2020届高三上学期期中考试数学试题（pdf版—后附答案）

1


数学试题
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分 4 页满分 150 分考试时间
120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 52 分)
单项选择题(题 10 题题 4 分 40 分题出四选项中
项符合题目求)
1 已知集合 { | ln >2}A x x { | 2}B x y x   BACR )(
A 2(0 )e B 2(0 ]e C 2[2 ]e D [2 )
2 设i 虚数单位复数
i
ia


1
纯虚数实数 a 值
A 1 B1 C
2
1 D2
3 够椭圆 C 184
22
 yx 周长面积时分相等两部分函数 )(xf 称椭圆 C
亲函数列函数椭圆 C 亲函数
A 23)( xxxf  B
x
xxf 
 5
5ln)(

C xxxf cossin)(  D xx eexf )(
4 设 mn直线 面列命题中正确
A． m n m n  B． m n m n
C．  D．
5 函数
2
( ) ln | |8
xf x x 图象致

6已知点 P ABC 心(三角分线交点)外心(三条边中垂线交点)重心(三条中
线交点)垂心(三高交点)满足
22
2AP BC AC AB   点
A 心 B 外心 C 重心 D 垂心
7 双曲线 C：
22
221( 0 0)xy abab    离心率 2焦点渐线距离 3
C 焦距等
A．2 B． 22 C．4 D． 42
2

8 根历年气象统计资料某四月份吹东风概率 7
30
吹东风雨概率 1
10

吹东风条件雨概率
A． 3
11
B． 3
7
C． 7
11
D．
9 已知抛物线 2 4yx 焦点 FP 抛物线点 (11)A PAF 周长时
直线 PF 斜率
A． 4
3 B． 3
4 C． 3
4
D． 4
3
10．已知函数  
2
02
2 3 0
xe xfx x
x x x
  
   
0a  时方程    2 20f x f x a   4
相等实数根 a 取值范围
A． 15 8a    B．
2
15 4
eae    C． 15 a    D．
2
15 4
eae   
二项选择题(题 3 题题 4 分 12 分题出四选项中
选项符合题目求全部选 4 分选全 2 分选错 0 分)
11 已知函数 2( ) 2sin cos 2sinf x x x x出列四选项正确
A．函数 ()fx正周期 
B．函数 区间[]88
  减函数
C．函数 图象关点( 0)8
 称
D．函数 图象函数 2 sin 2yx 图象右移
8
 单位移 1
单位．
12 已知 ab≠0O 坐标原点点 P（ab）圆 x2+y2＝r2 外点点 P 作直线 l⊥OP
直线 m 方程 ax+by＝r2列结正确
A．m∥l B．m⊥l C．m 圆相离 D．m 圆相交
13．四球放入三分标 123 号盒子中允许空盒子放法少
种？列结正确
A． 1 1 1 1
3 2 1 3CCCC B． 23
43CA C． 1 2 2
3 4 2CCA D．18

第Ⅱ卷(非选择题 98 分)
三填空题(题 4 题题 4 分 16 分)
14 已知二项式
61ax x

展开式中常数项－160 a ________．
15 机变量 服正态分布 )( 2N 2410)＜2(  P
 )2＞( P 3

16 已知 CSAB 球O 表面点SA  面 ABC AB BC 1 2SA AB BC  
球 表面积等______________
17 已知量| | | | | | 1   a b a b 量c 满足 ( ) ( ) 0   c a 2c b
||c 值_________值_________
四解答题(题 6 题 82 分解答应写出文字说明证明程演算步骤)
18(12 分) ABC 中角 ABC 边分 a b c cos sina B b A c．
(1)求角 A
(2) 2a  ABC 面积 21
2
 求bc 值．

19 (14 分) Rt△ABC 中∠ABC＝90°tan∠ACB＝1
2已知 EF 分 BCAC 中点．
△CEF EF 折起 C C′位置二面角 C′－EF－B 60°连接 C′BC′A
图：
(1)求证：面 C′FA⊥面 ABC′
(2)求面 AFC′面 BEC′成二面角．








