基等式公式
1均值定理: (仅时取等号)
注解:
方均值:
算术均值:
均值:
调均值::
中
例:求较
解:
见:
序:方算术调
2指数等式: (仅时取等号)
O
x
y
注解:求等式右边:
记忆方法见函数图
曲线区间处直线方仅处相切 :仅时取等号
例:时左边右边
:
3数等式: (仅时取等号)
O
x
y
注解:0负数没数:
记忆方法见函数图
曲线区间处直线方仅处相切 :
仅时取等号
:
两边取数::
例:时左边右边:
4柯西等式:
(仅时取等号)
注解:设量量
量公式::
两边:
面结果代入:
例:
:
:
5琴生等式:
注解:
⑴
O
设区间凸函数图
二次导数
: ①
图中点均值函数值点函数均值
:凸函数函数均值均值函数值
O
⑵ 设区间凸函数图
二次导数
: ②
图中点均值函数值点函数均值
:凸函数函数均值均值函数值
面①②式称琴生等式
O
B
A
A
例:函数区间凸函数
()
:区间凸函数
时
:
O
1
2
:
例:二次函数
凸函数
区间:
:
:
实区间满足
⑶ 推广般形式
凸函数:
()
凸函数:
()
琴生等式
注意等号方二次导数方致
6伯努利等式: ()
注解:二项式定理:
时: (仅时取等号)
例:时左边右边
:
7量等式:
⑴ 量三角形: ⑵
⑶ 量点:
注解:
⑴ 构成三角形三角形两边第三边
⑵ 构成三角形三角形两边差第三边
⑶ 量积公式::
⑷ :
面种基等式简单记忆方法:
均值定理四兄弟数指数俩伴侣
柯西琴生伯努利量三角点积
述等式解法统称公式法解证等式首先考虑述等式量 直接变形量切述等式
二求等式基方法
1作差法:较两象相减差0较方法
注解:常构建函数法 例证明构建
2作商法:较两正数象相商1较方法
注解:例证明 变形1
3公式法:前面等式公式结果方法
注解:均值定理柯西等式等
4单调性法:利函数某区间单调性出方法
注解:例函数区间单调递增:
5放缩法:等式边放缩等式变等式者者变更者变更问题解决方法
注解:例原右边减变 ①
①式放缩法结果
6判式法:果二次函数零点零点存二次方程解二次方程解条件:判式 里然出现等式
注解:方法处理二次函数时包括二次函数分式
7换元法:整式分式根式整体做量进行处理方法简化
注解:特三角换元法 三角函数身界然等式 法求常三角恒等式必须熟悉
8裂项相消法:项式子分裂成两项项求程中部分项相互抵消简明结果方法
注解:例放缩法中①式进步:
样果求结果:
中裂项
求程中项相互抵消
9倒序相加法:项求式子正序列倒序列序相加方法
注解:例求 倒序:
两式子序相加:
中圆括号值项
结果::
10极值法(值法):求出函数某区间极值加边界值找出值函数值出现等式方法
注解:函数区间值8
11积分法:积分实际求简化求运算种方法 果函数单调函数区间会出现等号求然存等号
注解:积分法画出简明图出单调性等量
面种求等式基方法简单记忆:
作差0作商1高
套公式结果单调放缩
二次函数零点判式换元法
倒序相加求裂项相消简化
极值值单调积分号方法
[例题] 已知:求证:
证明:⑴ 均值定理:
: ①
理: ②
①②两式相加:
:
::
:
⑵ 琴生等式
构建函数:()
:
代入琴生等式:
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