2012年高考数学专题复
椭 圆
考纲求
1 掌握椭圆定义标准方程解椭圆参数方程
2 掌握椭圆简单性质
考点回顾
1 椭圆定义
1 第定义：
满足 动点轨迹焦点长轴长 椭圆
2 第二定义：
定点定直线距离等
1正数点轨迹椭圆
中椭圆焦点相应准线
定义式：
2 椭圆标准方程
（1）焦点轴：
焦点满足：
（2）焦点轴：
焦点满足：
（3）统形式：
注椭圆定型条件三值中知道
意两求第三中
3 椭圆参数方程
焦点轴中心原点椭圆参数方程： （参数）
（中椭圆长轴长椭圆短轴长）
4 椭圆简单性质
椭圆例说明
（1）范围：
（2）称性：椭圆称轴轴轴称中心：原点
（3）顶点：长轴顶点：短轴顶点：
（4）离心率：
注①②越椭圆越扁③
（5）准线：椭圆左右两条准线关轴称
左准线： 右准线：
（6）焦半径：椭圆点焦点距离左右焦半径分
5 点椭圆位置关系
已知椭圆点：
6 关焦点三角形焦点弦
（1）椭圆点两焦点构成称焦点三角形
设：
P
① （短轴顶点）时
时
② 面积
（短轴顶点）时
③
A
B
（2）焦点椭圆弦称焦点弦
设中点
弦长
（左焦点取+右焦点取）
轴时短
7 椭圆光学性质
椭圆焦点射出光线椭圆反射椭圆焦点
8 关直线椭圆位置关系问题常处理方法
1 联立方程法：联立直线椭圆方程消关元二次方程
设交点坐标进步求出涉弦长中点称面积等问题时常法
2 点差法：设交点坐标代入椭圆方程两式相减涉斜率中点范围等问题时常法
二 典例剖析
1 求椭圆标准方程
例1（1）已知椭圆中心原点焦点轴焦点短轴两端点连线互相垂直焦点长轴较端点距离椭圆方程____________
（2）椭圆中心原点焦点坐标轴直线交椭圆两点椭圆方程_____________________
解（1）已知：求：
椭圆方程：
（2）设椭圆方程：设
PQ中点已知：
： 求：
联立消y：
韦达定理：
易知：
解： 椭圆方程：
例2设椭圆左焦点顶点点作垂线分交椭圆交轴
（1）求椭圆离心率
（2）三点圆恰直线相切求椭圆方程
解（1）已知：
：点坐标代入椭圆方程：
（2）（1）：圆心半径
：
椭圆方程：
例3已知中心原点椭圆左右焦点分斜率直线右焦点 椭圆交两点轴交点点
（1）求椭圆离心率取值范围
（2）弦中点右准线距离求椭圆方程
解（1）设椭圆方程：
直线方程：
求：
代入椭圆方程整理：
：
已知： ：
考虑求：
（2）（1）知时
椭圆方程化：
联立 消：
设中点
易知：椭圆右准线：
椭圆方程：
例4已知椭圆中心原点短轴长右准线交轴点右焦点点直线交椭圆两点
（1）求椭圆方程
（2）求直线方程
（3）点关轴称点证明：直线定点
（4）求面积
解（1） 椭圆方程：
（2）设直线方程：设
联立 消：
求：
： 求
方程：
（3）已知（2）知：设直线轴交点
（2）知：
（2）知：
直线定点椭圆右焦点
（4）（1）：
令
仅时取
面积
例5已知椭圆中心原点焦点轴椭圆点焦点距离值值
（1）求椭圆标准方程
（2）直线椭圆交两点（左右顶点） 直径圆椭圆右顶点求证：直线定点求出该定点坐标
解（1）已知
椭圆方程：
（2）设
联立 消：
直径圆右顶点
：
ⅰ）时直线右顶点合题意
ⅱ）时直线显然直线定点
直线定点定点坐标
2 椭圆性质
例6已知椭圆两焦点分椭圆存点
（1）求椭圆离心率取值范围
（2）离心率取值时面积设椭圆两动点线段垂直分线恒定点①求椭圆方程②求直线斜率取值范围
解（1）设椭圆短轴端点B已知椭圆性质：
：
（2）①取值时短轴顶点
求： 椭圆方程：
②法：点差法设设中点
