线性代数知识点总结
1 行列式
（）行列式概念性质
1逆序数：逆序总数
2行列式定义：行列元素积代数
3行列式性质：（化简行列式）
（1）行列互换（转置）行列式值变
（2）两行（列）互换行列式变号
（3）提公式：行列式某行（列）元素数k等数k行列式
（4）拆列分配：行列式中果某行（列）元素两组数行列式等两行列式
（5）行（列）k加行（列）行列式值变
（6）两行成例行列式值0
（二）重行列式
4（）三角（角线）行列式值等角线元素积
5副角线行列式值等副角线元素积
6Laplace展开式：（Am阶矩阵Bn阶矩阵）
7n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学纳法证明
★8角线元素a余元素b行列式值：
（三）行（列）展开
9行展开定理：
（1）行（列）元素应代数余子式积等行列式值
（2）行列式中某行（列）元素行（列）应元素代数余子式积等0
（四）行列式公式
10行列式七公式：
（1）|kA|kn|A|
（2）|AB||A|·|B|
（3）|AT||A|
（4）|A1||A|1
（5）|A*||A|n1
（6）A特征值λ1λ2……λn
（7）AB相似|A||B|
（五）克莱姆法
11克莱姆法：
（1）非齐次线性方程组系数行列式0方程唯解
（2）果非齐次线性方程组解两解系数行列式必0
（3）齐次线性方程组系数行列式0齐次线性方程组0解果方程组非零解必D0
2 矩阵
（）矩阵运算
1矩阵法注意事项：
（1）矩阵法求前列行致
（2）矩阵法满足交换律（式分解公式矩阵适BEOA1A*f(A)时交换律）
（3）ABO推出AOBO
2转置性质（5条）
（1）（A+B）TAT+BT
（2）（kA）TkAT
（3）（AB）TBTAT
（4）|A|T|A|
（5）（AT）TA
（二）矩阵逆
3逆定义：
ABEBAE成立称A逆BA逆矩阵记BA1
注：A逆充条件|A|≠0
4逆性质：（5条）
（1）（kA）11k·A1 (k≠0)
（2）（AB）1B1·A1
（3）|A1||A|1
（4）（AT）1（A1）T
（5）（A1）1A
5逆求法：
（1）A抽象矩阵：定义性质求解
（2）A数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A1）
（三）矩阵初等变换
6初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换
（2）行（列）非零常数c
（3）行（列）k加行（列）
7初等矩阵：单位矩阵E次初等变换矩阵
8初等变换初等矩阵性质：
（1）初等行（列）变换相左（右）相应初等矩阵
（2）初等矩阵均逆矩阵Eij1Eij（ij两行互换）
Ei1（c）Ei（1c）（第i行（列）c）
Eij1（k）Eij（k）（第i行k加j）
★（四）矩阵秩
9秩定义：非零子式高阶数
注：（1）r（A）0意味着元素0AO
（2）r（An×n）n（满秩）←→ |A|≠0 ←→A逆
r（A）＜n←→|A|0←→A逆
（3）r（A）r（r12…n1）←→r阶子式非零r+1子式均0
10秩性质：（7条）
（1）Am×n阶矩阵r（A）≤min（mn）
（2）r（A±B）≤r（A）±（B）
（3）r（AB）≤min{r（A）r（B）}
（4）r（kA）r（A）（k≠0）
（5）r（A）r（AC）（C逆矩阵）
（6）r（A）r（AT）r（ATA）r（AAT）
（7）设Am×n阶矩阵Bn×s矩阵ABOr（A）+r（B）≤n
11秩求法：
（1）A抽象矩阵：定义性质求解
（2）A数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（行第非零元素面元素均0）r（A）非零行行数
（五）伴矩阵
