高考函数综合题热点
重庆市 慕泽刚
函数年全国高考省市命题中函数考查占例较重点考查函数图象性质反函数题型断创新尤导数量进入高中数学教材函数综合题考查赋予新生机活力开辟许新解题途径拓宽高考函数综合题命题空间面结合年高考试题谈谈高考函数综合题热点供参考
分段函数线热点问题
例1(2005年高考理科)定义域分DfDg函数y＝f(x)y＝g(x)规定：
函数h(x)＝
(1)函数f(x)＝g(x)＝x2x∈R写出函数h(x)解析式
(2)求问题(1)中函数h(x)值域
(3)g(x)＝f(x＋α)中α常数α∈[0π]请设计定义域R函数y＝f(x)α值h(x)＝cos4x予证明
解：(1)h(x)＝
(2) x≠1时h(x)＝＝x﹣1＋＋2
x＞1时h(x)≥4中等号x＝2时成立
x＜1时h(x)≤0中等号x＝0时成立
∴函数h(x)值域(﹣∞0]∪{1}∪[4＋∞)
(3)令f(x)＝sin2x＋cos2xα＝g(x)＝f(x＋α)＝sin2(x＋)＋cos2(x＋)＝cos2x﹣sin2x
h(x)＝f(x)·f(x＋α)＝(sin2x＋co2sx)(cos2x﹣sin2x)＝cos4x
点拨：题融分段函数函数解析式值域等式等知识体探索性综合题解题思想：根分段函数段定义域确定函数解析式利均值等式求值域根题目求探索出满足条件结作证解答分段函数注意：①段解析式定义域应关系②注意分类讨思想应免漏解③判断分段奇偶性注意定义域整体性④分段函数单调性反函数图象应注意段间联结关系分段函数考查已成高考新亮点复中引起足够重视
二抽象函数线热点问题
例2(2005年广东高考题)设函数f(x)(﹣∞＋∞)满足f(2﹣x)＝f(2＋x)f(7﹣x)＝f(7＋x)闭区间[07]f(1)＝f(3)＝0（Ⅰ）试判断函数y＝f(x)奇偶性（Ⅱ）试求方程f(x)＝0闭区间[－20052005]根数证明结
解：ÞÞf(4﹣x)＝f(14﹣x)Þf(x)＝f(x＋10)
知函数y＝f(x)周期T＝10
f(3)＝f(1)＝0∴f(﹣7)＝0已知f(7)≠0∴f(﹣7)≠±f(7)
函数y＝f(x)非奇非偶函数
(II)f(3)＝f(1)＝0f(11)＝f(13)＝f(﹣7)＝f(﹣9)＝0
f(x)[010][﹣100]均两解知函数y＝f(x)[02005]402解[﹣20050]400解函数y＝f(x)[﹣20052005]802解
点拨：题融抽象函数函数奇偶性周期性称性方程等知识体解题思路：已知条件恒等变形求出周期判断奇偶性通合理赋值根函数性质确定区间方程解数利抽象条件通合理赋值(赋具体值代数式)整体思考寻求具体函数模型结合函数奇偶性单调性周期性称性等知识已知抽象条件作恒等变形利相关知识解决关问题求解抽象函数问题常见思路
抽象函数题考查函数概念性质考查学生思维力抽象函数题越越受命题者青睐年高考中逐年加考查力度趋势
三三次函数线热点问题
例3(2005·重庆高考文科）设函数f(x)2x33(a+1)x2+6ax+8中a∈R（1）f(x)x3处取极值求常数a值（2）f(x)(∞0)增函数求a取值范围
解：（Ⅰ）f¢(x)6x26(a+1)x+6a6(xa)(x1)
f(x)x3取极值f¢(3)6(3a)(31)0解a3
检验知a3时x3f(x)极值点
（Ⅱ）令f¢(x)6(xa)(x1)0x1ax21
a＜1时x∈(∞a)∪(1+∞)f¢(x)＞0f(x)(∞a)(1+∞)增函数0≤a＜1时f(x)(∞0)增函数
a≥1时x∈(∞1)∪(a+∞)f¢(x)＞0f(x)(∞1)(a+∞)增函数f(x)(∞0]增函数
综述a∈[0+∞)时f(x)(∞0)增函数