①
已知 垂直分线方程：
易知点该直线 ②
①②求：
已知：点椭圆部
法二：联立方程法设
设直线方程垂直分线方程：
联立消：
①
中点 垂直分线
②
②代①求：
注1方法二中②
注2求取值范围问题通常建立等式关等式源种情况：
（1）已知等式（2）椭圆点横坐标满足（3）
（4）椭圆部点满足
例7椭圆中心原点焦点轴斜率直线椭圆右焦点椭圆交两点量线
（1）求椭圆离心率
（2）设椭圆点求证：定值
解（1）设椭圆方程 设
已知：直线AB方程：代入椭圆方程：
韦达定理：易知：
量线
：
：
（2）（1）：椭圆方程：
直线AB方程：
：
设已知：
M坐标代入椭圆方程：
： 定值
例8已知椭圆动点弦分焦点轴时恰
（1）椭圆离心率
（2）设判断否定值？
解（1）轴时
定义
（2）（1）知椭圆方程：
设
①斜率存直线方程
代入椭圆方程整理：
韦达定理
已知：理：
②斜率存妨设轴
综述定值
例9设椭圆定点点作两条直线 椭圆分交两点（异点）满足直线倾斜角互补求证：直线斜率定值
证明法：点差法设：
（2）（3）：
理：
已知：
（4）
方面
（5）
（4）（5）：
定值直线斜率定值
法二：联立方程法设
设直线PA： 直线PB：
联立消Y：
韦达定理：①
理：
已知：②
①②：
①②：
定值
3 值问题
例10已知椭圆左右焦点两定点
（1）设椭圆动点
①求值值②求值值
（2）点作直线椭圆交两点锐角（原点）求直线斜率取值范围
解（1）①已知：点椭圆部
易知
定义：
三角等式：
仅三点次线
三点次线时左右等号分成立
（时三点次线）
（时三点次线）
②法易知
设
点P椭圆短轴端点时值
点P椭圆长轴端点时1
法二易知
设量数量积定义余弦定理：
（解法）
（2）显然直线满足题设条件
设设直线方程：
联立消整理：
∴
：
①②：
例11已知椭圆垂直轴弦直线交轴点 椭圆右焦点直线交点
（1）证明：点椭圆
（2）求面积值
解（1）已知设
方程分：
联立两直线方程求：
点椭圆
（2）设直线方程
联立
：
令函数递增 时取值
时取值
例12已知椭圆中心原点左右焦点分右顶点设原点直线椭圆交两点求值
解方法已知：椭圆方程： 设
直线方程：
作
易知
点椭圆设
时取值
方法二
仅时取等号
值
例13（08 山东）已知曲线围成封闭图形面积曲线切圆半径记坐标轴交点顶点椭圆
（1）求椭圆标准方程
（2）设椭圆中心意弦线段垂直分线异椭圆中心点 ①（坐标原点）点椭圆运动时求点轨迹方程 ②点椭圆交点求面积
解（1）题意 解：．
求椭圆标准方程：．
（2）①假设直线斜率存零
设直线方程设 ．
解方程组 ：
．
设题意知：
垂直分线直线方程
．
存时式然成立．
综述轨迹方程．
② 存时（1）：
解：
．
仅时等号成立
时面积值．
．
存时．
综述面积值．
（2）②解
仅时等号成立
时面积值．
例14已知椭圆左右焦点分直线椭圆交两点
（1）求面积值
（2）面积值时求值
解（1）已知：
设直线方程设
联立
：
已知：
令易证函数递增
时取值
时取值 值
（2）值时
例15(2009山东卷) 设椭圆E M（2） N(1)两点O坐标原点
（1）求椭圆E方程
（2）否存圆心原点圆该圆意条切线椭圆E恒两交点AB？存写出该圆方程求|AB |取值范围存说明理
（3）设直线椭圆相切点椭圆E公点取值时取值？求值
解（1）椭圆E M（2） N(1)两点
解 椭圆E方程
（2）①假设存圆心原点圆该圆意条切线椭圆E恒两交点AB 设该圆切线方程
解方程组 消y：
△
韦达定理：
