1行列式
1 行列式元素展开项分解行列式
2 代数余子式性质:
①关
②某行(列)元素行(列)元素代数余子式0
③某行(列)元素该行(列)元素代数余子式
3 代数余子式余子式关系:
4 设行列式:
翻转左右翻转行列式
时针逆时针旋转行列式
角线翻转(转置)行列式
副角线翻转行列式
5 行列式重公式:
①角行列式:角元素积
②副角行列式:副角元素积
③三角行列式():角元素积
④:副角元素积
⑤拉普拉斯展开式:
⑥范德蒙行列式:指标减指标连积
⑦特征值
6 阶行列式恒:中阶子式
7 证明方法:
①
②反证法
③构造齐次方程组证明非零解
④利秩证明
⑤证明0特征值
2矩阵
1 阶逆矩阵:
(非奇异矩阵)
(满秩矩阵)
行(列)量组线性关
齐次方程组非零解
总唯解
等价
表示成干初等矩阵积
特征值全0
正定矩阵
行(列)量组组基
中某两组基渡矩阵
2 阶矩阵: 条件恒成立
3
4 矩阵表格推导符号波浪号箭头行列式数值求代数
5 关分块矩阵重结中均逆:
:
Ⅰ
Ⅱ
②(角分块)
③(副角分块)
④(拉普拉斯)
⑤(拉普拉斯)
3矩阵初等变换线性方程组
1 矩阵总初等变换化标准形标准形唯确定:
等价类:等价矩阵组成集合称等价类标准形形状简单矩阵
型矩阵
2 行简形矩阵:
①通初等行变换获
②行首非0元素必须1
③行首非0元素列元素必须0
3 初等行变换应:(初等列变换类似转置采初等行变换)
① 逆
②矩阵做初等行变化变时变成:
③求解线形方程组:未知数方程果逆
4 初等矩阵角矩阵概念:
①初等矩阵行变换列变换位置决定:左初等行矩阵右初等列矩阵
②左矩阵行元素右列元素
③调两行两列符号例:
④倍某行某列符号例:
⑤倍加某行某列符号:
5 矩阵秩基性质:
①
②
③
④逆(逆矩阵影响矩阵秩)
⑤(※)
⑥(※)
⑦(※)
⑧果矩阵矩阵:(※)
Ⅰ列量全部齐次方程组解(转置运算结)
Ⅱ
⑨均阶方阵
6 三种特殊矩阵方幂:
①秩1矩阵:定分解列矩阵(量)行矩阵(量)形式采结合律
②型矩阵:利二项展开式
二项展开式:
注:Ⅰ展开项
Ⅱ
Ⅲ组合性质:
③利特征值相似角化:
7 伴矩阵:
①伴矩阵秩:
②伴矩阵特征值:
③
8 关矩阵秩描述:
①中阶子式0阶子式全部0(两句话)
②中阶子式全部0
③中阶子式0
9 线性方程组:中矩阵:
①方程数相方程组方程
②方程组未知数数相方程组元方程
10 线性方程组求解:
①增广矩阵进行初等行变换(初等行变换)
②齐次解应齐次方程组解
③特解:变量赋初值求
11 未知数方程方程组构成元线性方程:
①
②(量方程矩阵方程未知数)
③(全部列分块中)
④(线性表出)
⑤解充条件:(未知数数维数)
4量组线性相关性
1 维列量组成量组:构成矩阵
维行量组成量组:构成矩阵
含限量序量组矩阵应
2 ①量组线性相关关 非零解(齐次线性方程组)
②量线性表出 否解(线性方程组)
③量组相互线性表示 否解(矩阵方程)
3 矩阵行量组等价充分必条件:齐次方程组解(例14)
4 (例15)
5 维量线性相关意义:
①线性相关
②线性相关 坐标成例线(行)
③线性相关 面
6 线性相关关两套定理:
线性相关必线性相关
线性关必线性关(量数加加减减二者偶)
维量组量添分量构成维量组:
线性关线性关反线性相关线性相关(量组维数加加减减)
简言:关组延长关反确定
7 量组(数)量组(数)线性表示线性关(二版定理7)
量组量组线性表示(定理3)
量组量组线性表示
解
(定理2)
量组量组等价(定理2推)
8 方阵逆存限初等矩阵
①矩阵行等价:(左逆)解
②矩阵列等价:(右逆)
③矩阵等价:(逆)
9 矩阵:
①行等价行秩相等
②行等价解应列量组具相线性相关性
③矩阵初等变换改变矩阵秩
④矩阵行秩等列秩
10 :
①列量组列量组线性表示系数矩阵
②行量组行量组线性表示系数矩阵(转置)
11 齐次方程组解定解考试中直接作定理需证明
① 零解零解
② 非零解定存非零解
12 设量组量组线性表示:(题19结)
()
中线性关组线性关(列量组具相线性相关性)
(必性:充分性:反证法)
注:时方阵作定理
13 ①矩阵存 列量线性关()
②矩阵存 行量线性关
14 线性相关
存组全0数成立(定义)
非零解非零解
系数矩阵秩未知数数
15 设矩阵秩元齐次线性方程组解集秩:
16 解基础解系线性关(题33结)
5相似矩阵二次型
1 正交矩阵(定义)性质:
①列量单位量两两正交
②正交矩阵正交阵
③正交阵正交阵
注意:求解正交阵千万忘记施密特正交化单位化
2 施密特正交化:
3 普通方阵特征值应特征量线性关
实称阵特征值应特征量正交
4 ①等价 初等变换
逆
型
②合 中逆
相正负惯性指数
③相似
5 相似定合合未必相似
正交矩阵(合相似约束条件相似更严格)
6 称阵二次型矩阵
7 元二次型正定:
正惯性指数
合存逆矩阵
特征值均正数
阶序子式均0
(必条件)
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