量未知量确定公式
13二进制应：
十进制：
0～9十数字表示逢10进1数位数字表示含义十位2表示20百位2表示200234200+30+42×102+3×10+4
An×10n1+An1×10n2+An2×10n3+An3×10n4+An4×10n5+An6×10n7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0１N１N（中N意然数）
二进制：
0～1两数字表示逢2进1数位数字表示含义
（2） An×2n1+An1×2n2+An2×2n3+An3×2n4+An4×2n5+An6×2n7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An01
十进制化成二进制：
①根二进制满2进1特点2连续数直商0然次余数次写出
②先找出该数2n次方求差找差2n次方方法直找差0二进制展开式特点写出
14加法法原理计数：
加法原理：
果完成件务n类方法第类方法中m1种方法第二类方法中m2种方法……第n类方法中mn种方法完成件务：m1+ m2 +mn种方法
关键问题：
确定工作分类方法
基特征：
种方法完成务
法原理：
果完成件务需分成n步骤进行做第1步m1种方法第1步种方法第2步总m2种方法……前面n1步种方法第n步总mn种方法完成件务：m1×m2×mn种方法
关键问题：
确定工作完成步骤
基特征：
步完成务部分
直线：
点直线空间定方相反方运动形成轨迹
直线特点：
没端点没长度
线段：
直线意两点间距离两点端点
线段特点：
两端点长度
射线：
直线端限延长
射线特点：
端点没长度
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数1）
②数角规律1+2+3+…+（射线数1）
③数长方形规律：数长线段数×宽线段数：
④数长方形规律：数1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15质数合数：
质数：
数1身外没约数数做质数做素数
合数：
数1身外约数数做合数
质数：
果某质数某数约数质数做数质数
分解质数：
数质数相形式表示出做分解质数通常短法分解质数合数分解质数结果唯
分解质数标准表示形式：
N 中a1a2a3……an合数N质数a1求约数数公式：
P(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：
果两数公约数1两数做互质数
16约数倍数：
约数倍数：
整数a够b整a做b倍数b做a约数
公约数：
数公约数做数公约数中做数公约数
公约数性质：
1 数公约数商互质数
2 数公约数数约数
3 数公约数数公约数约数
4 数然数m积公约数等数公约数m
例：12约数1234612
18约数：1236918
1218公约数：1236
1218公约数：6记作（1218）6
求公约数基方法：
1分解质数法：先分解质数然相数连起
2短法：先找公约数然相
3辗转相法：次数余数相够整余数求公约数
公倍数：
数公倍数做数公倍数中做数公倍数
12倍数：12243648……
18倍数：18365472……
1218公倍数：3672108……
1218公倍数36记作[1218]36
公倍数性质：
1两数意公倍数公倍数倍数
2两数公约数公倍数积等两数积
求公倍数基方法：1短法求公倍数2分解质数方法
17数整：
基概念符号：
1整：果整数a然数b整数商c没余数做ab整b整a记作b|a
2常符号：整符号|整符号 符号∵符号∴
整判断方法：
125整：末位数字25整
2425整：末两位数字组成数425整
38125整：末三位数字组成数8125整
439整：数位数字39整
57整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差7整
②逐次掉位数字减末位数字2倍7整
611整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差11整
②奇数位数字偶数位数数字差11整
③逐次掉位数字减末位数字11整
713整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差13整
