人教版高中数学不等式教案

第三章 等式
第教时
教材：等式等式综合性质
目：首先学生掌握等式等价关系解会证明等式基性质ⅠⅡ
程：
引入新课
1．世界事物等绝相等相
2．已接触许等式 提出课题
二等式关名称 （例略）
1．等式异等式
2．绝等式矛盾等式
三等式等价关系（充条件）
1．实数数轴点应谈起

2．应：例 较
解：（取差）

∴<
例二 已知¹0 较
解：（取差）

∵ ∴ >
结：步骤：作差—变形—判断—结
例三 较1．
解：∵
∵
∴<
2．
解：（取差） ∵
∴时>时时<
3．设较
解： ∴
时≤时≥
四等式性质
1．性质1：果果（称性）
证：∵ ∴正数相反数负数

2．性质2：果 （传递性）
证：∵ ∴
∵两正数正数 ∴
∴
称性性质2表示果
五结：1．等式概念 2．充条件
3．性质12
六作业：P5练 P8 题61 1—3
补充题：1．较
解： …… ∴≥
2．较2sinqsin2q(0略解：2sinqsin2q2sinq(1cosq)
qÎ(0p)时2sinq(1cosq)≥0 2sinq≥sin2q
qÎ(p2p)时2sinq(1cosq)<0 2sinq3．设较
解：
时 ∴>
时 ∴>
∴总>
第二教时
教材：等式基性质（续完）
目：继续学等式基性质前面性质进行证学生清楚事物部具固规律
程：
复：等式基概念充条件基性质12
二1．性质3：果 （加法单调性）反然
证：∵ ∴
移项法：
推：果 （相加法）
证：
推：果 （相减法）
证：∵ ∴
证：
式>0 ………
2．性质4：果
果 （法单调性）
证： ∵ ∴
根号相正异号相负：
时：
时：
推1 果（相法）
证：
推1’（补充）果（相法）
证：∵ ∴
推2 果
3．性质5：果
证：（反证法）假设
：矛盾 ∴
三结：五性质推
口答P8 练12 题61 4
四作业 P8 练3 题61 56
五供选例题（作业）
1．已知求证：
证：
2．求等式时成立条件
解：
3．设 求证
证：∵ ∴
∵ ∴>0 ∴
∵ ∴
∴
4． 较
解： 时∵
∴ ∴<
时∵
∴ ∴>
5． 求证：
解： ∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
6． 求证：
证：∵ p>1 ∴
∵ ∴
∴ ∴原式成立
第三教时
教材：算术均数均数
目：求学生掌握算术均数均数意义掌握均等式推导程
程：
定理：果（仅时取）
证明：

1．指出定理适范围：
2．强调取条件
二定理：果正数（仅时取）
证明：∵ ∴
： 仅时
注意：1．定理适范围：
2．语言表述：两正数算术均数均数
三推广：
定理：果
（仅时取）
证明：∵




∵ ∴式≥0
指出：里 ∵保证
推：果
（仅时取）
证明：

四关均数概念
1．果 ：
做n正数算术均数
做n正数均数
2．点题：算术均数均数
3．基等式： ≥

结终数学纳法二项式定理证明（里略）
语言表述：n正数算术均数均数
4．解释：
A
B
D’
D
C
a
b
直径作圆直径AB取点C C作弦DD’^AB

半径
五例 已知两两相等实数求证：
证：∵
三式相加：
∴
六结：算术均数均数概念
基等式（均等式）
七作业：P1112 练12 P12 题52 13
补充：1．已知分求范围
(811) (36) (24)
2．试较 （作差>）
3．求证：
证：
三式相加化简
第四教时
教材：极值定理
目：求学生掌握均等式基础进掌握极值定理学会初步应
程：
二 复：算术均数均数定义均等式
三 设
求证：
加权均算术均均调均
证：∵
∴：（俗称幂均等式）
均等式
：
综述：
例 求证
证：幂均等式：

四 极值定理
已知正数求证：
1° 果积定值时值
2° 果定值时积值
证：∵ ∴
1° (定值)时 ∴
∵式时取 ∴时
2° (定值)时 ∴
∵式时取 ∴时
注意强调：1°值含义（≥取值≤取值）
2°极值定理求值三必条件：
正二定三相等
五 例题
1．证明列题：
⑴
证：∵∴

