线性代数知识点 纳整理
学生 编
01余子式代数余子式 2
02角线 2
03转置行列式 2
04行列式性质 3
05计算行列式 3
06矩阵中未写出元素 4
07类特殊方阵 4
08矩阵运算规 4
09矩阵项式 6
10称矩阵 6
11矩阵分块 6
12矩阵初等变换 6
13矩阵等价 6
14初等矩阵 7
15行阶梯形矩阵 行简形矩阵 7
16逆矩阵 7
17充分性必性证明题 8
18伴矩阵 8
19矩阵标准形： 9
20矩阵秩： 9
21矩阵秩定理推 9
22线性方程组概念 9
23齐次线性方程组非齐次线性方程组（含量） 9
24行量列量零量负量概念 11
25线性方程组量形式 11
26线性相关 线性关 概念 11
27量数量维数量组 必然线性相关 11
28线性相关线性关齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题 11
29线性表示 线性组合 概念 11
30线性表示非齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题 12
31线性相关（关）线性表示3定理 12
32线性关组量组秩 12
33线性方程组解结构 12
01余子式代数余子式
（1）设三阶行列式D＝
①元素余子式分：M11＝M12＝M13＝
M11解释：划掉第1行第1列剩二阶行列式
行列式元素余子式M11元素余子式类推
②元素代数余子式分：A11＝(－1)1＋1M11 A12＝(－1)1＋2M12
A13＝(－1)1＋3M13 Aij解释（i表示第i行j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j M ij
（N阶行列式类推）
（2）填空题求余子式代数余子式时写原式说作业P1第1题：
M31＝A31＝(1)3+1
（3）例题：课P8课P2127作业P1第1题作业P1第3题
02角线
n阶方阵角线第k行第k列元素全体k1 2 3… n左右
条斜线相应称副角线次角线右左条斜线
03转置行列式
元素元素位置调（i表示第i行j表示第j列）说位置调位置调
04行列式性质
详见课P58（性质111~ 117）
中性质117纳：
＋＋ … ＋ （i表示第i行k表示第k列）
熟练掌握行列式性质迅速简化行列式方便计算 例题：作业P1第2题
05计算行列式
（1）计算二阶行列式：
①方法（首选）：＝（左角×右角－右角×左角）
②方法：＝＝
例题：课P14
（2）计算三阶行列式：
＝＝(－1)1＋1M11 ＋(－1)1＋2M12 ＋(－1)1＋3M13
N阶行列式计算类推通常先利行列式性质行列式进行转化0元素较时方便计算（rrow行ccolumn列）
例题：课P5课P9课P14作业P1第4题作业P2第3题
（3）n阶三角行列式（0元素全左角）n阶三角行列式（0元素全右角）：
D＝…（角线元素积）
例题：课P10作业P3第4题
题通第二行起行元素应加第行转化成三角行列式
例题：课P11
（4）范德蒙行列式：详见课P1213
（5）题通第二行起行元素应加第行提取出公式
元素全1行方便化简行列式
例题：作业P2第1题作业P2第2题
06矩阵中未写出元素
课P48面注明矩阵中未写出元素0
07类特殊方阵
详见课P3032
（1）（）三角矩阵：类似（）三角行列式
（2）角矩阵：角线元素外元素0
（3）数量矩阵：角线元素相
（4）零矩阵：元素0记作O
（5）单位矩阵：角线元素1元素全0记作EEn （行列式值1）
08矩阵运算规
（1）矩阵加法（型矩阵相加减型矩阵A行数矩阵B行数相
矩阵A列数矩阵B列数相）：
①课P32A＋BA－B
②加法交换律：A＋B＝B＋A
③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C
（2）矩阵法（基规详见课P34阴影）：
①数矩阵法：
