1 40
反例函数反例函数反例函数反例函数面积问题面积问题面积问题面积问题
三角形中面积问题
二 四边形中面积问题
三 常考模型
四 复杂图形面积
三 常考模型
模型： 结： AOBABCDS S△ 梯形
证明： AOB BOCAOCBS S S −△ △四边形 AODAOCBABCDS S S − △四边形梯形
AOD BOCS S△ △ AOBABCDS S△ 梯形
1 易图点 A B 反例函数 ()3 0 >y x
x 图意两点 A B 分作 y
轴垂线垂足 C D 连接 ABAOBO△ABO 面积 8 梯形 CABD
面积（ ）
A． 6 B． 7 C．8 D．10
答案C
2 易（2011 年牡丹江中考）图双曲线 ky
x 点 ( )2 2A 点 ( )4 B m
△AOB 面积（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
D C
B
A
O
y
x
B
x
y
O
AC
D 2 40
答案B
3 易（二中分初二数学第二学期期中考试）两反例函数 第象限
图象图示点 图象 轴点 交 图象点
轴点 交 图象点 点 图象运动时结
：
① 面积相等
② 四边形 面积会发生变化
③ 始终相等
④点 A 中点时点 B 定 中点．
中定正确 ___________（认正确结序号填少填错填分）．
答案①②④
4 易（2010 年北京文汇期中）两反例函数 ky x 1y x 第象限图象图
示点 P ky x 图象 ⊥PC x 轴点 C 交 1y x 图象点 A ⊥PD y 轴
点 D 交 1y x 图象点 B 点 P ky x 图象运动时结：①△ODB
△OCA 面积相等②四边形 PAOB 面积会发生变化③ PA PB 始终相等
④点 A PC 中点时点 B 定 PD 中点．中定正确 __________．
B
A
O x
y
ky x
1y x
P ky x
PC x⊥ C 1y x
A
PD y⊥ D 1y x
B P ky x
ODB△ OCA△
PAOB
PAPB
PCPD
x
y
O
D
B
C
P
A 3 40
答案①②④
5 易（2013 年北京 8 中第二学期期中练题）图双曲线 ky
x
( )0>k 矩形
OABC 边 BC 点 E 2 CE BE 交 AB 点 D ．四边形 ODBE 面积 8
k __________．
答案 4
6 易（2010 年北京三十中期中）图已知双曲线 ()0 >ky x
x 矩形 OABC 边 AB
中点 F 交 BC 点 E 四边形 OEBF 面积 2 k __________
答案 2
7 易（2011 年深圳实验初二期末）函数 4y
x 1y
x 第象限图图点
P 4y
x 图动点 ⊥PC x 轴点 C 交 1y
x 图点 A ⊥PD y 轴
点 D 交 1y
x 图点 B ．出结：①△ODB △OCA 面积相等② PA
PB 始终相等③四边形 PAOB 面积会发生变化④ 1
3
CA AP ．中
正确结序号 ____________．
D
E
O C
BA
y
x
F
EC B
x
y
O
A 4 40
答案①③④
8 中（昌二中 2012 年度第二学期八年级数学期中试卷）图点 反例函数
图 轴点 交反例函数 图点 轴
点 交反例函数 图点 点 反例函数 图运动时
四边形 面积 _______．
答案1
9 中（2011 育三中模）图已知四边形 菱形 轴垂足
函数 图象点 交点 ． 面积（ ）
A．2 B．4 C． D．
答案C
10 易已知双曲线两点 (2 4) (4 2)A C ⊥ ⊥AB OB CD OD 求
⑴ 双曲线函数解析式⑵ △OAB 面积⑶ △OAC 面积．
x
y
O
D
B
C
P
A
P
2y x
PC x⊥ C 1y x
A PD y ⊥
D 1y x
B P 2y x
APBO
OABC CD x⊥ D
4y x
C AB E 2OD OCE△
2 2 4 2 5 40
答案设反例函数 ( 0) ≠ky k
x xy k 8k
反例函数解析式 8y
x
1 4 24
2
× ×△OABS
1 (2 4) 2 6
2
+×△OAC ABCDS S
11 中（2009 年模石景山）两反例函数 1 ky
x ()2
1 2 0 > >ky k k
x 第象限
图象图示动点 P 1 ky
x 图象 ⊥PC x 轴点 C 交 2 ky
x 图象点 A
⊥PD y 轴点 D 交 2 ky
x 图象点 B ．
⑴ 求证：四边形 PAOB 面积定值
⑵ 2
3
PA
PC 时求 DB
BP 值
⑶ 点 P 坐标 ( )5 2 △ △OAB ABP 面积分记 △OABS △ ABPS 设
−△ △OAB ABPS S S ．
① 求 1k 值
② 2k 值时 S 值值少？
DB
C
x
y
O
A
y
k2
x
y
k1
x
P
D
y
xO C
B
A 6 40
答案⑴ 证明：设 1 1( )A x y 2 2( )B x y 3 3( )P x y △AOC △BOD 面积分
1S 2S 矩形 PCOD 面积 3S ．
题意 2 2 1
1 2 3
1 2 3
k k ky y yx x x ．
∴ 1 11 2
1 1
2 2
S xy k 2 22 2
1 1
2 2
S xy k 3 33 1
S xy k ．
∴ 3 12 12( )− + −四边形PAOBS SSSkk ．
∴四边形 PAOB 面积定值．
⑵ ⑴知 1 2
S S ⋅ ⋅OD BD OC AC ．
∵ 2
3
PA PC
∴ 1
3
AC PC ．
∵ DP OC OD PC
∴ 1
3
BD DP ．
∴ 1
2
DB
BP．
⑶ ①题意知： 1 10 P Pk x y ．
② A B 两点坐标分 25 5
kA 2 22
kB
∴ 2 21 1 2 52 25 2
⋅ − − △ABP
k kS AP BP ．
∴ 2 2
2
12 10 22 52 5 2
− −−×− − △四边形 ABPPAOB
k kSS S k ．
∴ 2
2 2
1
10
− +S k k ．
∴ 2 5k 时 S 值 5
2 ．
12 中(达州市 2009 年高中阶段教育学校招生统考试 )图 8直线 +y kx b 反
例函数 ()0ky x
x
′ < 图象相交点 A 点 B x 轴交点 中点 坐标
点 横坐标
⑴ 试确定反例函数关系式
⑵ 求 面积
C A
( )2 4− B 4−
△AOC 7 40
答案⑴ ∵点 反例函数图象
∴ 4 2
k′ −
∴
∴反例函数解析式 8y
x
−
⑵ ∵B 点横坐标
∴ 8
4y − −
∴
∴
∵点 点 直线
∴
解
∴直线
x 轴交点坐标
∴ 1 1 6 4 122 2AOC AS COy ⋅ ××△
13 中（初二数学期末复反例函数）图：已知次函数 x 轴y
轴分交点 DC 两点反例函数 交 AB 两点点 A 坐标
点 B 坐标
⑴ 求 akm 值
⑵ 求 CD 两点坐标求 面积
⑶ 利图直接写出 x 什取值范围时 ？
O
A
B
C x
y
( )2 4A −
8k′ −
4−
2y
( )4 2B −
( )2 4A − ( )4 2B − y kx b +
4 2 k b − +
2 4 k b − +
1k 6b
AB 6y x +
( )6 0C −
1y x a − +
2
ky x
( )1 3
( )3 m
AOB△
1 2y y> 8 40
答案⑴
⑵
⑶
14 中（初二数学期末复反例函数）已知：图反例函数 面
直角坐标系 第象限中图象图示点 A 图象 轴
图象交点 B x 轴行分 图象交点 C
D．
⑴ 点 A 横坐标 2求梯形 面积
⑵ 点 A 横坐标 m较 面积说明理
答案⑴ 45
4ABCDS 梯形
⑵
15 中图已知反例函数 图象点 1 82
直线
该反例函数图象点 ．
⑴ 求述反例函数直线函数表达式
⑵ 设该直线 轴 轴分相交 AB 两点反例函数图象交点
P连结 求 面积．
4 3 1a k m
( )0 4C ( )4 0D 4AOBS △
0x < 1 3x< <
2y x
8y x
xOy 8y x
AB y∥
2y x
ACBD 2y x
8y x
ACBD
OBC△ ABC△
OBC ABCS S＞△ △
()0ky k
x
≠ y x b − +
( )4Q m
x y
OPOQOPQ△ 9 40
答案⑴ 反例函数解析式 直线解析式 5y x − +
⑵ 15
2OPQS △
16 中（2013 年海淀实验第二学期初二年级数学学科期中试题）
⑴ 探究新知：图 1已知 面积相等试判断 位置关
系证明．
⑵ 结应：
图2点 反例函数 图象点 作 轴点
作 轴垂足分 试证明
①中条件变改变点 位置图 3 示请画出图形判断
否行．
答案⑴
⑵
连接
⑴知
AO
y
x
B
Q
P
4y x
ABC△ ABD△ ABCD
M N ()0ky kx
> M ME y⊥ N
NP x⊥ E F MN EF∥
M N MN
EF
x
y
M
N
O
图3图2
O
N
M
E
F
y
x
图1
BA
DC
AB CD∥
P
E
N
M
O
y
x
OM ON MP EN
EOM EMPS S△ △ 10 40
∵
∴
∴
17 中(2011 年莆田中考 )图—矩形 放直角坐际系中O 坐标原点．点
A x 轴正半轴．点 E 边 —动点 (点 AN 重合 )点 E 反例
函数 图象边 交点 F．
⑴ 积分 ． 求 k 值：
⑵ ． ．问点 E 运动什位置时四边形 面积．
值少
答案⑴ ∵点 EF 函数 图象
∴设
∴
∵
∴ ．
⑵ ∵四边形 矩形
设
∴
∴
NOP NEPS S△ △
EOM NOPS S△ △
EMP NEPS S△ △
MN EP∥
OABC
AB
( 0)ky xx
> BC
OAE△ OCF△ 1 2S S 1 2 2S S+
2OA 4OC OAEF
x
y
OC
F
BEA
( 0)ky xx
>
1 1
1
( 0)kE x xx
>
2 2
2
( 0)kF x xx
>
1 1
1
1
2 2
k kS x x
⋅ ⋅ 2 2
2
1
2 2
k kS x x
⋅ ⋅
1 2 2S S+
22 2
k k+ 2k
OABC 2OA 4OC
22
kE
4 4
kF
4 2
kBE − 2 4
kBF −
21 14 2 42 2 4 16BEF
k kS k k∆
− − −+ 11 40
∵
∴
∴ 时
∴ ．
点 E 运动 中点时四边形 面积值 5．