20(14 分)
红铃虫棉花害虫农作物造成严重伤害红铃虫均产卵数 y
均温度 x 关现收集某 7 组数面散点图统计量值



x y z ))((
1



n
i
ii zzxx 


n
i
i xx
1
2)(
27429 81286 3612 40182 147714
表中
7
1
1ln 7ii
i
z y z z






(1) 根散点图判断 bxay  dxy ce (中 e2718···然数底数)更适
宜作均产卵数 y 关均温度 x 回方程类型？(出判断必说明理)
判断结果表中数求出 y 关 x 回方程(计算结果精确数点第三位)
均温度 x℃ 21 23 25 27 29 32 35
均产卵数 y 7 11 21 24 66 115 325 4

(2) 根统计该年均温度达 28℃时红铃虫会造成严重伤害需工防治
情况均需工防治记该年均温度达 28℃概率 (0 1)pp
(ⅰ) 记该 5 年中恰需 3 次工防治概率 )(pf 求 )( pf 值求出相
应概率 0p
(ⅱ) 取值时记该 5 年中需工防治次数 X求 X 数学期
方差
附：组数 1 1 2 2 7 7( )( ) ( )x z x z x z 回直线 ˆˆˆz a bx 斜率截距二
法估计分：
7
1
7
2
1
( )( )
ˆ ˆˆ
()
ii
i
i
i
x x z z
b a z bx
xx



  







21 (14 分)已知数列{}na 前 n 项 nS 2 8a  1 12
n
n
aSn  
(1) 求数列 通项公式
(2) 设数列
1
23n
nnaa



前 项 nT 2 2 0nnS T n     意 *nN 恒成立
求实数 值



22 (14 分)设椭圆 )0(12
2
2
2
 bab
y
a
x 右顶点 A顶点 B．已知椭圆离心率
3
5 13|| AB
(1) 求椭圆标准方程
(2) 设直线 )0(  kkxyl 椭圆交 NM 两点点 M 第二象限 l AB 延长线交
点 P BNP 面积 BMN 面积 3 倍求 k 值



23 (14 分)已知函数 1)( 2  bxaxexf x 中 Rba e ＝271828…然数
底数 设 )(xg )(xf 导函数
(1) 1a 时函数 )(xg 0x 处切线点 )11(  求b 值
(2)求函数 )(xg 区间 ]01[ 单调区间
(3) 0)1( f 函数 )(xf 区间 )01( 零点求a 取值范围 1

数学试题参考答案

单项选择题：CABCD BCBAA
二项选择题：(11)AB (12)AD (13)BC
三填空题：(14) a＝2 (15) 0259 (16) 4 (17) 73
4
 73
4

四解答题：
18解：(1)已知正弦定理：sin cos sin sin sinABBAC…………… 2 分
sin sin( ) sin cos cos sinCABABAB   
sin in cos sinBs A A B sin 0 sin cosBAA   ………………… 5 分
(0 ) 4AA    ……………………… 6 分
(2) 1 2 2 1sin 2 22 4 2ABCS bc A bc bc
     

…………………… 9 分
2 2 2 22cos 2( ) (2 2)a b c bc A b c bc       
2( ) 4 2b c b c    ． ……………………………… 12 分
19 (1)解法：∵F AC 中点∴AF＝C′F设 AC′中点 G连接 FG
设 BC′中点 H连接 GHEH 易证：C′E⊥EFBE⊥EF
∴∠BEC′二面角 C′－EF－B 面角．…………… 2 分
∴∠BEC′＝60° E BC 中点．
易知 BE＝EC′∴△BEC′等边三角形∴EH⊥BC′ ①
∵EF⊥C′EEF⊥BEC′E∩BE＝E∴EF⊥面 BEC′
EF∥AB∴AB⊥面 BEC′∴AB⊥EH EH⊥AB ② …………… 4 分
①②BC′∩AB＝B∴EH⊥面 ABC′
∵ GH 分 AC′BC′中点．
∴ GH 
1
2AB FE∴四边形 EHGF 行四边形．
∴ FG∥EHFG⊥面 ABC′ FG  面 AFC′
∴面 AFC′⊥面 ABC′ ………………………………6 分
解法二：图建立空间直角坐标系设 AB＝2 2