⑵题改成结果？
解：∵


⑶
解：显然
异号0 ∴
2．①求函数值
②求函数值
解：①∵ ∴ ∴时
时
②∵ ∴
∴

∴时
3．值时值值？
解：∵ ∴
∴
仅时
六 结：1．四均值间关系证明
2．极值定理三素
七 作业：P12 练34 题62 456
补充：列函数中取值时函数取值值值少？
1° 时
2°
3°时
第五教时
教材：极值定理应
目：求学生更熟悉基等式极值定理更熟练处理值问题
程：
八 复：基等式极值定理
九 例题：1．求函数值列解法否正确？什？
解：
∴
解二：时

答：两种解法均错误解错取存解二错定值（常数）
正确解法：
仅时
2．求值
解：
∵ ∴


3．设求值
解：∵ ∴

∴

4．已知求值
解：

仅时
十 关应题
1．P11例（章开头提出问题）（略）
2．块边长正方形铁皮剪四角（四全等正方形）作成盖铁盒容积剪正方形边长少？容积少？
解：设剪正方形边长
容积


仅时取
剪正方形边长时铁盒容积
十 作业：P12 练4 题62 7
补充：
1．求列函数值：
1° (min6)
2° ()
2．1°时求值值
2°设求值(5)
3° 求值
4°求值
3．求证：值3
4．制作容积圆柱形容器(底盖)问圆柱底半径
高取少时料省？（计加工时损耗接缝料）
第六教时
教材：等式证明（较法）
目：等式等价命题揭示等式常证明方法——较法求学生教熟练运作差作商较法证明等式
程：
复：
1．等式等价命题
2．较法（作差法）步骤：作差——变形——判断——结
二作差法：（P13—14）
1． 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) 3x
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a b m正数a < b求证：
证：
∵abm正数a 0 b a > 0
∴ ：
变式：a > b结果会样？没a < b条件应判断？
3． 已知a b正数a ¹ b求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )
a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) (a2 b2 ) (a3 b3)
(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)
∵a b正数∴a + b a2 + ab + b2 > 0
∵a ¹ b∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0
：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙两时路线走点甲半时间速度m行走半时间速度n行走半路程乙速度m行走半路程速度n行走果m ¹ n问：甲乙两谁先达指定点？
解：设出发指定点路程S
甲乙两走完全程需时间分t1 t2
： ：
∴
∵S m n正数m ¹ n∴t1 t2 < 0 ：t1 < t2
：甲先达指定点
变式：m n结果会样？
三作商法
5． 设a b Î R+求证：
证：作商：
a b时
a > b > 0时
b > a > 0时
∴ （余部分布置作业）
作商法步骤作差法1较
四结：作差作商
五作业： P15 练
P18 题63 1—4
第七教时
教材：等式证明二（较法综合法）
目：加强商法训练期达熟练技巧时求学生初步掌握综合法证明等式
程：
二 较法：
a) 复：较法步骤
商法步骤适题型
b) 例证明：增函数
证：设2≤x1∵x2 x1 > 0 x1 + x2 4 > 0 ∴
∵y1 > 0 ∴y1 > y2 ∴增函数
三 综合法：
定义：利某已证明等式等式性质推导出证明等式证明方法综合法
i 已知a b c全相等正数
求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
证：∵b2 + c2 ≥ 2bc a > 0 ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
理：b(c2 + a2) ≥ 2abc c(a2 + b2) ≥ 2abc
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
仅bccaab时取等号a b c全相等正数
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
ii 设a b c Î R
1°求证：
2°求证：
3°a + b 1 求证：
证：1°∵ ∴
∴
2°理：
三式相加：
3°幂均等式：

∴
iii a b cÎR 求证：1°
2°
3°
证：1°法： 两式相
法二：左边
≥ 3 + 2 + 2 + 2 9
2°∵

两式相
3°题：
∴
：
三结：综合法
四作业： P15—16 练 12
P18 题63 123

























补充：
1． 已知a bÎR+a ¹ b求证：（取差）
2． 设aÎRx yÎR求证：（取商）
3． 已知a bÎR+求证：
证：∵a bÎR+ ∴ ∴
∴
∴
∴
∴
4． 设a>0 b>0a + b 1求证：
证：∵ ∴ ∴
∴