18 难（2012 广西玉林中考）图面直角坐标系 中梯形 边
轴正半轴 点 A 双曲线 支第象限交
梯形角线 点 D交边 点 E．
⑴填空：双曲线支第 _________ 象限 取值范围 _________
⑵点 C 坐标 点 E 什位置时阴影部分面积 S ？
⑶ 求双曲线解析式．
答案⑴三
⑵∵梯形 边 x 轴正半轴
点 C 坐标标
∴A 点坐标 2E 点横坐标 2B 点坐标
代入 代入
∴A 点坐标 E 点坐标
∴
1 42 4 2OCF
k kS∆ ×× 2 4 8OABCS × ×矩形
BEF OCFOAEF OABCS S SS∆ ∆− −四边形 矩形
218 416 2
kk k − −+−
21 416 2
kk− + +
21 ( 4) 516 k− − +
4k 5OAEFS 四边形
2AE
ABOAEF
xOy AOBCOB
x AC OB∥ BC OB⊥ ky x
OCBC
k
( )2 2
1
2
OD
OC
2OACS △
O x
y
ED
C
B
A
0k >
AOBCOB AC OB∥ BC OB⊥
( )2 2
( )2 0
2y ky x
2
kx 2x ky x
2
ky
22
k
2 2
k
ACE OBES S S +阴影部分 △ △ 12 40
时S 阴影部分值
∴E 点坐标 E 点 中点
∴点 E 中点时阴影部分面积 S
⑶设 D 点坐标
∵
∴ D 点 中点
∴C 点坐标
∴A 点坐标
代入
∴A 点坐标
∵
∴
∴
∴双曲线解析式 ．
四 复杂图形面积
19 易（2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学）图函数 y x − 函数 4y
x
−
图象相交 A B 两点 A B 两点分作 y 轴垂线垂足分点 C D ．
四边形 ACBD 面积（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
1 12 2 22 2 222
k k k × − × − +××
21 1 28 2k k − +
()21 2 158 k − +
2 0k − 2k 15
( )2 1 BC
BC
ka a
12OD OC
OD DC OC
22 ka a
2k
a
2ky a
ky x
2
ax
2
2
a k
a
2OACS △
1 22 22 2
a ka a
× − ×
4
3k
4
3y
x
13 40
答案D
20 中（2010 年江）图反例函数 ()0 >ky x
x 图矩形 OABC 角线
交点 M 分 AB BC 相交点 D E 四边形 ODBE 面积 6 k 值
（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
答案B
21 中（2013 年北京六中学第二学期期中考试初二数学试题）图点 A 双曲线
ky
x 第象限图象AB 垂直 y 轴点 B 点 C x 轴正半轴 2OC AB
点 E 线段 AC 3AE EC 点 D OB 中点△ADE 面积 6 k
值（ ）
A．16 B． 16
3 C． 32
3 D．32
答案C
y
x
B
C
D
O
A
y
k
x
D
M
EC
AO
y
x
B
y
x
E
O
D
C
B A 14 40
22 中（锡市中考题）已知直角梯形 ABCO 底边 AO x 轴BC ∥ AO AB AO⊥
点 C 双曲线 ky
x
交 OB D 点 1
2
OD
DB
3OBCS △ k 值（ ）
A2 B 3
4 C 24
5 D 法确定
答案B
23 中（威海市中考题）次函数 y ax b + 图象分 x 轴 y 轴交点 M N
反例函数 ky
x
图象相交点 A B 点 A 分作 AC x⊥ 轴 AE y⊥ 轴垂
足分 C E 点 B 分作 BF x⊥ 轴BD y⊥ 轴垂足分 F D AC BD
交点 K 连接 CD
（1）点 A B 反例函数 ky
x
图象分支图①试证明：
① AEDK CFBKS S四边形 四边形 ② AN BM
（2）点 A B 分反例函数 ky
x
图象分支图② AN BM
相等？试证明结
答案（ 1）①∵ AEOC BDOFS S k 矩形 矩形
∴ AEOC DOCK BDOF DOCKS S S S− −矩形 矩形 矩形 矩形
AEDK CFBKS S矩形 矩形
y
xO
D
C B
A 15 40
②①知 AEDK CFBKS S矩形 矩形
∴ AK DK BK CK⋅ ⋅ AK BK
CK DK
∵ 90AKB CKD∠ ∠ ° ∴ ABK△ ∽ CKD△
∴ CDK ABK∠ ∠ ∴ AB ∥ CD
∵ AC ∥ y 轴∴四边形 ACDN 行四边形
∴ AN CD
理 BM CD AN BM
（2） AN BM 然相等证法①
24 中图直线 双曲线 相交 两点点 作 轴点
点作 轴点 连接 分记 面积
列结定正确（ ）
A． B． C． D．法判断
答案C
25 中图 反例函数 两点 轴点 轴
点 连接 面积关系（ ）
AB ky x
A B A AC y⊥ C
B BD y⊥ D ADBCABC△ ABD△ 1S 2S
D x
C
B
A
y
O
1 2S S> 1 2S S< 1 2S S
A B 1y x
AC x⊥ C BD y⊥
D ADBCABD△ ACB△
D
C
A
O
y
x
B 16 40
A． B．
C． D．
答案C
26 中（绵阳）图梯形 顶点 反例函数图
底边 直线 底边 交 轴 四边形 面积
（ ）
A． B． C． D． 3 1+
答案D
27 中图已知四边形 四边形 均正方形反例函数 图象
两点 面积等（ ）
A． B． C． D．
答案C
ADB ACBS S>△ △ ADB ACBS S<△ △
ADB ACBS S△ △
AOBC A C OA BC∥
OA y x BC x ( )2 0E AOEC
1
E
C
A
O
y
x
B
3 3 3 1−
AOBECBFD 4y x
D E DOE△
F
E
AO
y
x
C
B
D
6 1− 5
2 2 6 17 40
28 难（2011 年罗湖区初三第二次联考）图已知梯形 ABCD 底边 AO x 轴
∥BC AO ⊥AB AO 点 C 双曲线 ky
x 交 OB D 12OD DB △OBC
面积等 3 k 值（ ）
A．等 2 B．等 3
4 C．等 24
5 D．法确定
解析设 B 点坐标 ( )a b
∵ 12OD DB
∴ D 点坐标 3 3
a b
根反例函数意义
∴ 3 3
⋅ a b k
∴ 9ab k
∵ ∥BC AO ⊥AB AO
C 反例函数图象
∴ C 点坐标
k bb
∴ 1 32
− ⋅ △OBC
kS a bb
6− ab k
9 6− k k
3
4
k
答案B
29 中（2012 武汉中考）图点 双曲线 第象限支 垂直
轴点 点 轴正半轴 点 线段
点 中点 面积 3 值 ___________．
D
C
AO
y
x
B
A ky x AB
x B C x 2OC AB E AC 3AE EC
D OB △ADE k 18 40
答案连 图
∵ 面积 3
∴ 面积 1
∴ 面积 4
设 点坐标
点 中点
∴
∵
∴
∴
代入双曲线
∴ ．
答案 ．
30 中图双曲线 （ ）四边形 顶点
分 轴正半轴夹角 轴 翻折
点落 四边形 面积 _________
B A
D
E
CO x
y
DC
y
xOC
E
D
AB
3AE EC △ADE
△CDE
△ADC
A a b（ ） AB a 2 2 OC AB a
D OB
1
2
BD OD b
+ +△ △ △ABO ADC ODCOBACS S S S梯形
()1 11 112 4 22 22 22
+ × × ++××aabab ab
16
3
ab
( )A a b ky x
16
3
k ab
16
3
2y x 0>x OABC A C 90∠ °ABC
OCOA x ∥AB x △ABCAC＇△AB C
＇B OAOABC 19 40
答案2
31 中图双曲线 矩形 OABC 边 中点 E交 点 D
梯形 面积 3双曲线解析式 _________．
答案
32 中图点 ( )2 2B x y 双曲线
分点 AB x 轴y 轴作垂线段垂足分 CDEF
相交 G 点四边形 面积 2五边形 面积 14 双曲
线解析式 _________．
答案 6y
x
33 中（2013 年首师二附中第二学期期中初二年级数学练）两反例函数 3y
x
第象限图象图示点 1P …… 反例函数
图象横坐标分 … 坐标分 135……
B′
O
C
BA
x
y
()0ky kx
> BCAB
ODBC
E
BDA
CO x
y
2y x
( )1 1A x y ()0ky xx
> 2 1 4x x−
1 2 2y y− AC
BFFOCGAEODB
6y x
2P 3P 2013P 6y x
1x 2x 3x 2013x 20 40
2013 连续奇数点 … 分作 轴行线 图
象交点次 … _____________．
答案
34 中（2012 年苏州市第十六中学八年级学期期末模拟考试数学试卷）图行
四边形 AOBC 中角线交点 E 双曲线 ()0 >ky k
x A E 两点行四边
形 AOBC 面积 18 k _______．
答案6
35 中图矩形 OABC 边 OAOC 坐标轴点 B 双曲线解析式
()0x M OC 点 2CM OM N BC 中点BM AN 交点 E
四边形 EMCN 面积 13
4 k _______．
1P 2P 3P 2013P y 3y x
( )1 1 1Q x y ( )2 2 2Q x y OGBC 2013y
x
1
1O
y1
y2
y3
Q1
Q2
Q3
P1(x1 1)
P2(x2 3)
P3(x3 5)
y
6
x
y
3
x
4025
2
E
C
B
A
O
y
x 21 40
答案 12−
36 中（郑州外国语中学第三次质量检测数学卷）图已知矩形 OABC 面积 100
3
角线 OB 双曲线 ky
x 相交点 D 35OD OB k _______．
答案12
37 中（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练）图块直角三角板 OAB 放
面直角坐标系中 90∠ °ABO ( )2 0B 60∠ °AOB点 A 第象限点
A 双曲线 yx k x 轴取点 P 点 P 作直线 OA 垂线 l 直线 l 称