A(002)B(000)F(021)E(020)
C′( 310)．设面 ABC′法量 a＝(x1y1z1)
BA→ ＝(002)BC′→ ＝( 310)
∴
z1＝0
3x1＋y1＝0
令 x1＝1 a＝(1－ 30)… 3 分
设面 AFC′法量 b＝(x2y2z2)AF→＝(02－1)
AC′→ ＝( 31－2)
∴
2y2－z2＝0
3x2＋y2－2z2＝0
令 x2＝ 3 b＝( 312)．
∵a·b＝0∴面 AFC′⊥面 ABC′ ……………………………………… 6 分
(2)图建立空间直角坐标系设 AB＝2
A(002)B(000)F(021)E(020)C′( 310)．
显然面 BEC′法量 m＝(001) ……………………………………… 8 分
设面 AFC′法量 n＝(xyz)AC′→ ＝( 31－2)AF→＝(02－1)
∴
2y－z＝0
3x＋y－2z＝0
∴ n＝( 312) ……………………………………… 10 分
cos〈m n〉＝ m· n
| | m ·| | n ＝ 2
2 ……………………………………………… 12 分
图形观察知面 AFC′面 BEC′成二面角面角锐角．
∴面 AFC′面 BEC′成二面角 45° ………………………………… 14 分
20解：(1)根散点图判断 dxy ce 更适宜作均产卵数 y 关均温度 x 回方程
类型 ……………………………… 1 分
两边取然数ln lny c dx令 z ln y lnac bd
z a bx

7
1
7
2
1
( )( ) 40182ˆ 02720147714()
ii
i
i
i
x x z z
b
xx



  



………………………… 4 分
ˆˆ 3612 0272 27429 3849a z bx      
z 关 x 线性回方程 ˆ 0272 3849zx……………………… 5 分
y 关 回方程 0272 3849ˆ xye  ……………………………… 6 分
(2) (ⅰ) 3 3 2
5( ) (1 )f p C p p 32
5( ) (1 )(3 5 )f p C p p p    01p
令 ( ) 0fp  3 5 0p解 30 5p 3

令 ( ) 0fp  3 5 0p解 3 15 p
()fp 3(0 )5
单调递增 3( 1)5
单调递减
唯极值 3()5f 值
3
5p  时 max
216() 625fp  时相应概率 0
3
5p  ………………… 9 分
(ⅱ)(ⅰ)知 取值时 3
5p  3(5 )5XB ………………… 10 分
3( ) 5 35EX    3 2 6( ) 5 5 5 5DX     ……………………………… 14 分
21解：(1) ∵ 2 8a 

1 12
n
n
aSn   ∴ 2
11 222
aaS    ………………… 1 分
2n  时 1nnna S S    1 1 ( )22
nnaann    1 32nnaa ……… 3 分
12 8 3 2aa   ∴ *
1 3 2nna a n   N …………………………… 4 分
∴ 1 1 3( 1)nnaa    ∴数列{ 1}na  等数列首项 1 13a 公3
∴ 11 3 3 3nn
na     ∴ 31n
na  ……………………………………… 6 分
(2) (1)
1
1 311122
n
n
n
aS n n
       ………………………… 7 分
∵ 1
1
2 3 2 3
(3 1)(3 1)
nn
nn
nnaa 

  1
11
3 1 3 1nn
∴ nT 2 2 3
1 1 1 1()()3 1 3 1 3 1 3 1         1
11()3 1 3 1nn 1
11
2 3 1n  …9 分
∴ 1
1
152 2 3 03 1 2
n
nn nS T n 
       
