难点9 指数函数数函数问题
指数函数数函数高考考查重点容节帮助考生掌握两种函数概念图象性质会解决某简单实际问题
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)log2F(x)+f(x)
(1)试判断函数f(x)单调性函数单调性定义出证明
(2)f(x)反函数f－1(x)证明：意然数n(n≥3)f－1(n)>
(3)F(x)反函数F－1(x)证明：方程F－1(x)0惟解
●案例探究
［例1］已知原点O条直线函数ylog8x图象交AB两点分点AB作y轴行线函数ylog2x图象交CD两点
(1)证明：点CD原点O条直线
(2)BC行x轴时求点A坐标
命题意图：题考查数函数图象数换底公式数方程指数方程等基础知识考查学生分析力运算力属★★★★级题目
知识托：(1)证明三点线方法：kOCkOD
(2)第(2)问解答中蕴涵着方程思想方程(1)求A点坐标
错解分析：易考虑运方程思想解决实际问题
技巧方法：题第问运斜率相等证明三点线第二问运方程思想求点A坐标
(1)证明：设点AB横坐标分x1x2题意知：x1>1x2>1AB坐标分log8x1log8x2AB点O直线点CD坐标分(x1log2x1)(x2log2x2)log2x13log8x2OC斜率：k1
OD斜率：k2知：k1k2OCD条直线
(2)解：BC行x轴知：log2x1log8x2 ：log2x1log2x2代入x2log8x1x1log8x2：x13log8x13x1log8x1x1>1知log8x1≠0∴x133x1x1>1∴x1点A坐标(log8)
［例2］xOy面点列P1(a1b1)P2(a2b2)…Pn(anbn)…然数n点Pn位函数
y2000()x(0(1)求点Pn坐标bn表达式
(2)然数nbnbn+1bn+2边长构成三角形求a取值范围
(3)设Cnlg(bn)(n∈N*)a取(2)中确定范围整数问数列{Cn}前少项？试说明理
命题意图：题面点列指数函数数值等知识点揉合起构成思维难度较综合题目题考查考生综合知识分析运力属★★★★★级
题目
知识托：指数函数数函数数列值等知识
错解分析：考生综合知识易驾驭思维难度较找解题突破口
技巧方法：题属知识综合题关键读题程中条件思考认识会运相关知识点解决问题
解：(1)题意知：ann+∴bn2000()
(2)∵函数y2000()x(0bn+1>bn+2bnbn+1bn+2边长构成三角形充条件bn+2+bn+1>bn()2+()－1>0解a<－5(1+)a>5(－1)∴5(－1)(3)∵5(－1)∴bn2000()数列{bn}递减正数数列然数n≥2BnbnBn－1bn≥1时Bn●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)运两种函数图象性质解决基问题类题目求考生熟练掌握函数图象性质灵活应
(2)综合性题目类题目求考生具较强分析力逻辑思维力
(3)应题目类题目求考生具较强建模力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)定义(－∞+∞)意函数f(x)表示成奇函数g(x)偶函数h(x)果f(x)lg(10x+1)中x∈(－∞+∞)( )
Ag(x)xh(x)lg(10x+10－x+2)
Bg(x)［lg(10x+1)+x］h(x) ［lg(10x+1)－x］
Cg(x)h(x)lg(10x+1)－
Dg(x)－h(x)lg(10x+1)+
2(★★★★)a>1时函数ylogaxy(1－a)x图象( )
二填空题
3(★★★★★)已知函数f(x)f－1(x－1)_________
4(★★★★★)图开始时桶1中a L水t分钟剩余水符合指数衰减曲线y
ae－nt桶2中水y2a－ae－nt假设5分钟时桶1桶2水相等_________分钟桶1中水
三解答题
5(★★★★)设函数f(x)loga(x－3a)(a>0a≠1)点P(xy)函数yf(x)图象点时点Q(x－2a－y)函数yg(x)图象点
(1)写出函数yg(x)解析式
(2)x∈［a+2a+3］时恒|f(x)－g(x)|≤1试确定a取值范围
