高等数学(济第七版)册知识点总结
第章 函数极限
函数概念
1两穷较
设
（1）l 0称f (x)g(x)高阶穷记f (x) 0[]称g(x)f(x)低阶穷
（2）l ≠ 0称f (x)g(x)阶穷
（3）l 1称f (x)g(x)等价穷记f (x) ~ g(x)
2常见等价穷
x →0时
sin x ~ xtan x ~ x ~ x ~ x
1− cos x ~ −1 ~ x ~ x ~
二．求极限方法
1． 两准
准 1 单调界数列极限定存
准 2（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
2． 两重公式
公式1
公式2
3． 穷重性质等价穷代换
4． 泰勒公式
时公式做等价穷更深层次
5． 洛必达法
定理1 设函数满足列条件：
（1）
（2）某心邻域导
（3）存（穷）
定理说明：存时存等穷时穷．
种定条件通分子分母分求导求极限确定未定式极限值方法称洛必达（ospital）法
型未定式
定理2 设函数满足列条件：
（1）
（2）某心邻域导
（3）存（穷）
注：述关时未定式型洛必达法时未定式型样适．
洛必达法时必须注意点：
（1）洛必达法适型未定式未定式须先化简变形成型运该法
（2）条件具备连续应洛必达法
（3）洛必达法条件充分必．该法失效时断定原极限存．
6．利导数定义求极限
基公式(果存）
7利定积分定义求极限
基格式（果存）
三． 函数间断点分类
函数间断点分两类：
（1） 第类间断点
设 函数y f (x)间断点果f (x)间断点处左右极限存称f (x)第类间断点左右极限存相等该点函数值间断点左右极限存跳跃间断点第类间断点包括间断点跳跃间断点
（2） 第二类间断点
第类间断点外间断点统称第二类间断点常见第二类间断点穷间断点振荡间断点
四． 闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f (x)基性质性质
定理1．（界定理）果函数f (x)闭区间[ab]连续f (x)必[ab]界
定理2．（值值定理）果函数f (x)闭区间[ab]连续区间定存值M 值m
定理3．（介值定理）果函数f (x)闭区间[ab]连续值值分M m 介mM 间实数c[ab]少存ξ f (ξ ) c
推：果函数f (x)闭区间[ab]连续f (a)f (b)异号(ab)少存点ξ f (ξ ) 0推称零点定理
第二章 导数微分
．基概念
1．微导等价推出连续连续推出微导
二．求导公式
三．常见求导
1复合函数运算法
2参数方程确定函数运算法
设x (t)y 确定函数y y(x)中存≠ 0
3反函数求导法
设y f (x)反函数x g(y)两者皆导f ′(x) ≠ 0
4隐函数运算法
设y y(x)方程F(x y) 0确定求y′方法：
F(x y) 0两边项x求导y 作中间变量复合函数求导公式计算然解出y′ 表达式（允许出现y 变量）
5数求导法 （指数类型 ）
先两边取数然隐函数求导方法出导数y′
数求导法：①幂指函数求导数②函数连开方求导数（注意定义域 关幂指函数y [f (x)]g (x) 常种方法y 样直接复合函数运算法进行
6 求n阶导数（n ≥ 2正整数）
先求出 y′ y′′…… 总结出规律性然写出y(n)纳法证明常初等函数n 阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
(5)
第三章 微分中值定理导数应
罗尔定理
设函数 f (x)满足
（1）闭区间[ab]连续（2）开区间(ab)导（3） f (a) f (b)
存ξ ∈(ab)f ′(ξ ) 0
二． 拉格朗日中值定理
设函数 f (x)满足（1）闭区间[ab]连续（2）开区间(ab)导
存ξ ∈(ab)