轴线段 OB 轴称变换 ′ ′O B ．点 ′O 点 A 重合时点 P 坐标 _______
k _______．
答案()4 0 43
y
EN
MC
B A
xO
B
x
y
O A
C
D
O′
O
y
xPB
A
B′ 22 40
38 中图点 P 反例函数 ()1
1 0 0 > >ky k x
x 图动点点 P 作 x 轴 y
轴垂线交 A B 两点交反例函数 ()2
2 2 10 <x 图象 E F 两点．
⑴图 1 中四边形 PEOF 面积 1
S ___________（含 1k 2k 式子表示）
⑵图 2 中设 P 点坐标 ( )2 3
①点 E 坐标（_______）点 F 坐标（_______）（含 2k 式子表示）．
②△OEF 面积 8
3
求反例函数 2 ky
x 解析式．
图 1 图 2
答案⑴ 1 2
−k k
⑵① 22 2
kE 2 33
kF
② 2 −y
x
39 难（2011 年中考模拟试卷）图Rt △ABC 直角边 BC x 轴正半轴斜边 AC
中线 BD 反延长线交 y 轴负半轴点 E 双曲线 ()0 >ky x
x 图点 A
8△EBCS k _________
P
y
k2
x
y
k1
x
E
F B
A
y
xO
E
PF B
A
y
k2
x
y
k1
x
O x
y 23 40
答案∵ BD Rt △ABC 斜边 AC 中线
∴ BD DC ∠ ∠DBC ACB
∵ ∠ ∠DBC EBO
∴ ∠ ∠EBO ACB
∵ 90∠ ∠ °EOB CBA
∴ △ ∽△BOE CBA
∴ BO OE
BC AB
× ×BC OE BO AB
∵ 8△EBCS
∴ 1 8
2
⋅ BC EO
∴ 16× × BC OE BO AB k
∵反例函数第象限
∴ 0>k
∴ 16k ．
40 难（2010 年北京四中期中）已知 反例函数
图象五整数点（横坐标均整数）分点横轴轴作垂线段
垂线段正方形边长半径作四分圆周两条弧组成图示五橄榄形
（阴影部分）五橄榄形面积总 __________（含 代数式表示）．
D
C
E
A
O
y
x
B
A B C D E ()16 0y xx
>
π 24 40
答案
41 易（2011 年罗湖区初三第二次联考）图四边形 OABC 面积 4 正方形
函数 ()0 >ky x
x 图象点 B ．
⑴ 求 k 值
⑵ 正方形 OABC 分直线 AB BC 翻折正方形 ′MABC ′MA BC ．设线段
′MC ′NA 分函数 ()0 >ky x
x 图象交点 E F 求线段 EF 直线解
析式．
答案⑴ 4k ⑵ 5 − +y x
42 易（张江集团学校 2010 学年第学期初二数学期中复）
反例函数 图重合 两点 点横坐标 点
坐标
⑴ 求 两点坐标
⑵ 已知 求四边形 面积．
y
ED
C
B
A
xO
13 π 26−
8 ( 0)y xx
＞ A B A 8 B
4
A B
( )0 3C ( )2 0D ABCD 25 40
答案⑴ 代入 解
∴
⑵ B 点作 轴点 作 轴
图示
43 中（附中 2012 年第二学期期中初二年级数学练）图行四边形
顶点坐标分 顶点 双曲线 边 交
轴点 边 交 轴点 四边形 面积 面积 3 倍．
⑴ 求反例函数 解析式
⑵ 求梯形 面积．
答案⑴
⑵
44 中（初二选期末综合练四）已知双曲线 直线 相交 两点．第
象限点 （ 点左侧）双曲线 动点．点 作 轴
交轴点． 作 轴交双曲线 点交 点．
y
xO D
C
B
A
y
xOG
FE
D
C
B
A
8Ax 4By 8y x
1Ay 2Bx
( )8 1A ( )2 4B
EF ⊥y A FG x⊥
BEC BFA ADG CDOABCDS SSSSS∆ ∆ ∆ ∆− − − −四边形 矩形
1 1 1 184 21 63 16 32162 2 2 2
×−××−××−××−××
ABCD
( )2 0A − ( )1 2B − − C D ky x
AD y
E BC y H BCDEABE△
ky x
EHCD
12k
35 4EHCDS梯形
ky x
1
4
y x A B
M m n（） A ky x B ∥BD y
x D 0N n（－） ∥NC x ky x E BD C 26 40
⑴ 点 坐标 求 两点坐标 值．
⑵ 中点四边形 面积 4求直线 解析式．
答案⑴ 16k ⑵
45 中（北京实验学校 2012 年第二学期期中考试初二数学试题）
已知：图反例函数 次函数 点
．
⑴ 直接写出次函数解析式
⑵ 连结 _________
⑶ 该反例函数图象点 （中 ）射线 取
点 设 点坐标 点作 轴点 连结
面积 求代数式 值．
答案⑴ 次函数解析式
⑵
⑶ 2 2 23 3n n+ − −
D 8 0（－） A B k
B CDOBCECM
y
x
N
M
E
D
C
B
A
O
( )82A ( )8 2− −B 2 2
3 3
+y x
()0 ky kx
≠ ( )0 +y ax ba ≠ ( )1 1B
( )2−A c
OB OA AOBS△
3 12
−
F m m 0>m OF
E E n F FM x⊥ M EMOEM△
2
2
2 2 2 3+ −n n
1 1
2 2
+y x
3
4
AOBS△ 27 40
46 中（2011 怀柔区期末考试）图示直角坐标系中点 反例函数
图象点 轴正半轴 点 中点次函数
图象 两点交 轴点
⑴ 求反例函数次函数解析式
⑵ 观察图象请指出 轴右侧 时 取值范围 ＜ 时
取值范围．
答案作 轴
∵ ∴ ∴
∵ 中点
∴
∴
∴ ∴
代入 中 ∴ ．
代入 解：
∴
⑵ 轴右侧 时 ＜ 时
47 中（苏州市实验初级中学初二期中）图次函数 反例函数
图象交 两点．点 作 轴垂足 ．
⑴求次函数反例函数解析式
⑵根条件请直接写出等式 解集
A 1
ky x
⊥AB x B C OB 2
+y ax b
A C y ( )0 2−D 4AODS
y 1 2
>y y x 1y 2y x
⊥AE y E
E
y2y1
B
D
C
A
O x
y
4△AODS 2OD 1 42
⋅ OD AE 4AE
⊥AB OB C OB
90∠ ∠ °DOC ABC OC BC ∠ ∠OCD BCA
Rt Rt△ ≌ △DOC ABC
2 AB OD 4 2A（）
( )4 2A 1
ky x 8k 1
8y x
( )42A ( )0 2−D 2 +y ax b 4 2
2
+
−
a b
b
1
2
−
a
b
2 2 −y x
y 1 2
>y y 0 4<x
1
y kx b＋ 2 ky
x
(2 )A m ( 2)B n － B ⊥BC x C 5△ABCS
2
1
kk x b
x
＋ ＞ 28 40
⑶ 函数 图象两点 求实数 取
值范围．
答案 ⑴ ⑵ ⑶
48 中（河西区 2011 年第二学期期中质量调查）已知图中曲线反例函数
（ 常数）图象支．
⑴ 反例函数图象支第象限？常数 取值范围什？
⑵ 该函数图象正例函数 图象第象限交点 点作
轴垂线垂足 面积 时求点 坐标 值．
答案⑴ 反例函数图象支第三象限常数 取值范围
⑵ 反例函数解析式 14m
49 中（2011 年巴彦淖尔市初中毕业高中招生统考试试卷）（题满分 10 分）
图点 双曲线 垂直 轴垂足 点 行 轴交曲
线点 直线 轴交点 已知 点 坐标 ．
⑴ 求该双曲线解析式
⑵ 求 面积．
1( )P p y 2( 2 )Q y－ 2 ky x 1 2y y≥ p
A
O
B
C
x
y
1 +y x 6y x 3 0x－ ＜ ＜ 2x＞ 2p≤－ 0p＞
6− my x
m
m
2y x A A
x B OAB△ 4 A m
m 6m＞
( )2 4A 8y x
D AD x A C ADCB x
B AB y F 13AC AD C 2 2（ ）
△OFA 29 40
答案⑴ 点坐标 双曲线解析式
⑵ 代入
50 中图直线 （ ）双曲线 （ ）第象限支相
交 两点坐标轴交 两点 双曲线点 ．
⑴ 试 表示 两点坐标
⑵ 面积等 1试求双曲线第象限支函数解析式
⑶ 面积等 试求 COA△ 面积．
答案⑴
⑵
⑶ 面积
51 中（威海市 2009 年初中升学考试）次函数 图象分 轴 轴交
点 反例函数 图象相交点 ．点 分作 轴
轴垂足分 点 分作 轴 轴垂足分
交点 连接 ．
F
BC
D
O
A x
y
D ( )26 12y x
2 0A（） ( )62B +y kx b 1b －
1
2
× × △OFCS OA OF 1 2 1 12
× ×
− +y x b 0>b ky x 0>k
A B C D P | || |PO PD
k b C P
△POD
△OAB 4 3 △BOD
AC
P B
DO x
y
( )0C b 22
b kP b
()1 0 >y xx
8 4 3−
+y ax b x y
M N ky x A B A ⊥AC x
⊥AE y C E B ⊥BF x BF x⊥ ⊥BD y
F D ACBD K CD 30 40
⑴点 反例函数 图象分支图 1试证明：
①
② ．
⑵点 分反例函数 图象分支图 2 相
等？试证明结．
答案解：⑴①∵ 轴 轴
四边形 矩形．
轴 轴
四边形 矩形．
∵ 轴 轴
四边形 均矩形．
1OC x 1AC y 1 1x y k⋅
．
．
A B ky x
AEDK CFBKS S四边形 四边形
AN BM
A B ky x ANBM
⊥AC x ⊥AE y
∴ AEOC
∵ ⊥BF x ⊥BD y
∴ BDOF
⊥AC x ⊥BD y
∴ AEDKDOCKCFBK
∵
∴ 1 1 ⋅ ⋅AEOCS OC AC x y k矩形
∵ 2OF x 2FB y 2 2⋅ x y k
∴ 2 2 ⋅ ⋅BDOFS OF FB x y k矩形
∴ AEOC BDOFS S矩形 矩形
∵ −AEDK AEOC DOCKS S S矩形 矩形 矩形
O C F M
D
E
N
K
y
x
A
B
图 1
O C F M
D
E
N
K
y
x
1 1( )A x y
2 2( )B x y
O C
D K
F
E
N
y
x
1 1( )A x y
3 3( )B x y
M
31 40
．
②⑴知 ．
．
．
．
．
．
轴
四边形 行四边形．
．
理 ．
∴ ．
⑵ 然相等．
．
．
．
．
．
．
轴
−CFBK BDOF DOCKS S S矩形 矩形 矩形
∴ AEDK CFBKS S矩形 矩形
AEDK CFBKS S矩形 矩形
∴ ⋅ ⋅AK DK BK CK
