重庆中考（届）数学24题专题练
1图等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点连接BECE
（1）求证：BECE
（2）∠BEC90°点B作BF⊥CD垂足点F交CE点G连接DG求证：BGDG+CD．
BG取BHABCD连EH
显然△ABE△CDE全等∠ABE∠DCE∠AEB∠DEC
∠BEC90°∠BFC顶角∠BGE∠CGF
∠FBE∠DCE
∠ABE∠FBE
BF取BHAB连接EH
BHAB∠ABE∠FBEBEBE△ABE△HBE全等
∠AEB∠HEBAEEH
∠AEB+∠DEC+∠BEC180°∠AEB∠DEC∠BEC90°
∠AEB∠DEC45°∠HEB
∠AEH∠AEB+∠HEB90°∠HED
理∠DEG45°∠HEG
EHAEEDEGEG
△HEG△FEG全等HGDG
BGBH+HGAB+DGDG+CD
2图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°EAB延长线点连接EDBC交点H．E作CD垂线垂足CD点FBC交点G．已知GCH中点．
（1）HEHG求证：△EBH≌△GFC
（2）CD4BH1求AD长．
3图梯形ABCD中AB∥CDADDCBC∠DAB60°E角线AC延长线点FAD延长线点EB⊥ABEF⊥AF．
（1）CE1时求△BCE面积
（2）求证：BDEF+CE．
4图．行四边形ABCD中O角线交点点E线段BC延长线点．点E EF∥CA交CD点F连接OF．
（1）求证：OF∥BC
（2）果梯形OBEF等腰梯形判断四边形ABCD形状出证明．
5图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BF⊥CDF延长BF交AD延长线E延长CD交BA延长线GDGDEABCF6．
（1）求线段CD长
（2）H边BF∠HDF∠E连接CH求证：∠BCH45°﹣∠EBC．
6图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°∠D45°．
（1）AB6cm求梯形ABCD面积
（2）EFGH分梯形ABCD边ABBCCDDA点满足EFGH∠EFH∠FHG求证：HDBE+BF．
7已知：图ABCD中角线ACBD相交点O延长CDFDFCD连接BF交AD点E．
（1）求证：AEED
（2）ABBC求∠CAF度数．
8已知：图正方形ABCD中点GBC延长线点连接AG分交BDCD点EF．
（1）求证：∠DAE∠DCE
（2）CGCE时试判断CFEG间样数量关系？证明结．
9图已知正方形ABCD点EBC点点FCD延长线点连接EFBEDF点PEF中点．
（1）求证：DP分∠ADC
（2）∠AEB75°AB2求△DFP面积．
10图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BDBCECD中点交BC延长线F
（1）证明：EFEA
（2）D作DG⊥BCG连接EG试证明：EG⊥AF．
11图直角梯形ABCD中∠DAB90°AB∥CDABAD∠ABC60度．AD边直角梯形ABCD外作等边三角形ADF点E直角梯形ABCD点∠EAD∠EDA15°连接EBEF．
（1）求证：EBEF
（2）延长FE交BC点G点G恰BC中点AB6求BC长．
12图梯形ABCD中AD∥BCABDCAD∠C60°AE⊥BD点EFCD中点DG梯形ABCD高．
（1）求证：AEGF
（2）设AE1求四边形DEGF面积．
13已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延长线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
14图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°点EAB边点AEBCDE⊥EC取DC中点F连接AFBF．
（1）求证：ADBE
（2）试判断△ABF形状说明理．
15图直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥DCABBCAE⊥BC．
（1）求证：ADAE
（2）AD8DC4求AB长．
16图已知梯形ABCD中AD∥CBEF分BDAC中点BD分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD （2）AD4BC14求EF长．
17图梯形ABCD中AD∥BC∠D90°BE⊥ACE垂足ACBC．
（1）求证：CDBE
（2）AD3DC4求AE．
18图梯形ABCD中AD∥BCAB⊥AC∠B45°AD1BC4求DC长．
19已知梯形ABCD中AD∥BCABBCDC点EF分ADAB．
（1）求证：BFEF﹣ED
（2）连接AC∠B80°∠DEC70°求∠ACF度数．
20图梯形ABCD中AD∥BC点EBCAEBEAF⊥AB连接EF．
（1）EF⊥AFAF4AB6求 AE长．
（2）点FCD中点求证：CEBE﹣AD．
21图四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABCD角线ACBD交点OAC⊥BDDH⊥BC．
（1）求证：DH（AD+BC）
（2）AC6求梯形ABCD面积．
22已知图△ABC等边三角形AC边点D作DG∥BC交AB点GGD延长线取点EDEDC连接AEBD．
（1）求证：△AGE≌△DAB
（2）点E作EF∥DB交BC点F连AF求∠AFE度数．
23图梯形ABCD中AD∥BCDEECEF∥AB交BC点FEFEC连接DF．
（1）试说明梯形ABCD等腰梯形
（2）AD1BC3DC试判断△DCF形状
（3）条件（2）射线BC否存点P△PCD等腰三角形存请直接写出PB长存请说明理．
24图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°ADDCEF分ADDC延长线DECF．AF交BEP．
（1）证明：△ABE≌△DAF
（2）求∠BPF度数．
25图梯形ABCD中AD∥BCABADDCBD⊥DCBC延长点FCFCD．
（1）求∠ABC度数
（2）果BC8求△DBF面积？
26图梯形ABCD中AD∥BCABDC10cmAC交BDG∠AGD60°EF分CGAB中点．
（1）求证：△AGD正三角形
（2）求EF长度．
27已知图AD∥BC∠ABC90°ABBC点EAB点∠ECD45°连接EDD作DF⊥BCF．
（1）∠BEC75°FC3求梯形ABCD周长．
（2）求证：EDBE+FC．
28已知：图梯形ABCD中AD∥BCEAB中点直线CE交DA延长线点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE
（2）AB⊥BCBC4AB6求EF长．
29已知：图梯形ABCD中AD∥BCBCDCCF分∠BCDDF∥ABBF延长线交DC点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC
（2）ADDE
（3）△DEF周长6AD2BC5求梯形ABCD面积．
30图梯形ABCD中AD∥BC．∠C90°ABAD．连接BDA点作BD垂线交BCE．
（1）求证：四边形ABED菱形
（2）果EC3cmCD4cm求梯形ABCD面积．
参考答案
1图等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点连接BECE
（1）求证：BECE
（2）∠BEC90°点B作BF⊥CD垂足点F交CE点G连接DG求证：BGDG+CD．
证明：（1）已知等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点
∴ABDC∠BAE∠CDEAEDE
∴△BAE≌△CDE
∴BECE
（2）延长CDBE延长线交H