I课P33kA
II＝kn（k等数k矩阵A行列矩阵行列式）
②阶矩阵相（高中理科数学选修矩阵基础）：
×＝
描述：令左边矩阵①令右边矩阵②令计算矩阵
A值：①中第1行元素分②中第1列元素相加
A＝×＋×
B值：①中第1行元素分②中第2列元素相加
B＝×＋×
C值：①中第2行元素分②中第1列元素相加
C＝×＋×
D值：①中第2行元素分②中第2列元素相加
D＝×＋×
×＝
描述：令左边矩阵①令右边矩阵②令计算矩阵
A值：①中第1行元素分②中第1列元素相加
A＝×＋×＋×
BCDEFGHI值求法A类似
③数结合律：k（lA）＝（kl）A （kA）B＝A（kB）＝k（AB）
④数分配律：（k＋l）A＝kA＋lA k（A＋B）＝kA＋kB
⑤法结合律：（AB）C＝A（BC）
⑥法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC （A＋B）C＝AC＋BC
⑦需注意：
I课P34例题两等零矩阵积零矩阵
II课P34例题数消律交换律成立
III般讲（AB）k ≠ A k B k矩阵法满足交换律
IV课P40题第2题：（A＋B）2定等A2＋2AB＋B2 （A＋B）2定等A2＋2AB＋B2（A＋B）（A－B）定等A2－B2 AB＝BA时三等式均成立
（3）矩阵转置运算规律：
① (AT )T＝A
② (A±B)T＝A T±B T
③ (kA)T＝kAT
④ (AB)T＝B TAT
⑤ (ABC)T＝CTB TAT
⑥ (ABCD)T＝DTCTB TAT
（4）阶方阵相方阵行列式等两方阵行列式积：（详见课P46）
＝
（5）例题：课P35课P3637课P40第4题课P40第5题课P51第1
题课P51第4题课P60第4题作业P5全部作业P5第3题作业
P5第4题
09矩阵项式
详见课P 36
10称矩阵
（1）称矩阵实称矩阵反称矩阵概念（详见课P37）
（2）①阶称（反称）矩阵差称（反称）矩阵
②数 称（反称）矩阵积称（反称）矩阵
③称（反称）矩阵积定称（反称）矩阵
11矩阵分块
线代老师说部分容做解
详见课P3840
12矩阵初等变换
三种行变换三种列变换：详见课P 42
例题：作业P6全部
13矩阵等价
矩阵A干次初等变换变成矩阵B称矩阵A矩阵B等价记AB
14初等矩阵
（1）单位矩阵次初等变换矩阵详见课P4849
（2）设Am×n矩阵A施行次初等行变换相A左边相应
m阶初等矩阵A施行次初等列变换相A右边相应n阶初等矩阵详见课P5051
（3）课P51第3题
15行阶梯形矩阵 行简形矩阵
（1）意非零矩阵通干次初等行变换（换列）化行阶梯型矩阵
（2）行阶梯形矩阵行简形矩阵：
矩阵中画出条阶梯线线方全0台阶行（台阶数非零行行数）阶梯线竖线（段竖线长度行）面第元素非零元素非零行第非零元素称该矩阵行阶梯矩阵基础非零行第非零元素1非零元素列元素0称该矩阵行简形矩阵例题：课P45作业P6全部课P51第2题
16逆矩阵
（1）设An阶方阵果存n阶方阵BAB＝BA＝E称方阵A逆
称BA逆矩阵（逆矩阵定义知非方阵矩阵存逆矩阵）
（2）果方阵A逆A逆矩阵唯A逆矩阵记作A－1AA－1＝E
（3）n阶方阵A逆充条件≠0A逆时
A－1＝
（证明详见课P54）
例题：课P59第1题
（4）逆矩阵称非奇异方阵（否称奇异方阵）
（5）性质：设ABn阶逆方阵常数k≠0
① (A－1)－1＝A ② AT逆(AT )1＝(A1)T
③ kA逆
(kA)1＝A1
④ AB逆(AB) 1＝B1A1
⑤ A＋B定逆A＋B逆般(A＋B)1≠A1＋B1
⑥ AA1＝E AA1＝E＝1 AA1＝1
A1＝
例题：课P58例237作业P7第1题
（6）分块角矩阵逆性：课P57
（7）方阵等式求逆矩阵：课P58例236
（8）单位矩阵初等矩阵逆（初等矩阵单位矩阵次初等变换
初等矩阵通初等变换变回单位矩阵单位矩阵行列式1≠0逆
初等矩阵逆）
（9）初等矩阵逆矩阵初等矩阵