推1．f (x)(ab)导f ′(x) ≡ 0f (x)(ab)常数
推2．f (x) g(x) (ab) 皆导f ′(x) ≡ g′(x)(ab)f (x) g(x)+ c中c常数
三 柯西中值定理
设函数f (x)g(x)满足：（1）闭区间[ab]皆连续（2）开区间(ab)皆导g′(x) ≠ 0存ξ ∈(ab)
（注：柯西中值定理拉格朗日中值定理推广特殊情形g(x) x 时柯西中值定理拉格朗日中值定理）
四泰勒公式（① 估值 ② 求极限（麦克劳林））
定理 1．（皮亚诺余项n 阶泰勒公式）
设f (x)0 x 处n 阶导数公式
称皮亚诺余项
定理2（拉格朗日余项n 阶泰勒公式）
设f (x)包含0 x 区间(ab)n +1阶导数[ab]n阶连续导数x∈[ab]公式
称拉格朗日余项
面展开式称0(x) 中心n 阶泰勒公式0 时称n阶麦克劳林公式
常公式(前8)
五．导数应
．基知识
设函数f (x)处导f (x)极值点
称x 满足 称驻点导函数极值点定驻点反然极值点驻点导点两种点中进步判断
极值点判断方法
1 第充分条件
邻域导①时时极值点②时时极值点③两侧变号极值点
2第二充分条件
处二阶导①极值点②极值点
3泰勒公式判法（较少行百度）
二凹凸性拐点
1．凹凸定义
设f (x)区间I 连续意两点1 2 x x 恒
称f (x)I 凸（凹）
曲线y f (x)意两点割线曲线（）面y f (x)凸（凹）果曲线y f (x)切线话点切线曲线（）y f (x)凸（凹）
2．拐点定义
曲线凹凸分界点称曲线拐点
3．凹凸性判拐点求法
设函数f (x)(ab)具二阶导数
果(ab)点x恒 > 0曲线y f (x)(ab)凹
果(ab)点x恒< 0曲线y f (x)(ab)凸
求曲线y f (x)拐点方法步骤：
第步：求出二阶导数
第二步：求出二阶导数等零二阶导数存点
第三步：连续点检验点两边二阶导数符号果符号该点拐点横坐标
第四步：求出拐点坐标
三．渐线求法
四．曲率
第四章 定积分
．基积分表：
二．换元积分法分部积分法
换元积分法
（1）第类换元法（凑微分）：
（2）第二类换元法（变量代换）：
分部积分法
分部积分法时积函数中谁作谁作定规律
记住口诀反幂指三前例应该反三角函数排指数函数前理推出
三．理函数积分
理函数： 中项式
简单理函数：
⑴
⑵
⑶
1拆
2变量代换（三角代换倒代换根式代换等）
第五章 定积分
．概念性质
1 定义：
2 性质：（10条）
( 3 )
3基定理
变限积分：设推广：
N—L公式：原函数
4定积分换元积分法分部积分法
二．定积分特殊性质
第六章 定积分应
． 面图形面积
1直角坐标：
2极坐标：
二． 体积
1旋转体体积：
a)曲边梯形轴绕轴旋转成旋转体体积：
b)曲边梯形轴绕轴旋转成旋转体体积： （柱壳法）
三弧长
1直角坐标：
2参数方程：
极坐标：
第七章 微分方程
． 概念
1微分方程：表示未知函数未知函数导数变量间关系方程阶：微分方程中出现未知函数高阶导数阶数
2解：微分方程成恒等式函数通解：方程解中含意常数常数数微分方程阶数相特解：确定通解中意常数解
(1)变量分离方程
两边积分
(2)齐次型方程
设
设
(3)阶线性微分方程
常数变易法公式：
(4)降阶高阶微分方程
1两边积分次
2（显含）令
3（显含）令
（） 线性微分方程解结构
1齐次线性方程解
2齐次线性方程线性关特解方程通解
3非齐次方程通解中应齐次方程线性关解非齐次方程特解
（二） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
特征方程：特征根：
特征根
通 解
实根
（三） 常系数非齐次线性微分方程
1
设特解中
2
设特解
中