∵BF⊥CD∠HEC90°
∴∠EBF+∠H∠ECH+∠H90°
∴∠EBF∠ECH
∠BEC∠CEH90°
BECE（已证）
∴△BEG≌△CEH
∴EGEHBGCHDH+CD
∵△BAE≌△CDE（已证）
∴∠AEB∠GED
∠HED∠AEB
∴∠GED∠HED
EGEH（已证）EDED
∴△GED≌△HED
∴DGDH
∴BGDG+CD．
2图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°EAB延长线点连接EDBC交点H．E作CD垂线垂足CD点FBC交点G．已知GCH中点．
（1）HEHG求证：△EBH≌△GFC
（2）CD4BH1求AD长．
（1）证明：∵HEHG
∴∠HEG∠HGE
∵∠HGE∠FGC∠BEH∠HEG
∴∠BEH∠FGC
∵GHC中点
∴HGGC
∴HEGC
∵∠HBE∠CFG90°．
∴△EBH≌△GFC
（2）解：∵ED分∠AEF∠A∠DFE90°
∴ADDF
∵DFDC﹣FC
∵△EBH≌△GFC
∴FCBH1
∴AD4﹣13．
3图梯形ABCD中AB∥CDADDCBC∠DAB60°E角线AC延长线点FAD延长线点EB⊥ABEF⊥AF．
（1）CE1时求△BCE面积
（2）求证：BDEF+CE．
（2）E点作EM⊥DB点M四边形FDME矩形FEDM∠BME∠BCE90°∠BEC∠MBE60°△BME≌△ECBBMCE继证明BDDM+BMEF+CE．
（1）解：∵ADCD
∴∠DAC∠DCA
∵DC∥AB
∴∠DCA∠CAB
∴
∵DC∥ABADBC
∴∠DAB∠CBA60°
∴∠ACB180°﹣（∠CAB+∠CBA）90°
∴∠BCE180°﹣∠ACB90°
∵BE⊥AB
∴∠ABE90°
∴∠CBE∠ABE﹣∠ABC30°
Rt△BCE中BE2CE2
∴…（5分）
（2）证明：E点作EM⊥DB点M
∴四边形FDME矩形
∴FEDM
∵∠BME∠BCE90°∠BEC∠MBE60°
∴△BME≌△ECB
∴BMCE
∴BDDM+BMEF+CE…（10分）
4图．行四边形ABCD中O角线交点点E线段BC延长线点．点E作EF∥CA交CD点F连接OF．
（1）求证：OF∥BC
（2）果梯形OBEF等腰梯形判断四边形ABCD形状出证明．
解答：（1）证明：延长EF交ADG（图）
行四边形ABCD中AD∥BCADBC
∵EF∥CAEG∥CA
∴四边形ACEG行四边形
∴AGCE
∵ADBC
∴
∵AD∥BC
∴∠ADC∠ECF
△CEF△DGF中
∵∠CFE∠DFG∠ADC∠ECFCEDG
∴△CEF≌△DGF（AAS）
∴CFDF
∵四边形ABCD行四边形
∴OBOD
∴OF∥BE．
（2）解：果梯形OBEF等腰梯形四边形ABCD矩形．
证明：∵OF∥CEEF∥CO
∴四边形OCEF行四边形
∴EFOC
∵梯形OBEF等腰梯形
∴BOEF
∴OBOC
∵四边形ABCD行四边形∴AC2OCBD2BO．
∴ACBD
∴行四边形ABCD矩形．
5图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BF⊥CDF延长BF交AD延长线E延长CD交BA延长线GDGDEABCF6．
（1）求线段CD长
（2）H边BF∠HDF∠E连接CH求证：∠BCH45°﹣∠EBC．
（1）解：连接BD
∠ABC90°AD∥BC∠GAD90°
∵BF⊥CD
∴∠DFE90°
∵DGDE∠GDA∠EDF
∴△GAD≌△EFD
∴DADF
∵BDBD
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）
∴BFBA∠ADB∠BDF
∵CF6
∴BC
∵AD∥BC
∴∠ADB∠CBD
∴∠BDF∠CBD
∴CDCB8．
（2）证明：∵AD∥BC
∴∠E∠CBF
∵∠HDF∠E
∴∠HDF∠CBF
（1）∠ADB∠CBD
∴∠HDB∠HBD
∴HDHB
（1）CDCB
∴△CDH≌△CBH
∴∠DCH∠BCH
∴∠BCH∠BCD．
6图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°∠D45°．
（1）AB6cm求梯形ABCD面积
（2）EFGH分梯形ABCD边ABBCCDDA点满足EFGH∠EFH∠FHG求证：HDBE+BF．
解：（1）连ACC作CM⊥ADM图
Rt△ABC中AB6sin∠ACB
∴AC10
∴BC8
Rt△CDM中∠D45°
∴DMCMAB6
∴AD6+814
∴梯形ABCD面积•（8+14）•666（cm2）
（2）证明：G作GN⊥AD图
∵∠D45°
∴△DNG等腰直角三角形
∴DNGN
∵AD∥BC
∴∠BFH∠FHN
∠EFH∠FHG
∴∠BFE∠GHN
∵EFGH
∴Rt△BEF≌Rt△NGH
∴BEGNBFHN
∴DAAN+DNAN+DGBF+BE．
7已知：图▱ABCD中角线ACBD相交点O延长CDFDFCD连接BF交AD点E．
（1）求证：AEED
（2）ABBC求∠CAF度数．
（1）证明：图．
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD．
∵DFCD
∴AB∥DF．
∵DFCD
∴ABDF．
∴四边形ABDF行四边形
∴AEDE．
（2）解：∵四边形ABCD行四边形ABBC
∴四边形ABCD菱形．
∴AC⊥BD．
∴∠COD90°．
∵四边形ABDF行四边形
∴AF∥BD．
∴∠CAF∠COD90°．
8已知：图正方形ABCD中点GBC延长线点连接AG分交BDCD点EF．
（1）求证：∠DAE∠DCE
（2）CGCE时试判断CFEG间样数量关系？证明结．
（1）证明：△DAE△DCE中
∠ADE∠CDE（正方形角线分角）
EDDE（公边）
AECE（正方形四条边长相等）
∴△DAE≌△DCE （SAS）
∴∠DAE∠DCE（全等三角形应角相等）
（2）解：图（1）知△DAE≌△DCE
∴AEEC
∴∠EAC∠ECA（等边等角）
∵CGCE（已知）
∴∠G∠CEG（等边等角）
∠CEG2∠EAC（外角定理）
∠ECB2∠CEG（外角定理）
∴4∠EAC﹣∠ECA∠ACB45°
∴∠G∠CEG30°
点C作CH⊥AG点H
∴∠FCH30°
∴直角△ECH中EHCHEG2CH
直角△FCH中CHCF
∴EG2×CF3CF．
9图已知正方形ABCD点EBC点点FCD延长线点连接EFBEDF点PEF中点．
（1）求证：DP分∠ADC
（2）∠AEB75°AB2求△DFP面积．
（1）证明：连接PC．
∵ABCD正方形
∴∠ABE∠ADF90°ABAD．
∵BEDF
∴△ABE≌△ADF．（SAS）
∴∠BAE∠DAFAEAF．
∴∠EAF∠BAD90°．
∵PEF中点
∴PAEFPCEF
∴PAPC．
ADCDPD公
∴△PAD≌△PCD（SSS）
∴∠ADP∠CDPDP分∠ADC
（2）作PH⊥CFH点．
∵PEF中点
∴PHEC．
设ECx．
（1）知△EAF等腰直角三角形
∴∠AEF45°
∴∠FEC180°﹣45°﹣75°60°
∴EF2xFCxBE2﹣x．
Rt△ABE中22+（2﹣x）2（x）2解 x1﹣2﹣2（舍）x2﹣2+2．
∴PH﹣1+FD（﹣2+2）﹣2﹣2+4．
∴S△DPF（﹣2+4）×3﹣5．
10图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BDBCECD中点交BC延长线F
（1）证明：EFEA
（2）D作DG⊥BCG连接EG试证明：EG⊥AF．
（1）证明：
∵AD∥BC
∴∠DAE∠F∠ADE∠FCE．
∵ECD中点
∴EDEC．
∴△ADE≌△FCE．
∴EFEA．（5分）
（2）解：连接GA
∵AD∥BC∠ABC90°
∴∠DAB90°．
∵DG⊥BC
∴四边形ABGD矩形．
∴BGADGABD．
∵BDBC
∴GABC．
（1）△ADE≌△FCE
∴ADFC．
∴GFGC+FCGC+ADGC+BGBCGA．