需 ①
直线圆心原点圆条切线
圆半径②
① ② ：求圆
切线斜率存时切线椭圆两交点
满足
综 存圆心原点圆该圆意条切线椭圆E
恒两交点AB
②
ⅰ）时
仅时取
ⅱ）时
ⅲ）AB斜率存时 两交点
时
综 |AB |取值范围：
②解图设作D
A
B
D
O
①已知：
易知
令
易知：函数递减递增
（3）设直线方程设
直线圆相切 ①
联立消Y：
已知：②
① ② ：
直线椭圆唯公点Q时：
： ：
：
仅时取等号
时
注存坐标原点O圆心圆圆切线椭圆交P Q两点满足圆方程反O点直线PQ距离定值 时|PQ|取值轴时|PQ|取值
4 直线椭圆位置关系
例16已知椭圆左右焦点直线椭圆相切
（1）分作切线垂线垂足分求值
（3）设直线轴轴分交两点求值
解（1）设直线方程已知
联立消y：
直线椭圆相切
定值
（2）易知：
仅时取等号
例17已知椭圆点作直线椭圆次交两点（间）（1）求取值范围 （2）否存样直线弦直径圆坐标原点？存求方程存说明理
解（1）方法：（联立方程法）
ⅰ）直线斜率存时设直线方程
设
联立 消整理：
求：
① ②
设 ③
①②③中消：
求：
ⅱ）直线斜率存时
综述 取值范围
方法二：（点差法） 设
：
(1)(2) ：
已知
（2）假设满足条件直线存设
（1）知：
求：
： 满足
满足条件直线存直线方程：
例18设椭圆两点点线段中点线段
垂直分线交椭圆两点
（1）确定取值范围求直线方程
（2）否存样实数四点圆？说明理
解（Ⅰ）解法1：题意设直线AB方程代
整理 ①
设方程①两根
∴ ②
N（13）线段AB中点：
解k－1代入② 取值范围（12+∞）
直线AB方程
解法2：设
题意
∵N（13）AB中点 ∴
N（13）椭圆∴
∴取值范围（12+∞）
直线AB方程y－3－（x－1）x+y－40
（Ⅱ）∵CD垂直分AB∴直线CD方程y－3x－1x－y+20
代入椭圆方程整理
设CD中点
方程③两根∴
弦长公式 ④
直线AB方程x + y－40代入椭圆方程 ⑤
理 ⑥
∵时|
假设存>12ABCD四点圆CD必圆直径
点M圆心
点M直线AB距离 ⑦
④⑥⑦式勾股定理
>12时ABCD四点匀M圆心半径圆
（注：述解法中步解法获：）
ABCD圆△ACD直角三角形A直角|AN|2|CN|·|DN|
⑧
⑥式知：⑧式左边
④⑦知⑧式右边
∴⑧式成立ABCD四点圆
例19（2010江苏）已知椭圆左右焦点左右顶点
点直线分交椭圆点
（1）设动点满足求点轨迹方程
（2）时求点坐标
（3）设求证：直线轴定点
解（1）题意知设
化简整理
（2）代椭圆方程分求出
直线 ① 直线 ②
①②联立：
（3）已知
直线椭圆联立：
直线椭圆联立：
直线方程：
化简
令解直线MNX轴定点
三 解题结
1 离心率圆锥曲线重性质求离心率取值范围寻找间关系
2 求椭圆关值问题三种方法：（1）法（2）三角代换法（3）转化函数利函数单调性求值
3 直线椭圆位置问题两种基方法：（1）联立方程法（2）点差法前者涉弦长中点者涉斜率中点等
4 关椭圆补充性质（常解题中遇）：
①椭圆接矩形面积
②焦点 直线交椭圆P Q两点轴时面积面积
③设右准线轴交点EE点直线椭圆交P Q两点点点P关轴称直线定椭圆右焦点
④设点P右（左）准线点（轴）椭圆左右顶点直线 椭圆分交两点直线定椭圆右（左）焦点
⑤右（左）焦点直线椭圆交两点椭圆左右顶点直线交点定右（左）准线
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椭 圆