12伴矩阵性质：（8条）
（1）AA*A*A|A|E → ★A*|A|A1
（2）（kA）*kn1A*
（3）（AB）*B*A*
（4）|A*||A|n1
（5）（AT）*（A*）T
（6）（A1）*（A*）1A|A|1
（7）（A*）*|A| n2·A
★（8）r（A*）n （r（A）n）
r（A*）1 （r（A）n1）
r（A*）0 （r（A）＜n1）
（六）分块矩阵
13分块矩阵法：求前列行分法相
14分块矩阵求逆：
3 量
（）量概念运算
1量积：（αβ）αTββTα
2长度定义： ||α||
3正交定义：（αβ）αTββTαa1b1+a2b2+…+anbn0
4正交矩阵定义：An阶矩阵AATE ←→ A1AT ←→ ATAE → |A|±1
（二）线性组合线性表示
5线性表示充条件：
非零列量βα1α2…αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组（α1α2…αs）（x1x2…xs）Tβ解
★(2)←→r（α1α2…αs）r（α1α2…αsβ）（系数矩阵秩等增广矩阵秩题第步检验）
6线性表示充分条件：（解）
α1α2…αs线性关α1α2…αsβ线性相关βα1α2…αs线性表示
7线性表示求法：（题第二步）
设α1α2…αs线性关β线性表示
（α1α2…αs|β）→初等行变换→（行简形|系数）
行简形：行第非0数1余元素均0
（三）线性相关线性关
8线性相关注意事项：
（1）α线性相关←→α0
（2）α1α2线性相关←→α1α2成例
9线性相关充条件：
量组α1α2…αs线性相关
（1）←→量余量线性表示
（2）←→齐次方程（α1α2…αs）（x1x2…xs）T0非零解
★（3）←→r（α1α2…αs）＜s 秩数
特nn维列量α1α2…αn线性相关
（1）←→ r（α1α2…αn）＜n
（2）←→|α1α2…αn |0
（3）←→（α1α2…αn）逆
10线性相关充分条件：
（1）量组含零量成例量必相关
（2）部分相关整体相关
（3）高维相关低维相关
（4）少表必相关
★推：n+1n维量定线性相关
11线性关充条件
量组α1α2…αs 线性关
（1）←→意量均余量线性表示
（2）←→齐次方程（α1α2…αs）（x1x2…xs）T0零解
（3）←→r（α1α2…αs）s
特nn维量α1α2…αn 线性关
←→r（α1α2…αn）n ←→|α1α2…αn |≠0 ←→矩阵逆
12线性关充分条件：
（1）整体关部分关
（2）低维关高维关
（3）正交非零量组线性关
（4）特征值特征量关
13线性相关线性关判定
（1）定义法
★（2）秩：阶数线性相关等阶数线性关
专业知识补充
（1）矩阵左边列满秩矩阵（秩列数）矩阵秩变矩阵右边行满秩矩阵矩阵秩变
（2）n维列量α1α2α3 线性关β1β2β3 线性表示（β1β2β3）（α1α2α3）Cr（β1β2β3）r（C）线性关
←→r（β1β2β3）3 ←→ r（C）3 ←→ |C|≠0
（四）极线性关组量组秩
14极线性关组唯
15量组秩极关组中量数成量组秩
：矩阵秩非零子式高阶数
★注量组α1α2…αs 秩矩阵A（α1α2…αs）秩相等
★16极线性关组求法
（1）α1α2…αs 抽象：定义法
（2）α1α2…αs 数字：
（α1α2…αs）→初等行变换→阶梯型矩阵
行第非零数应列量构成极关组
（五）量空间
17基（极线性关组）变换公式：
α1α2…αn β1β2…βn n维量空间V两组基基变换公式（β1β2…βn）（α1α2…αn）Cn×n
中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵
C（α1α2…αn）1（β1β2…βn）
18坐标变换公式：