②逐次掉位数字减末位数字9倍13整
整性质：
1果abc整（a+b）（ab）c整
2果ab整c整数acb整
3果ab整bc整ac整
4果abc整abc公倍数整
18余数应：
基概念：
意然数abqr果a÷bq……r0余数性质：
①余数数
②abc余数相c|abc|ba
③abc余数等ac余数加bc余数c余数
④ab积c余数等ac余数bc余数积c余数
19余数余周期：
余定义：
①两整数abm余数相称ab模m余
②已知三整数abm果m|ab称ab模m余记作a≡b(mod m)读作a余b模m
余性质：
①身性：a≡a(mod m)
②称性：a≡b(mod m)b≡a(mod m)
③传递性：a≡b(mod m)b≡c(mod m)a≡ c(mod m)
④差性：a≡b(mod m)c≡d(mod m)a+c≡b+d(mod m)ac≡bd(mod m)
⑤相性：a≡ b(mod m)c≡d(mod m)a×c≡ b×d(mod m)
⑥方性：a≡b(mod m)an≡bn(mod m)
⑦倍性a≡ b(mod m)整数ca×c≡ b×c(mod m×c)
关方预备知识：
①Aa×bMAMa×b（Ma）b
②Bc+dMBMc+dMc×Md
3911余数特征：
①然数Mn表示M数位数字M≡n(mod 9)（mod 3）
②然数MX表示M奇数位数字Y表示M偶数数位数字M≡YXM≡11（XY）(mod 11)
费尔马定理：
果p质数（素数）a然数ap整ap1≡1(mod p)
20分数百分数应：
基概念性质：
分数：单位1均分成份表示样份份数
分数性质：分数分子分母时相数（0外）分数变
分数单位：单位1均分成份表示样份数
百分数：表示数数百分数
常方法：
①逆思维方法：题目提供条件反方（结果）进行思考
②应思维方法：找出题目中具体量占率直接应关系
③转化思维方法：类应题转化成类应题进行解答常见转换成例转换成倍数关系标准（分数中般指倍量）分率转化成条件分率常见处理方法确定标准倍量
④假设思维方法：解题方便题目中相等量假设成相等者假设某种情况成立计算出相应结果然进行调整求出结果
⑤量变思维方法：变化量中总量变量变化量始终固定变三种情况：A分量发生变化总量变B总量发生变化中分量变C总量分量发生变化分量间差量变化
⑥换思维方法：种量代种量数量关系单化量率关系明朗化
⑦倍率法：总量分量间分率变化规律进行处理
⑧浓度配法：般应总量分量发生变化状况
21分数较：
基方法：
①通分分子法：分数分子相根分子分数分母关系较
②通分分母法：分数分母相根分母分数分子关系较
③基准数法：确定标准分数进行较
④分子分母较法：分子分母差定时分子分母越分数值越
⑤倍率较法：较两分子分母时变化时分数运方法外倍率变化关系较分数（具体运见倍率变化规律）
⑥转化较方法：分数转化成数（求出分数值）进行较
⑦倍数较法：数数结果数1进行较
⑧较法：分数减分数出数0较
⑨倒数较法：利倒数较然确定原数
⑩基准数较法：确定基准数数基准数较
22分数拆分：
分数单位分解成两分数公式：
23完全方数：
完全方数特征：
1末位数字：014569反成立
23余0余1反成立
34余0余1反成立
4约数数奇数反成立
5奇数方十位数字偶数反成立
6奇数方位数字奇数偶数方位数字偶数
7两相整数方间方数
方差公式：
X2Y2（XY）（X+Y）
完全方公式：
（X+Y）2X2+2XY+Y2
完全方差公式：
（XY）2X22XY+Y2
24例：
：
两数相两数号前面数前项号面数项
值：
前项项商做值
性质：
前项项时相数（零外）值变
例：
表示两相等式子做例abcd
例性质：
两外项积等两项积(交叉相)adbc
正例：
A扩缩倍B扩缩倍（AB商变时）AB成正
反例：
A扩缩倍B缩扩倍（AB积变时）AB成反
例尺：
图距离实际距离做例尺
例分配：
数定例分成份例分配
25综合行程：
基概念：
行程问题研究物体运动研究物体速度时间路程三者间关系
基公式：
路程速度×时间路程÷时间速度路程÷速度时间
关键问题：
确定运动程中位置方
相遇问题：速度×相遇时间相遇路程（请写出公式）
追问题：追时间＝路程差÷速度差（写出公式）
流水问题：水行程（船速+水速）×水时间
逆水行程（船速水速）×逆水时间
水速度船速+水速
逆水速度船速水速
静水速度（水速度+逆水速度）÷2
水 速（水速度逆水速度）÷2