点拨：题融三次函数导数函数单调性极值等知识体考查导数三次函数极值单调性问题中应新教材中导数容介入研究函数性质提供新工具通求导研究函数单调性极值操作步骤学生易掌握判方法难特f(x)三次函数时通求导f¢(x)二次函数原函数极值点二次函数零点时利导数意义：曲线某点P（x0y0）处切线斜率k＝f¢(x0)斜率k关x0二次函数根特点般三次函数问题通求导转化二次函数二次方程问题然结合导数基知识二次函数性质解决预计高考中会进步加考查力度
四量知识背景函数热点问题
例4(2005年海·文科)已知函数f(x)kx＋b图象xy轴分相交点AB＝2＋2(分xy轴正半轴方单位量)函数g(x)x2﹣x﹣6(1)求kb值(2)x满足f(x)＞g(x)时求函数值
解：(1)已知A(﹣0)B(0b)＝{b}＝2b＝2∴k＝1b＝2
(2)f(x)＞g(x)x＋2＞x2﹣x﹣6(x＋2)(x﹣4)＜0﹣2＜x＜4
＝＝x+2+5
x＋2＞0≥﹣3中等号仅x＋21x﹣1时成立
∴值﹣3
点拨：题融量函数(含参数)等式等知识体解题思路：量间(位置)关系数量化(坐标关系)利函数性质等式等知识进行解答量代数表示双重性量函数结合成高考中表述函数问题重载体量知识背景函数综合题常常会出现高考中复中引起高度重视
五创新函数线热点问题
例5(2005年北京·理科)设f(x)定义[01]函数存x*∈(01)f(x)[0x*]单调递增[x*1]单调递减称f(x)[01]单峰函数x*峰点包含峰点区间含峰区间意[0l]单峰函数f(x)面研究缩短含峰区间长度方法
（I）证明：意x1x2∈(01)x1＜x2f(x1)≥f(x2)(0x2)含峰区间f(x1)≤f(x2)
(x11)含峰区间
（II）定r（0＜r＜05）证明：存x1x2∈(01)满足x2－x1≥2r（I）确定含峰区间长度05＋r
（III）选取x1x2∈(01)x1＜x2（I）确定含峰区间(0x2)(x11)含峰区间选取x3x3x1x3x2类似确定新含峰区间第次确定含峰区间(0x2)情况试确定x1x2x3值满足两两差绝值002新含峰区间长度缩短034（区间长度等区间右端点左端点差）
（I）证明：设x*f(x)峰点
单峰函数定义知f(x)[0x*]单调递增[x*1]单调递减
f(x1)≥f(x2)时假设x*(0x2)x1＜x2＜x*f(x*)≥f(x2)＞f(x1)
f(x1)≥f(x2)矛盾x*∈(0x2)(0x2)含峰区间
f(x1)≤f(x2)时假设x*(x11)x*≤x1f(x2)
f(x1)≤f(x2)矛盾x*∈(x11)(x11)含峰区间
（II）证明：（I）结知：
f(x1)≥f(x2)时含峰区间长度l1＝x2f(x1)≤f(x2)时含峰区间长度l21－x1
述两种情况题意 ①
①1＋x2－x1≤1+2rx2－x1≤2r
x2－x1≥2rx2－x12r ②②代入①x1≤05－rx1≥05－r ③
②③解x1＝05－rx2＝05＋r时含峰区间长度l1＝l1＝05＋r
存x1x2确定含峰区间长度05＋r
（III）解：先选择x1x2x1第次确定含峰区间(0x2)情况x3取值应满足x3＋x1＝x2 ⑤
④⑤
x1＞x3时含峰区间长度x1
条件x1－x3≥002x1－(1－2x1)≥002x1≥034
含峰区间长度缩短034取x1＝034x2＝066x3032
1 点拨：题道新定义型函数背景通设置新情境考查学生阅读理解迁移新知识力灵活运函数知识求解问题力类题型解题思路：理解定义定义进行转换利已函数等相关知识求解类创新性函数问题函数方程等式导数解析等知识融体极富思考性挑战性效考查学生思维水综合力预计高考中会设计出更加灵活更体现力立意命题复中注意种趋格式求
知网学位文检测整篇传传文系统会动检测该文章节信息果动生成目录信息系统会文章节分段检测否会动万字左右分段检测格式检测结果会造成影响需终交稿格式提交检测影响降影响十字段检测出会影响通系统算法较复杂次修改文测会第次没测出段抄袭（