∴ AK BK
CK DK
∵ 90∠ ∠ °AKB CKD
∴ △ △AKB CKD∽
∴ ∠ ∠CDK ABK
∴ ∥AB CD
∵ ∥AC y
∴ ACDN
∴ AN CD
BM CD
AN BM
ANBM
∵ +AEDK AEOC ODKCS S S矩形 矩形 矩形
+BKCF BDOF ODKCS S S矩形 矩形 矩形
∵ AEOC BDOFS S k矩形 矩形
∴ AEDK BKCFS S矩形 矩形
∴ ⋅ ⋅AK DK BK CK
∴ CK DK
AK BK
∵ ∠ ∠K K
∴ △ △CDK ABK∽
∴ ∠ ∠CDK ABK
∴ ∥AB CD
∵ ∥AC y
O C
D K
F
E
N
y
x
A
B
M
图 2 32 40
四边形 行四边形．
．
理 ．
．
52 中图点 作 轴 轴垂线分交 轴 轴 两点交
双曲线 （ ） 两点．
⑴ 点 坐标 ________点 坐标 ________（均含 式子表示）
⑵ 判断 位置关系证明结
⑶ 记 否值？求出值没请说明理
．
答案⑴
⑵
∵
∴
中
中
∴
∴
∴
⑶ 值．理：
分点 作 行线交点 ．
∴ ANDC
∴ AN CD
BM CD
∴ AN BM
( 4 3)P － x y x y A B
ky x 2k ≥ E F
E F k
EFAB
−△ △PEF OEFS S S S
O
FBP
A
E
x
y
4 4
− −
kE 33
kF
∥EF AB
4 3−P（）
4 4
− −
kE 33
kF
3 4
+ kPE 43
+kPF
Rt △PAB 4tan 3
∠ PBPABPA
Rt △PEF
4 43tan 33 4
+
∠
+
k
PFPEF kPE
tan tan∠ ∠PAB PEF
∠ ∠PAB PEF
∥EF AB
S
E F PF PE ′P 33 40
⑵知
∵四边形 矩形
∴
∴
∵ 时 值 值增增
∴ 时
∴ 值
53 中（2011 年江苏省南通中考）图已知直线 点 双曲线
交点 ．点 作 轴行线分交双曲线
() 点 ．
⑴ 求 值直线 解析式
⑵ 点直线 求证：
⑶ 否存实数 p ？存请求出满足条件 值
存请说明理．
答案解：⑴点 ．
设直线解析式 点 点
解
∴求直线 解析式 ．
P′M
N
y
x
E
A
P B F
O
＇ 3 4
−
k kP
′PEP F
′ △ △P EF PEFS S
−△ △PEF OEFS S S ′ + +△ △OME OMP N ONFS S S矩形
()2 2
21 6 32 12 2 12 12
+++ + −k k k k k k
2k ≥ S k
2k 7
3
S
S 7
3
l (10)A my x
( 0)x＞ ( )2 1B ( 1)( 1)Ppp p－ ＞ x my x
0x＞ my x
－ ( 0)x＜ M N
m l
P 2y △ △PMB PNA∽
4△ △AMN AMPS S p
(21)B y m
x 2 1
m 2m
l +y kx b (1 0)A (2 1)B y kx b +
0
2 1
+
+
k b
k b
1
1
−
k
b
l 1 −y x 34 40
⑵ 点 直线 ∴ 直线直线 交
点见图⑴．
∴根条件点坐标 ．
∴
∴ 中 ．
∴ ．
⑶ ．面分情况讨：
时延长 交 x 轴 见图⑵．设直线
解
直线
时 点坐标 ．
解 （合舍） ．
时见图⑴ ．合题意．
∵ ( 1)P p p － 2y P l 2y l
图（1）
y2
lPMN
B
AO x
y
1 2N（－） 1 2M（） 3 2P（）
3 1 4 NP－（－） 3 1 2 MP－ 2 22 2 822 + AP
2 21 1 2 + BP
△PMB △PNA ∠ ∠MPB NPA 2NP AP
MP BP
△ △PMB PNA∽
()1 1 1 2 22
⋅ + ⋅△AMNS
1 3p＜ ＜ MP Q MP +y kx b
2 1
1
⋅ +
− +
k b
p pk b
3
1
1
1
− − + −
pk p
pb p
MP
3 1
1 1
− + +− −
p py xp p
0y 1
3
+ −
px p Q 10
3
+
−
p
p
() 211 11 4312 11
23 23 3
+ + −+− − −⋅− −− − − − △ △ △AMP AMQ APQ
p p ppSSS p
p p p
2 4 32 4 3
− + − ⋅ −
p p
p
22 9 90− + p p 3p 3
2
p
3p 1 2 2 22
⋅⋅ △ △AMP AMNS S 35 40
时延长 交 轴 见图⑶．
时 情况 时三角形面积 ．存实数
．
综 时 ．
54 中(遂宁市 2009 年初中毕业生学业考试 )图已知直线 点
x 轴交点 C双曲线相交点 D．
⑴求直线双曲线函数关系式
⑵求 （中 O 原点）面积．
答案⑴已知
Q
y
xO A
B
N M
P
l
y2
图（2）
3>p PM x Q
Q
图（3）
y2
P
MN
B
AO x
y
△ AMPS 3p △AMNS p
4△ △AMN AMPS S
3
2
p 4△ △AMN AMPS S
y ax b + ( )0 3A −
( )4B a− −
CDO△
DA
OC
B
x
y
3
4
b
a a b
−
− − + 36 40
解：
∴直线函数关系式：
设双曲线函数关系式：
∴
∴双曲线函数关系式 ．
⑵解方程组
∴
中令 解
∴
∴ 面积 ．
55 中（初二数学期末复反例函数）图正例函数 反例函数
交点 A A x 轴y 轴分作垂线构成正方形面积 4．
①分求出正例函数反例函数解析式．
②求出正反例函数图外交点坐标．
③求 面积．
答案⑴ 正例函数解析式 4y
x
正例函数解析式 y x
⑵ 交点 ( )2 2− −
1
3
a
b
−
−
3y x − −
ky x
1 4
k − 4k −
4y x
−
3
4
y x
y x
− − −
1
1
4
1
x
y
−
2
2
1
4
x
y
−
( )1 4D −
3y x − − 0y 3x −
3OC
CDO△ 1 3 4 62
× ×
1y k x 2ky x
ODC△
D
A
O
B
C x
y 37 40
⑶ 面积 2
56 难（初二数学竞赛）图已知正方形 面积 9点 坐标原点点
轴点 轴点 函数 图象点
双曲线点点 分作 轴 轴垂线垂足分 设矩
形 正方形 重合部分面积 ．
⑴ 求 点坐标 值
⑵ 时求 点坐标
⑶ 写出 关 函数关系式．
答案⑴设 点坐标 ．
条件
解述方程组
点 坐标 ．
．
⑵点 坐标 ．
ODC△
OABC O A
x C y B ()0 0ky k xx
> > ( )P m n
P x y E F
OEPFOABC S
B k
9
2S P
S m
y
xO A E
BC
F
P1
S
B ( )x y
9
0
xy
x y
>
3
3
x
y
B ( )3 3
ky x
9k xy
乙甲
y
xO AE
BC
F
P2
S
S
P1F
C B
EAO x
y
P ( )m n 38 40
时图甲 ．
时
．
解 ．
点坐标 ．
时图乙 ．
时 ．
．解 ．
点坐标 ．
⑶ 参第⑵题知 时图甲
时图乙
．
57 难（第二十二届希杯全国数学邀请赛）直线 交 轴点 交
轴点 ．坐标原点 关直线 称点 反例函数 图象．
⑴ 求反例函数 解析式
⑵ 直线 绕点 逆时针旋转角 直线 交 轴点
点 作 轴行线述反例函数 图象交点 四边形
面积 时求 值．
答案⑴ 解：⑴ 时
时 解
∴点 坐标分
∵坐标原点 关直线 称
∴
∴
解
3m≥ 3AE m − 1
9PE n m
9
2S 1
9
2AE PE⋅
() 9 93 2m m
− ⋅
6m
1P 36 2
0 3m< < 2P F m 93 3FC n m
− −
9
2S 2
9
2P F FC⋅
9 93 2m m
⋅ −
3
2m
2P 3 62
3m≥
()1
9 273 9S AEPE m m m
⋅ −⋅−
0 3m< <
2
9 3 9 3SPFFCm mm
⋅ ⋅ −−
3 +l y x x A
y B O l ＇O ky x
ky x
l A ( )0 45°< < °θ θ ＇l ＇l y P
P x ky x
Q ＇APQO
3 39 2
− θ
0x 0 3 3 + y
0y 3 0+ x 3 −x
A B 3 0−A（） 0 3B（）
O ′O l
3 3′ −O（）
3 3
−
k
9 −k 39 40
∴反例函数解析式
⑵设点 坐标
∵ 轴
∴
解
∴点 坐标
∵四边形 面积
∴ 27 339 92 2a
− +−
解
∴
∴
．
58 难（五中分校反例练）已知：关 元二次方程 两
根 满足 双曲线 斜边 中点
直角边 交 （图）求 ．
答案解：∵ 两根
∴
： ．
9 −y x
P 0 a（ ）
∥PQ x
9 −a x
9 −x a
Q 9 − aa
()＇＇ ＇
19 1 273 333 3 92 2 2
+ − ×+ −+×−××−+ △AOPAOBOAPQO O BPQSSSS a aa a正方形四边形 梯形 面积
＇APQO 3 39 2
−
3 3a
3 3tan 33
∠ POPAOAO
3tan 13
BOBAOAO
∠
60∠ °PAO 45∠ °BAO
60 45 15∠ −∠ °− ° °PAO BAOθ
x ( )2 22 1 0+ − +x k xk
1 2x x 2 2
1 2 0− x x 4 ky x
( 0)x＞ Rt △OABOB D
AB C OBCS△
y
x
D
B
C
AO
2 22 1 0+ − +x k xk（）
2 221 4 0∆ − −k k（） ≥
1
4k≤
2 2
1 2 0− x x 12 12 0− + xx xx（ ）（） 40 40
时 解 合题意舍
时
解： 符合题意
∵
∴双曲线解析式：
作
∵
∴ ∴
∴ ∴
∴
1 2 0+ x x 2 1 0− − k（） 1
2
k
1 2 0− x x 1 2x x 2 221 4 0∆ − − k k（）
1
4
k
4 ky x
1y x
D ⊥DE OA E 1 112 2
×△ △ODE OCAS S
EO A
C
B
D
x
y
⊥DE OA ⊥BA OA
∥DE AB △ △ODE OBA∽
2
4
△
△
OBA
ODE
S OB
S OD
14 22
× △OBAS
1 32 2 2
− −△ △ △OBC OBA OCAS S S