流水问题：关键确定物体运动速度参公式
桥问题：关键确定物体运动路程参公式
方法：画线段图法
基题型：
已知路程（相遇路程追路程）时间（相遇时间追时间）速度（速度速度差）中意两量求第三量
26工程问题：
基公式：
①工作总量工作效率×工作时间
②工作效率工作总量÷工作时间
③工作时间工作总量÷工作效率
基思路：
①假设工作总量1（总工作量关）
②假设方便数工作总量（般完成工作总量时间公倍数）利述三基关系简单表示出工作效率工作时间
关键问题：
确定工作量工作时间工作效率间两两应关系
27逻辑推理：
条件分析—假设法：
假设情况中种成立然假设判断果题设条件矛盾情况说明该假设情况成立相反情况成立例假设a偶数成立判断程中出现矛盾a定奇数
条件分析—列表法：
题设条件较需次假设完成时需进行列表辅助分析列表法题设条件全部表示长方形表格中表格行列分表示象情况观察表格题设情况运逻辑规律进行判断
条件分析—图表法：
两象间两种关系时连线表示两象间关系连线表示等肯定状态没连线表示否定状态例AB两间认识认识两种状态连线表示认识没表示认识
逻辑计算：
推理程中进行条件分析推理外进行相应计算根计算结果推理提供新判断筛选条件
简单纳推理：
根题目提供特征数分析中存规律方法特殊情况推广般情况递推出相关关系式问题解决
28面积：基思路：
面积计算直接运公式情况般需图形进行割补移旋转翻折分解变形重叠等规图形变规图形进行计算外需掌握记忆常规面积规律
常方法：
1连辅助线方法
2利等底等高两三角形面积相等
3胆假设（点设置题目中说意点解题时意点设置特殊位置）
4利特殊规律
①等腰直角三角形已知意条边求出面积（斜边方4等等腰直角三角形面积）
②梯形角线连线两腰部分面积相等
③圆面积占外接正方形面积785
29时钟问题—快慢表问题：基思路：
1行程问题中思维方法解题
2表成速度运动物体
3路程单位分格（表周60分格）
4时间标准表时间
5合理利行程问题中例关系
30时钟问题—钟面追：基思路：
封闭曲线追问题
关键问题：
①确定分针时针初始位置
②确定分针时针路程差
基方法：
①分格方法：
时钟钟面圆周均匀分成60格格称1分格分针时走60分格周时针走5分格分针分钟走1分格时针分钟走1／12分格
②度数方法：
角度观点钟面圆周周360°分针分钟转 36060度6°时针分钟转36012X60度12度
31浓度配：验总结：
配程中存样反例关系进行混合两种溶液重量浓度变化成反
溶质：溶解物质里物质（例糖盐酒精等）溶质
溶剂：溶解物质物质（例水汽油等）溶剂
溶液：溶质溶剂混合成液体（例盐水糖水等）溶液
基公式：
溶液重量溶质重量+溶剂重量
溶质重量溶液重量×浓度
浓度 溶质溶液×100溶质（溶剂+溶质）×100
验总结：
配程中存样反例关系进行混合两种溶液重量浓度变化成反
32济问题：
利润百分数（卖价成）÷成×100
卖价成×（1+利润百分数）
成卖价÷（1+利润百分数）
商品定价期利润确定
定价成×（1+期利润百分数）
金：储蓄金额
利率：利息金
利息金×利率×期数
含税价格含税价格×（1+增值税税率）
33定方程：次定方程：
含两未知数方程做二元次方程解唯做二元次定方程
常规方法：
观察法试验法枚举法
元定方程：
含三未知数方程三元次方程解唯
元定方程解法：
根已知条件确定未知数值者消未知数样三元次方程变成二元次定方程二元次定方程解
涉知识点：
列方程数整较
解定方程步骤：
1列方程2消元3写出表达式4确定范围5确定特征6确定答案
技巧总结：
A写出表达式技巧：特征明显未知数表示特征明显未知数时考虑范围未知数表示范围未知数
B消元技巧：消掉范围未知数
34循环数：
循环数数部分化成分数规：
①纯循环数数部分化成分数：循环节数字组成数作分子分母位99数循环节位数相约分约分
②混循环数数部分化成分数：分子第二循环节前数部分数字组成数循环部分数字组成数差分母头位数字99数循环节位数相末位00数循环部分位数相
分数转化成循环数判断方法：
①简分数果分母中含质数25含25外质数分数化成数必定混循环数
②简分数果分母中含25外质数分数化成数必定纯循环数
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34学奥数必考公式
1差倍问题：
差问题
倍问题
差倍问题
已知条件
数差
数倍数
数差倍数