（10）逆方阵通干次初等行变换化成单位矩阵
（11）方阵A逆充条件：A表示干初等矩阵积（证明：课P67）
（12）利初等行变换求逆矩阵：A1（例题：课P68课P71）
（13）形AX＝B矩阵方程方阵A逆时A1 AX＝A1BX＝A1B
时：
矩阵方程例题：课P35课P69课P41第6题课P56课P58
课P59第3题课P60第5题课P60第7题课P71第3题
矩阵方程计算中易犯错误：课P56注意写成……
17充分性必性证明题
（1）必性：结推出条件
（2）充分性：条件推出结
例题：课P41第8题作业P5第5题
18伴矩阵
（1）定义：课P52 定义232
（2）设An阶方阵（n≥2）AA*＝A*A＝En（证明详见课P5354）
（3）性质：（注意伴矩阵方阵）
① A*＝A－1
② (kA)* ＝ ·(kA)1 ＝ k n·A1 ＝ k n ·A1 ＝ k n1A*（k≠0）
③ |A*| ＝ | A－1 | ＝n·| A－1| ＝ n·（存A－1≠0 ）＝ n1
④ (A*)* ＝ (A－1)* ＝ | A－1 |·(A－1)－1 ＝ n | A－1|·(A－1)－1
＝ n·A ＝ n2A （AA－1 ＝ EA－1逆矩阵A(A－1)－1 ）
⑤ (AB) *＝B*A*
⑥
(A*)1＝(A1) *＝
（4）例题：课P53课P55 课P58课P60第6题作业P7第2题
作业P8全部
19矩阵标准形：
（1）定义：课P6162
（2）非零矩阵通干次初等变换化成标准形
20矩阵秩：
（1）定义：课P63
（2）性质：设Am×n矩阵Bp×q矩阵
① k非零数R (kA)＝R (A)
② R (A)＝R (AT )
③ 等价矩阵相秩ABR (A)＝R (B)
④ 0≤R (Am×n)≤min
⑤ R (AB)≤min
⑥ 设ABm×n矩阵R (A＋B)≤R (A)＋R (B)
（3）n阶方阵A逆充条件：A秩等阶数R (A)＝n
（4）方阵A逆充条件：A表示干初等矩阵积（证明：P67）
（5） 设Am×n矩阵PQ分m阶n阶逆方阵R (A)＝R (PA)＝R (AQ)＝R (PAQ)
（6）例题：课P64课P66课P71作业P7第3题作业P9全部
21矩阵秩定理推
线代老师说部分容做解详见课P70
22线性方程组概念
线性方程组方程关未知量均次方程组
线性方程组初等变换改变方程组解
23齐次线性方程组非齐次线性方程组（含量）
（1）定义：课P81
（2）方程组解集方程组通解解方程组：课P81
（3）系数矩阵A增广矩阵矩阵式方程：课P82
（4）矛盾方程组（方程组解）：课P85例题
（5）增广矩阵简阶梯形：课P87
（6）系数矩阵简阶梯形：课P87
（7）课P87面注明：交换列交换两未知量位置改变方程组解方
便叙述解方程组时交换列
（8）克莱姆法：
①初步认知：
已知三元线性方程组系数行列式D＝
D≠0时解：x1＝x2＝x3＝
（中D1＝D2＝D3＝）（Dn类推）
②定义：课P15
③两前提条件：课P18
④例题：课P3课P1617课P18作业P3第7题
（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际增广矩阵施行初等行变换）例题：
课P26课P42课P82课P84课P85课P86第1题课P88
课P91作业P10第1题
（10）解齐次线性方程组例题：课P17课P18课P85课P86课P90课
P91作业P1第5题作业P10第2题
（11）n元非齐次线性方程组AX＝b解情况：（R (A) ＞ R ()）
R (A) ＜ R () 解
＜ n 穷解
R (A) ＝ R () 解
＝ n 唯解
特A ≠0 唯解
n阶方阵时 R (A) ＜ R () 解
行列式判断 R (A) ＝ R () 解 ＝0 穷解
例题：课P86第2题课P88课P92作业P11第三题
（12）n元齐次线性方程组AX＝O解情况：（零解非零解两种情况唯解充