∵（1）EFEA
∴EG⊥AF．（5分）
11图直角梯形ABCD中∠DAB90°AB∥CDABAD∠ABC60度．AD边直角梯形ABCD外作等边三角形ADF点E直角梯形ABCD点∠EAD∠EDA15°连接EBEF．
（1）求证：EBEF
（2）延长FE交BC点G点G恰BC中点AB6求BC长．
（1）证明：∵△ADF等边三角形
∴AFAD∠FAD60°（1分）
∵∠DAB90°∠EAD15°ADAB（2分）
∴∠FAE∠BAE75°ABAF（3分）
∵AE公边
∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EFEB（5分）
（2）解：图连接EC．（6分）
∵等边三角形△ADF中
∴FDFA
∵∠EAD∠EDA15°
∴EDEA
∴EFAD垂直分线∠EFA∠EFD30°．（7分）
（1）△FAE≌△BAE知∠EBA∠EFA30°．
∵∠FAE∠BAE75°
∴∠BEA∠BAE∠FEA75°
∴BEBA6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB180°
∴∠GEB30°
∵∠ABC60°
∴∠GBE30°
∴GEGB．（8分）
∵点GBC中点
∴EGCG
∵∠CGE∠GEB+∠GBE60°
∴△CEG等边三角形
∴∠CEG60°
∴∠CEB∠CEG+∠GEB90°（9分）
∴Rt△CEB中BC2CEBC2CE2+BE2
∴CE
∴BC（10分）
解法二：C作CQ⊥ABQ
∵CQABAD6
∵∠ABC60°
∴BC6÷4．
12图梯形ABCD中AD∥BCABDCAD∠C60°AE⊥BD点EFCD中点DG梯形ABCD高．
（1）求证：AEGF
（2）设AE1求四边形DEGF面积．
（1）证明：∵ABDC
∴梯形ABCD等腰梯形．
∵∠C60°
∴∠BAD∠ADC120°
∵ABAD
∴∠ABD∠ADB30°．
∴∠DBC∠ADB30°．
∴∠BDC90°．（1分）
已知AE⊥BD
∴AE∥DC．（2分）
∵AE等腰三角形ABD高
∴EBD中点
∵FDC中点
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD行四边形．（3分）
∴AEDF（4分）
∵FDC中点DG梯形ABCD高
∴GFDF（5分）
∴AEGF．（6分）
（2）解：Rt△AED中∠ADB30°
∵AE1
∴AD2．
Rt△DGC中∠C60°
DCAD2
∴DG．（8分）
（1）知：行四边形AEFD中EFAD2
∵DG⊥BC
∴DG⊥EF
∴四边形DEGF面积EF•DG．（10分）
13已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延长线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
解答：（1）证明：∵∠ABC90°DE⊥AC点F
∴∠ABC∠AFE．
∵ACAE∠EAF∠CAB
∴△ABC≌△AFE
∴ABAF．
∴AE﹣ABAC﹣AF
FCBE
（2）解：∵ADDC2DF⊥AC
∴AFACAE．
∴AGCG
∴∠E30°．
∵∠EAD90°
∴∠ADE60°
∴∠FAD∠E30°
∴FC
∵AD∥BC
∴∠ACG∠FAD30°
∴CG2
∴AG2．
14图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°点EAB边点AEBCDE⊥EC取DC中点F连接AFBF．
（1）求证：ADBE
（2）试判断△ABF形状说明理．
（1）证明：∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC180°
∵∠ABC90°
∴∠BAD∠ABC90°
∵DE⊥EC
∴∠AED+∠BEC90°
∵∠AED+∠ADE90°
∴∠BEC∠ADE
∵∠DAE∠EBCAEBC
∴△EAD≌△EBC
∴ADBE．
（2）答：△ABF等腰直角三角形．
理：延长AF交BC延长线M
∵AD∥BM
∴∠DAF∠M
∵∠AFD∠CFMDFFC
∴△ADF≌△MFC
∴ADCM
∵ADBE
∴BECM
∵AEBC
∴ABBM
∴△ABM等腰直角三角形
∵△ADF≌△MFC
∴AFFM
∴∠ABC90°
∴BF⊥AMBFAMAF
∴△AFB等腰直角三角形．
15（2011•潼南县）图直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥DCABBCAE⊥BC．
（1）求证：ADAE
（2）AD8DC4求AB长．
解答：（1）证明：连接AC
∵AB∥CD
∴∠ACD∠BAC
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC
∴∠ACD∠ACB
∵AD⊥DCAE⊥BC
∴∠D∠AEC90°
∵ACAC
∴
∴△ADC≌△AEC（AAS）
∴ADAE
（2）解：（1）知：ADAEDCEC
设ABxBEx﹣4AE8
Rt△ABE中∠AEB90°
勾股定理：82+（x﹣4）2x2
解：x10
∴AB10．
说明：评分标准方法：点C作CF⊥AB证明计算均分．
16图已知梯形ABCD中AD∥CBEF分BDAC中点BD分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD （2）AD4BC14求EF长．
（1）证明：∵AD∥CB
∴∠ADB∠CBD
BD分∠ABC
∴∠ABD∠CBD
∴∠ADB∠ABD
∴ABAD∴△ABD等腰三角形
已知EBD中点
∴AE⊥BD．
（2）解：延长AE交BCG
∵BD分∠ABC
∴∠ABE∠GBE
∵AE⊥BD（已证）
∴∠AEB∠GEB
BEBE
∴△ABE≌△GBE
∴AEGEBGABAD
FAC中点（已知）
三角形中位线定理：
EFCG（BC﹣BG）（BC﹣AD）
×（14﹣4）5．
答：EF长5．
17图梯形ABCD中AD∥BC∠D90°BE⊥ACE垂足ACBC．
（1）求证：CDBE
（2）AD3DC4求AE．
（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC∠BCEBE⊥AC
∴∠D∠BEC90°ACBC
∴△BCE≌△CAD．
∴CDBE．
（2）解：Rt△ADC中根勾股定理AC5
∵△BCE≌△CAD
∴CEAD3．
∴AEAC﹣CE2．
18图梯形ABCD中AD∥BCAB⊥AC∠B45°AD1BC4求DC长．
解：图点D作DF∥AB分交ACBC点EF．（1分）
∵AB⊥AC
∴∠AED∠BAC90度．
∵AD∥BC
∴∠DAE180°﹣∠B﹣∠BAC45度．
Rt△ABC中∠BAC90°∠B45°BC4∴ACBC•sin45°4×2（2分）
Rt△ADE中∠AED90°∠DAE45°AD1∴DEAE．∴CEAC﹣AE．（4分）
Rt△DEC中∠CED90°∴DC．（5分）
19已知梯形ABCD中AD∥BCABBCDC点EF分ADAB．
（1）求证：BFEF﹣ED
（2）连接AC∠B80°∠DEC70°求∠ACF度数．
证明：∵FCF′CECEC∠ECF＇∠BCF+∠DCE∠ECF
∴△FCE≌△F′CE
∴EF′EFDF′+ED
∴BFEF﹣ED
（2）解：∵ABBC∠B80°
∴∠ACB50°
（1）∠FEC∠DEC70°
∴∠ECB70°
∠B∠BCD80°
∴∠DCE10°
∴∠BCF30°
∴∠ACF∠BCA﹣∠BCF20°．
20图梯形ABCD中AD∥BC点EBCAEBEAF⊥AB连接EF．
（1）EF⊥AFAF4AB6求 AE长．
（2）点FCD中点求证：CEBE﹣AD．
解：（1）作EM⊥AB交AB点M．∵AEBEEM⊥AB
∴AMBM×63
∵∠AME∠MAF∠AFE90°
∴四边形AMEF矩形
∴EFAM3
Rt△AFE中AE5
（2）延长AFBC交点N．