公式适范围
已知两数差倍数关系
公式
①(－差)÷2较数
较数＋差较数
－较数较数
②(＋差)÷2较数
较数－差较数
－较数较数
÷(倍数＋1)数
数×倍数数
－数数
差÷(倍数1)数
数×倍数数
数＋差数
关键问题
求出条件
差
倍数
差倍数
2年龄问题三基特征：
①两年龄差变
②两年龄时增加者时减少
③两年龄倍数发生变化
3问题基特点：
问题中变量般单量题目般样速度……等词语表示
关键问题：
根题目中条件确定求出单量
4植树问题：
基类型
直线者封闭曲线植树两端植树
直线者封闭曲线植树两端植树
直线者封闭曲线植树端植树
封闭曲线植树
基公式
棵数段数＋1
棵距×段数总长
棵数段数－1
棵距×段数总长
棵数段数
棵距×段数总长
关键问题
确定属类型确定棵数段数关系
5鸡兔笼问题：
基概念：
鸡兔笼问题称置换问题假设问题假设错部分置换出
基思路：
①假设假设某种现象存（甲乙样者乙甲样）：
②假设发生题目条件差找出差少
③事物造成差固定找出出现差原
④根两差作适调整消出现差
基公式：
①鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数鸡脚数×总头数）÷（兔脚数鸡脚数）
关键问题：找出总量差单位量差
6盈亏问题：
基概念：
定量象某种标准分组产生种结果：种标准分组产生种结果分组标准造成结果差异关系求象分组组数象总量
基思路：
先两种分配方案进行较分析标准差异造成结果变化根关系求出参加分配总份数然根题意求出象总量
基题型：
①次余数次足
基公式：总份数＝（余数＋足数）÷两次份数差
②两次余数
基公式：总份数＝（较余数较余数）÷两次份数差
③两次足
基公式：总份数＝（较足数较足数）÷两次份数差
基特点：
象总量总组数变
关键问题：
确定象总量总组数
7牛吃草问题：
基思路：
假设头牛吃草速度1份根两次吃法求出中总草量差找出造成种差异原确定草生长速度总草量
基特点：
原草量新草生长速度变
关键问题：
确定两变量
基公式：
生长量（较长时间×长时间牛头数较短时间×短时间牛头数）÷（长时间短时间）
总草量较长时间×长时间牛头数较长时间×生长量
8周期循环数表规律：
周期现象：
事物运动变化程中某特征规律循环出现
周期：
连续两次出现时间周期
关键问题：
确定循环周期
闰 年：年366天
①年份4整②果年份100整年份必须400整
年：年365天
①年份4整②果年份100整400整
9均数：
基公式：
①均数总数量÷总份数
总数量均数×总份数
总份数总数量÷均数
②均数基准数＋数基准数差÷总份数
基算法：
①求出总数量总份数利基公式①进行计算
②基准数法：根出数间关系确定基准数般选数较接数者中间数基准数基准数标准求出数基准数差求出差求出差均数求差均数基准数求均数具体关系见基公式②
10抽屉原理：
抽屉原：
果（n+1）物体放n抽屉里必抽屉中少放2物体
例：4物体放3抽屉里4分解成三整数四种情况：
①44+0+0 ②43+1+0 ③42+2+0 ④42+1+1
观察面四种放物体方式会发现特点：总抽屉里22物体说必抽屉中少放2物体
抽屉原二：
果n物体放m抽屉里中n>m必抽屉少
①k[nm ]+1物体：nm整时
②knm物体：nm整时
理解知识点：
[X]表示超X整数
例[4351]4[0321]0[29999]2
关键问题：
构造物体抽屉找代表物体抽屉量抽屉原进行运算
11定义新运算：
基概念：
定义种新运算符号新运算符号包含种基（混合）运算
基思路：
严格新定义运算规已知数代入转化加减运算然基运算程规律进行运算
关键问题：
正确理解定义运算符号意义
注意事项：
①新运算定符合运算规律特注意运算序
②新定义运算符号题中
12数列求：
等差数列：
列数中意相邻两数差定样列数做等差数列
基概念：
首项：等差数列第数般a1表示
项数：等差数列数数般n表示
公差：数列中意相邻两数差般d表示
通项：表示数列中数公式般an表示
数列：数列全部数字般Sn表示．
基思路：
等差数列中涉五量：a1 an d nsn通项公式中涉四量果知中三求出第四求公式中涉四量果知中三求第四
基公式：
通项公式：an a1+（n－1）d
通项＝首项＋（项数1)×公差
数列公式：sn (a1+ an)×n÷2
数列＝（首项＋末项）×项数÷2
项数公式：n (an+ a1)÷d＋1