量γ基α1α2…αn基β1β2…βn 坐标分x（x1x2…xn）Ty（y1y2…yn）Tγx1α1 + x2α2 + … +xnαn y1β1 + y2β2 + … +ynβn坐标变换公式xCyyC1x中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵C（α1α2…αn）1（β1β2…βn）
（六）Schmidt正交化
19Schmidt正交化
设α1α2α3 线性关
（1）正交化
令β1α1
（2）单位化
4 线性方程组
（）方程组表达形解量
1解形式：
(1)般形式
(2)矩阵形式：Axb
(3)量形式：A（α1α2…αn）
2解定义：
η（c1c2…cn）T满足方程组AxbAηb称ηAxb解（量）
（二）解判定性质
3齐次方程组：
（1）零解←→r（A）n（nA列数未知数x数）
（2）非零解←→r（A）＜n
4非齐次方程组：
（1）解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）r（A）1
（2）唯解←→r（A）r（A|b）n
（3）穷解←→r（A）r（A|b）＜n
5解性质：
（1）ξ1ξ2Ax0解k1ξ1+k2ξ2Ax0解
（2）ξAx0解ηAxb解ξ+ηAxb解
（3）η1η2Axb解η1η2Ax0解
推广
（1）设η1η2…ηsAxb解k1η1+k2η2+…+ksηs
Axb解 （Σki1）
Ax0解 （Σki0）
（2）设η1η2…ηsAxbs线性关解η2η1η3η1…ηsη1Ax0s1线性关解
变式：①η1η2η3η2…ηsη2
②η2η1η3η2…ηsηs1
（三）基础解系
6基础解系定义：
（1）ξ1ξ2…ξs Ax0解
（2）ξ1ξ2…ξs 线性相关
（3）Ax0解均线性表示
→基础解系解极关组
注：基础解系唯
意nr（A）线性关解均作基础解系
★7重结：（证明重）
设A施m×n阶矩阵Bn×s阶矩阵ABO
（1）B列量均方程Ax0解
（2）r（A）+r（B）≤n（第2章秩）
8总结：基础解系求法
（1）A抽象：定义性质凑nr（A）线性关解
（2）A数字：A→初等行变换→阶梯型
未知量分取100010001代入解非未知量基础解系
（四）解结构（通解）
9齐次线性方程组通解（解）
设r（A）rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系
Ax0通解k1η1+k2η2+…+knrηnr （中k1k2…knr意常数）
10非齐次线性方程组通解
设r（A）rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系ηAxb特解
Axb通解η+ k1η1+k2η2+…+knrηnr （中k1k2…knr意常数）
（五）公解解
11公解定义：
果α方程组Ax0解方程组Bx0解称α公解
12非零公解充条件：
方程组Ax0Bx0非零公解
←→ 非零解←→
13重结（需掌握证明）
（1）设Am×n阶矩阵齐次方程ATAx0Ax0解r（ATA）r（A）
（2）设Am×n阶矩阵r（A）nBn×s阶矩阵齐次方程ABx0Bx0解r（AB）r（B）
5 特征值特征量
（）矩阵特征值特征量
1特征值特征量定义：
设An阶矩阵果存数λ非零列量αAαλα称α矩阵A属特征值λ特征量
2特征项式特征方程定义：
|λEA|称矩阵A特征项式（λn次项式）
|λEA |0称矩阵A特征方程（λn次方程）
注特征方程写|AλE|0
3重结：
（1）α齐次方程Ax0非零解Aα0·αα矩阵A特征值λ0特征量
（2）A行元素k(11…1)T特征值k特征量
（3）（）三角角矩阵特征值角线元素
△4总结：特征值特征量求法
（1）A抽象：定义性质凑
（2）A数字：特征方程法求解
5特征方程法：