∵AD∥EN
∴∠DAF∠N
∵∠AFD∠NFCDFFC
∴△ADF≌△NCF（AAS）
∴ADCN
∵∠B+∠N90°∠BAE+∠EAN90°
AEBE∠B∠BAE
∴∠N∠EANAEEN
∴BEENEC+CNEC+AD
∴CEBE﹣AD．
．21图四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABCD角线ACBD交点OAC⊥BDDH⊥BC．
（1）求证：DH（AD+BC）
（2）AC6求梯形ABCD面积．
解：（1）证明：D作DE∥AC交BC延长线E（1分）
∵AD∥BC
∴四边形ACED行四边形．（2分）
∴CEADDEAC．
∵四边形ABCD等腰梯形
∴BDACDE．
∵AC⊥BD
∴DE⊥BD．
∴△DBE等腰直角三角形．（4分）
∵DH⊥BC
∴DHBE（CE+BC）（AD+BC）．（5分）
（2）∵ADCE
∴．（7分）
∵△DBE等腰直角三角形BDDE6
∴．
∴梯形ABCD面积18．（8分）
注：题解题方法唯．
22已知图△ABC等边三角形AC边点D作DG∥BC交AB点GGD延长线取点EDEDC连接AEBD．
（1）求证：△AGE≌△DAB
（2）点E作EF∥DB交BC点F连AF求∠AFE度数．
（1）证明：∵△ABC等边三角形DG∥BC
∴∠AGD∠ABC60°∠ADG∠ACB60°∠BAC60°
∴△AGD等边三角形
AGGDAD∠AGD60°．
∵DEDC∴GEGD+DEAD+DCACAB
∵∠AGD∠BADAGAD
∴△AGE≌△DAB
（2）解：（1）知AEBD∠ABD∠AEG．
∵EF∥DBDG∥BC
∴四边形BFED行四边形．
∴EFBD
∴EFAE．
∵∠DBC∠DEF
∴∠ABD+∠DBC∠AEG+∠DEF∠AEF∠ABC60°．
∴△AFE等边三角形∠AFE60°．
23图梯形ABCD中AD∥BCDEECEF∥AB交BC点FEFEC连接DF．
（1）试说明梯形ABCD等腰梯形
（2）AD1BC3DC试判断△DCF形状
（3）条件（2）射线BC否存点P△PCD等腰三角形存请直接写出PB长存请说明理．
解：（1）证明：∵EFEC
∴∠EFC∠ECF
∵EF∥AB
∴∠B∠EFC
∴∠B∠ECF∴梯形ABCD等腰梯形
（2）△DCF等腰直角三角形
证明：∵DEECEFEC∴EFCD
∴△CDF直角三角形（果三角形边中线等条边半三角形直角三角形）
∵梯形ABCD等腰梯形
∴CF（BC﹣AD）1
∵DC
∴勾股定理：DF1
∴△DCF等腰直角三角形
（3）四种情况：
∵DF⊥BC
∴PFCF时△PCD等腰三角形
PF1
∴PB1
PF重合时△PCD等腰三角形
∴PB2
PCCD（P点C左侧）时△PCD等腰三角形
∴PB3﹣
PCCD（P点C右侧）时△PCD等腰三角形
∴PB3+．
四种情况：PB1PB2PB3﹣PB3+．（1分）
24图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°ADDCEF分ADDC延长线DECF．AF交BEP．
（1）证明：△ABE≌△DAF
（2）求∠BPF度数．
解答：（1）证明：∵梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°
∴ABCD
∵ADDC
∴BAAD∠BAE∠ADF120°
∵DECF
∴AEDF
△BAE△ADF中
∴△ABE≌△DAF（SAS）．
（2）解：∵（1）△BAE≌△ADF
∴∠ABE∠DAF．
∴∠BPF∠ABE+∠BAP∠BAE．
AD∥BC∠C∠ABC60°
∴∠BPF120°．
25图梯形ABCD中AD∥BCABADDCBD⊥DCBC延长点FCFCD．
（1）求∠ABC度数
（2）果BC8求△DBF面积？
解答：解：（1）∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∵ABAD
∴∠ADB∠ABD
∴∠DBC∠ABD
∵梯形ABCD中ABDC
∴∠ABC∠DCB2∠DBC
∵BD⊥DC
∴∠DBC+2∠DBC90°
∴∠DBC30°
∴∠ABC60°
（2）点D作DH⊥BC垂足H
∵∠DBC30°BC8
∴DC4
∵CFCD∴CF4
∴BF12
∵∠F+∠FDC∠DCB60°∠F∠FDC
∴∠F30°
∵∠DBC30°
∴∠F∠DBC
∴DBDF
∴
直角三角形DBH中
∴
∴
∴
△DBF面积．
26图梯形ABCD中AD∥BCABDC10cmAC交BDG∠AGD60°EF分CGAB中点．
（1）求证：△AGD正三角形
（2）求EF长度．
（1）证明：连接BE
∵梯形ABCD中ABDC
∴ACBD证△ABC≌△DCB
∴∠GCB∠GBC
∵∠BGC∠AGD60°
∴△AGD等边三角形
（2）解：∵BE△BCG中线
∴BE⊥AC
Rt△ABE中EF斜边AB中线
∴EFAB5cm．
27已知图AD∥BC∠ABC90°ABBC点EAB点∠ECD45°连接EDD作DF⊥BCF．
（1）∠BEC75°FC3求梯形ABCD周长．
（2）求证：EDBE+FC．
解：（1）∵∠BEC75°∠ABC90°
∴∠ECB15°
∵∠ECD45°
∴∠DCF60°
Rt△DFC中：∠DCF60°FC3
∴DF3DC6
题四边形ABFD矩形
∴ABDF3
∵ABBC
∴BC3
∴BFBC﹣FC3﹣3
∴ADDF3﹣3
∴C梯形ABCD3×2+6+3﹣39+3
答：梯形ABCD周长9+3．
实种方法啦
（2）点C作CM垂直AD延长线M延长DMNMNBE
∴CNCE
证∠NCD∠DCE∵CDCD
∴△DEC≌△DNC
∴EDEN
∴EDBE+FC．
28已知：图梯形ABCD中AD∥BCEAB中点直线CE交DA延长线点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE
（2）AB⊥BCBC4AB6求EF长．
（1）证明：∵AD∥BCEAB中点
∴AEBE∠B∠EAF∠BCE∠F．
∴△BCE≌△AFE（AAS）．
（2）解：∵AD∥BC
∴∠DAB∠ABC90°．
∵AEBE∠AEF∠BEC
∴△BCE≌△AFE．
∴AFBC4．
∵EF2AF2+AE29+1625
∴EF5．
29已知：图梯形ABCD中AD∥BCBCDCCF分∠BCDDF∥ABBF延长线交DC点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC
（2）ADDE
（3）△DEF周长6AD2BC5求梯形ABCD面积．
（1）∵DCBC∠1∠2CFCF
∴△DCF≌△BCF．
（2）延长DF交BCG
∵AD∥BGAB∥DG
∴四边形ABGD行四边形．
∴ADBG．
∵△DFC≌△BFC
∴∠EDF∠GBFDFBF．
∵∠3∠4
∴△DFE≌△BFG．
∴DEBGEFGF．
∴ADDE．
（3）∵EFGFDFBF
∴EF+BFGF+DF：BEDG．
∵DGAB
∴BEAB．
∵C△DFEDF+FE+DE6
∴BF+FE+DE6：EB+DE6．
∴AB+AD6．
∵AD2
∴AB4．
∴DGAB4．
∵BGAD2
∴GCBC﹣BG5﹣23．
∵DCBC5
△DGC中∵42+3252
∴DG2+GC2DC2
∴∠DGC90°．
∴S梯形ABCD（AD+BC）•DG
（2+5）×4
14．
30图梯形ABCD中AD∥BC．∠C90°ABAD．连接BDA点作BD垂线交BCE．
（1）求证：四边形ABED菱形
（2）果EC3cmCD4cm求梯形ABCD面积．
解答：解：（1）证明：∵AD∥BC DE2CD2+CE242+3225
∴∠OAD∠OEB ∴DE5
∵ABADAO⊥BD ∴ADBE5
∴OBOD ∴S梯形ABCD．
∵∠AOD∠EOB
∴△ADO≌△EBO（AAS）
∴ADEB
∵AD∥BE
∴四边形ABCD行四边形
∵ABAD
∴四边形ABCD菱形．
（2）∵四边形ABCD菱形
∴ADDEBE