项数（末项首项）÷公差＋1
公差公式：d （an－a1））÷（n－1）
公差（末项－首项）÷（项数－1）
关键问题：
确定已知量未知量确定公式
13二进制应：
十进制：
0～9十数字表示逢10进1数位数字表示含义十位2表示20百位2表示200234200+30+42×102+3×10+4
An×10n1+An1×10n2+An2×10n3+An3×10n4+An4×10n5+An6×10n7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0１N１N（中N意然数）
二进制：
0～1两数字表示逢2进1数位数字表示含义
（2） An×2n1+An1×2n2+An2×2n3+An3×2n4+An4×2n5+An6×2n7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An01
十进制化成二进制：
①根二进制满2进1特点2连续数直商0然次余数次写出
②先找出该数2n次方求差找差2n次方方法直找差0二进制展开式特点写出
14加法法原理计数：
加法原理：
果完成件务n类方法第类方法中m1种方法第二类方法中m2种方法……第n类方法中mn种方法完成件务：m1+ m2 +mn种方法
关键问题：
确定工作分类方法
基特征：
种方法完成务
法原理：
果完成件务需分成n步骤进行做第1步m1种方法第1步种方法第2步总m2种方法……前面n1步种方法第n步总mn种方法完成件务：m1×m2×mn种方法
关键问题：
确定工作完成步骤
基特征：
步完成务部分
直线：
点直线空间定方相反方运动形成轨迹
直线特点：
没端点没长度
线段：
直线意两点间距离两点端点
线段特点：
两端点长度
射线：
直线端限延长
射线特点：
端点没长度
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数1）
②数角规律1+2+3+…+（射线数1）
③数长方形规律：数长线段数×宽线段数：
④数长方形规律：数1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15质数合数：
质数：
数1身外没约数数做质数做素数
合数：
数1身外约数数做合数
质数：
果某质数某数约数质数做数质数
分解质数：
数质数相形式表示出做分解质数通常短法分解质数合数分解质数结果唯
分解质数标准表示形式：
N 中a1a2a3……an合数N质数a1
P(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：
果两数公约数1两数做互质数
16约数倍数：
约数倍数：
整数a够b整a做b倍数b做a约数
公约数：
数公约数做数公约数中做数公约数
公约数性质：
1 数公约数商互质数
2 数公约数数约数
3 数公约数数公约数约数
4 数然数m积公约数等数公约数m
例：12约数1234612
18约数：1236918
1218公约数：1236
1218公约数：6记作（1218）6
求公约数基方法：
1分解质数法：先分解质数然相数连起
2短法：先找公约数然相
3辗转相法：次数余数相够整余数求公约数
公倍数：
数公倍数做数公倍数中做数公倍数
12倍数：12243648……
18倍数：18365472……
1218公倍数：3672108……
1218公倍数36记作[1218]36
公倍数性质：
1两数意公倍数公倍数倍数
2两数公约数公倍数积等两数积
求公倍数基方法：1短法求公倍数2分解质数方法
17数整：
基概念符号：
1整：果整数a然数b整数商c没余数做ab整b整a记作b|a
2常符号：整符号|整符号 符号∵符号∴
整判断方法：
125整：末位数字25整
2425整：末两位数字组成数425整
38125整：末三位数字组成数8125整
439整：数位数字39整
57整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差7整
②逐次掉位数字减末位数字2倍7整
611整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差11整
②奇数位数字偶数位数数字差11整
③逐次掉位数字减末位数字11整