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反例函数反例函数反例函数反例函数面积问题面积问题面积问题面积问题
三角形中面积问题
二 四边形中面积问题
三 常考模型
四 复杂图形面积
三 常考模型
模型： 结： AOBABCDS S△ 梯形
证明： AOB BOCAOCBS S S −△ △四边形 AODAOCBABCDS S S − △四边形梯形
AOD BOCS S△ △ AOBABCDS S△ 梯形
1 易图点 A B 反例函数 ()3 0 >y x
x 图意两点 A B 分作 y
轴垂线垂足 C D 连接 ABAOBO△ABO 面积 8 梯形 CABD
面积（ ）
A． 6 B． 7 C．8 D．10
答案C
2 易（2011 年牡丹江中考）图双曲线 ky
x 点 ( )2 2A 点 ( )4 B m
△AOB 面积（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
D C
B
A
O
y
x
B
x
y
O
AC
D 2 40
答案B
3 易（二中分初二数学第二学期期中考试）两反例函数 第象限
图象图示点 图象 轴点 交 图象点
轴点 交 图象点 点 图象运动时结
：
① 面积相等
② 四边形 面积会发生变化
③ 始终相等
④点 A 中点时点 B 定 中点．
中定正确 ___________（认正确结序号填少填错填分）．
答案①②④
4 易（2010 年北京文汇期中）两反例函数 ky x 1y x 第象限图象图
示点 P ky x 图象 ⊥PC x 轴点 C 交 1y x 图象点 A ⊥PD y 轴
点 D 交 1y x 图象点 B 点 P ky x 图象运动时结：①△ODB
△OCA 面积相等②四边形 PAOB 面积会发生变化③ PA PB 始终相等
④点 A PC 中点时点 B 定 PD 中点．中定正确 __________．
B
A
O x
y
ky x
1y x
P ky x
PC x⊥ C 1y x
A
PD y⊥ D 1y x
B P ky x
ODB△ OCA△
PAOB
PAPB
PCPD
x
y
O
D
B
C
P
A 3 40
答案①②④
5 易（2013 年北京 8 中第二学期期中练题）图双曲线 ky
x
( )0>k 矩形
OABC 边 BC 点 E 2 CE BE 交 AB 点 D ．四边形 ODBE 面积 8
k __________．
答案 4
6 易（2010 年北京三十中期中）图已知双曲线 ()0 >ky x
x 矩形 OABC 边 AB
中点 F 交 BC 点 E 四边形 OEBF 面积 2 k __________
答案 2
7 易（2011 年深圳实验初二期末）函数 4y
x 1y
x 第象限图图点
P 4y
x 图动点 ⊥PC x 轴点 C 交 1y
x 图点 A ⊥PD y 轴
点 D 交 1y
x 图点 B ．出结：①△ODB △OCA 面积相等② PA
PB 始终相等③四边形 PAOB 面积会发生变化④ 1
3
CA AP ．中
正确结序号 ____________．
D
E
O C
BA
y
x
F
EC B
x
y
O
A 4 40
答案①③④
8 中（昌二中 2012 年度第二学期八年级数学期中试卷）图点 反例函数
图 轴点 交反例函数 图点 轴
点 交反例函数 图点 点 反例函数 图运动时
四边形 面积 _______．
答案1
9 中（2011 育三中模）图已知四边形 菱形 轴垂足
函数 图象点 交点 ． 面积（ ）
A．2 B．4 C． D．
答案C
10 易已知双曲线两点 (2 4) (4 2)A C ⊥ ⊥AB OB CD OD 求
⑴ 双曲线函数解析式⑵ △OAB 面积⑶ △OAC 面积．
x
y
O
D
B
C
P
A
P
2y x
PC x⊥ C 1y x
A PD y ⊥
D 1y x
B P 2y x
APBO
OABC CD x⊥ D
4y x
C AB E 2OD OCE△
2 2 4 2 5 40
答案设反例函数 ( 0) ≠ky k
x xy k 8k
反例函数解析式 8y
x
1 4 24
2
× ×△OABS
1 (2 4) 2 6
2
+×△OAC ABCDS S
11 中（2009 年模石景山）两反例函数 1 ky
x ()2
1 2 0 > >ky k k
x 第象限
图象图示动点 P 1 ky
x 图象 ⊥PC x 轴点 C 交 2 ky
x 图象点 A
⊥PD y 轴点 D 交 2 ky
x 图象点 B ．
⑴ 求证：四边形 PAOB 面积定值
⑵ 2
3
PA
PC 时求 DB
BP 值
⑶ 点 P 坐标 ( )5 2 △ △OAB ABP 面积分记 △OABS △ ABPS 设
−△ △OAB ABPS S S ．
① 求 1k 值
② 2k 值时 S 值值少？
DB
C
x
y
O
A
y
k2
x
y
k1
x
P
D
y
xO C
B
A 6 40
答案⑴ 证明：设 1 1( )A x y 2 2( )B x y 3 3( )P x y △AOC △BOD 面积分
1S 2S 矩形 PCOD 面积 3S ．
题意 2 2 1
1 2 3
1 2 3
k k ky y yx x x ．
∴ 1 11 2
1 1
2 2
S xy k 2 22 2
1 1
2 2
S xy k 3 33 1
S xy k ．
∴ 3 12 12( )− + −四边形PAOBS SSSkk ．
∴四边形 PAOB 面积定值．
⑵ ⑴知 1 2
S S ⋅ ⋅OD BD OC AC ．
∵ 2
3
PA PC
∴ 1
3
AC PC ．
∵ DP OC OD PC
∴ 1
3
BD DP ．
∴ 1
2
DB
BP．
⑶ ①题意知： 1 10 P Pk x y ．
② A B 两点坐标分 25 5
kA 2 22
kB
∴ 2 21 1 2 52 25 2
⋅ − − △ABP
k kS AP BP ．
∴ 2 2
2
12 10 22 52 5 2
− −−×− − △四边形 ABPPAOB
k kSS S k ．
∴ 2
2 2
1
10
− +S k k ．
∴ 2 5k 时 S 值 5
2 ．
12 中(达州市 2009 年高中阶段教育学校招生统考试 )图 8直线 +y kx b 反
例函数 ()0ky x
x
′ < 图象相交点 A 点 B x 轴交点 中点 坐标
点 横坐标
⑴ 试确定反例函数关系式
⑵ 求 面积
C A
( )2 4− B 4−
△AOC 7 40
答案⑴ ∵点 反例函数图象
∴ 4 2
k′ −
∴
∴反例函数解析式 8y
x
−
⑵ ∵B 点横坐标
∴ 8
4y − −
∴
∴
∵点 点 直线
∴
解
∴直线
x 轴交点坐标
∴ 1 1 6 4 122 2AOC AS COy ⋅ ××△
13 中（初二数学期末复反例函数）图：已知次函数 x 轴y
轴分交点 DC 两点反例函数 交 AB 两点点 A 坐标
点 B 坐标
⑴ 求 akm 值
⑵ 求 CD 两点坐标求 面积
⑶ 利图直接写出 x 什取值范围时 ？
O
A
B
C x
y
( )2 4A −
8k′ −
4−
2y
( )4 2B −
( )2 4A − ( )4 2B − y kx b +
4 2 k b − +
2 4 k b − +
1k 6b
AB 6y x +
( )6 0C −
1y x a − +
2
ky x
( )1 3
( )3 m
AOB△
1 2y y> 8 40
答案⑴
⑵
⑶
14 中（初二数学期末复反例函数）已知：图反例函数 面
直角坐标系 第象限中图象图示点 A 图象 轴
图象交点 B x 轴行分 图象交点 C
D．
⑴ 点 A 横坐标 2求梯形 面积
⑵ 点 A 横坐标 m较 面积说明理
答案⑴ 45
4ABCDS 梯形
⑵
15 中图已知反例函数 图象点 1 82
直线
该反例函数图象点 ．
⑴ 求述反例函数直线函数表达式
⑵ 设该直线 轴 轴分相交 AB 两点反例函数图象交点
P连结 求 面积．
4 3 1a k m
( )0 4C ( )4 0D 4AOBS △
0x < 1 3x< <
2y x
8y x
xOy 8y x
AB y∥
2y x
ACBD 2y x
8y x
ACBD
OBC△ ABC△
OBC ABCS S＞△ △
()0ky k
x
≠ y x b − +
( )4Q m
x y
OPOQOPQ△ 9 40
答案⑴ 反例函数解析式 直线解析式 5y x − +
⑵ 15
2OPQS △
16 中（2013 年海淀实验第二学期初二年级数学学科期中试题）
⑴ 探究新知：图 1已知 面积相等试判断 位置关
系证明．
⑵ 结应：
图2点 反例函数 图象点 作 轴点
作 轴垂足分 试证明
①中条件变改变点 位置图 3 示请画出图形判断
否行．
答案⑴
⑵
连接
⑴知
AO
y
x
B
Q
P
4y x
ABC△ ABD△ ABCD
M N ()0ky kx
> M ME y⊥ N
NP x⊥ E F MN EF∥
M N MN
EF
x
y
M
N
O
图3图2
O
N
M
E
F
y
x
图1
BA
DC
AB CD∥
P
E
N
M
O
y
x
OM ON MP EN
EOM EMPS S△ △ 10 40
∵
∴
∴
17 中(2011 年莆田中考 )图—矩形 放直角坐际系中O 坐标原点．点
A x 轴正半轴．点 E 边 —动点 (点 AN 重合 )点 E 反例
函数 图象边 交点 F．
⑴ 积分 ． 求 k 值：
⑵ ． ．问点 E 运动什位置时四边形 面积．
值少
答案⑴ ∵点 EF 函数 图象
∴设
∴
∵
∴ ．
⑵ ∵四边形 矩形
设
∴
∴
NOP NEPS S△ △
EOM NOPS S△ △
EMP NEPS S△ △
MN EP∥
OABC
AB
( 0)ky xx
> BC
OAE△ OCF△ 1 2S S 1 2 2S S+
2OA 4OC OAEF
x
y
OC
F
BEA
( 0)ky xx
>
1 1
1
( 0)kE x xx
>
2 2
2
( 0)kF x xx
>
1 1
1
1
2 2
k kS x x
⋅ ⋅ 2 2
2
1
2 2
k kS x x
⋅ ⋅
1 2 2S S+
22 2
k k+ 2k
OABC 2OA 4OC
22
kE
4 4
kF
4 2
kBE − 2 4
kBF −
21 14 2 42 2 4 16BEF
k kS k k∆
− − −+ 11 40
∵
∴
∴ 时