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1图等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点连接BECE
（1）求证：BECE
（2）∠BEC90°点B作BF⊥CD垂足点F交CE点G连接DG求证：BGDG+CD．
BG取BHABCD连EH
显然△ABE△CDE全等∠ABE∠DCE∠AEB∠DEC
∠BEC90°∠BFC顶角∠BGE∠CGF
∠FBE∠DCE
∠ABE∠FBE
BF取BHAB连接EH
BHAB∠ABE∠FBEBEBE△ABE△HBE全等
∠AEB∠HEBAEEH
∠AEB+∠DEC+∠BEC180°∠AEB∠DEC∠BEC90°
∠AEB∠DEC45°∠HEB
∠AEH∠AEB+∠HEB90°∠HED
理∠DEG45°∠HEG
EHAEEDEGEG
△HEG△FEG全等HGDG
BGBH+HGAB+DGDG+CD
2图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°EAB延长线点连接EDBC交点H．E作CD垂线垂足CD点FBC交点G．已知GCH中点．
（1）HEHG求证：△EBH≌△GFC
（2）CD4BH1求AD长．
3图梯形ABCD中AB∥CDADDCBC∠DAB60°E角线AC延长线点FAD延长线点EB⊥ABEF⊥AF．
（1）CE1时求△BCE面积
（2）求证：BDEF+CE．
4图．行四边形ABCD中O角线交点点E线段BC延长线点．点E EF∥CA交CD点F连接OF．
（1）求证：OF∥BC
（2）果梯形OBEF等腰梯形判断四边形ABCD形状出证明．
5图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BF⊥CDF延长BF交AD延长线E延长CD交BA延长线GDGDEABCF6．
（1）求线段CD长
（2）H边BF∠HDF∠E连接CH求证：∠BCH45°﹣∠EBC．
6图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°∠D45°．
（1）AB6cm求梯形ABCD面积
（2）EFGH分梯形ABCD边ABBCCDDA点满足EFGH∠EFH∠FHG求证：HDBE+BF．
7已知：图ABCD中角线ACBD相交点O延长CDFDFCD连接BF交AD点E．
（1）求证：AEED
（2）ABBC求∠CAF度数．
8已知：图正方形ABCD中点GBC延长线点连接AG分交BDCD点EF．
（1）求证：∠DAE∠DCE
（2）CGCE时试判断CFEG间样数量关系？证明结．
9图已知正方形ABCD点EBC点点FCD延长线点连接EFBEDF点PEF中点．
（1）求证：DP分∠ADC
（2）∠AEB75°AB2求△DFP面积．
10图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BDBCECD中点交BC延长线F
（1）证明：EFEA
（2）D作DG⊥BCG连接EG试证明：EG⊥AF．
11图直角梯形ABCD中∠DAB90°AB∥CDABAD∠ABC60度．AD边直角梯形ABCD外作等边三角形ADF点E直角梯形ABCD点∠EAD∠EDA15°连接EBEF．
（1）求证：EBEF
（2）延长FE交BC点G点G恰BC中点AB6求BC长．
12图梯形ABCD中AD∥BCABDCAD∠C60°AE⊥BD点EFCD中点DG梯形ABCD高．
（1）求证：AEGF
（2）设AE1求四边形DEGF面积．
13已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延长线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
14图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°点EAB边点AEBCDE⊥EC取DC中点F连接AFBF．
（1）求证：ADBE
（2）试判断△ABF形状说明理．
15图直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥DCABBCAE⊥BC．
（1）求证：ADAE
（2）AD8DC4求AB长．
16图已知梯形ABCD中AD∥CBEF分BDAC中点BD分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD （2）AD4BC14求EF长．
17图梯形ABCD中AD∥BC∠D90°BE⊥ACE垂足ACBC．
（1）求证：CDBE
（2）AD3DC4求AE．
18图梯形ABCD中AD∥BCAB⊥AC∠B45°AD1BC4求DC长．
19已知梯形ABCD中AD∥BCABBCDC点EF分ADAB．
（1）求证：BFEF﹣ED
（2）连接AC∠B80°∠DEC70°求∠ACF度数．
20图梯形ABCD中AD∥BC点EBCAEBEAF⊥AB连接EF．
（1）EF⊥AFAF4AB6求 AE长．
（2）点FCD中点求证：CEBE﹣AD．
21图四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABCD角线ACBD交点OAC⊥BDDH⊥BC．
（1）求证：DH（AD+BC）
（2）AC6求梯形ABCD面积．
22已知图△ABC等边三角形AC边点D作DG∥BC交AB点GGD延长线取点EDEDC连接AEBD．
（1）求证：△AGE≌△DAB
（2）点E作EF∥DB交BC点F连AF求∠AFE度数．
23图梯形ABCD中AD∥BCDEECEF∥AB交BC点FEFEC连接DF．
（1）试说明梯形ABCD等腰梯形
（2）AD1BC3DC试判断△DCF形状
（3）条件（2）射线BC否存点P△PCD等腰三角形存请直接写出PB长存请说明理．
24图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°ADDCEF分ADDC延长线DECF．AF交BEP．
（1）证明：△ABE≌△DAF
（2）求∠BPF度数．
25图梯形ABCD中AD∥BCABADDCBD⊥DCBC延长点FCFCD．
（1）求∠ABC度数
（2）果BC8求△DBF面积？
26图梯形ABCD中AD∥BCABDC10cmAC交BDG∠AGD60°EF分CGAB中点．
（1）求证：△AGD正三角形
（2）求EF长度．
27已知图AD∥BC∠ABC90°ABBC点EAB点∠ECD45°连接EDD作DF⊥BCF．
（1）∠BEC75°FC3求梯形ABCD周长．
（2）求证：EDBE+FC．
28已知：图梯形ABCD中AD∥BCEAB中点直线CE交DA延长线点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE
（2）AB⊥BCBC4AB6求EF长．
29已知：图梯形ABCD中AD∥BCBCDCCF分∠BCDDF∥ABBF延长线交DC点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC
（2）ADDE
（3）△DEF周长6AD2BC5求梯形ABCD面积．
30图梯形ABCD中AD∥BC．∠C90°ABAD．连接BDA点作BD垂线交BCE．
（1）求证：四边形ABED菱形
（2）果EC3cmCD4cm求梯形ABCD面积．
参考答案
1图等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点连接BECE
（1）求证：BECE
（2）∠BEC90°点B作BF⊥CD垂足点F交CE点G连接DG求证：BGDG+CD．
证明：（1）已知等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点
∴ABDC∠BAE∠CDEAEDE
∴△BAE≌△CDE