条件零解穷解充条件非零解）
R (A) ＝ n 零解（唯解0）
R (A) ＜ n 非零解（穷解）
特An阶方阵 ≠0 零解（唯解0）
时行列式判断 ＝0 非零解（穷解）
例题：课P24课P9091作业P11全部
24行量列量零量负量概念
详见课P9293
列量组分量排成矩阵计算时计算程中做行变换做列变换
初等行变换初等行列变换情况：矩阵线性方程组量涉行变换列变换矩
阵中（行列式性质包括行列变换）
手写零量时必加箭头
25线性方程组量形式
详见课P93
26线性相关 线性关 概念
详见课P9394
例题：课P101第6题 作业P14第五题
27量数量维数量组 必然线性相关
线代老师课提结
28线性相关线性关齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题
详见课P94 定理331定理332
例题：课P9495 例332课P101第3题课 22P101第5题作业P12第3题
作业P12第二题作业P13第三题作业P13第四题
29线性表示 线性组合 概念
详见课P95
30线性表示非齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题
详见课P9596 定理333
例题：课P9596 例334
31线性相关（关）线性表示3定理
详见课P96 定理334课P97定理335课P98定理336
32线性关组量组秩
详见课P98100 定义335定义336定337
单位列量元素1余元素0列量（求线性关组 ）
例题：课P100 例335课P101第4题作业P14第六题
33线性方程组解结构
容前先复n元非齐次线性方程组AX＝b解情况n元齐次线性
方程组AX＝O解情况
（1）n元齐次线性方程组AX＝O解结构
① 定理341：详见课P101102
② 定义341（理解基础解系通解结构式通解量式通解）：详见课P102
③ 定理342：详见课P102
④ 解题步骤（注补充说明）（课P104例341例）：
（I）A ＝ … …
注：行简形矩阵方转化（解方程组时列变换般没法
真正转化成行简形矩阵说……方转化）
（II）解方程组
注：解方程组
（III）∴ 方程组组解量：＝＝＝
注：草稿纸写成形式中未写出系数10便知
（IV）显然线性关
注：根课P9394 定义333 出线性关注意面分：
令分 显然＝0×＋0×
＝0×＋0×＝0×＋0×想知线性关
（V）∴ 方程组基础解系方程组通解：k1＋k2＋k3（k1
k2k3取意值）
注：根课P102 定义341 出该方程组通解
⑤ 例题：课P109 第1题课P109第3题课P109第4题作业
P15第题第1题作业P15第题第3题
（2）n元非齐次线性方程组AX＝b解结构
① 导出方程组：非齐次线性方程组AX＝b应齐次线性方程组AX＝O（详见课P105）
② 定理343：详见课P105
③ 定义344：详见课P105
④ 定义345：详见课P105
⑤ 课P105 述定理表明……（346）形式段容
⑥ 解题步骤（注补充说明做题时写卷）（课P106例342例）：
（I）＝ …… … …
（II）解方程组
注： 解方程组
（III）令＝0原方程组特解X0＝
注：草稿纸写成形式中未写出系数10便知原方程组特解形式常数部分
（IV）导出方程组解方程：
注：导出方程组非齐次线性方程组AX＝b应齐次线性方程组AX＝O
步骤（III）注形式系数部分
（V）令＝1方程组基础解系＝原方程组通解：
X0 ＋ k（k取意值）
⑦ 例题：
（I）课P107 例343（前先复n元非齐次线性方程组AX＝b解情况）
含参数式子作分母时注意该式子否≠0
（II）课P109 第2题作业P15第题第4题作业P15第二题
作业P16第三题作业P15第题第2题作业P15第题第3题
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线性代数知识点 纳整理