713整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差13整
②逐次掉位数字减末位数字9倍13整
整性质：
1果abc整（a+b）（ab）c整
2果ab整c整数acb整
3果ab整bc整ac整
4果abc整abc公倍数整
18余数应：
基概念：
意然数abqr果a÷bq……r0
①余数数
②abc余数相c|abc|ba
③abc余数等ac余数加bc余数c余数
④ab积c余数等ac余数bc余数积c余数
19余数余周期：
余定义：
①两整数abm余数相称ab模m余
②已知三整数abm果m|ab称ab模m余记作a≡b(mod m)读作a余b模m
余性质：
①身性：a≡a(mod m)
②称性：a≡b(mod m)b≡a(mod m)
③传递性：a≡b(mod m)b≡c(mod m)a≡ c(mod m)
④差性：a≡b(mod m)c≡d(mod m)a+c≡b+d(mod m)ac≡bd(mod m)
⑤相性：a≡ b(mod m)c≡d(mod m)a×c≡ b×d(mod m)
⑥方性：a≡b(mod m)an≡bn(mod m)
⑦倍性a≡ b(mod m)整数ca×c≡ b×c(mod m×c)
关方预备知识：
①Aa×bMAMa×b（Ma）b
②Bc+dMBMc+dMc×Md
3911余数特征：
①然数Mn表示M数位数字M≡n(mod 9)（mod 3）
②然数MX表示M奇数位数字Y表示M偶数数位数字M≡YXM≡11（XY）(mod 11)
费尔马定理：
果p质数（素数）a然数ap整ap1≡1(mod p)
20分数百分数应：
基概念性质：
分数：单位1均分成份表示样份份数
分数性质：分数分子分母时相数（0外）分数变
分数单位：单位1均分成份表示样份数
百分数：表示数数百分数
常方法：
①逆思维方法：题目提供条件反方（结果）进行思考
②应思维方法：找出题目中具体量占率直接应关系
③转化思维方法：类应题转化成类应题进行解答常见转换成例转换成倍数关系标准（分数中般指倍量）分率转化成条件分率常见处理方法确定标准倍量
④假设思维方法：解题方便题目中相等量假设成相等者假设某种情况成立计算出相应结果然进行调整求出结果
⑤量变思维方法：变化量中总量变量变化量始终固定变三种情况：A分量发生变化总量变B总量发生变化中分量变C总量分量发生变化分量间差量变化
⑥换思维方法：种量代种量数量关系单化量率关系明朗化
⑦倍率法：总量分量间分率变化规律进行处理
⑧浓度配法：般应总量分量发生变化状况
21分数较：
基方法：
①通分分子法：分数分子相根分子分数分母关系较
②通分分母法：分数分母相根分母分数分子关系较
③基准数法：确定标准分数进行较
④分子分母较法：分子分母差定时分子分母越分数值越
⑤倍率较法：较两分子分母时变化时分数运方法外倍率变化关系较分数（具体运见倍率变化规律）
⑥转化较方法：分数转化成数（求出分数值）进行较
⑦倍数较法：数数结果数1进行较
⑧较法：分数减分数出数0较
⑨倒数较法：利倒数较然确定原数
⑩基准数较法：确定基准数数基准数较
22分数拆分：
分数单位分解成两分数公式：
23完全方数：
完全方数特征：
1末位数字：014569反成立
23余0余1反成立
34余0余1反成立
4约数数奇数反成立
5奇数方十位数字偶数反成立
6奇数方位数字奇数偶数方位数字偶数
7两相整数方间方数
方差公式：
X2Y2（XY）（X+Y）
完全方公式：
（X+Y）2X2+2XY+Y2
完全方差公式：
（XY）2X22XY+Y2
24例：
：
两数相两数号前面数前项号面数项
值：
前项项商做值
性质：
前项项时相数（零外）值变
例：
表示两相等式子做例abcd
例性质：
两外项积等两项积(交叉相)adbc
正例：
A扩缩倍B扩缩倍（AB商变时）AB成正
反例：
A扩缩倍B缩扩倍（AB积变时）AB成反
例尺：
图距离实际距离做例尺
例分配：
数定例分成份例分配
25综合行程：
基概念：
行程问题研究物体运动研究物体速度时间路程三者间关系
基公式：
路程速度×时间路程÷时间速度路程÷速度时间
关键问题：
确定运动程中位置方
相遇问题：速度×相遇时间相遇路程（请写出公式）
追问题：追时间＝路程差÷速度差（写出公式）
流水问题：水行程（船速+水速）×水时间
逆水行程（船速水速）×逆水时间