6(★★★★)已知函数f(x)logax(a>0a≠1)(x∈(0+∞))x1x2∈(0+∞)判断［f(x1)+f(x2)］f()加证明
7(★★★★★)已知函数xy满足x≥1y≥1loga2x+loga2yloga(ax2)+loga(ay2)(a>0a≠1)求loga(xy)取值范围
8(★★★★)设等式2(logx)2+9(logx)+9≤0解集M求x∈M时函数f(x)(log2)(log2)值
参考答案
难点磁场
解：(1)>02－x≠0F(x)定义域(－11)设－1＜x1＜x2＜1
F(x2)－F(x1)()+()
∵x2－x1>02－x1>02－x2>0∴式第2项中数真数1
F(x2)－F(x1)>0F(x2)>F(x1)∴F(x)(－11）增函数
(2)证明：yf(x)：2y
∴f－1(x)∵f(x)值域R∴f－1(x)定义域R
n≥3时f1(n)>
数学纳法易证2n>2n+1(n≥3)证略
(3)证明：∵F(0)∴F－1()0∴xF－1(x)0根假设F－1(x)0解x0(x0≠)F1(x0)0F(0)x0(x0≠)F1(x)0惟解
歼灭难点训练
1解析：题意：g(x)+h(x)lg(10x+1) ①
g(－x)+h(－x)lg(10－x+1)－g(x)+h(x)lg(10－x+1) ②
①②：g(x)h(x)lg(10x+1)－
答案：C
2解析：a>1时函数ylogax图象AC中选a>1时y(1－a)x减函数
答案：B
二3解析：容易求f －1(x)：
f－1(x－1)
答案：
4解析：题意5分钟y1ae－nty2a－ae－nty1y2∴nln2设t分钟桶1中水y1ae－n(5+t)解t10
答案：10
三5解：(1)设点Q坐标(x′y′)x′x－2ay′－yxx′+2ay－y′
∵点P(xy)函数yloga(x－3a)图象∴－y′loga(x′+2a－3a)y′loga∴g(x)loga
(2)题意x－3a(a+2)－3a－2a+2>0>0a>0a≠1∴0＜a＜1∵|f(x)－g(x)||loga(x－3a)－loga||loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1∵0＜a＜1∴a+2>2af(x)x2－4ax+3a2［a+2a+3］减函数∴μ(x)loga(x2－4ax+3a2)［a+2a+3］减函数［μ(x)］maxμ(a+2)loga(4－4a)［μ(x)］minμ(a+3)loga(9－6a)求问题转化求等式组解
loga(9－6a)≥－1解0＜a≤loga(4－4a)≤1解0＜a≤
∴求a取值范围0＜a≤
6解：f(x1)+f(x2)logax1+logax2logax1x2
∵x1x2∈(0+∞)x1x2≤()2(仅x1x2时取号)
a>1时logax1x2≤loga()2
∴logax1x2≤loga()(logax1+logax2)≤loga
f(x1)+f(x2)］≤f()(仅x1x2时取号)
0＜a＜1时logax1x2≥loga()2
∴(logax1+logax2)≥loga［f(x1)+f(x2)］≥f()(仅x1x2时取号）
7解：已知等式：loga2x+loga2y(1+2logax)+(1+2logay)(logax－1)2+(logay－1)24令ulogaxvlogayklogaxy(u－1)2+(v－1)24(uv≥0)ku+v直角坐标系uOv圆弧(u－1)2+(v－1)24(uv≥0)行直线系v－u+k公点分两类讨
(1)u≥0v≥0时a>1时结合判式法代点法1+≤k≤2(1+)
(2)u≤0v≤00＜a＜1时理2(1－)≤k≤1－x综a>1时logaxy值2+2值1+0＜a＜1时logaxy值1－值2－2
8解：∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)( x+3)≤0
∴－3≤x≤－
()－3≤x≤()
∴()≤x≤()－3∴2≤x≤8
M{x|x∈［28］}
f(x)(log2x－1)(log2x－3)log22x－4log2x+3(log2x－2)2－1