（1）解特征方程|λEA|0矩阵An特征值λ1λ2…λn
注：n次方程必须n根(重根写作λ1λ2…λs实数省略)
（2）解齐次方程（λiEA）0属特征值λi线性关特征量基础解系（nr（λiEA）解）
6性质：
（1）特征值特征量线性关
（2）k重特征值k线性关特征量
1≤nr（λiEA）≤ki
（3）设A特征值λ1λ2…λn|A|ΠλiΣλiΣaii
（4）r（A）1AαβT中αβ均n维非零列量A特征值λ1ΣaiiαTββTαλ2…λn0
（5）设α矩阵A属特征值λ特征量
A
f（A）
AT
A1
A*
P1AP（相似）
λ
f（λ）
λ
λ1
|A|λ1
λ
α
α
α
α
P1α
（二）相似矩阵
7相似矩阵定义：
设AB均n阶矩阵果存逆矩阵PBP1AP称AB相似记作A~B
8相似矩阵性质
（1）AB相似f（A）f（B）相似
（2）AB相似BC相似AC相似
（3）相似矩阵相行列式秩特征项式特征方程特征值迹（角线元素）
推广
（4）AB相似ABBA相似ATBT相似A1B1相似A*B*相似
（三）矩阵相似角化
9相似角化定义：
果A角矩阵相似存逆矩阵PP1APΛ
称A相似角化
注：Aαiλiαi（αi≠0P逆）P列均矩阵A特征值λi特征量
10相似角化充条件
（1）An线性关特征量
（2）Ak重特征值k线性关特征量
11相似角化充分条件：
（1）An特征值（特征值特征量线性关）
（2）A实称矩阵
12重结：
（1）A相似角化r（A）非零特征值数nr（A）零特征值数
（2）A相似角化r（A）定非零特征值数
（四）实称矩阵
13性质
（1）特征值全实数
（2）特征值特征量正交
（3）A相似角化存逆矩阵PP1APΛ
（4）A正交相似角化存正交矩阵QQ1AQQTAQΛ
6 二次型
（）二次型标准形
1二次型：
（1）般形式
（2）矩阵形式（常）
2标准形：
果二次型含方项f（x1x2…xn）d1x12+d2x22+…+dnxn2
样二次型称标准形（角线）
3二次型化标准形方法：
（1）配方法：
通逆线性变换xCy（C逆）二次型化标准形中逆线性变换标准形通先配方换元
★（2）正交变换法：
通正交变换xQy二次型化标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
中λ1λ2…λn An特征值QA正交矩阵
注正交矩阵Q唯γiλi 应
（二）惯性定理规范形
4定义：
正惯性指数：标准形中正方项数称正惯性指数记p
负惯性指数：标准形中负方项数称负惯性指数记q
规范形：fz12+…zp2zp+12…zp+q2称二次型规范形
5惯性定理：
二次型选取样逆线性变换标准形正负惯性指数变
注：（1）正负惯性指数变规范形唯
（2）p正特征值数q负特征值数p+q非零特征值数r（A）
（三）合矩阵
6定义：
AB均n阶实称矩阵存逆矩阵CBCTAC称AB合
△7总结：n阶实称矩阵AB关系
（1）AB相似（BP1AP）←→相特征值
（2）AB合（BCTAC）←→相正负惯性指数←→相正负特征值数
（3）AB等价（BPAQ）←→r（A）r（B）
注：实称矩阵相似必合合必等价
（四）正定二次型正定矩阵
8正定定义
二次型xTAx果意x≠0恒xTAx＞0称二次型正定称实称矩阵A正定矩阵
9n元二次型xTAx正定充条件：
（1）A正惯性指数n
（2）AE合存逆矩阵CACTCCTACE
（3）A特征值均0
（4）A序子式均0（k阶序子式前k行前k列行列式）
10n元二次型xTAx正定必条件：
（1）aii＞0
（2）|A|＞0
11总结：二次型xTAx正定判定（题）
（1）A数字：序子式均0
（2）A抽象：①证A实称矩阵：ATA②定义特征值判定
12重结：
（1）A正定矩阵kA（k＞0）AkATA1A*正定
（2）AB均正定矩阵A+B正定