∴ ．
点 E 运动 中点时四边形 面积值 5．
18 难（2012 广西玉林中考）图面直角坐标系 中梯形 边
轴正半轴 点 A 双曲线 支第象限交
梯形角线 点 D交边 点 E．
⑴填空：双曲线支第 _________ 象限 取值范围 _________
⑵点 C 坐标 点 E 什位置时阴影部分面积 S ？
⑶ 求双曲线解析式．
答案⑴三
⑵∵梯形 边 x 轴正半轴
点 C 坐标标
∴A 点坐标 2E 点横坐标 2B 点坐标
代入 代入
∴A 点坐标 E 点坐标
∴
1 42 4 2OCF
k kS∆ ×× 2 4 8OABCS × ×矩形
BEF OCFOAEF OABCS S SS∆ ∆− −四边形 矩形
218 416 2
kk k − −+−
21 416 2
kk− + +
21 ( 4) 516 k− − +
4k 5OAEFS 四边形
2AE
ABOAEF
xOy AOBCOB
x AC OB∥ BC OB⊥ ky x
OCBC
k
( )2 2
1
2
OD
OC
2OACS △
O x
y
ED
C
B
A
0k >
AOBCOB AC OB∥ BC OB⊥
( )2 2
( )2 0
2y ky x
2
kx 2x ky x
2
ky
22
k
2 2
k
ACE OBES S S +阴影部分 △ △ 12 40
时S 阴影部分值
∴E 点坐标 E 点 中点
∴点 E 中点时阴影部分面积 S
⑶设 D 点坐标
∵
∴ D 点 中点
∴C 点坐标
∴A 点坐标
代入
∴A 点坐标
∵
∴
∴
∴双曲线解析式 ．
四 复杂图形面积
19 易（2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学）图函数 y x − 函数 4y
x
−
图象相交 A B 两点 A B 两点分作 y 轴垂线垂足分点 C D ．
四边形 ACBD 面积（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
1 12 2 22 2 222
k k k × − × − +××
21 1 28 2k k − +
()21 2 158 k − +
2 0k − 2k 15
( )2 1 BC
BC
ka a
12OD OC
OD DC OC
22 ka a
2k
a
2ky a
ky x
2
ax
2
2
a k
a
2OACS △
1 22 22 2
a ka a
× − ×
4
3k
4
3y
x
13 40
答案D
20 中（2010 年江）图反例函数 ()0 >ky x
x 图矩形 OABC 角线
交点 M 分 AB BC 相交点 D E 四边形 ODBE 面积 6 k 值
（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
答案B
21 中（2013 年北京六中学第二学期期中考试初二数学试题）图点 A 双曲线
ky
x 第象限图象AB 垂直 y 轴点 B 点 C x 轴正半轴 2OC AB
点 E 线段 AC 3AE EC 点 D OB 中点△ADE 面积 6 k
值（ ）
A．16 B． 16
3 C． 32
3 D．32
答案C
y
x
B
C
D
O
A
y
k
x
D
M
EC
AO
y
x
B
y
x
E
O
D
C
B A 14 40
22 中（锡市中考题）已知直角梯形 ABCO 底边 AO x 轴BC ∥ AO AB AO⊥
点 C 双曲线 ky
x
交 OB D 点 1
2
OD
DB
3OBCS △ k 值（ ）
A2 B 3
4 C 24
5 D 法确定
答案B
23 中（威海市中考题）次函数 y ax b + 图象分 x 轴 y 轴交点 M N
反例函数 ky
x
图象相交点 A B 点 A 分作 AC x⊥ 轴 AE y⊥ 轴垂
足分 C E 点 B 分作 BF x⊥ 轴BD y⊥ 轴垂足分 F D AC BD
交点 K 连接 CD
（1）点 A B 反例函数 ky
x
图象分支图①试证明：
① AEDK CFBKS S四边形 四边形 ② AN BM
（2）点 A B 分反例函数 ky
x
图象分支图② AN BM
相等？试证明结
答案（ 1）①∵ AEOC BDOFS S k 矩形 矩形
∴ AEOC DOCK BDOF DOCKS S S S− −矩形 矩形 矩形 矩形
AEDK CFBKS S矩形 矩形
y
xO
D
C B
A 15 40
②①知 AEDK CFBKS S矩形 矩形
∴ AK DK BK CK⋅ ⋅ AK BK
CK DK
∵ 90AKB CKD∠ ∠ ° ∴ ABK△ ∽ CKD△
∴ CDK ABK∠ ∠ ∴ AB ∥ CD
∵ AC ∥ y 轴∴四边形 ACDN 行四边形
∴ AN CD
理 BM CD AN BM
（2） AN BM 然相等证法①
24 中图直线 双曲线 相交 两点点 作 轴点
点作 轴点 连接 分记 面积
列结定正确（ ）
A． B． C． D．法判断
答案C
25 中图 反例函数 两点 轴点 轴
点 连接 面积关系（ ）
AB ky x
A B A AC y⊥ C
B BD y⊥ D ADBCABC△ ABD△ 1S 2S
D x
C
B
A
y
O
1 2S S> 1 2S S< 1 2S S
A B 1y x
AC x⊥ C BD y⊥
D ADBCABD△ ACB△
D
C
A
O
y
x
B 16 40
A． B．
C． D．
答案C
26 中（绵阳）图梯形 顶点 反例函数图
底边 直线 底边 交 轴 四边形 面积
（ ）
A． B． C． D． 3 1+
答案D
27 中图已知四边形 四边形 均正方形反例函数 图象
两点 面积等（ ）
A． B． C． D．
答案C
ADB ACBS S>△ △ ADB ACBS S<△ △
ADB ACBS S△ △
AOBC A C OA BC∥
OA y x BC x ( )2 0E AOEC
1
E
C
A
O
y
x
B
3 3 3 1−
AOBECBFD 4y x
D E DOE△
F
E
AO
y
x
C
B
D
6 1− 5
2 2 6 17 40
28 难（2011 年罗湖区初三第二次联考）图已知梯形 ABCD 底边 AO x 轴
∥BC AO ⊥AB AO 点 C 双曲线 ky
x 交 OB D 12OD DB △OBC
面积等 3 k 值（ ）
A．等 2 B．等 3
4 C．等 24
5 D．法确定
解析设 B 点坐标 ( )a b
∵ 12OD DB
∴ D 点坐标 3 3
a b
根反例函数意义
∴ 3 3
⋅ a b k
∴ 9ab k
∵ ∥BC AO ⊥AB AO
C 反例函数图象
∴ C 点坐标
k bb
∴ 1 32
− ⋅ △OBC
kS a bb
6− ab k
9 6− k k
3
4
k
答案B
29 中（2012 武汉中考）图点 双曲线 第象限支 垂直
轴点 点 轴正半轴 点 线段
点 中点 面积 3 值 ___________．
D
C
AO
y
x
B
A ky x AB
x B C x 2OC AB E AC 3AE EC
D OB △ADE k 18 40
答案连 图
∵ 面积 3
∴ 面积 1
∴ 面积 4
设 点坐标
点 中点
∴
∵
∴
∴
代入双曲线
∴ ．
答案 ．
30 中图双曲线 （ ）四边形 顶点
分 轴正半轴夹角 轴 翻折
点落 四边形 面积 _________
B A
D
E
CO x
y
DC
y
xOC
E
D
AB
3AE EC △ADE
△CDE
△ADC
A a b（ ） AB a 2 2 OC AB a
D OB
1
2
BD OD b
+ +△ △ △ABO ADC ODCOBACS S S S梯形
()1 11 112 4 22 22 22
+ × × ++××aabab ab
16
3
ab
( )A a b ky x
16
3
k ab
16
3
2y x 0>x OABC A C 90∠ °ABC
OCOA x ∥AB x △ABCAC＇△AB C
＇B OAOABC 19 40
答案2
31 中图双曲线 矩形 OABC 边 中点 E交 点 D
梯形 面积 3双曲线解析式 _________．
答案
32 中图点 ( )2 2B x y 双曲线
分点 AB x 轴y 轴作垂线段垂足分 CDEF
相交 G 点四边形 面积 2五边形 面积 14 双曲
线解析式 _________．
答案 6y
x
33 中（2013 年首师二附中第二学期期中初二年级数学练）两反例函数 3y
x
第象限图象图示点 1P …… 反例函数
图象横坐标分 … 坐标分 135……
B′
O
C
BA
x
y
()0ky kx
> BCAB
ODBC
E
BDA
CO x
y
2y x
( )1 1A x y ()0ky xx
> 2 1 4x x−
1 2 2y y− AC
BFFOCGAEODB
6y x
2P 3P 2013P 6y x
1x 2x 3x 2013x 20 40
2013 连续奇数点 … 分作 轴行线 图
象交点次 … _____________．
答案
34 中（2012 年苏州市第十六中学八年级学期期末模拟考试数学试卷）图行
四边形 AOBC 中角线交点 E 双曲线 ()0 >ky k
x A E 两点行四边
形 AOBC 面积 18 k _______．
答案6
35 中图矩形 OABC 边 OAOC 坐标轴点 B 双曲线解析式
()0
四边形 EMCN 面积 13
4 k _______．
1P 2P 3P 2013P y 3y x
( )1 1 1Q x y ( )2 2 2Q x y OGBC 2013y
x
1
1O
y1
y2
y3
Q1
Q2
Q3
P1(x1 1)
P2(x2 3)
P3(x3 5)
y
6
x
y
3
x
4025
2
E
C
B
A
O
y
x 21 40
答案 12−
36 中（郑州外国语中学第三次质量检测数学卷）图已知矩形 OABC 面积 100
3
角线 OB 双曲线 ky
x 相交点 D 35OD OB k _______．
答案12
37 中（2013 年理工分校第二学期初二数学期中练）图块直角三角板 OAB 放
面直角坐标系中 90∠ °ABO ( )2 0B 60∠ °AOB点 A 第象限点
A 双曲线 yx k x 轴取点 P 点 P 作直线 OA 垂线 l 直线 l 称
轴线段 OB 轴称变换 ′ ′O B ．点 ′O 点 A 重合时点 P 坐标 _______