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第章 函数极限
函数概念
1两穷较
设
（1）l 0称f (x)g(x)高阶穷记f (x) 0[]称g(x)f(x)低阶穷
（2）l ≠ 0称f (x)g(x)阶穷
（3）l 1称f (x)g(x)等价穷记f (x) ~ g(x)
2常见等价穷
x →0时
sin x ~ xtan x ~ x ~ x ~ x
1− cos x ~ −1 ~ x ~ x ~
二．求极限方法
1． 两准
准 1 单调界数列极限定存
准 2（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
2． 两重公式
公式1
公式2
3． 穷重性质等价穷代换
4． 泰勒公式
时公式做等价穷更深层次
5． 洛必达法
定理1 设函数满足列条件：
（1）
（2）某心邻域导
（3）存（穷）
定理说明：存时存等穷时穷．
种定条件通分子分母分求导求极限确定未定式极限值方法称洛必达（ospital）法
型未定式
定理2 设函数满足列条件：
（1）
（2）某心邻域导
（3）存（穷）
注：述关时未定式型洛必达法时未定式型样适．
洛必达法时必须注意点：
（1）洛必达法适型未定式未定式须先化简变形成型运该法
（2）条件具备连续应洛必达法
（3）洛必达法条件充分必．该法失效时断定原极限存．
6．利导数定义求极限
基公式(果存）
7利定积分定义求极限
基格式（果存）
三． 函数间断点分类
函数间断点分两类：
（1） 第类间断点
设 函数y f (x)间断点果f (x)间断点处左右极限存称f (x)第类间断点左右极限存相等该点函数值间断点左右极限存跳跃间断点第类间断点包括间断点跳跃间断点
（2） 第二类间断点
第类间断点外间断点统称第二类间断点常见第二类间断点穷间断点振荡间断点
四． 闭区间连续函数性质
闭区间[ab]连续函数f (x)基性质性质
定理1．（界定理）果函数f (x)闭区间[ab]连续f (x)必[ab]界
定理2．（值值定理）果函数f (x)闭区间[ab]连续区间定存值M 值m
定理3．（介值定理）果函数f (x)闭区间[ab]连续值值分M m 介mM 间实数c[ab]少存ξ f (ξ ) c
推：果函数f (x)闭区间[ab]连续f (a)f (b)异号(ab)少存点ξ f (ξ ) 0推称零点定理
第二章 导数微分
．基概念
1．微导等价推出连续连续推出微导
二．求导公式
三．常见求导
1复合函数运算法
2参数方程确定函数运算法
设x (t)y 确定函数y y(x)中存≠ 0
3反函数求导法
设y f (x)反函数x g(y)两者皆导f ′(x) ≠ 0
4隐函数运算法
设y y(x)方程F(x y) 0确定求y′方法：
F(x y) 0两边项x求导y 作中间变量复合函数求导公式计算然解出y′ 表达式（允许出现y 变量）
5数求导法 （指数类型 ）
先两边取数然隐函数求导方法出导数y′
数求导法：①幂指函数求导数②函数连开方求导数（注意定义域 关幂指函数y [f (x)]g (x) 常种方法y 样直接复合函数运算法进行
6 求n阶导数（n ≥ 2正整数）
先求出 y′ y′′…… 总结出规律性然写出y(n)纳法证明常初等函数n 阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
(5)
第三章 微分中值定理导数应
罗尔定理
设函数 f (x)满足
（1）闭区间[ab]连续（2）开区间(ab)导（3） f (a) f (b)
存ξ ∈(ab)f ′(ξ ) 0
二． 拉格朗日中值定理
设函数 f (x)满足（1）闭区间[ab]连续（2）开区间(ab)导
存ξ ∈(ab)
推1．f (x)(ab)导f ′(x) ≡ 0f (x)(ab)常数