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1 行列式
（）行列式概念性质
1逆序数：逆序总数
2行列式定义：行列元素积代数
3行列式性质：（化简行列式）
（1）行列互换（转置）行列式值变
（2）两行（列）互换行列式变号
（3）提公式：行列式某行（列）元素数k等数k行列式
（4）拆列分配：行列式中果某行（列）元素两组数行列式等两行列式
（5）行（列）k加行（列）行列式值变
（6）两行成例行列式值0
（二）重行列式
4（）三角（角线）行列式值等角线元素积
5副角线行列式值等副角线元素积
6Laplace展开式：（Am阶矩阵Bn阶矩阵）
7n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学纳法证明
★8角线元素a余元素b行列式值：
（三）行（列）展开
9行展开定理：
（1）行（列）元素应代数余子式积等行列式值
（2）行列式中某行（列）元素行（列）应元素代数余子式积等0
（四）行列式公式
10行列式七公式：
（1）|kA|kn|A|
（2）|AB||A|·|B|
（3）|AT||A|
（4）|A1||A|1
（5）|A*||A|n1
（6）A特征值λ1λ2……λn
（7）AB相似|A||B|
（五）克莱姆法
11克莱姆法：
（1）非齐次线性方程组系数行列式0方程唯解
（2）果非齐次线性方程组解两解系数行列式必0
（3）齐次线性方程组系数行列式0齐次线性方程组0解果方程组非零解必D0
2 矩阵
（）矩阵运算
1矩阵法注意事项：
（1）矩阵法求前列行致
（2）矩阵法满足交换律（式分解公式矩阵适BEOA1A*f(A)时交换律）
（3）ABO推出AOBO
2转置性质（5条）
（1）（A+B）TAT+BT
（2）（kA）TkAT
（3）（AB）TBTAT
（4）|A|T|A|
（5）（AT）TA
（二）矩阵逆
3逆定义：
ABEBAE成立称A逆BA逆矩阵记BA1
注：A逆充条件|A|≠0
4逆性质：（5条）
（1）（kA）11k·A1 (k≠0)
（2）（AB）1B1·A1
（3）|A1||A|1
（4）（AT）1（A1）T
（5）（A1）1A
5逆求法：
（1）A抽象矩阵：定义性质求解
（2）A数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A1）
（三）矩阵初等变换
6初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换
（2）行（列）非零常数c
（3）行（列）k加行（列）
7初等矩阵：单位矩阵E次初等变换矩阵
8初等变换初等矩阵性质：
（1）初等行（列）变换相左（右）相应初等矩阵
（2）初等矩阵均逆矩阵Eij1Eij（ij两行互换）
Ei1（c）Ei（1c）（第i行（列）c）
Eij1（k）Eij（k）（第i行k加j）
★（四）矩阵秩
9秩定义：非零子式高阶数
注：（1）r（A）0意味着元素0AO
（2）r（An×n）n（满秩）←→ |A|≠0 ←→A逆
r（A）＜n←→|A|0←→A逆
（3）r（A）r（r12…n1）←→r阶子式非零r+1子式均0
10秩性质：（7条）
（1）Am×n阶矩阵r（A）≤min（mn）
（2）r（A±B）≤r（A）±（B）
（3）r（AB）≤min{r（A）r（B）}
（4）r（kA）r（A）（k≠0）
（5）r（A）r（AC）（C逆矩阵）
（6）r（A）r（AT）r（ATA）r（AAT）
（7）设Am×n阶矩阵Bn×s矩阵ABOr（A）+r（B）≤n
11秩求法：
（1）A抽象矩阵：定义性质求解
（2）A数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（行第非零元素面元素均0）r（A）非零行行数