k _______．
答案()4 0 43
y
EN
MC
B A
xO
B
x
y
O A
C
D
O′
O
y
xPB
A
B′ 22 40
38 中图点 P 反例函数 ()1
1 0 0 > >ky k x
x 图动点点 P 作 x 轴 y
轴垂线交 A B 两点交反例函数 ()2
2 2 10 <
⑴图 1 中四边形 PEOF 面积 1
S ___________（含 1k 2k 式子表示）
⑵图 2 中设 P 点坐标 ( )2 3
①点 E 坐标（_______）点 F 坐标（_______）（含 2k 式子表示）．
②△OEF 面积 8
3
求反例函数 2 ky
x 解析式．
图 1 图 2
答案⑴ 1 2
−k k
⑵① 22 2
kE 2 33
kF
② 2 −y
x
39 难（2011 年中考模拟试卷）图Rt △ABC 直角边 BC x 轴正半轴斜边 AC
中线 BD 反延长线交 y 轴负半轴点 E 双曲线 ()0 >ky x
x 图点 A
8△EBCS k _________
P
y
k2
x
y
k1
x
E
F B
A
y
xO
E
PF B
A
y
k2
x
y
k1
x
O x
y 23 40
答案∵ BD Rt △ABC 斜边 AC 中线
∴ BD DC ∠ ∠DBC ACB
∵ ∠ ∠DBC EBO
∴ ∠ ∠EBO ACB
∵ 90∠ ∠ °EOB CBA
∴ △ ∽△BOE CBA
∴ BO OE
BC AB
× ×BC OE BO AB
∵ 8△EBCS
∴ 1 8
2
⋅ BC EO
∴ 16× × BC OE BO AB k
∵反例函数第象限
∴ 0>k
∴ 16k ．
40 难（2010 年北京四中期中）已知 反例函数
图象五整数点（横坐标均整数）分点横轴轴作垂线段
垂线段正方形边长半径作四分圆周两条弧组成图示五橄榄形
（阴影部分）五橄榄形面积总 __________（含 代数式表示）．
D
C
E
A
O
y
x
B
A B C D E ()16 0y xx
>
π 24 40
答案
41 易（2011 年罗湖区初三第二次联考）图四边形 OABC 面积 4 正方形
函数 ()0 >ky x
x 图象点 B ．
⑴ 求 k 值
⑵ 正方形 OABC 分直线 AB BC 翻折正方形 ′MABC ′MA BC ．设线段
′MC ′NA 分函数 ()0 >ky x
x 图象交点 E F 求线段 EF 直线解
析式．
答案⑴ 4k ⑵ 5 − +y x
42 易（张江集团学校 2010 学年第学期初二数学期中复）
反例函数 图重合 两点 点横坐标 点
坐标
⑴ 求 两点坐标
⑵ 已知 求四边形 面积．
y
ED
C
B
A
xO
13 π 26−
8 ( 0)y xx
＞ A B A 8 B
4
A B
( )0 3C ( )2 0D ABCD 25 40
答案⑴ 代入 解
∴
⑵ B 点作 轴点 作 轴
图示
43 中（附中 2012 年第二学期期中初二年级数学练）图行四边形
顶点坐标分 顶点 双曲线 边 交
轴点 边 交 轴点 四边形 面积 面积 3 倍．
⑴ 求反例函数 解析式
⑵ 求梯形 面积．
答案⑴
⑵
44 中（初二选期末综合练四）已知双曲线 直线 相交 两点．第
象限点 （ 点左侧）双曲线 动点．点 作 轴
交轴点． 作 轴交双曲线 点交 点．
y
xO D
C
B
A
y
xOG
FE
D
C
B
A
8Ax 4By 8y x
1Ay 2Bx
( )8 1A ( )2 4B
EF ⊥y A FG x⊥
BEC BFA ADG CDOABCDS SSSSS∆ ∆ ∆ ∆− − − −四边形 矩形
1 1 1 184 21 63 16 32162 2 2 2
×−××−××−××−××
ABCD
( )2 0A − ( )1 2B − − C D ky x
AD y
E BC y H BCDEABE△
ky x
EHCD
12k
35 4EHCDS梯形
ky x
1
4
y x A B
M m n（） A ky x B ∥BD y
x D 0N n（－） ∥NC x ky x E BD C 26 40
⑴ 点 坐标 求 两点坐标 值．
⑵ 中点四边形 面积 4求直线 解析式．
答案⑴ 16k ⑵
45 中（北京实验学校 2012 年第二学期期中考试初二数学试题）
已知：图反例函数 次函数 点
．
⑴ 直接写出次函数解析式
⑵ 连结 _________
⑶ 该反例函数图象点 （中 ）射线 取
点 设 点坐标 点作 轴点 连结
面积 求代数式 值．
答案⑴ 次函数解析式
⑵
⑶ 2 2 23 3n n+ − −
D 8 0（－） A B k
B CDOBCECM
y
x
N
M
E
D
C
B
A
O
( )82A ( )8 2− −B 2 2
3 3
+y x
()0 ky kx
≠ ( )0 +y ax ba ≠ ( )1 1B
( )2−A c
OB OA AOBS△
3 12
−
F m m 0>m OF
E E n F FM x⊥ M EMOEM△
2
2
2 2 2 3+ −n n
1 1
2 2
+y x
3
4
AOBS△ 27 40
46 中（2011 怀柔区期末考试）图示直角坐标系中点 反例函数
图象点 轴正半轴 点 中点次函数
图象 两点交 轴点
⑴ 求反例函数次函数解析式
⑵ 观察图象请指出 轴右侧 时 取值范围 ＜ 时
取值范围．
答案作 轴
∵ ∴ ∴
∵ 中点
∴
∴
∴ ∴
代入 中 ∴ ．
代入 解：
∴
⑵ 轴右侧 时 ＜ 时
47 中（苏州市实验初级中学初二期中）图次函数 反例函数
图象交 两点．点 作 轴垂足 ．
⑴求次函数反例函数解析式
⑵根条件请直接写出等式 解集
A 1
ky x
⊥AB x B C OB 2
+y ax b
A C y ( )0 2−D 4AODS
y 1 2
>y y x 1y 2y x
⊥AE y E
E
y2y1
B
D
C
A
O x
y
4△AODS 2OD 1 42
⋅ OD AE 4AE
⊥AB OB C OB
90∠ ∠ °DOC ABC OC BC ∠ ∠OCD BCA
Rt Rt△ ≌ △DOC ABC
2 AB OD 4 2A（）
( )4 2A 1
ky x 8k 1
8y x
( )42A ( )0 2−D 2 +y ax b 4 2
2
+
−
a b
b
1
2
−
a
b
2 2 −y x
y 1 2
>y y 0 4<
1
y kx b＋ 2 ky
x
(2 )A m ( 2)B n － B ⊥BC x C 5△ABCS
2
1
kk x b
x
＋ ＞ 28 40
⑶ 函数 图象两点 求实数 取
值范围．
答案 ⑴ ⑵ ⑶
48 中（河西区 2011 年第二学期期中质量调查）已知图中曲线反例函数
（ 常数）图象支．
⑴ 反例函数图象支第象限？常数 取值范围什？
⑵ 该函数图象正例函数 图象第象限交点 点作
轴垂线垂足 面积 时求点 坐标 值．
答案⑴ 反例函数图象支第三象限常数 取值范围
⑵ 反例函数解析式 14m
49 中（2011 年巴彦淖尔市初中毕业高中招生统考试试卷）（题满分 10 分）
图点 双曲线 垂直 轴垂足 点 行 轴交曲
线点 直线 轴交点 已知 点 坐标 ．
⑴ 求该双曲线解析式
⑵ 求 面积．
1( )P p y 2( 2 )Q y－ 2 ky x 1 2y y≥ p
A
O
B
C
x
y
1 +y x 6y x 3 0x－ ＜ ＜ 2x＞ 2p≤－ 0p＞
6− my x
m
m
2y x A A
x B OAB△ 4 A m
m 6m＞
( )2 4A 8y x
D AD x A C ADCB x
B AB y F 13AC AD C 2 2（ ）
△OFA 29 40
答案⑴ 点坐标 双曲线解析式
⑵ 代入
50 中图直线 （ ）双曲线 （ ）第象限支相
交 两点坐标轴交 两点 双曲线点 ．
⑴ 试 表示 两点坐标
⑵ 面积等 1试求双曲线第象限支函数解析式
⑶ 面积等 试求 COA△ 面积．
答案⑴
⑵
⑶ 面积
51 中（威海市 2009 年初中升学考试）次函数 图象分 轴 轴交
点 反例函数 图象相交点 ．点 分作 轴
轴垂足分 点 分作 轴 轴垂足分
交点 连接 ．
F
BC
D
O
A x
y
D ( )26 12y x
2 0A（） ( )62B +y kx b 1b －
1
2
× × △OFCS OA OF 1 2 1 12
× ×
− +y x b 0>b ky x 0>k
A B C D P | || |PO PD
k b C P
△POD
△OAB 4 3 △BOD
AC
P B
DO x
y
( )0C b 22
b kP b
()1 0 >y xx
8 4 3−
+y ax b x y
M N ky x A B A ⊥AC x
⊥AE y C E B ⊥BF x BF x⊥ ⊥BD y
F D ACBD K CD 30 40
⑴点 反例函数 图象分支图 1试证明：
①
② ．
⑵点 分反例函数 图象分支图 2 相
等？试证明结．
答案解：⑴①∵ 轴 轴
四边形 矩形．
轴 轴
四边形 矩形．
∵ 轴 轴
四边形 均矩形．
1OC x 1AC y 1 1x y k⋅
．
．
A B ky x
AEDK CFBKS S四边形 四边形
AN BM
A B ky x ANBM
⊥AC x ⊥AE y
∴ AEOC
∵ ⊥BF x ⊥BD y
∴ BDOF
⊥AC x ⊥BD y
∴ AEDKDOCKCFBK
∵
∴ 1 1 ⋅ ⋅AEOCS OC AC x y k矩形
∵ 2OF x 2FB y 2 2⋅ x y k
∴ 2 2 ⋅ ⋅BDOFS OF FB x y k矩形
∴ AEOC BDOFS S矩形 矩形
∵ −AEDK AEOC DOCKS S S矩形 矩形 矩形
O C F M
D
E
N
K
y
x
A
B
图 1
O C F M
D
E
N
K
y
x
1 1( )A x y
2 2( )B x y
O C
D K
F
E
N
y
x
1 1( )A x y
3 3( )B x y
M
31 40
．
②⑴知 ．
．
．
．
．
．
轴
四边形 行四边形．
．
理 ．
∴ ．
⑵ 然相等．
．
．
．
．
．
．
轴
−CFBK BDOF DOCKS S S矩形 矩形 矩形
∴ AEDK CFBKS S矩形 矩形
AEDK CFBKS S矩形 矩形
∴ ⋅ ⋅AK DK BK CK
∴ AK BK
CK DK
∵ 90∠ ∠ °AKB CKD