水速度船速+水速
逆水速度船速水速
静水速度（水速度+逆水速度）÷2
水 速（水速度逆水速度）÷2
流水问题：关键确定物体运动速度参公式
桥问题：关键确定物体运动路程参公式
方法：画线段图法
基题型：
已知路程（相遇路程追路程）时间（相遇时间追时间）速度（速度速度差）中意两量求第三量
26工程问题：
基公式：
①工作总量工作效率×工作时间
②工作效率工作总量÷工作时间
③工作时间工作总量÷工作效率
基思路：
①假设工作总量1（总工作量关）
②假设方便数工作总量（般完成工作总量时间公倍数）利述三基关系简单表示出工作效率工作时间
关键问题：
确定工作量工作时间工作效率间两两应关系
27逻辑推理：
条件分析—假设法：
假设情况中种成立然假设判断果题设条件矛盾情况说明该假设情况成立相反情况成立例假设a偶数成立判断程中出现矛盾a定奇数
条件分析—列表法：
题设条件较需次假设完成时需进行列表辅助分析列表法题设条件全部表示长方形表格中表格行列分表示象情况观察表格题设情况运逻辑规律进行判断
条件分析—图表法：
两象间两种关系时连线表示两象间关系连线表示等肯定状态没连线表示否定状态例AB两间认识认识两种状态连线表示认识没表示认识
逻辑计算：
推理程中进行条件分析推理外进行相应计算根计算结果推理提供新判断筛选条件
简单纳推理：
根题目提供特征数分析中存规律方法特殊情况推广般情况递推出相关关系式问题解决
28面积：基思路：
面积计算直接运公式情况般需图形进行割补移旋转翻折分解变形重叠等规图形变规图形进行计算外需掌握记忆常规面积规律
常方法：
1连辅助线方法
2利等底等高两三角形面积相等
3胆假设（点设置题目中说意点解题时意点设置特殊位置）
4利特殊规律
①等腰直角三角形已知意条边求出面积（斜边方4等等腰直角三角形面积）
②梯形角线连线两腰部分面积相等
③圆面积占外接正方形面积785
29时钟问题—快慢表问题：基思路：
1行程问题中思维方法解题
2表成速度运动物体
3路程单位分格（表周60分格）
4时间标准表时间
5合理利行程问题中例关系
30时钟问题—钟面追：基思路：
封闭曲线追问题
关键问题：
①确定分针时针初始位置
②确定分针时针路程差
基方法：
①分格方法：
时钟钟面圆周均匀分成60格格称1分格分针时走60分格周时针走5分格分针分钟走1分格时针分钟走1／12分格
②度数方法：
角度观点钟面圆周周360°分针分钟转 36060度6°时针分钟转36012X60度12度
31浓度配：验总结：
配程中存样反例关系进行混合两种溶液重量浓度变化成反
溶质：溶解物质里物质（例糖盐酒精等）溶质
溶剂：溶解物质物质（例水汽油等）溶剂
溶液：溶质溶剂混合成液体（例盐水糖水等）溶液
基公式：
溶液重量溶质重量+溶剂重量
溶质重量溶液重量×浓度
浓度 溶质溶液×100溶质（溶剂+溶质）×100
验总结：
配程中存样反例关系进行混合两种溶液重量浓度变化成反
32济问题：
利润百分数（卖价成）÷成×100
卖价成×（1+利润百分数）
成卖价÷（1+利润百分数）
商品定价期利润确定
定价成×（1+期利润百分数）
金：储蓄金额
利率：利息金
利息金×利率×期数
含税价格含税价格×（1+增值税税率）
33定方程：次定方程：
含两未知数方程做二元次方程解唯做二元次定方程
常规方法：
观察法试验法枚举法
元定方程：
含三未知数方程三元次方程解唯
元定方程解法：
根已知条件确定未知数值者消未知数样三元次方程变成二元次定方程二元次定方程解
涉知识点：
列方程数整较
解定方程步骤：
1列方程2消元3写出表达式4确定范围5确定特征6确定答案
技巧总结：
A写出表达式技巧：特征明显未知数表示特征明显未知数时考虑范围未知数表示范围未知数
B消元技巧：消掉范围未知数
34循环数：
循环数数部分化成分数规：
①纯循环数数部分化成分数：循环节数字组成数作分子分母位99数循环节位数相约分约分
②混循环数数部分化成分数：分子第二循环节前数部分数字组成数循环部分数字组成数差分母头位数字99数循环节位数相末位00数循环部分位数相
分数转化成循环数判断方法：
①简分数果分母中含质数25含25外质数分数化成数必定混循环数
②简分数果分母中含25外质数分数化成数必定纯循环数
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