∴BECE
（2）延长CDBE延长线交H
∵BF⊥CD∠HEC90°
∴∠EBF+∠H∠ECH+∠H90°
∴∠EBF∠ECH
∠BEC∠CEH90°
BECE（已证）
∴△BEG≌△CEH
∴EGEHBGCHDH+CD
∵△BAE≌△CDE（已证）
∴∠AEB∠GED
∠HED∠AEB
∴∠GED∠HED
EGEH（已证）EDED
∴△GED≌△HED
∴DGDH
∴BGDG+CD．
2图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°EAB延长线点连接EDBC交点H．E作CD垂线垂足CD点FBC交点G．已知GCH中点．
（1）HEHG求证：△EBH≌△GFC
（2）CD4BH1求AD长．
（1）证明：∵HEHG
∴∠HEG∠HGE
∵∠HGE∠FGC∠BEH∠HEG
∴∠BEH∠FGC
∵GHC中点
∴HGGC
∴HEGC
∵∠HBE∠CFG90°．
∴△EBH≌△GFC
（2）解：∵ED分∠AEF∠A∠DFE90°
∴ADDF
∵DFDC﹣FC
∵△EBH≌△GFC
∴FCBH1
∴AD4﹣13．
3图梯形ABCD中AB∥CDADDCBC∠DAB60°E角线AC延长线点FAD延长线点EB⊥ABEF⊥AF．
（1）CE1时求△BCE面积
（2）求证：BDEF+CE．
（2）E点作EM⊥DB点M四边形FDME矩形FEDM∠BME∠BCE90°∠BEC∠MBE60°△BME≌△ECBBMCE继证明BDDM+BMEF+CE．
（1）解：∵ADCD
∴∠DAC∠DCA
∵DC∥AB
∴∠DCA∠CAB
∴
∵DC∥ABADBC
∴∠DAB∠CBA60°
∴∠ACB180°﹣（∠CAB+∠CBA）90°
∴∠BCE180°﹣∠ACB90°
∵BE⊥AB
∴∠ABE90°
∴∠CBE∠ABE﹣∠ABC30°
Rt△BCE中BE2CE2
∴…（5分）
（2）证明：E点作EM⊥DB点M
∴四边形FDME矩形
∴FEDM
∵∠BME∠BCE90°∠BEC∠MBE60°
∴△BME≌△ECB
∴BMCE
∴BDDM+BMEF+CE…（10分）
4图．行四边形ABCD中O角线交点点E线段BC延长线点．点E作EF∥CA交CD点F连接OF．
（1）求证：OF∥BC
（2）果梯形OBEF等腰梯形判断四边形ABCD形状出证明．
解答：（1）证明：延长EF交ADG（图）
行四边形ABCD中AD∥BCADBC
∵EF∥CAEG∥CA
∴四边形ACEG行四边形
∴AGCE
∵ADBC
∴
∵AD∥BC
∴∠ADC∠ECF
△CEF△DGF中
∵∠CFE∠DFG∠ADC∠ECFCEDG
∴△CEF≌△DGF（AAS）
∴CFDF
∵四边形ABCD行四边形
∴OBOD
∴OF∥BE．
（2）解：果梯形OBEF等腰梯形四边形ABCD矩形．
证明：∵OF∥CEEF∥CO
∴四边形OCEF行四边形
∴EFOC
∵梯形OBEF等腰梯形
∴BOEF
∴OBOC
∵四边形ABCD行四边形∴AC2OCBD2BO．
∴ACBD
∴行四边形ABCD矩形．
5图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BF⊥CDF延长BF交AD延长线E延长CD交BA延长线GDGDEABCF6．
（1）求线段CD长
（2）H边BF∠HDF∠E连接CH求证：∠BCH45°﹣∠EBC．
（1）解：连接BD
∠ABC90°AD∥BC∠GAD90°
∵BF⊥CD
∴∠DFE90°
∵DGDE∠GDA∠EDF
∴△GAD≌△EFD
∴DADF
∵BDBD
∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）
∴BFBA∠ADB∠BDF
∵CF6
∴BC
∵AD∥BC
∴∠ADB∠CBD
∴∠BDF∠CBD
∴CDCB8．
（2）证明：∵AD∥BC
∴∠E∠CBF
∵∠HDF∠E
∴∠HDF∠CBF
（1）∠ADB∠CBD
∴∠HDB∠HBD
∴HDHB
（1）CDCB
∴△CDH≌△CBH
∴∠DCH∠BCH
∴∠BCH∠BCD．
6图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°∠D45°．
（1）AB6cm求梯形ABCD面积
（2）EFGH分梯形ABCD边ABBCCDDA点满足EFGH∠EFH∠FHG求证：HDBE+BF．
解：（1）连ACC作CM⊥ADM图
Rt△ABC中AB6sin∠ACB
∴AC10
∴BC8
Rt△CDM中∠D45°
∴DMCMAB6
∴AD6+814
∴梯形ABCD面积•（8+14）•666（cm2）
（2）证明：G作GN⊥AD图
∵∠D45°
∴△DNG等腰直角三角形
∴DNGN
∵AD∥BC
∴∠BFH∠FHN
∠EFH∠FHG
∴∠BFE∠GHN
∵EFGH
∴Rt△BEF≌Rt△NGH
∴BEGNBFHN
∴DAAN+DNAN+DGBF+BE．
7已知：图▱ABCD中角线ACBD相交点O延长CDFDFCD连接BF交AD点E．
（1）求证：AEED
（2）ABBC求∠CAF度数．
（1）证明：图．
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD．
∵DFCD
∴AB∥DF．
∵DFCD
∴ABDF．
∴四边形ABDF行四边形
∴AEDE．
（2）解：∵四边形ABCD行四边形ABBC
∴四边形ABCD菱形．
∴AC⊥BD．
∴∠COD90°．
∵四边形ABDF行四边形
∴AF∥BD．
∴∠CAF∠COD90°．
8已知：图正方形ABCD中点GBC延长线点连接AG分交BDCD点EF．
（1）求证：∠DAE∠DCE
（2）CGCE时试判断CFEG间样数量关系？证明结．
（1）证明：△DAE△DCE中
∠ADE∠CDE（正方形角线分角）
EDDE（公边）
AECE（正方形四条边长相等）
∴△DAE≌△DCE （SAS）
∴∠DAE∠DCE（全等三角形应角相等）
（2）解：图（1）知△DAE≌△DCE
∴AEEC
∴∠EAC∠ECA（等边等角）
∵CGCE（已知）
∴∠G∠CEG（等边等角）
∠CEG2∠EAC（外角定理）
∠ECB2∠CEG（外角定理）
∴4∠EAC﹣∠ECA∠ACB45°
∴∠G∠CEG30°
点C作CH⊥AG点H
∴∠FCH30°
∴直角△ECH中EHCHEG2CH
直角△FCH中CHCF
∴EG2×CF3CF．
9图已知正方形ABCD点EBC点点FCD延长线点连接EFBEDF点PEF中点．
（1）求证：DP分∠ADC
（2）∠AEB75°AB2求△DFP面积．
（1）证明：连接PC．
∵ABCD正方形
∴∠ABE∠ADF90°ABAD．
∵BEDF
∴△ABE≌△ADF．（SAS）
∴∠BAE∠DAFAEAF．
∴∠EAF∠BAD90°．
∵PEF中点
∴PAEFPCEF
∴PAPC．
ADCDPD公
∴△PAD≌△PCD（SSS）
∴∠ADP∠CDPDP分∠ADC
（2）作PH⊥CFH点．
∵PEF中点
∴PHEC．
设ECx．
（1）知△EAF等腰直角三角形
∴∠AEF45°
∴∠FEC180°﹣45°﹣75°60°
∴EF2xFCxBE2﹣x．
Rt△ABE中22+（2﹣x）2（x）2解 x1﹣2﹣2（舍）x2﹣2+2．
∴PH﹣1+FD（﹣2+2）﹣2﹣2+4．
∴S△DPF（﹣2+4）×3﹣5．
10图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BDBCECD中点交BC延长线F
（1）证明：EFEA
（2）D作DG⊥BCG连接EG试证明：EG⊥AF．
（1）证明：
∵AD∥BC
∴∠DAE∠F∠ADE∠FCE．
∵ECD中点
∴EDEC．
∴△ADE≌△FCE．
∴EFEA．（5分）
（2）解：连接GA
∵AD∥BC∠ABC90°
∴∠DAB90°．
∵DG⊥BC
∴四边形ABGD矩形．
∴BGADGABD．
∵BDBC
∴GABC．