学生 编
01余子式代数余子式 2
02角线 2
03转置行列式 2
04行列式性质 3
05计算行列式 3
06矩阵中未写出元素 4
07类特殊方阵 4
08矩阵运算规 4
09矩阵项式 6
10称矩阵 6
11矩阵分块 6
12矩阵初等变换 6
13矩阵等价 6
14初等矩阵 7
15行阶梯形矩阵 行简形矩阵 7
16逆矩阵 7
17充分性必性证明题 8
18伴矩阵 8
19矩阵标准形： 9
20矩阵秩： 9
21矩阵秩定理推 9
22线性方程组概念 9
23齐次线性方程组非齐次线性方程组（含量） 9
24行量列量零量负量概念 11
25线性方程组量形式 11
26线性相关 线性关 概念 11
27量数量维数量组 必然线性相关 11
28线性相关线性关齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题 11
29线性表示 线性组合 概念 11
30线性表示非齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题 12
31线性相关（关）线性表示3定理 12
32线性关组量组秩 12
33线性方程组解结构 12
01余子式代数余子式
（1）设三阶行列式D＝
①元素余子式分：M11＝M12＝M13＝
M11解释：划掉第1行第1列剩二阶行列式
行列式元素余子式M11元素余子式类推
②元素代数余子式分：A11＝(－1)1＋1M11 A12＝(－1)1＋2M12
A13＝(－1)1＋3M13 Aij解释（i表示第i行j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j M ij
（N阶行列式类推）
（2）填空题求余子式代数余子式时写原式说作业P1第1题：
M31＝A31＝(1)3+1
（3）例题：课P8课P2127作业P1第1题作业P1第3题
02角线
n阶方阵角线第k行第k列元素全体k1 2 3… n左右
条斜线相应称副角线次角线右左条斜线
03转置行列式
元素元素位置调（i表示第i行j表示第j列）说位置调位置调
04行列式性质
详见课P58（性质111~ 117）
中性质117纳：
＋＋ … ＋ （i表示第i行k表示第k列）
熟练掌握行列式性质迅速简化行列式方便计算 例题：作业P1第2题
05计算行列式
（1）计算二阶行列式：
①方法（首选）：＝（左角×右角－右角×左角）
②方法：＝＝
例题：课P14
（2）计算三阶行列式：
＝＝(－1)1＋1M11 ＋(－1)1＋2M12 ＋(－1)1＋3M13
N阶行列式计算类推通常先利行列式性质行列式进行转化0元素较时方便计算（rrow行ccolumn列）
例题：课P5课P9课P14作业P1第4题作业P2第3题
（3）n阶三角行列式（0元素全左角）n阶三角行列式（0元素全右角）：
D＝…（角线元素积）
例题：课P10作业P3第4题
题通第二行起行元素应加第行转化成三角行列式
例题：课P11
（4）范德蒙行列式：详见课P1213
（5）题通第二行起行元素应加第行提取出公式
元素全1行方便化简行列式
例题：作业P2第1题作业P2第2题
06矩阵中未写出元素
课P48面注明矩阵中未写出元素0
07类特殊方阵
详见课P3032
（1）（）三角矩阵：类似（）三角行列式
（2）角矩阵：角线元素外元素0
（3）数量矩阵：角线元素相
（4）零矩阵：元素0记作O
（5）单位矩阵：角线元素1元素全0记作EEn （行列式值1）
08矩阵运算规
（1）矩阵加法（型矩阵相加减型矩阵A行数矩阵B行数相
矩阵A列数矩阵B列数相）：
①课P32A＋BA－B
②加法交换律：A＋B＝B＋A
③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C
（2）矩阵法（基规详见课P34阴影）：