（五）伴矩阵
12伴矩阵性质：（8条）
（1）AA*A*A|A|E → ★A*|A|A1
（2）（kA）*kn1A*
（3）（AB）*B*A*
（4）|A*||A|n1
（5）（AT）*（A*）T
（6）（A1）*（A*）1A|A|1
（7）（A*）*|A| n2·A
★（8）r（A*）n （r（A）n）
r（A*）1 （r（A）n1）
r（A*）0 （r（A）＜n1）
（六）分块矩阵
13分块矩阵法：求前列行分法相
14分块矩阵求逆：
3 量
（）量概念运算
1量积：（αβ）αTββTα
2长度定义： ||α||
3正交定义：（αβ）αTββTαa1b1+a2b2+…+anbn0
4正交矩阵定义：An阶矩阵AATE ←→ A1AT ←→ ATAE → |A|±1
（二）线性组合线性表示
5线性表示充条件：
非零列量βα1α2…αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组（α1α2…αs）（x1x2…xs）Tβ解
★(2)←→r（α1α2…αs）r（α1α2…αsβ）（系数矩阵秩等增广矩阵秩题第步检验）
6线性表示充分条件：（解）
α1α2…αs线性关α1α2…αsβ线性相关βα1α2…αs线性表示
7线性表示求法：（题第二步）
设α1α2…αs线性关β线性表示
（α1α2…αs|β）→初等行变换→（行简形|系数）
行简形：行第非0数1余元素均0
（三）线性相关线性关
8线性相关注意事项：
（1）α线性相关←→α0
（2）α1α2线性相关←→α1α2成例
9线性相关充条件：
量组α1α2…αs线性相关
（1）←→量余量线性表示
（2）←→齐次方程（α1α2…αs）（x1x2…xs）T0非零解
★（3）←→r（α1α2…αs）＜s 秩数
特nn维列量α1α2…αn线性相关
（1）←→ r（α1α2…αn）＜n
（2）←→|α1α2…αn |0
（3）←→（α1α2…αn）逆
10线性相关充分条件：
（1）量组含零量成例量必相关
（2）部分相关整体相关
（3）高维相关低维相关
（4）少表必相关
★推：n+1n维量定线性相关
11线性关充条件
量组α1α2…αs 线性关
（1）←→意量均余量线性表示
（2）←→齐次方程（α1α2…αs）（x1x2…xs）T0零解
（3）←→r（α1α2…αs）s
特nn维量α1α2…αn 线性关
←→r（α1α2…αn）n ←→|α1α2…αn |≠0 ←→矩阵逆
12线性关充分条件：
（1）整体关部分关
（2）低维关高维关
（3）正交非零量组线性关
（4）特征值特征量关
13线性相关线性关判定
（1）定义法
★（2）秩：阶数线性相关等阶数线性关
专业知识补充
（1）矩阵左边列满秩矩阵（秩列数）矩阵秩变矩阵右边行满秩矩阵矩阵秩变
（2）n维列量α1α2α3 线性关β1β2β3 线性表示（β1β2β3）（α1α2α3）Cr（β1β2β3）r（C）线性关
←→r（β1β2β3）3 ←→ r（C）3 ←→ |C|≠0
（四）极线性关组量组秩
14极线性关组唯
15量组秩极关组中量数成量组秩
：矩阵秩非零子式高阶数
★注量组α1α2…αs 秩矩阵A（α1α2…αs）秩相等
★16极线性关组求法
（1）α1α2…αs 抽象：定义法
（2）α1α2…αs 数字：
（α1α2…αs）→初等行变换→阶梯型矩阵
行第非零数应列量构成极关组
（五）量空间
17基（极线性关组）变换公式：
α1α2…αn β1β2…βn n维量空间V两组基基变换公式（β1β2…βn）（α1α2…αn）Cn×n
中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵
C（α1α2…αn）1（β1β2…βn）