考纲求
1 掌握椭圆定义标准方程解椭圆参数方程
2 掌握椭圆简单性质
考点回顾
1 椭圆定义
1 第定义：
满足 动点轨迹焦点长轴长 椭圆
2 第二定义：
定点定直线距离等
1正数点轨迹椭圆
中椭圆焦点相应准线
定义式：
2 椭圆标准方程
（1）焦点轴：
焦点满足：
（2）焦点轴：
焦点满足：
（3）统形式：
注椭圆定型条件三值中知道
意两求第三中
3 椭圆参数方程
焦点轴中心原点椭圆参数方程： （参数）
（中椭圆长轴长椭圆短轴长）
4 椭圆简单性质
椭圆例说明
（1）范围：
（2）称性：椭圆称轴轴轴称中心：原点
（3）顶点：长轴顶点：短轴顶点：
（4）离心率：
注①②越椭圆越扁③
（5）准线：椭圆左右两条准线关轴称
左准线： 右准线：
（6）焦半径：椭圆点焦点距离左右焦半径分
5 点椭圆位置关系
已知椭圆点：
6 关焦点三角形焦点弦
（1）椭圆点两焦点构成称焦点三角形
设：
P
① （短轴顶点）时
时
② 面积
（短轴顶点）时
③
A
B
（2）焦点椭圆弦称焦点弦
设中点
弦长
（左焦点取+右焦点取）
轴时短
7 椭圆光学性质
椭圆焦点射出光线椭圆反射椭圆焦点
8 关直线椭圆位置关系问题常处理方法
1 联立方程法：联立直线椭圆方程消关元二次方程
设交点坐标进步求出涉弦长中点称面积等问题时常法
2 点差法：设交点坐标代入椭圆方程两式相减涉斜率中点范围等问题时常法
二 典例剖析
1 求椭圆标准方程
例1（1）已知椭圆中心原点焦点轴焦点短轴两端点连线互相垂直焦点长轴较端点距离椭圆方程____________
（2）椭圆中心原点焦点坐标轴直线交椭圆两点椭圆方程_____________________
解（1）已知：求：
椭圆方程：
（2）设椭圆方程：设
PQ中点已知：
： 求：
联立消y：
韦达定理：
易知：
解： 椭圆方程：
例2设椭圆左焦点顶点点作垂线分交椭圆交轴
（1）求椭圆离心率
（2）三点圆恰直线相切求椭圆方程
解（1）已知：
：点坐标代入椭圆方程：
（2）（1）：圆心半径
：
椭圆方程：
例3已知中心原点椭圆左右焦点分斜率直线右焦点 椭圆交两点轴交点点
（1）求椭圆离心率取值范围
（2）弦中点右准线距离求椭圆方程
解（1）设椭圆方程：
直线方程：
求：
代入椭圆方程整理：
：
已知： ：
考虑求：
（2）（1）知时
椭圆方程化：
联立 消：
设中点
易知：椭圆右准线：
椭圆方程：
例4已知椭圆中心原点短轴长右准线交轴点右焦点点直线交椭圆两点
（1）求椭圆方程
（2）求直线方程
（3）点关轴称点证明：直线定点
（4）求面积
解（1） 椭圆方程：
（2）设直线方程：设
联立 消：
求：
： 求
方程：
（3）已知（2）知：设直线轴交点
（2）知：
（2）知：
直线定点椭圆右焦点
（4）（1）：
令
仅时取
面积
例5已知椭圆中心原点焦点轴椭圆点焦点距离值值
（1）求椭圆标准方程
（2）直线椭圆交两点（左右顶点） 直径圆椭圆右顶点求证：直线定点求出该定点坐标
解（1）已知
椭圆方程：
（2）设
联立 消：
直径圆右顶点
：
ⅰ）时直线右顶点合题意
ⅱ）时直线显然直线定点
直线定点定点坐标
2 椭圆性质
例6已知椭圆两焦点分椭圆存点
（1）求椭圆离心率取值范围
（2）离心率取值时面积设椭圆两动点线段垂直分线恒定点①求椭圆方程②求直线斜率取值范围
解（1）设椭圆短轴端点B已知椭圆性质：
：
（2）①取值时短轴顶点
求： 椭圆方程：
②法：点差法设设中点
①