推2．f (x) g(x) (ab) 皆导f ′(x) ≡ g′(x)(ab)f (x) g(x)+ c中c常数
三 柯西中值定理
设函数f (x)g(x)满足：（1）闭区间[ab]皆连续（2）开区间(ab)皆导g′(x) ≠ 0存ξ ∈(ab)
（注：柯西中值定理拉格朗日中值定理推广特殊情形g(x) x 时柯西中值定理拉格朗日中值定理）
四泰勒公式（① 估值 ② 求极限（麦克劳林））
定理 1．（皮亚诺余项n 阶泰勒公式）
设f (x)0 x 处n 阶导数公式
称皮亚诺余项
定理2（拉格朗日余项n 阶泰勒公式）
设f (x)包含0 x 区间(ab)n +1阶导数[ab]n阶连续导数x∈[ab]公式
称拉格朗日余项
面展开式称0(x) 中心n 阶泰勒公式0 时称n阶麦克劳林公式
常公式(前8)
五．导数应
．基知识
设函数f (x)处导f (x)极值点
称x 满足 称驻点导函数极值点定驻点反然极值点驻点导点两种点中进步判断
极值点判断方法
1 第充分条件
邻域导①时时极值点②时时极值点③两侧变号极值点
2第二充分条件
处二阶导①极值点②极值点
3泰勒公式判法（较少行百度）
二凹凸性拐点
1．凹凸定义
设f (x)区间I 连续意两点1 2 x x 恒
称f (x)I 凸（凹）
曲线y f (x)意两点割线曲线（）面y f (x)凸（凹）果曲线y f (x)切线话点切线曲线（）y f (x)凸（凹）
2．拐点定义
曲线凹凸分界点称曲线拐点
3．凹凸性判拐点求法
设函数f (x)(ab)具二阶导数
果(ab)点x恒 > 0曲线y f (x)(ab)凹
果(ab)点x恒< 0曲线y f (x)(ab)凸
求曲线y f (x)拐点方法步骤：
第步：求出二阶导数
第二步：求出二阶导数等零二阶导数存点
第三步：连续点检验点两边二阶导数符号果符号该点拐点横坐标
第四步：求出拐点坐标
三．渐线求法
四．曲率
第四章 定积分
．基积分表：
二．换元积分法分部积分法
换元积分法
（1）第类换元法（凑微分）：
（2）第二类换元法（变量代换）：
分部积分法
分部积分法时积函数中谁作谁作定规律
记住口诀反幂指三前例应该反三角函数排指数函数前理推出
三．理函数积分
理函数： 中项式
简单理函数：
⑴
⑵
⑶
1拆
2变量代换（三角代换倒代换根式代换等）
第五章 定积分
．概念性质
1 定义：
2 性质：（10条）
( 3 )
3基定理
变限积分：设推广：
N—L公式：原函数
4定积分换元积分法分部积分法
二．定积分特殊性质
第六章 定积分应
． 面图形面积
1直角坐标：
2极坐标：
二． 体积
1旋转体体积：
a)曲边梯形轴绕轴旋转成旋转体体积：
b)曲边梯形轴绕轴旋转成旋转体体积： （柱壳法）
三弧长
1直角坐标：
2参数方程：
极坐标：
第七章 微分方程
． 概念
1微分方程：表示未知函数未知函数导数变量间关系方程阶：微分方程中出现未知函数高阶导数阶数
2解：微分方程成恒等式函数通解：方程解中含意常数常数数微分方程阶数相特解：确定通解中意常数解
(1)变量分离方程
两边积分
(2)齐次型方程
设
设
(3)阶线性微分方程
常数变易法公式：
(4)降阶高阶微分方程
1两边积分次
2（显含）令
3（显含）令
（） 线性微分方程解结构
1齐次线性方程解
2齐次线性方程线性关特解方程通解
3非齐次方程通解中应齐次方程线性关解非齐次方程特解
（二） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
特征方程：特征根：
特征根
通 解
实根
（三） 常系数非齐次线性微分方程
1
设特解中
2
设特解
中
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