（1）△ADE≌△FCE
∴ADFC．
∴GFGC+FCGC+ADGC+BGBCGA．
∵（1）EFEA
∴EG⊥AF．（5分）
11图直角梯形ABCD中∠DAB90°AB∥CDABAD∠ABC60度．AD边直角梯形ABCD外作等边三角形ADF点E直角梯形ABCD点∠EAD∠EDA15°连接EBEF．
（1）求证：EBEF
（2）延长FE交BC点G点G恰BC中点AB6求BC长．
（1）证明：∵△ADF等边三角形
∴AFAD∠FAD60°（1分）
∵∠DAB90°∠EAD15°ADAB（2分）
∴∠FAE∠BAE75°ABAF（3分）
∵AE公边
∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EFEB（5分）
（2）解：图连接EC．（6分）
∵等边三角形△ADF中
∴FDFA
∵∠EAD∠EDA15°
∴EDEA
∴EFAD垂直分线∠EFA∠EFD30°．（7分）
（1）△FAE≌△BAE知∠EBA∠EFA30°．
∵∠FAE∠BAE75°
∴∠BEA∠BAE∠FEA75°
∴BEBA6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB180°
∴∠GEB30°
∵∠ABC60°
∴∠GBE30°
∴GEGB．（8分）
∵点GBC中点
∴EGCG
∵∠CGE∠GEB+∠GBE60°
∴△CEG等边三角形
∴∠CEG60°
∴∠CEB∠CEG+∠GEB90°（9分）
∴Rt△CEB中BC2CEBC2CE2+BE2
∴CE
∴BC（10分）
解法二：C作CQ⊥ABQ
∵CQABAD6
∵∠ABC60°
∴BC6÷4．
12图梯形ABCD中AD∥BCABDCAD∠C60°AE⊥BD点EFCD中点DG梯形ABCD高．
（1）求证：AEGF
（2）设AE1求四边形DEGF面积．
（1）证明：∵ABDC
∴梯形ABCD等腰梯形．
∵∠C60°
∴∠BAD∠ADC120°
∵ABAD
∴∠ABD∠ADB30°．
∴∠DBC∠ADB30°．
∴∠BDC90°．（1分）
已知AE⊥BD
∴AE∥DC．（2分）
∵AE等腰三角形ABD高
∴EBD中点
∵FDC中点
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD行四边形．（3分）
∴AEDF（4分）
∵FDC中点DG梯形ABCD高
∴GFDF（5分）
∴AEGF．（6分）
（2）解：Rt△AED中∠ADB30°
∵AE1
∴AD2．
Rt△DGC中∠C60°
DCAD2
∴DG．（8分）
（1）知：行四边形AEFD中EFAD2
∵DG⊥BC
∴DG⊥EF
∴四边形DEGF面积EF•DG．（10分）
13已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延长线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
解答：（1）证明：∵∠ABC90°DE⊥AC点F
∴∠ABC∠AFE．
∵ACAE∠EAF∠CAB
∴△ABC≌△AFE
∴ABAF．
∴AE﹣ABAC﹣AF
FCBE
（2）解：∵ADDC2DF⊥AC
∴AFACAE．
∴AGCG
∴∠E30°．
∵∠EAD90°
∴∠ADE60°
∴∠FAD∠E30°
∴FC
∵AD∥BC
∴∠ACG∠FAD30°
∴CG2
∴AG2．
14图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°点EAB边点AEBCDE⊥EC取DC中点F连接AFBF．
（1）求证：ADBE
（2）试判断△ABF形状说明理．
（1）证明：∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC180°
∵∠ABC90°
∴∠BAD∠ABC90°
∵DE⊥EC
∴∠AED+∠BEC90°
∵∠AED+∠ADE90°
∴∠BEC∠ADE
∵∠DAE∠EBCAEBC
∴△EAD≌△EBC
∴ADBE．
（2）答：△ABF等腰直角三角形．
理：延长AF交BC延长线M
∵AD∥BM
∴∠DAF∠M
∵∠AFD∠CFMDFFC
∴△ADF≌△MFC
∴ADCM
∵ADBE
∴BECM
∵AEBC
∴ABBM
∴△ABM等腰直角三角形
∵△ADF≌△MFC
∴AFFM
∴∠ABC90°
∴BF⊥AMBFAMAF
∴△AFB等腰直角三角形．
15（2011•潼南县）图直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥DCABBCAE⊥BC．
（1）求证：ADAE
（2）AD8DC4求AB长．
解答：（1）证明：连接AC
∵AB∥CD
∴∠ACD∠BAC
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC
∴∠ACD∠ACB
∵AD⊥DCAE⊥BC
∴∠D∠AEC90°
∵ACAC
∴
∴△ADC≌△AEC（AAS）
∴ADAE
（2）解：（1）知：ADAEDCEC
设ABxBEx﹣4AE8
Rt△ABE中∠AEB90°
勾股定理：82+（x﹣4）2x2
解：x10
∴AB10．
说明：评分标准方法：点C作CF⊥AB证明计算均分．
16图已知梯形ABCD中AD∥CBEF分BDAC中点BD分∠ABC．
（1）求证：AE⊥BD （2）AD4BC14求EF长．
（1）证明：∵AD∥CB
∴∠ADB∠CBD
BD分∠ABC
∴∠ABD∠CBD
∴∠ADB∠ABD
∴ABAD∴△ABD等腰三角形
已知EBD中点
∴AE⊥BD．
（2）解：延长AE交BCG
∵BD分∠ABC
∴∠ABE∠GBE
∵AE⊥BD（已证）
∴∠AEB∠GEB
BEBE
∴△ABE≌△GBE
∴AEGEBGABAD
FAC中点（已知）
三角形中位线定理：
EFCG（BC﹣BG）（BC﹣AD）
×（14﹣4）5．
答：EF长5．
17图梯形ABCD中AD∥BC∠D90°BE⊥ACE垂足ACBC．
（1）求证：CDBE
（2）AD3DC4求AE．
（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC∠BCEBE⊥AC
∴∠D∠BEC90°ACBC
∴△BCE≌△CAD．
∴CDBE．
（2）解：Rt△ADC中根勾股定理AC5
∵△BCE≌△CAD
∴CEAD3．
∴AEAC﹣CE2．
18图梯形ABCD中AD∥BCAB⊥AC∠B45°AD1BC4求DC长．
解：图点D作DF∥AB分交ACBC点EF．（1分）
∵AB⊥AC
∴∠AED∠BAC90度．
∵AD∥BC
∴∠DAE180°﹣∠B﹣∠BAC45度．
Rt△ABC中∠BAC90°∠B45°BC4∴ACBC•sin45°4×2（2分）
Rt△ADE中∠AED90°∠DAE45°AD1∴DEAE．∴CEAC﹣AE．（4分）
Rt△DEC中∠CED90°∴DC．（5分）
19已知梯形ABCD中AD∥BCABBCDC点EF分ADAB．
（1）求证：BFEF﹣ED
（2）连接AC∠B80°∠DEC70°求∠ACF度数．
证明：∵FCF′CECEC∠ECF＇∠BCF+∠DCE∠ECF
∴△FCE≌△F′CE
∴EF′EFDF′+ED
∴BFEF﹣ED
（2）解：∵ABBC∠B80°
∴∠ACB50°
（1）∠FEC∠DEC70°
∴∠ECB70°
∠B∠BCD80°
∴∠DCE10°
∴∠BCF30°
∴∠ACF∠BCA﹣∠BCF20°．
20图梯形ABCD中AD∥BC点EBCAEBEAF⊥AB连接EF．
（1）EF⊥AFAF4AB6求 AE长．
（2）点FCD中点求证：CEBE﹣AD．
解：（1）作EM⊥AB交AB点M．∵AEBEEM⊥AB
∴AMBM×63
∵∠AME∠MAF∠AFE90°
∴四边形AMEF矩形
∴EFAM3
Rt△AFE中AE5
（2）延长AFBC交点N．
∵AD∥EN