18坐标变换公式：
量γ基α1α2…αn基β1β2…βn 坐标分x（x1x2…xn）Ty（y1y2…yn）Tγx1α1 + x2α2 + … +xnαn y1β1 + y2β2 + … +ynβn坐标变换公式xCyyC1x中C基α1α2…αn β1β2…βn 渡矩阵C（α1α2…αn）1（β1β2…βn）
（六）Schmidt正交化
19Schmidt正交化
设α1α2α3 线性关
（1）正交化
令β1α1
（2）单位化
4 线性方程组
（）方程组表达形解量
1解形式：
(1)般形式
(2)矩阵形式：Axb
(3)量形式：A（α1α2…αn）
2解定义：
η（c1c2…cn）T满足方程组AxbAηb称ηAxb解（量）
（二）解判定性质
3齐次方程组：
（1）零解←→r（A）n（nA列数未知数x数）
（2）非零解←→r（A）＜n
4非齐次方程组：
（1）解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）r（A）1
（2）唯解←→r（A）r（A|b）n
（3）穷解←→r（A）r（A|b）＜n
5解性质：
（1）ξ1ξ2Ax0解k1ξ1+k2ξ2Ax0解
（2）ξAx0解ηAxb解ξ+ηAxb解
（3）η1η2Axb解η1η2Ax0解
推广
（1）设η1η2…ηsAxb解k1η1+k2η2+…+ksηs
Axb解 （Σki1）
Ax0解 （Σki0）
（2）设η1η2…ηsAxbs线性关解η2η1η3η1…ηsη1Ax0s1线性关解
变式：①η1η2η3η2…ηsη2
②η2η1η3η2…ηsηs1
（三）基础解系
6基础解系定义：
（1）ξ1ξ2…ξs Ax0解
（2）ξ1ξ2…ξs 线性相关
（3）Ax0解均线性表示
→基础解系解极关组
注：基础解系唯
意nr（A）线性关解均作基础解系
★7重结：（证明重）
设A施m×n阶矩阵Bn×s阶矩阵ABO
（1）B列量均方程Ax0解
（2）r（A）+r（B）≤n（第2章秩）
8总结：基础解系求法
（1）A抽象：定义性质凑nr（A）线性关解
（2）A数字：A→初等行变换→阶梯型
未知量分取100010001代入解非未知量基础解系
（四）解结构（通解）
9齐次线性方程组通解（解）
设r（A）rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系
Ax0通解k1η1+k2η2+…+knrηnr （中k1k2…knr意常数）
10非齐次线性方程组通解
设r（A）rξ1ξ2…ξnr Ax0基础解系ηAxb特解
Axb通解η+ k1η1+k2η2+…+knrηnr （中k1k2…knr意常数）
（五）公解解
11公解定义：
果α方程组Ax0解方程组Bx0解称α公解
12非零公解充条件：
方程组Ax0Bx0非零公解
←→ 非零解←→
13重结（需掌握证明）
（1）设Am×n阶矩阵齐次方程ATAx0Ax0解r（ATA）r（A）
（2）设Am×n阶矩阵r（A）nBn×s阶矩阵齐次方程ABx0Bx0解r（AB）r（B）
5 特征值特征量
（）矩阵特征值特征量
1特征值特征量定义：
设An阶矩阵果存数λ非零列量αAαλα称α矩阵A属特征值λ特征量
2特征项式特征方程定义：
|λEA|称矩阵A特征项式（λn次项式）
|λEA |0称矩阵A特征方程（λn次方程）
注特征方程写|AλE|0
3重结：
（1）α齐次方程Ax0非零解Aα0·αα矩阵A特征值λ0特征量
（2）A行元素k(11…1)T特征值k特征量
（3）（）三角角矩阵特征值角线元素
△4总结：特征值特征量求法
（1）A抽象：定义性质凑
（2）A数字：特征方程法求解
5特征方程法：
（1）解特征方程|λEA|0矩阵An特征值λ1λ2…λn
注：n次方程必须n根(重根写作λ1λ2…λs实数省略)
