高等数学课件 积分学

第三讲 积分学

定积分
1）原函数定积分概念
2）定积分计算方法：积分基公式性质分项积分法两类换元法分部积分法类特殊函数积分法（理函数三角理函数简单理函数）
例1：计算
解：原式
注：定积分导数逆运算充分利导数计算找原函数
例2：证明：

中定系数方程相等实根

证明：




设 （1）
取
时（1）式恒成立

二 定积分
1）定积分概念性质
2）微积分基公式：中
3）定积分计算方法：利定义计算利微积分基公式分项积分法换元法分部积分法间接计算公式
1
2
3果关直线称

4果关点称

5
6
7
例3：计算阿桑积分中
解：连续函数
定存



（1）时
（2）时

注：里利复数开方公式：

4）反常积分（广义积分）
反常函数审敛法：（1）设区间连续果函数区间界函数收敛
（2）设区间连续收敛收敛发散发散
（3）设区间连续
果敛散
果收敛收敛
果发散发散
（4）果收敛收敛（绝收敛）
例4：判列反常积分敛散性
（1） （2）
解：（1）


收敛
（2）发散发散
5）定积分应：计算面图形面积计算立体体积计算弧长计算连续函数均值公式
三 重积分（二重积分三重积分）
1）重积分概念性质
2）重积分计算方法：
二重积分：直角坐标系计算法极坐标计算法换元法

注意称性运
三重积分：投影法切片法球面坐标计算法柱面坐标计算法换元法
注意称性运
3）重积分应
曲面面积物体质心转动惯量引力
四 两类曲线积分
1）曲线积分概念性质
2）曲线积分计算法：注意称性运
3）格林公式：设连续偏导数

4）第二型曲线积分路径关
五 两类曲面积分
1）两类曲面积分概念性质
2）两类曲面积分计算法：注意曲面应坐标面投影两类曲面联系
3）高斯公式斯托克斯公式
例5：证明：区间连续二阶导数

证明：区间连续值值定理存区间值利泰勒公式


中间









例6：证明：函数区间单调存

证明：妨设单调递增取


存
时

时

夹逼准
例7：已知空间中点线段绕轴旋转求面围成立体体积
解：线段方程曲面方程

例8：设函数区域二阶连续偏导数证明：

证明：利极坐标

改变积分次序

设圆取正方围成圆盘关坐标基计算方法格林公式




例9：计算中半球面柱面交线方轴正方负方逆时针方
解：设半球面圆柱面部分区侧利斯托克斯定理
应单位法量



例10：计算中半球面侧零常数
解：
取圆盘侧



六 练题
1）计算
2）设连续函数证明：

3）设连续中求
4）设函数具二阶连续导数试确定函数中意条相交简单正闭曲线
5）计算中曲面外侧
七 文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传

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