∴ △ △AKB CKD∽
∴ ∠ ∠CDK ABK
∴ ∥AB CD
∵ ∥AC y
∴ ACDN
∴ AN CD
BM CD
AN BM
ANBM
∵ +AEDK AEOC ODKCS S S矩形 矩形 矩形
+BKCF BDOF ODKCS S S矩形 矩形 矩形
∵ AEOC BDOFS S k矩形 矩形
∴ AEDK BKCFS S矩形 矩形
∴ ⋅ ⋅AK DK BK CK
∴ CK DK
AK BK
∵ ∠ ∠K K
∴ △ △CDK ABK∽
∴ ∠ ∠CDK ABK
∴ ∥AB CD
∵ ∥AC y
O C
D K
F
E
N
y
x
A
B
M
图 2 32 40
四边形 行四边形．
．
理 ．
．
52 中图点 作 轴 轴垂线分交 轴 轴 两点交
双曲线 （ ） 两点．
⑴ 点 坐标 ________点 坐标 ________（均含 式子表示）
⑵ 判断 位置关系证明结
⑶ 记 否值？求出值没请说明理
．
答案⑴
⑵
∵
∴
中
中
∴
∴
∴
⑶ 值．理：
分点 作 行线交点 ．
∴ ANDC
∴ AN CD
BM CD
∴ AN BM
( 4 3)P － x y x y A B
ky x 2k ≥ E F
E F k
EFAB
−△ △PEF OEFS S S S
O
FBP
A
E
x
y
4 4
− −
kE 33
kF
∥EF AB
4 3−P（）
4 4
− −
kE 33
kF
3 4
+ kPE 43
+kPF
Rt △PAB 4tan 3
∠ PBPABPA
Rt △PEF
4 43tan 33 4
+
∠
+
k
PFPEF kPE
tan tan∠ ∠PAB PEF
∠ ∠PAB PEF
∥EF AB
S
E F PF PE ′P 33 40
⑵知
∵四边形 矩形
∴
∴
∵ 时 值 值增增
∴ 时
∴ 值
53 中（2011 年江苏省南通中考）图已知直线 点 双曲线
交点 ．点 作 轴行线分交双曲线
() 点 ．
⑴ 求 值直线 解析式
⑵ 点直线 求证：
⑶ 否存实数 p ？存请求出满足条件 值
存请说明理．
答案解：⑴点 ．
设直线解析式 点 点
解
∴求直线 解析式 ．
P′M
N
y
x
E
A
P B F
O
＇ 3 4
−
k kP
′PEP F
′ △ △P EF PEFS S
−△ △PEF OEFS S S ′ + +△ △OME OMP N ONFS S S矩形
()2 2
21 6 32 12 2 12 12
+++ + −k k k k k k
2k ≥ S k
2k 7
3
S
S 7
3
l (10)A my x
( 0)x＞ ( )2 1B ( 1)( 1)Ppp p－ ＞ x my x
0x＞ my x
－ ( 0)x＜ M N
m l
P 2y △ △PMB PNA∽
4△ △AMN AMPS S p
(21)B y m
x 2 1
m 2m
l +y kx b (1 0)A (2 1)B y kx b +
0
2 1
+
+
k b
k b
1
1
−
k
b
l 1 −y x 34 40
⑵ 点 直线 ∴ 直线直线 交
点见图⑴．
∴根条件点坐标 ．
∴
∴ 中 ．
∴ ．
⑶ ．面分情况讨：
时延长 交 x 轴 见图⑵．设直线
解
直线
时 点坐标 ．
解 （合舍） ．
时见图⑴ ．合题意．
∵ ( 1)P p p － 2y P l 2y l
图（1）
y2
lPMN
B
AO x
y
1 2N（－） 1 2M（） 3 2P（）
3 1 4 NP－（－） 3 1 2 MP－ 2 22 2 822 + AP
2 21 1 2 + BP
△PMB △PNA ∠ ∠MPB NPA 2NP AP
MP BP
△ △PMB PNA∽
()1 1 1 2 22
⋅ + ⋅△AMNS
1 3p＜ ＜ MP Q MP +y kx b
2 1
1
⋅ +
− +
k b
p pk b
3
1
1
1
− − + −
pk p
pb p
MP
3 1
1 1
− + +− −
p py xp p
0y 1
3
+ −
px p Q 10
3
+
−
p
p
() 211 11 4312 11
23 23 3
+ + −+− − −⋅− −− − − − △ △ △AMP AMQ APQ
p p ppSSS p
p p p
2 4 32 4 3
− + − ⋅ −
p p
p
22 9 90− + p p 3p 3
2
p
3p 1 2 2 22
⋅⋅ △ △AMP AMNS S 35 40
时延长 交 轴 见图⑶．
时 情况 时三角形面积 ．存实数
．
综 时 ．
54 中(遂宁市 2009 年初中毕业生学业考试 )图已知直线 点
x 轴交点 C双曲线相交点 D．
⑴求直线双曲线函数关系式
⑵求 （中 O 原点）面积．
答案⑴已知
Q
y
xO A
B
N M
P
l
y2
图（2）
3>p PM x Q
Q
图（3）
y2
P
MN
B
AO x
y
△ AMPS 3p △AMNS p
4△ △AMN AMPS S
3
2
p 4△ △AMN AMPS S
y ax b + ( )0 3A −
( )4B a− −
CDO△
DA
OC
B
x
y
3
4
b
a a b
−
− − + 36 40
解：
∴直线函数关系式：
设双曲线函数关系式：
∴
∴双曲线函数关系式 ．
⑵解方程组
∴
中令 解
∴
∴ 面积 ．
55 中（初二数学期末复反例函数）图正例函数 反例函数
交点 A A x 轴y 轴分作垂线构成正方形面积 4．
①分求出正例函数反例函数解析式．
②求出正反例函数图外交点坐标．
③求 面积．
答案⑴ 正例函数解析式 4y
x
正例函数解析式 y x
⑵ 交点 ( )2 2− −
1
3
a
b
−
−
3y x − −
ky x
1 4
k − 4k −
4y x
−
3
4
y x
y x
− − −
1
1
4
1
x
y
−
2
2
1
4
x
y
−
( )1 4D −
3y x − − 0y 3x −
3OC
CDO△ 1 3 4 62
× ×
1y k x 2ky x
ODC△
D
A
O
B
C x
y 37 40
⑶ 面积 2
56 难（初二数学竞赛）图已知正方形 面积 9点 坐标原点点
轴点 轴点 函数 图象点
双曲线点点 分作 轴 轴垂线垂足分 设矩
形 正方形 重合部分面积 ．
⑴ 求 点坐标 值
⑵ 时求 点坐标
⑶ 写出 关 函数关系式．
答案⑴设 点坐标 ．
条件
解述方程组
点 坐标 ．
．
⑵点 坐标 ．
ODC△
OABC O A
x C y B ()0 0ky k xx
> > ( )P m n
P x y E F
OEPFOABC S
B k
9
2S P
S m
y
xO A E
BC
F
P1
S
B ( )x y
9
0
xy
x y
>
3
3
x
y
B ( )3 3
ky x
9k xy
乙甲
y
xO AE
BC
F
P2
S
S
P1F
C B
EAO x
y
P ( )m n 38 40
时图甲 ．
时
．
解 ．
点坐标 ．
时图乙 ．
时 ．
．解 ．
点坐标 ．
⑶ 参第⑵题知 时图甲
时图乙
．
57 难（第二十二届希杯全国数学邀请赛）直线 交 轴点 交
轴点 ．坐标原点 关直线 称点 反例函数 图象．
⑴ 求反例函数 解析式
⑵ 直线 绕点 逆时针旋转角 直线 交 轴点
点 作 轴行线述反例函数 图象交点 四边形
面积 时求 值．
答案⑴ 解：⑴ 时
时 解
∴点 坐标分
∵坐标原点 关直线 称
∴
∴
解
3m≥ 3AE m − 1
9PE n m
9
2S 1
9
2AE PE⋅
() 9 93 2m m
− ⋅
6m
1P 36 2
0 3m< < 2P F m 93 3FC n m
− −
9
2S 2
9
2P F FC⋅
9 93 2m m
⋅ −
3
2m
2P 3 62
3m≥
()1
9 273 9S AEPE m m m
⋅ −⋅−
0 3m< <
2
9 3 9 3SPFFCm mm
⋅ ⋅ −−
3 +l y x x A
y B O l ＇O ky x
ky x
l A ( )0 45°< < °θ θ ＇l ＇l y P
P x ky x
Q ＇APQO
3 39 2
− θ
0x 0 3 3 + y
0y 3 0+ x 3 −x
A B 3 0−A（） 0 3B（）
O ′O l
3 3′ −O（）
3 3
−
k
9 −k 39 40
∴反例函数解析式
⑵设点 坐标
∵ 轴
∴
解
∴点 坐标
∵四边形 面积
∴ 27 339 92 2a
− +−
解
∴
∴
．
58 难（五中分校反例练）已知：关 元二次方程 两
根 满足 双曲线 斜边 中点
直角边 交 （图）求 ．
答案解：∵ 两根
∴
： ．
9 −y x
P 0 a（ ）
∥PQ x
9 −a x
9 −x a
Q 9 − aa
()＇＇ ＇
19 1 273 333 3 92 2 2
+ − ×+ −+×−××−+ △AOPAOBOAPQO O BPQSSSS a aa a正方形四边形 梯形 面积
＇APQO 3 39 2
−
3 3a
3 3tan 33
∠ POPAOAO
3tan 13
BOBAOAO
∠
60∠ °PAO 45∠ °BAO
60 45 15∠ −∠ °− ° °PAO BAOθ
x ( )2 22 1 0+ − +x k xk
1 2x x 2 2
1 2 0− x x 4 ky x
( 0)x＞ Rt △OABOB D
AB C OBCS△
y
x
D
B
C
AO
2 22 1 0+ − +x k xk（）
2 221 4 0∆ − −k k（） ≥
1
4k≤
2 2
1 2 0− x x 12 12 0− + xx xx（ ）（） 40 40
时 解 合题意舍
时
解： 符合题意
∵
∴双曲线解析式：
作
∵
∴ ∴
∴ ∴
∴
1 2 0+ x x 2 1 0− − k（） 1
2
k
1 2 0− x x 1 2x x 2 221 4 0∆ − − k k（）
1
4
k
4 ky x
1y x
D ⊥DE OA E 1 112 2
×△ △ODE OCAS S
EO A
C
B
D
x
y
⊥DE OA ⊥BA OA
∥DE AB △ △ODE OBA∽
2
4
△
△
OBA
ODE
S OB
S OD
14 22
× △OBAS
1 32 2 2
− −△ △ △OBC OBA OCAS S S
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