2 年实践验证明该段会超200 字二次修
改文般会降低抄袭率）
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函数年全国高考省市命题中函数考查占例较重点考查函数图象性质反函数题型断创新尤导数量进入高中数学教材函数综合题考查赋予新生机活力开辟许新解题途径拓宽高考函数综合题命题空间面结合年高考试题谈谈高考函数综合题热点供参考
分段函数线热点问题
例1(2005年高考理科)定义域分DfDg函数y＝f(x)y＝g(x)规定：
函数h(x)＝
(1)函数f(x)＝g(x)＝x2x∈R写出函数h(x)解析式
(2)求问题(1)中函数h(x)值域
(3)g(x)＝f(x＋α)中α常数α∈[0π]请设计定义域R函数y＝f(x)α值h(x)＝cos4x予证明
解：(1)h(x)＝
(2) x≠1时h(x)＝＝x﹣1＋＋2
x＞1时h(x)≥4中等号x＝2时成立
x＜1时h(x)≤0中等号x＝0时成立
∴函数h(x)值域(﹣∞0]∪{1}∪[4＋∞)
(3)令f(x)＝sin2x＋cos2xα＝g(x)＝f(x＋α)＝sin2(x＋)＋cos2(x＋)＝cos2x﹣sin2x
h(x)＝f(x)·f(x＋α)＝(sin2x＋co2sx)(cos2x﹣sin2x)＝cos4x
点拨：题融分段函数函数解析式值域等式等知识体探索性综合题解题思想：根分段函数段定义域确定函数解析式利均值等式求值域根题目求探索出满足条件结作证解答分段函数注意：①段解析式定义域应关系②注意分类讨思想应免漏解③判断分段奇偶性注意定义域整体性④分段函数单调性反函数图象应注意段间联结关系分段函数考查已成高考新亮点复中引起足够重视
二抽象函数线热点问题
例2(2005年广东高考题)设函数f(x)(﹣∞＋∞)满足f(2﹣x)＝f(2＋x)f(7﹣x)＝f(7＋x)闭区间[07]f(1)＝f(3)＝0（Ⅰ）试判断函数y＝f(x)奇偶性（Ⅱ）试求方程f(x)＝0闭区间[－20052005]根数证明结
解：ÞÞf(4﹣x)＝f(14﹣x)Þf(x)＝f(x＋10)
知函数y＝f(x)周期T＝10
f(3)＝f(1)＝0∴f(﹣7)＝0已知f(7)≠0∴f(﹣7)≠±f(7)
函数y＝f(x)非奇非偶函数
(II)f(3)＝f(1)＝0f(11)＝f(13)＝f(﹣7)＝f(﹣9)＝0
f(x)[010][﹣100]均两解知函数y＝f(x)[02005]402解[﹣20050]400解函数y＝f(x)[﹣20052005]802解
点拨：题融抽象函数函数奇偶性周期性称性方程等知识体解题思路：已知条件恒等变形求出周期判断奇偶性通合理赋值根函数性质确定区间方程解数利抽象条件通合理赋值(赋具体值代数式)整体思考寻求具体函数模型结合函数奇偶性单调性周期性称性等知识已知抽象条件作恒等变形利相关知识解决关问题求解抽象函数问题常见思路
抽象函数题考查函数概念性质考查学生思维力抽象函数题越越受命题者青睐年高考中逐年加考查力度趋势
三三次函数线热点问题
例3(2005·重庆高考文科）设函数f(x)2x33(a+1)x2+6ax+8中a∈R（1）f(x)x3处取极值求常数a值（2）f(x)(∞0)增函数求a取值范围
解：（Ⅰ）f¢(x)6x26(a+1)x+6a6(xa)(x1)
f(x)x3取极值f¢(3)6(3a)(31)0解a3
检验知a3时x3f(x)极值点
（Ⅱ）令f¢(x)6(xa)(x1)0x1ax21
a＜1时x∈(∞a)∪(1+∞)f¢(x)＞0f(x)(∞a)(1+∞)增函数0≤a＜1时f(x)(∞0)增函数
a≥1时x∈(∞1)∪(a+∞)f¢(x)＞0f(x)(∞1)(a+∞)增函数f(x)(∞0]增函数