已知 垂直分线方程：
易知点该直线 ②
①②求：
已知：点椭圆部
法二：联立方程法设
设直线方程垂直分线方程：
联立消：
①
中点 垂直分线
②
②代①求：
注1方法二中②
注2求取值范围问题通常建立等式关等式源种情况：
（1）已知等式（2）椭圆点横坐标满足（3）
（4）椭圆部点满足
例7椭圆中心原点焦点轴斜率直线椭圆右焦点椭圆交两点量线
（1）求椭圆离心率
（2）设椭圆点求证：定值
解（1）设椭圆方程 设
已知：直线AB方程：代入椭圆方程：
韦达定理：易知：
量线
：
：
（2）（1）：椭圆方程：
直线AB方程：
：
设已知：
M坐标代入椭圆方程：
： 定值
例8已知椭圆动点弦分焦点轴时恰
（1）椭圆离心率
（2）设判断否定值？
解（1）轴时
定义
（2）（1）知椭圆方程：
设
①斜率存直线方程
代入椭圆方程整理：
韦达定理
已知：理：
②斜率存妨设轴
综述定值
例9设椭圆定点点作两条直线 椭圆分交两点（异点）满足直线倾斜角互补求证：直线斜率定值
证明法：点差法设：
（2）（3）：
理：
已知：
（4）
方面
（5）
（4）（5）：
定值直线斜率定值
法二：联立方程法设
设直线PA： 直线PB：
联立消Y：
韦达定理：①
理：
已知：②
①②：
①②：
定值
3 值问题
例10已知椭圆左右焦点两定点
（1）设椭圆动点
①求值值②求值值
（2）点作直线椭圆交两点锐角（原点）求直线斜率取值范围
解（1）①已知：点椭圆部
易知
定义：
三角等式：
仅三点次线
三点次线时左右等号分成立
（时三点次线）
（时三点次线）
②法易知
设
点P椭圆短轴端点时值
点P椭圆长轴端点时1
法二易知
设量数量积定义余弦定理：
（解法）
（2）显然直线满足题设条件
设设直线方程：
联立消整理：
∴
：
①②：
例11已知椭圆垂直轴弦直线交轴点 椭圆右焦点直线交点
（1）证明：点椭圆
（2）求面积值
解（1）已知设
方程分：
联立两直线方程求：
点椭圆
（2）设直线方程
联立
：
令函数递增 时取值
时取值
例12已知椭圆中心原点左右焦点分右顶点设原点直线椭圆交两点求值
解方法已知：椭圆方程： 设
直线方程：
作
易知
点椭圆设
时取值
方法二
仅时取等号
值
例13（08 山东）已知曲线围成封闭图形面积曲线切圆半径记坐标轴交点顶点椭圆
（1）求椭圆标准方程
（2）设椭圆中心意弦线段垂直分线异椭圆中心点 ①（坐标原点）点椭圆运动时求点轨迹方程 ②点椭圆交点求面积
解（1）题意 解：．
求椭圆标准方程：．
（2）①假设直线斜率存零
设直线方程设 ．
解方程组 ：
．
设题意知：
垂直分线直线方程
．
存时式然成立．
综述轨迹方程．
② 存时（1）：
解：
．
仅时等号成立
时面积值．
．
存时．
综述面积值．
（2）②解
仅时等号成立
时面积值．
例14已知椭圆左右焦点分直线椭圆交两点
（1）求面积值
（2）面积值时求值
解（1）已知：
设直线方程设
联立
：
已知：
令易证函数递增
时取值
时取值 值
（2）值时
例15(2009山东卷) 设椭圆E M（2） N(1)两点O坐标原点
（1）求椭圆E方程
（2）否存圆心原点圆该圆意条切线椭圆E恒两交点AB？存写出该圆方程求|AB |取值范围存说明理
（3）设直线椭圆相切点椭圆E公点取值时取值？求值
解（1）椭圆E M（2） N(1)两点
解 椭圆E方程
（2）①假设存圆心原点圆该圆意条切线椭圆E恒两交点AB 设该圆切线方程
解方程组 消y：
△
韦达定理：
需 ①