①数矩阵法：
I课P33kA
II＝kn（k等数k矩阵A行列矩阵行列式）
②阶矩阵相（高中理科数学选修矩阵基础）：
×＝
描述：令左边矩阵①令右边矩阵②令计算矩阵
A值：①中第1行元素分②中第1列元素相加
A＝×＋×
B值：①中第1行元素分②中第2列元素相加
B＝×＋×
C值：①中第2行元素分②中第1列元素相加
C＝×＋×
D值：①中第2行元素分②中第2列元素相加
D＝×＋×
×＝
描述：令左边矩阵①令右边矩阵②令计算矩阵
A值：①中第1行元素分②中第1列元素相加
A＝×＋×＋×
BCDEFGHI值求法A类似
③数结合律：k（lA）＝（kl）A （kA）B＝A（kB）＝k（AB）
④数分配律：（k＋l）A＝kA＋lA k（A＋B）＝kA＋kB
⑤法结合律：（AB）C＝A（BC）
⑥法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC （A＋B）C＝AC＋BC
⑦需注意：
I课P34例题两等零矩阵积零矩阵
II课P34例题数消律交换律成立
III般讲（AB）k ≠ A k B k矩阵法满足交换律
IV课P40题第2题：（A＋B）2定等A2＋2AB＋B2 （A＋B）2定等A2＋2AB＋B2（A＋B）（A－B）定等A2－B2 AB＝BA时三等式均成立
（3）矩阵转置运算规律：
① (AT )T＝A
② (A±B)T＝A T±B T
③ (kA)T＝kAT
④ (AB)T＝B TAT
⑤ (ABC)T＝CTB TAT
⑥ (ABCD)T＝DTCTB TAT
（4）阶方阵相方阵行列式等两方阵行列式积：（详见课P46）
＝
（5）例题：课P35课P3637课P40第4题课P40第5题课P51第1
题课P51第4题课P60第4题作业P5全部作业P5第3题作业
P5第4题
09矩阵项式
详见课P 36
10称矩阵
（1）称矩阵实称矩阵反称矩阵概念（详见课P37）
（2）①阶称（反称）矩阵差称（反称）矩阵
②数 称（反称）矩阵积称（反称）矩阵
③称（反称）矩阵积定称（反称）矩阵
11矩阵分块
线代老师说部分容做解
详见课P3840
12矩阵初等变换
三种行变换三种列变换：详见课P 42
例题：作业P6全部
13矩阵等价
矩阵A干次初等变换变成矩阵B称矩阵A矩阵B等价记AB
14初等矩阵
（1）单位矩阵次初等变换矩阵详见课P4849
（2）设Am×n矩阵A施行次初等行变换相A左边相应
m阶初等矩阵A施行次初等列变换相A右边相应n阶初等矩阵详见课P5051
（3）课P51第3题
15行阶梯形矩阵 行简形矩阵
（1）意非零矩阵通干次初等行变换（换列）化行阶梯型矩阵
（2）行阶梯形矩阵行简形矩阵：
矩阵中画出条阶梯线线方全0台阶行（台阶数非零行行数）阶梯线竖线（段竖线长度行）面第元素非零元素非零行第非零元素称该矩阵行阶梯矩阵基础非零行第非零元素1非零元素列元素0称该矩阵行简形矩阵例题：课P45作业P6全部课P51第2题
16逆矩阵
（1）设An阶方阵果存n阶方阵BAB＝BA＝E称方阵A逆
称BA逆矩阵（逆矩阵定义知非方阵矩阵存逆矩阵）
（2）果方阵A逆A逆矩阵唯A逆矩阵记作A－1AA－1＝E
（3）n阶方阵A逆充条件≠0A逆时
A－1＝
（证明详见课P54）
例题：课P59第1题
（4）逆矩阵称非奇异方阵（否称奇异方阵）
（5）性质：设ABn阶逆方阵常数k≠0
① (A－1)－1＝A ② AT逆(AT )1＝(A1)T
③ kA逆
(kA)1＝A1
④ AB逆(AB) 1＝B1A1
⑤ A＋B定逆A＋B逆般(A＋B)1≠A1＋B1
⑥ AA1＝E AA1＝E＝1 AA1＝1
A1＝
例题：课P58例237作业P7第1题
（6）分块角矩阵逆性：课P57
（7）方阵等式求逆矩阵：课P58例236
（8）单位矩阵初等矩阵逆（初等矩阵单位矩阵次初等变换
初等矩阵通初等变换变回单位矩阵单位矩阵行列式1≠0逆