综述a∈[0+∞)时f(x)(∞0)增函数
点拨：题融三次函数导数函数单调性极值等知识体考查导数三次函数极值单调性问题中应新教材中导数容介入研究函数性质提供新工具通求导研究函数单调性极值操作步骤学生易掌握判方法难特f(x)三次函数时通求导f¢(x)二次函数原函数极值点二次函数零点时利导数意义：曲线某点P（x0y0）处切线斜率k＝f¢(x0)斜率k关x0二次函数根特点般三次函数问题通求导转化二次函数二次方程问题然结合导数基知识二次函数性质解决预计高考中会进步加考查力度
四量知识背景函数热点问题
例4(2005年海·文科)已知函数f(x)kx＋b图象xy轴分相交点AB＝2＋2(分xy轴正半轴方单位量)函数g(x)x2﹣x﹣6(1)求kb值(2)x满足f(x)＞g(x)时求函数值
解：(1)已知A(﹣0)B(0b)＝{b}＝2b＝2∴k＝1b＝2
(2)f(x)＞g(x)x＋2＞x2﹣x﹣6(x＋2)(x﹣4)＜0﹣2＜x＜4
＝＝x+2+5
x＋2＞0≥﹣3中等号仅x＋21x﹣1时成立
∴值﹣3
点拨：题融量函数(含参数)等式等知识体解题思路：量间(位置)关系数量化(坐标关系)利函数性质等式等知识进行解答量代数表示双重性量函数结合成高考中表述函数问题重载体量知识背景函数综合题常常会出现高考中复中引起高度重视
五创新函数线热点问题
例5(2005年北京·理科)设f(x)定义[01]函数存x*∈(01)f(x)[0x*]单调递增[x*1]单调递减称f(x)[01]单峰函数x*峰点包含峰点区间含峰区间意[0l]单峰函数f(x)面研究缩短含峰区间长度方法
（I）证明：意x1x2∈(01)x1＜x2f(x1)≥f(x2)(0x2)含峰区间f(x1)≤f(x2)
(x11)含峰区间
（II）定r（0＜r＜05）证明：存x1x2∈(01)满足x2－x1≥2r（I）确定含峰区间长度05＋r
（III）选取x1x2∈(01)x1＜x2（I）确定含峰区间(0x2)(x11)含峰区间选取x3x3x1x3x2类似确定新含峰区间第次确定含峰区间(0x2)情况试确定x1x2x3值满足两两差绝值002新含峰区间长度缩短034（区间长度等区间右端点左端点差）
（I）证明：设x*f(x)峰点
单峰函数定义知f(x)[0x*]单调递增[x*1]单调递减
f(x1)≥f(x2)时假设x*(0x2)x1＜x2＜x*f(x*)≥f(x2)＞f(x1)
f(x1)≥f(x2)矛盾x*∈(0x2)(0x2)含峰区间
f(x1)≤f(x2)时假设x*(x11)x*≤x1
f(x1)≤f(x2)矛盾x*∈(x11)(x11)含峰区间
（II）证明：（I）结知：
f(x1)≥f(x2)时含峰区间长度l1＝x2f(x1)≤f(x2)时含峰区间长度l21－x1
述两种情况题意 ①
①1＋x2－x1≤1+2rx2－x1≤2r
x2－x1≥2rx2－x12r ②②代入①x1≤05－rx1≥05－r ③
②③解x1＝05－rx2＝05＋r时含峰区间长度l1＝l1＝05＋r
存x1x2确定含峰区间长度05＋r
（III）解：先选择x1x2x1
④⑤
x1＞x3时含峰区间长度x1
条件x1－x3≥002x1－(1－2x1)≥002x1≥034
含峰区间长度缩短034取x1＝034x2＝066x3032
1 点拨：题道新定义型函数背景通设置新情境考查学生阅读理解迁移新知识力灵活运函数知识求解问题力类题型解题思路：理解定义定义进行转换利已函数等相关知识求解类创新性函数问题函数方程等式导数解析等知识融体极富思考性挑战性效考查学生思维水综合力预计高考中会设计出更加灵活更体现力立意命题复中注意种趋格式求
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