∵2≤x≤8∴≤log2x≤3
∴log2x2x4时ymin－1log2x3x8时ymax0
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指数函数数函数高考考查重点容节帮助考生掌握两种函数概念图象性质会解决某简单实际问题
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)log2F(x)+f(x)
(1)试判断函数f(x)单调性函数单调性定义出证明
(2)f(x)反函数f－1(x)证明：意然数n(n≥3)f－1(n)>
(3)F(x)反函数F－1(x)证明：方程F－1(x)0惟解
●案例探究
［例1］已知原点O条直线函数ylog8x图象交AB两点分点AB作y轴行线函数ylog2x图象交CD两点
(1)证明：点CD原点O条直线
(2)BC行x轴时求点A坐标
命题意图：题考查数函数图象数换底公式数方程指数方程等基础知识考查学生分析力运算力属★★★★级题目
知识托：(1)证明三点线方法：kOCkOD
(2)第(2)问解答中蕴涵着方程思想方程(1)求A点坐标
错解分析：易考虑运方程思想解决实际问题
技巧方法：题第问运斜率相等证明三点线第二问运方程思想求点A坐标
(1)证明：设点AB横坐标分x1x2题意知：x1>1x2>1AB坐标分log8x1log8x2AB点O直线点CD坐标分(x1log2x1)(x2log2x2)log2x13log8x2OC斜率：k1
OD斜率：k2知：k1k2OCD条直线
(2)解：BC行x轴知：log2x1log8x2 ：log2x1log2x2代入x2log8x1x1log8x2：x13log8x13x1log8x1x1>1知log8x1≠0∴x133x1x1>1∴x1点A坐标(log8)
［例2］xOy面点列P1(a1b1)P2(a2b2)…Pn(anbn)…然数n点Pn位函数
y2000()x(0
(2)然数nbnbn+1bn+2边长构成三角形求a取值范围
(3)设Cnlg(bn)(n∈N*)a取(2)中确定范围整数问数列{Cn}前少项？试说明理
命题意图：题面点列指数函数数值等知识点揉合起构成思维难度较综合题目题考查考生综合知识分析运力属★★★★★级
题目
知识托：指数函数数函数数列值等知识
错解分析：考生综合知识易驾驭思维难度较找解题突破口
技巧方法：题属知识综合题关键读题程中条件思考认识会运相关知识点解决问题
解：(1)题意知：ann+∴bn2000()
(2)∵函数y2000()x(0
难点涉问题解决方法：
(1)运两种函数图象性质解决基问题类题目求考生熟练掌握函数图象性质灵活应
(2)综合性题目类题目求考生具较强分析力逻辑思维力
(3)应题目类题目求考生具较强建模力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)定义(－∞+∞)意函数f(x)表示成奇函数g(x)偶函数h(x)果f(x)lg(10x+1)中x∈(－∞+∞)( )
Ag(x)xh(x)lg(10x+10－x+2)
Bg(x)［lg(10x+1)+x］h(x) ［lg(10x+1)－x］
Cg(x)h(x)lg(10x+1)－
Dg(x)－h(x)lg(10x+1)+
2(★★★★)a>1时函数ylogaxy(1－a)x图象( )
二填空题
3(★★★★★)已知函数f(x)f－1(x－1)_________
4(★★★★★)图开始时桶1中a L水t分钟剩余水符合指数衰减曲线y
ae－nt桶2中水y2a－ae－nt假设5分钟时桶1桶2水相等_________分钟桶1中水
三解答题
5(★★★★)设函数f(x)loga(x－3a)(a>0a≠1)点P(xy)函数yf(x)图象点时点Q(x－2a－y)函数yg(x)图象点
(1)写出函数yg(x)解析式
(2)x∈［a+2a+3］时恒|f(x)－g(x)|≤1试确定a取值范围
6(★★★★)已知函数f(x)logax(a>0a≠1)(x∈(0+∞))x1x2∈(0+∞)判断［f(x1)+f(x2)］f()加证明