∴ 1
1
153 3 1 2
n
n 
  
……… 10 分
设 1
1
15( ) 3 3 1 2
n
nMn 
  

21
21
11( 1) ( ) 3 33 1 3 1
nn
nnM n M n 
     
21
12
11(3 3 ) ( )3 1 3 1
nn
nn

   
1
1
12
232 3 0(3 1)(3 1)
n
n
nn



   
∴{ ( )}Mn 递增数列 …………………………………………… 12 分
∴ 2
2
1 5 51(1) 3 3 1 2 8M     
4

∴  值 51
8
………………………………………… 14 分
22 解：(1)设椭圆焦距 c2 已知





13
3
5
22 ba
a
c
23  ba
椭圆方程 149
22
 yx ． ……………………………………………3 分
(2) 设点 M)( 11 yx P)( 00 yx 题意 010  xx )( 11 yxN 
BNP 面积 BMN 面积 3 倍 ||3|| MNPN  ………………5 分
MNPN 3 )(3)( 11110101 yyxxyyxx 
)(3 1101 xxxx  10 5xx  ． ……………………………………6 分
易知直线 AB方程 632  yx





kxy
yx 632
消 y
23
6
0  kx …7 分
方程组





kxy
yx 149
22
消
49
6
21


k
x ．

………………………9 分
10 5xx 
23
6
k 49
30
2 

k


…………………………………10 分
整理 082518 2  kk 解
9
8k
2
1k ．

……………………12 分

9
8k 时 090 x 符合题意
2
1k 时 0120 x 符合题意舍．
k 值
9
8 ．

…………………………………………………14 分
23 解：(1) 1a 时 bxexg x  2)( 2)(1)0(  xexgbg
∴切线斜率 1)0(  gk 切点坐标 )10( b ∴切线方程 xby  )1(
∵切线点 )11(  ∴ 1)1(1  b ∴ 1b …………………………3 分
(2)∵ baxexg x  2)( ∴ aexg x 2)( 
∵ aexg x 2)(  ]01[ 单调递增∴ ]2121[)( aaexg 
021  ae

ea 2
1 时 0)(  xg )(xg 单调递增区间 ]01[ …4 分
② 021  a
2
1a 时 0)(  xg 单调递减区间 ]01[ ……5 分 5

③
2
1
2
1  ae
时令 0)(  xg )01()2ln(  ax
令 0)(  xg )2ln(1 ax  令 0)(  xg 0)2ln(  xa
∴函数 )(xg 单调递减区间 )]2ln(1[ a 单调递增区间 ]0)2(ln( a
综①②③：

ea 2
1 时 )(xg 单调递增区间 ]01[

2
1
2
1  ae
时 )(xg 单调递减区间 )]2ln(1[ a 单调递增区间 ]0)2(ln( a

2
1a 时 )(xg 单调递减区间 ]01[ ………………………7 分
(3) 0)1( f ：
eab 11 )11(2)( eaaxexg x  …………8 分
已知设 0x )(xf 区间 )01( 零点
0)0()()1( 0  fxff 知 )(xf 区间 )01( 少三单调区间．
∴ )(xg 区间 )1( 0x 存零点区间 )0( 0x 存零点
∴ )(xg 区间 )01( 少两零点．
（2）知

ea 2
1 时 )(xg ]01[ 单调递增 )01( 零点合题意

2
1a 时 ]01[ 单调递减 )(xg )01( 零点合题意．
∴
2
1
2
1  ae
…………………………………………………9 分
时 )(xg 区间 )]2ln(1[ a 单调递减区间 ]0)2(ln( a 单调递增









0)0(
0))2(ln(
0)1(
g
ag
g
………………………………………………………10 分
)11(2)( eaaxexg x 
eaaaag 11)2ln(2))2(ln( 
令 at 2 ∵
2
1
2
1  ae
∴ 11  te

etttag 11ln2
1))2(ln( 
令 )11(11ln2
1)(  teetttth 6

tth ln2
1)(  令 0)(  th
e
te
11  令 0)(  th 11  t
e

∴ )(th )11(
ee
单调递增 )11(
e
单调递减
∴ 01111)1()(  e
ee
eee
hth )11(e
恒成立
0))2(ln( ag
2
1 2
e 时恒成立 …………………………………………12 分
∴








0)0(
0))2(ln(
0)1(
g
ag
g












01
2
1
2
1
021
ae
ae
ea
∴











ea
ae
ea
1
2
1
2
1
21
∴
eae
121 
∴ a 取值范围 )121( ee ． …………………………………………………14 分

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