初等矩阵逆）
（9）初等矩阵逆矩阵初等矩阵
（10）逆方阵通干次初等行变换化成单位矩阵
（11）方阵A逆充条件：A表示干初等矩阵积（证明：课P67）
（12）利初等行变换求逆矩阵：A1（例题：课P68课P71）
（13）形AX＝B矩阵方程方阵A逆时A1 AX＝A1BX＝A1B
时：
矩阵方程例题：课P35课P69课P41第6题课P56课P58
课P59第3题课P60第5题课P60第7题课P71第3题
矩阵方程计算中易犯错误：课P56注意写成……
17充分性必性证明题
（1）必性：结推出条件
（2）充分性：条件推出结
例题：课P41第8题作业P5第5题
18伴矩阵
（1）定义：课P52 定义232
（2）设An阶方阵（n≥2）AA*＝A*A＝En（证明详见课P5354）
（3）性质：（注意伴矩阵方阵）
① A*＝A－1
② (kA)* ＝ ·(kA)1 ＝ k n·A1 ＝ k n ·A1 ＝ k n1A*（k≠0）
③ |A*| ＝ | A－1 | ＝n·| A－1| ＝ n·（存A－1≠0 ）＝ n1
④ (A*)* ＝ (A－1)* ＝ | A－1 |·(A－1)－1 ＝ n | A－1|·(A－1)－1
＝ n·A ＝ n2A （AA－1 ＝ EA－1逆矩阵A(A－1)－1 ）
⑤ (AB) *＝B*A*
⑥
(A*)1＝(A1) *＝
（4）例题：课P53课P55 课P58课P60第6题作业P7第2题
作业P8全部
19矩阵标准形：
（1）定义：课P6162
（2）非零矩阵通干次初等变换化成标准形
20矩阵秩：
（1）定义：课P63
（2）性质：设Am×n矩阵Bp×q矩阵
① k非零数R (kA)＝R (A)
② R (A)＝R (AT )
③ 等价矩阵相秩ABR (A)＝R (B)
④ 0≤R (Am×n)≤min
⑤ R (AB)≤min
⑥ 设ABm×n矩阵R (A＋B)≤R (A)＋R (B)
（3）n阶方阵A逆充条件：A秩等阶数R (A)＝n
（4）方阵A逆充条件：A表示干初等矩阵积（证明：P67）
（5） 设Am×n矩阵PQ分m阶n阶逆方阵R (A)＝R (PA)＝R (AQ)＝R (PAQ)
（6）例题：课P64课P66课P71作业P7第3题作业P9全部
21矩阵秩定理推
线代老师说部分容做解详见课P70
22线性方程组概念
线性方程组方程关未知量均次方程组
线性方程组初等变换改变方程组解
23齐次线性方程组非齐次线性方程组（含量）
（1）定义：课P81
（2）方程组解集方程组通解解方程组：课P81
（3）系数矩阵A增广矩阵矩阵式方程：课P82
（4）矛盾方程组（方程组解）：课P85例题
（5）增广矩阵简阶梯形：课P87
（6）系数矩阵简阶梯形：课P87
（7）课P87面注明：交换列交换两未知量位置改变方程组解方
便叙述解方程组时交换列
（8）克莱姆法：
①初步认知：
已知三元线性方程组系数行列式D＝
D≠0时解：x1＝x2＝x3＝
（中D1＝D2＝D3＝）（Dn类推）
②定义：课P15
③两前提条件：课P18
④例题：课P3课P1617课P18作业P3第7题
（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际增广矩阵施行初等行变换）例题：
课P26课P42课P82课P84课P85课P86第1题课P88
课P91作业P10第1题
（10）解齐次线性方程组例题：课P17课P18课P85课P86课P90课
P91作业P1第5题作业P10第2题
（11）n元非齐次线性方程组AX＝b解情况：（R (A) ＞ R ()）
R (A) ＜ R () 解
＜ n 穷解
R (A) ＝ R () 解
＝ n 唯解
特A ≠0 唯解
n阶方阵时 R (A) ＜ R () 解
行列式判断 R (A) ＝ R () 解 ＝0 穷解
例题：课P86第2题课P88课P92作业P11第三题