7(★★★★★)已知函数xy满足x≥1y≥1loga2x+loga2yloga(ax2)+loga(ay2)(a>0a≠1)求loga(xy)取值范围
8(★★★★)设等式2(logx)2+9(logx)+9≤0解集M求x∈M时函数f(x)(log2)(log2)值
参考答案
难点磁场
解：(1)>02－x≠0F(x)定义域(－11)设－1＜x1＜x2＜1
F(x2)－F(x1)()+()
∵x2－x1>02－x1>02－x2>0∴式第2项中数真数1
F(x2)－F(x1)>0F(x2)>F(x1)∴F(x)(－11）增函数
(2)证明：yf(x)：2y
∴f－1(x)∵f(x)值域R∴f－1(x)定义域R
n≥3时f1(n)>
数学纳法易证2n>2n+1(n≥3)证略
(3)证明：∵F(0)∴F－1()0∴xF－1(x)0根假设F－1(x)0解x0(x0≠)F1(x0)0F(0)x0(x0≠)F1(x)0惟解
歼灭难点训练
1解析：题意：g(x)+h(x)lg(10x+1) ①
g(－x)+h(－x)lg(10－x+1)－g(x)+h(x)lg(10－x+1) ②
①②：g(x)h(x)lg(10x+1)－
答案：C
2解析：a>1时函数ylogax图象AC中选a>1时y(1－a)x减函数
答案：B
二3解析：容易求f －1(x)：
f－1(x－1)
答案：
4解析：题意5分钟y1ae－nty2a－ae－nty1y2∴nln2设t分钟桶1中水y1ae－n(5+t)解t10
答案：10
三5解：(1)设点Q坐标(x′y′)x′x－2ay′－yxx′+2ay－y′
∵点P(xy)函数yloga(x－3a)图象∴－y′loga(x′+2a－3a)y′loga∴g(x)loga
(2)题意x－3a(a+2)－3a－2a+2>0>0a>0a≠1∴0＜a＜1∵|f(x)－g(x)||loga(x－3a)－loga||loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1∵0＜a＜1∴a+2>2af(x)x2－4ax+3a2［a+2a+3］减函数∴μ(x)loga(x2－4ax+3a2)［a+2a+3］减函数［μ(x)］maxμ(a+2)loga(4－4a)［μ(x)］minμ(a+3)loga(9－6a)求问题转化求等式组解
loga(9－6a)≥－1解0＜a≤loga(4－4a)≤1解0＜a≤
∴求a取值范围0＜a≤
6解：f(x1)+f(x2)logax1+logax2logax1x2
∵x1x2∈(0+∞)x1x2≤()2(仅x1x2时取号)
a>1时logax1x2≤loga()2
∴logax1x2≤loga()(logax1+logax2)≤loga
f(x1)+f(x2)］≤f()(仅x1x2时取号)
0＜a＜1时logax1x2≥loga()2
∴(logax1+logax2)≥loga［f(x1)+f(x2)］≥f()(仅x1x2时取号）
7解：已知等式：loga2x+loga2y(1+2logax)+(1+2logay)(logax－1)2+(logay－1)24令ulogaxvlogayklogaxy(u－1)2+(v－1)24(uv≥0)ku+v直角坐标系uOv圆弧(u－1)2+(v－1)24(uv≥0)行直线系v－u+k公点分两类讨
(1)u≥0v≥0时a>1时结合判式法代点法1+≤k≤2(1+)
(2)u≤0v≤00＜a＜1时理2(1－)≤k≤1－x综a>1时logaxy值2+2值1+0＜a＜1时logaxy值1－值2－2
8解：∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)( x+3)≤0
∴－3≤x≤－
()－3≤x≤()
∴()≤x≤()－3∴2≤x≤8
M{x|x∈［28］}
f(x)(log2x－1)(log2x－3)log22x－4log2x+3(log2x－2)2－1
∵2≤x≤8∴≤log2x≤3
∴log2x2x4时ymin－1log2x3x8时ymax0
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