直线圆心原点圆条切线
圆半径②
① ② ：求圆
切线斜率存时切线椭圆两交点
满足
综 存圆心原点圆该圆意条切线椭圆E
恒两交点AB
②
ⅰ）时
仅时取
ⅱ）时
ⅲ）AB斜率存时 两交点
时
综 |AB |取值范围：
②解图设作D
A
B
D
O
①已知：
易知
令
易知：函数递减递增
（3）设直线方程设
直线圆相切 ①
联立消Y：
已知：②
① ② ：
直线椭圆唯公点Q时：
： ：
：
仅时取等号
时
注存坐标原点O圆心圆圆切线椭圆交P Q两点满足圆方程反O点直线PQ距离定值 时|PQ|取值轴时|PQ|取值
4 直线椭圆位置关系
例16已知椭圆左右焦点直线椭圆相切
（1）分作切线垂线垂足分求值
（3）设直线轴轴分交两点求值
解（1）设直线方程已知
联立消y：
直线椭圆相切
定值
（2）易知：
仅时取等号
例17已知椭圆点作直线椭圆次交两点（间）（1）求取值范围 （2）否存样直线弦直径圆坐标原点？存求方程存说明理
解（1）方法：（联立方程法）
ⅰ）直线斜率存时设直线方程
设
联立 消整理：
求：
① ②
设 ③
①②③中消：
求：
ⅱ）直线斜率存时
综述 取值范围
方法二：（点差法） 设
：
(1)(2) ：
已知
（2）假设满足条件直线存设
（1）知：
求：
： 满足
满足条件直线存直线方程：
例18设椭圆两点点线段中点线段
垂直分线交椭圆两点
（1）确定取值范围求直线方程
（2）否存样实数四点圆？说明理
解（Ⅰ）解法1：题意设直线AB方程代
整理 ①
设方程①两根
∴ ②
N（13）线段AB中点：
解k－1代入② 取值范围（12+∞）
直线AB方程
解法2：设
题意
∵N（13）AB中点 ∴
N（13）椭圆∴
∴取值范围（12+∞）
直线AB方程y－3－（x－1）x+y－40
（Ⅱ）∵CD垂直分AB∴直线CD方程y－3x－1x－y+20
代入椭圆方程整理
设CD中点
方程③两根∴
弦长公式 ④
直线AB方程x + y－40代入椭圆方程 ⑤
理 ⑥
∵时|
假设存>12ABCD四点圆CD必圆直径
点M圆心
点M直线AB距离 ⑦
④⑥⑦式勾股定理
>12时ABCD四点匀M圆心半径圆
（注：述解法中步解法获：）
ABCD圆△ACD直角三角形A直角|AN|2|CN|·|DN|
⑧
⑥式知：⑧式左边
④⑦知⑧式右边
∴⑧式成立ABCD四点圆
例19（2010江苏）已知椭圆左右焦点左右顶点
点直线分交椭圆点
（1）设动点满足求点轨迹方程
（2）时求点坐标
（3）设求证：直线轴定点
解（1）题意知设
化简整理
（2）代椭圆方程分求出
直线 ① 直线 ②
①②联立：
（3）已知
直线椭圆联立：
直线椭圆联立：
直线方程：
化简
令解直线MNX轴定点
三 解题结
1 离心率圆锥曲线重性质求离心率取值范围寻找间关系
2 求椭圆关值问题三种方法：（1）法（2）三角代换法（3）转化函数利函数单调性求值
3 直线椭圆位置问题两种基方法：（1）联立方程法（2）点差法前者涉弦长中点者涉斜率中点等
4 关椭圆补充性质（常解题中遇）：
①椭圆接矩形面积
②焦点 直线交椭圆P Q两点轴时面积面积
③设右准线轴交点EE点直线椭圆交P Q两点点点P关轴称直线定椭圆右焦点
④设点P右（左）准线点（轴）椭圆左右顶点直线 椭圆分交两点直线定椭圆右（左）焦点
⑤右（左）焦点直线椭圆交两点椭圆左右顶点直线交点定右（左）准线
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