∴∠DAF∠N
∵∠AFD∠NFCDFFC
∴△ADF≌△NCF（AAS）
∴ADCN
∵∠B+∠N90°∠BAE+∠EAN90°
AEBE∠B∠BAE
∴∠N∠EANAEEN
∴BEENEC+CNEC+AD
∴CEBE﹣AD．
．21图四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABCD角线ACBD交点OAC⊥BDDH⊥BC．
（1）求证：DH（AD+BC）
（2）AC6求梯形ABCD面积．
解：（1）证明：D作DE∥AC交BC延长线E（1分）
∵AD∥BC
∴四边形ACED行四边形．（2分）
∴CEADDEAC．
∵四边形ABCD等腰梯形
∴BDACDE．
∵AC⊥BD
∴DE⊥BD．
∴△DBE等腰直角三角形．（4分）
∵DH⊥BC
∴DHBE（CE+BC）（AD+BC）．（5分）
（2）∵ADCE
∴．（7分）
∵△DBE等腰直角三角形BDDE6
∴．
∴梯形ABCD面积18．（8分）
注：题解题方法唯．
22已知图△ABC等边三角形AC边点D作DG∥BC交AB点GGD延长线取点EDEDC连接AEBD．
（1）求证：△AGE≌△DAB
（2）点E作EF∥DB交BC点F连AF求∠AFE度数．
（1）证明：∵△ABC等边三角形DG∥BC
∴∠AGD∠ABC60°∠ADG∠ACB60°∠BAC60°
∴△AGD等边三角形
AGGDAD∠AGD60°．
∵DEDC∴GEGD+DEAD+DCACAB
∵∠AGD∠BADAGAD
∴△AGE≌△DAB
（2）解：（1）知AEBD∠ABD∠AEG．
∵EF∥DBDG∥BC
∴四边形BFED行四边形．
∴EFBD
∴EFAE．
∵∠DBC∠DEF
∴∠ABD+∠DBC∠AEG+∠DEF∠AEF∠ABC60°．
∴△AFE等边三角形∠AFE60°．
23图梯形ABCD中AD∥BCDEECEF∥AB交BC点FEFEC连接DF．
（1）试说明梯形ABCD等腰梯形
（2）AD1BC3DC试判断△DCF形状
（3）条件（2）射线BC否存点P△PCD等腰三角形存请直接写出PB长存请说明理．
解：（1）证明：∵EFEC
∴∠EFC∠ECF
∵EF∥AB
∴∠B∠EFC
∴∠B∠ECF∴梯形ABCD等腰梯形
（2）△DCF等腰直角三角形
证明：∵DEECEFEC∴EFCD
∴△CDF直角三角形（果三角形边中线等条边半三角形直角三角形）
∵梯形ABCD等腰梯形
∴CF（BC﹣AD）1
∵DC
∴勾股定理：DF1
∴△DCF等腰直角三角形
（3）四种情况：
∵DF⊥BC
∴PFCF时△PCD等腰三角形
PF1
∴PB1
PF重合时△PCD等腰三角形
∴PB2
PCCD（P点C左侧）时△PCD等腰三角形
∴PB3﹣
PCCD（P点C右侧）时△PCD等腰三角形
∴PB3+．
四种情况：PB1PB2PB3﹣PB3+．（1分）
24图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°ADDCEF分ADDC延长线DECF．AF交BEP．
（1）证明：△ABE≌△DAF
（2）求∠BPF度数．
解答：（1）证明：∵梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°
∴ABCD
∵ADDC
∴BAAD∠BAE∠ADF120°
∵DECF
∴AEDF
△BAE△ADF中
∴△ABE≌△DAF（SAS）．
（2）解：∵（1）△BAE≌△ADF
∴∠ABE∠DAF．
∴∠BPF∠ABE+∠BAP∠BAE．
AD∥BC∠C∠ABC60°
∴∠BPF120°．
25图梯形ABCD中AD∥BCABADDCBD⊥DCBC延长点FCFCD．
（1）求∠ABC度数
（2）果BC8求△DBF面积？
解答：解：（1）∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∵ABAD
∴∠ADB∠ABD
∴∠DBC∠ABD
∵梯形ABCD中ABDC
∴∠ABC∠DCB2∠DBC
∵BD⊥DC
∴∠DBC+2∠DBC90°
∴∠DBC30°
∴∠ABC60°
（2）点D作DH⊥BC垂足H
∵∠DBC30°BC8
∴DC4
∵CFCD∴CF4
∴BF12
∵∠F+∠FDC∠DCB60°∠F∠FDC
∴∠F30°
∵∠DBC30°
∴∠F∠DBC
∴DBDF
∴
直角三角形DBH中
∴
∴
∴
△DBF面积．
26图梯形ABCD中AD∥BCABDC10cmAC交BDG∠AGD60°EF分CGAB中点．
（1）求证：△AGD正三角形
（2）求EF长度．
（1）证明：连接BE
∵梯形ABCD中ABDC
∴ACBD证△ABC≌△DCB
∴∠GCB∠GBC
∵∠BGC∠AGD60°
∴△AGD等边三角形
（2）解：∵BE△BCG中线
∴BE⊥AC
Rt△ABE中EF斜边AB中线
∴EFAB5cm．
27已知图AD∥BC∠ABC90°ABBC点EAB点∠ECD45°连接EDD作DF⊥BCF．
（1）∠BEC75°FC3求梯形ABCD周长．
（2）求证：EDBE+FC．
解：（1）∵∠BEC75°∠ABC90°
∴∠ECB15°
∵∠ECD45°
∴∠DCF60°
Rt△DFC中：∠DCF60°FC3
∴DF3DC6
题四边形ABFD矩形
∴ABDF3
∵ABBC
∴BC3
∴BFBC﹣FC3﹣3
∴ADDF3﹣3
∴C梯形ABCD3×2+6+3﹣39+3
答：梯形ABCD周长9+3．
实种方法啦
（2）点C作CM垂直AD延长线M延长DMNMNBE
∴CNCE
证∠NCD∠DCE∵CDCD
∴△DEC≌△DNC
∴EDEN
∴EDBE+FC．
28已知：图梯形ABCD中AD∥BCEAB中点直线CE交DA延长线点F．
（1）求证：△BCE≌△AFE
（2）AB⊥BCBC4AB6求EF长．
（1）证明：∵AD∥BCEAB中点
∴AEBE∠B∠EAF∠BCE∠F．
∴△BCE≌△AFE（AAS）．
（2）解：∵AD∥BC
∴∠DAB∠ABC90°．
∵AEBE∠AEF∠BEC
∴△BCE≌△AFE．
∴AFBC4．
∵EF2AF2+AE29+1625
∴EF5．
29已知：图梯形ABCD中AD∥BCBCDCCF分∠BCDDF∥ABBF延长线交DC点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC
（2）ADDE
（3）△DEF周长6AD2BC5求梯形ABCD面积．
（1）∵DCBC∠1∠2CFCF
∴△DCF≌△BCF．
（2）延长DF交BCG
∵AD∥BGAB∥DG
∴四边形ABGD行四边形．
∴ADBG．
∵△DFC≌△BFC
∴∠EDF∠GBFDFBF．
∵∠3∠4
∴△DFE≌△BFG．
∴DEBGEFGF．
∴ADDE．
（3）∵EFGFDFBF
∴EF+BFGF+DF：BEDG．
∵DGAB
∴BEAB．
∵C△DFEDF+FE+DE6
∴BF+FE+DE6：EB+DE6．
∴AB+AD6．
∵AD2
∴AB4．
∴DGAB4．
∵BGAD2
∴GCBC﹣BG5﹣23．
∵DCBC5
△DGC中∵42+3252
∴DG2+GC2DC2
∴∠DGC90°．
∴S梯形ABCD（AD+BC）•DG
（2+5）×4
14．
30图梯形ABCD中AD∥BC．∠C90°ABAD．连接BDA点作BD垂线交BCE．
（1）求证：四边形ABED菱形
（2）果EC3cmCD4cm求梯形ABCD面积．
解答：解：（1）证明：∵AD∥BC DE2CD2+CE242+3225
∴∠OAD∠OEB ∴DE5
∵ABADAO⊥BD ∴ADBE5
∴OBOD ∴S梯形ABCD．
∵∠AOD∠EOB
∴△ADO≌△EBO（AAS）
∴ADEB
∵AD∥BE
∴四边形ABCD行四边形
∵ABAD
∴四边形ABCD菱形．
（2）∵四边形ABCD菱形
∴ADDEBE
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