（2）解齐次方程（λiEA）0属特征值λi线性关特征量基础解系（nr（λiEA）解）
6性质：
（1）特征值特征量线性关
（2）k重特征值k线性关特征量
1≤nr（λiEA）≤ki
（3）设A特征值λ1λ2…λn|A|ΠλiΣλiΣaii
（4）r（A）1AαβT中αβ均n维非零列量A特征值λ1ΣaiiαTββTαλ2…λn0
（5）设α矩阵A属特征值λ特征量
A
f（A）
AT
A1
A*
P1AP（相似）
λ
f（λ）
λ
λ1
|A|λ1
λ
α
α
α
α
P1α
（二）相似矩阵
7相似矩阵定义：
设AB均n阶矩阵果存逆矩阵PBP1AP称AB相似记作A~B
8相似矩阵性质
（1）AB相似f（A）f（B）相似
（2）AB相似BC相似AC相似
（3）相似矩阵相行列式秩特征项式特征方程特征值迹（角线元素）
推广
（4）AB相似ABBA相似ATBT相似A1B1相似A*B*相似
（三）矩阵相似角化
9相似角化定义：
果A角矩阵相似存逆矩阵PP1APΛ
称A相似角化
注：Aαiλiαi（αi≠0P逆）P列均矩阵A特征值λi特征量
10相似角化充条件
（1）An线性关特征量
（2）Ak重特征值k线性关特征量
11相似角化充分条件：
（1）An特征值（特征值特征量线性关）
（2）A实称矩阵
12重结：
（1）A相似角化r（A）非零特征值数nr（A）零特征值数
（2）A相似角化r（A）定非零特征值数
（四）实称矩阵
13性质
（1）特征值全实数
（2）特征值特征量正交
（3）A相似角化存逆矩阵PP1APΛ
（4）A正交相似角化存正交矩阵QQ1AQQTAQΛ
6 二次型
（）二次型标准形
1二次型：
（1）般形式
（2）矩阵形式（常）
2标准形：
果二次型含方项f（x1x2…xn）d1x12+d2x22+…+dnxn2
样二次型称标准形（角线）
3二次型化标准形方法：
（1）配方法：
通逆线性变换xCy（C逆）二次型化标准形中逆线性变换标准形通先配方换元
★（2）正交变换法：
通正交变换xQy二次型化标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
中λ1λ2…λn An特征值QA正交矩阵
注正交矩阵Q唯γiλi 应
（二）惯性定理规范形
4定义：
正惯性指数：标准形中正方项数称正惯性指数记p
负惯性指数：标准形中负方项数称负惯性指数记q
规范形：fz12+…zp2zp+12…zp+q2称二次型规范形
5惯性定理：
二次型选取样逆线性变换标准形正负惯性指数变
注：（1）正负惯性指数变规范形唯
（2）p正特征值数q负特征值数p+q非零特征值数r（A）
（三）合矩阵
6定义：
AB均n阶实称矩阵存逆矩阵CBCTAC称AB合
△7总结：n阶实称矩阵AB关系
（1）AB相似（BP1AP）←→相特征值
（2）AB合（BCTAC）←→相正负惯性指数←→相正负特征值数
（3）AB等价（BPAQ）←→r（A）r（B）
注：实称矩阵相似必合合必等价
（四）正定二次型正定矩阵
8正定定义
二次型xTAx果意x≠0恒xTAx＞0称二次型正定称实称矩阵A正定矩阵
9n元二次型xTAx正定充条件：
（1）A正惯性指数n
（2）AE合存逆矩阵CACTCCTACE
（3）A特征值均0
（4）A序子式均0（k阶序子式前k行前k列行列式）
10n元二次型xTAx正定必条件：
（1）aii＞0
（2）|A|＞0
11总结：二次型xTAx正定判定（题）
（1）A数字：序子式均0
（2）A抽象：①证A实称矩阵：ATA②定义特征值判定
12重结：
（1）A正定矩阵kA（k＞0）AkATA1A*正定
（2）AB均正定矩阵A+B正定
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