全国高中数学联赛模拟卷-5

全国高中数学联赛模拟卷·五
试
填空题 (题 8 题题 8 分 64 分)
1 设 a > 0 b > 0 c > 0 a + b + c 1 a3b2c ⼤值
2 号码分 1 2··· 9 九⼩球放⼊⼀袋中⼩球仅号码余完全相
甲袋中摸出⼀球号码 a放回⼄袋中摸出⼀球号码 b
等式 a − 2b + 10 > 0 成⽴事件发⽣概率等
3 已知关 x ⽅程 x2 + a|x| + a2 − 3 0(a ∈ R) 唯⼀实数解 a
4 已知⼀三⾓形三边恰 m2 + m + 1 2m + 1 m2 − 1三⾓形中⼤⾓

5 ⽤红黄蓝⽩四种颜⾊图中⽰区域染⾊求两相邻区域（公边界）
颜⾊均相染⾊⽅案种数
6 设 O △ABC ⼼AB 5 AC 6BC 7
−→
OP x
−→
OA + y
−→
OA + z
−→
OC 0 ⩽
x y z ⩽ 1动点 P 轨迹覆盖⾯区域⾯积等
7 ⼀单位正⽅形中⼼⼀圆圆⼼重合正⽅形圆部 圆机选⼀
点该点出正⽅形两条完整边概率 1
2该圆半径
8 已知⽅程 ay b2x2 + c 中 a b c ∈ {−3 −2 0 1 2 3} a b c 互相
⽅程表⽰曲线中抛物线 条
奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣ 1二解答题 (题 3 题 第 9 题 16 分 第 10 11 题 20 分 56 分)
9 图已知椭圆 x2
a2 + y2
b2 1(a > b > 0) 右焦点 F(c 0)(c > 0)设点 F 直线 l
交椭圆 A B 两点交 y 轴点 P
−→
PA λ1
−→
AF
−−→
PB λ2
−−→
BF 求 λ1 + λ2 值
2 奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣10 定义 [x] 超 x ⼤整数{x} x−[x]求出满⾜列条件正实数 x y z



{x} + [y] + {z} 29
{y} + [z] + {x} 53
{z} + [x] + {y} 40
奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣ 311 设 S {(x y)|1 ⩽ x ⩽ n 1 ⩽ y ⩽ n x y ∈ N ∗}考虑 S 中⼀两点组 M M
S 中 k 正⽅形顶点称 M k 重两点组记 ak k 重两点组
数⽐较 a0 a2 + 2a3 ⼤⼩
4 奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣加试
(40 分) 锐⾓ △ABC 顶点 ABC 三条⾼分交边点 DEF 点
D ⾏ EF 直线分交 ACAB 点 Q REF 交 BC 点 P 证明：△P QR
外接圆 BC 中点
奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣ 5二(40 分) 设 n ⼀定正整数求⼤正整数 m具性质：存⼀张
m ⾏ n 列实数数表满⾜意两⾏数 [a1 a2··· an] [b1 b2··· bn] 均 max{|a1 −
b1| |a2 − b2|··· |an − bn|} 0
6 奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣三(50 分) 已知 abc 正实数求证：
(b + c − a)2
(b + c)2 + a2 + (c − a + b)2
(c + a)2 + b2 + (a + b − c)2
(a + b)2 + c2
⩾ 3
5
奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣ 7四(50 分) 左右次写出 1 10000 全部正整数然掉 5 7 整
数剩数连成⼀排组成⼀新数 试求：
(1) 新数位数
(2) 新数 11 余数
8 奥林匹克 • 学⽽思 • ⾃招⽣

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