（12）n元齐次线性方程组AX＝O解情况：（零解非零解两种情况唯解充
条件零解穷解充条件非零解）
R (A) ＝ n 零解（唯解0）
R (A) ＜ n 非零解（穷解）
特An阶方阵 ≠0 零解（唯解0）
时行列式判断 ＝0 非零解（穷解）
例题：课P24课P9091作业P11全部
24行量列量零量负量概念
详见课P9293
列量组分量排成矩阵计算时计算程中做行变换做列变换
初等行变换初等行列变换情况：矩阵线性方程组量涉行变换列变换矩
阵中（行列式性质包括行列变换）
手写零量时必加箭头
25线性方程组量形式
详见课P93
26线性相关 线性关 概念
详见课P9394
例题：课P101第6题 作业P14第五题
27量数量维数量组 必然线性相关
线代老师课提结
28线性相关线性关齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题
详见课P94 定理331定理332
例题：课P9495 例332课P101第3题课 22P101第5题作业P12第3题
作业P12第二题作业P13第三题作业P13第四题
29线性表示 线性组合 概念
详见课P95
30线性表示非齐次线性方程组解矩阵秩 三者关系例题
详见课P9596 定理333
例题：课P9596 例334
31线性相关（关）线性表示3定理
详见课P96 定理334课P97定理335课P98定理336
32线性关组量组秩
详见课P98100 定义335定义336定337
单位列量元素1余元素0列量（求线性关组 ）
例题：课P100 例335课P101第4题作业P14第六题
33线性方程组解结构
容前先复n元非齐次线性方程组AX＝b解情况n元齐次线性
方程组AX＝O解情况
（1）n元齐次线性方程组AX＝O解结构
① 定理341：详见课P101102
② 定义341（理解基础解系通解结构式通解量式通解）：详见课P102
③ 定理342：详见课P102
④ 解题步骤（注补充说明）（课P104例341例）：
（I）A ＝ … …
注：行简形矩阵方转化（解方程组时列变换般没法
真正转化成行简形矩阵说……方转化）
（II）解方程组
注：解方程组
（III）∴ 方程组组解量：＝＝＝
注：草稿纸写成形式中未写出系数10便知
（IV）显然线性关
注：根课P9394 定义333 出线性关注意面分：
令分 显然＝0×＋0×
＝0×＋0×＝0×＋0×想知线性关
（V）∴ 方程组基础解系方程组通解：k1＋k2＋k3（k1
k2k3取意值）
注：根课P102 定义341 出该方程组通解
⑤ 例题：课P109 第1题课P109第3题课P109第4题作业
P15第题第1题作业P15第题第3题
（2）n元非齐次线性方程组AX＝b解结构
① 导出方程组：非齐次线性方程组AX＝b应齐次线性方程组AX＝O（详见课P105）
② 定理343：详见课P105
③ 定义344：详见课P105
④ 定义345：详见课P105
⑤ 课P105 述定理表明……（346）形式段容
⑥ 解题步骤（注补充说明做题时写卷）（课P106例342例）：
（I）＝ …… … …
（II）解方程组
注： 解方程组
（III）令＝0原方程组特解X0＝
注：草稿纸写成形式中未写出系数10便知原方程组特解形式常数部分
（IV）导出方程组解方程：
注：导出方程组非齐次线性方程组AX＝b应齐次线性方程组AX＝O
步骤（III）注形式系数部分
（V）令＝1方程组基础解系＝原方程组通解：
X0 ＋ k（k取意值）
⑦ 例题：
（I）课P107 例343（前先复n元非齐次线性方程组AX＝b解情况）
含参数式子作分母时注意该式子否≠0
（II）课P109 第2题作业P15第题第4题作业P15第二题
作业P16第三题作业P15第题第2题作业P15第题第3题
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