第八教时
教材：等式证明三（分析法）
目：求学生学会分析法证明等式
程：
介绍分析法：求证等式出发分析等式成立充分条件证明等式转化判定充分条件否具备问题
二 例求证：
证： ∵ 综合法：
需证明： ∵21 < 25
展开： ∴
： ∴
∴ ∴
： 21 < 25（显然成立） ∴
∴ ∴
例二设x > 0y > 0证明等式：
证：（分析法）证等式：
：
：
需证：
∵成立
∴
证二：（综合法）∵

∵x > 0y > 0 ∴
例三已知：a + b + c 0求证：ab + bc + ca ≤ 0
证：（综合法）∵a + b + c 0 ∴(a + b + c)2 0
展开：
∴ab + bc + ca ≤ 0
证二：（分析法）证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c 0
需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2
证：
： （显然）
∴原式成立
证三：∵a + b + c 0 ∴ c a + b
∴ab + bc + ca ab + (a + b)c ab (a + b)2 a2 b2 ab

例四（课例）证明：通水放水流速相等时果水截面（指横截面）周长相等截面圆水截面正方形水流量
证：设截面周长l周长l圆半径截面积
周长l正方形边长截面积
问题需证：>
证：>
两边：
需证：4 > p （显然成立）
∴ > 较法（取商）证困难
三 作业： P18 练 1—3 题63 余部分
补充作业：
1． 已知0 < q < p证明：
略证：需证： ∵0 < q < p ∴sinq > 0
需证：
证： ∵1 + cosq > 0
需证：
需证：
： （成立）
2． 已知a > b > 0q锐角求证：
略证：需证：
：（成立）
3． 设a b c△ABC三边S三角形面积求证：
略证：正弦余弦定理代入：
证：
：
证：（成立）
第九教时
教材：等式证明四（换元法）
目：增强学生换元思想较熟练利换元手段解决某等式证明问题
程：
四 提出课题：（换元法）
五 三角换元：
例求证：
证：（综合法）
∵
： ∴
证二：（换元法） ∵ ∴令 x cosq qÎ[0 p]

∵ ∴
例二已知x > 0 y > 02x + y 1求证：
证： ：
证二：x > 0 y > 02x + y 1设


例三：求证：
证：设


例四：x > 1y > 1求证：
证：设

例五：已知：a > 1 b > 0 a b 1求证：
证：∵a > 1 b > 0 a b 1 ∴妨设


∵ ∴0 < sinq < 1 ∴
结：0≤x≤1令x sinq ()x sin2q ()
令x cosq y sinq ()
令x secq y tanq ()
x≥1令x secq ()
xÎR令x tanq ()
六 代数换元：
例六：证明：a > 0
证：设

（ a 1时取 ）
∴
∴原式成立
七 结：
诸均值换元设差换元方法兴趣课进步学
八 作业：
1． 求证：
2． |a| < 1|b| <1
3． |x|≤1求证：
4． a > 1 b > 0 a b 1求证：
5． 求证：
6． 已知|a|≤1|b|≤1求证：
第十教时
教材：等式证明五（放缩法反证法）
目：求学生掌握放缩法反证法证明等式
程：
九 简回顾已学种等式证明方法
提出课题：放缩法反证法
十 放缩法：
例a b c dÎR+求证：
证：记m
∵a b c dÎR+
∴

∴1 < m < 2 原式成立
例二 n > 2 时求证：
证：∵n > 2 ∴
∴

∴n > 2时
例三求证：
证：
∴
十 反证法：
例四设0 < a b c < 1求证：(1 a)b (1 b)c (1 c)a时
证：设(1 a)b > (1 b)c > (1 c)a >
三式相：ab < (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < ①
∵0 < a b c < 1 ∴
理：
三式相： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ①矛盾
∴原式成立
例五已知a + b + c > 0ab + bc + ca > 0abc > 0求证：a b c > 0
证：设a < 0 ∵abc > 0 ∴bc < 0
a + b + c > 0 b + c a > 0
∴ab + bc + ca a(b + c) + bc < 0 题设矛盾
：a 0abc > 0矛盾 ∴必a > 0
理证：b > 0 c > 0
十二 作业：证明列等式：
1． 设x > 0 y > 0 求证：a < b
放缩法：
2． lg9•lg11 < 1

3．

4． a > b > c

5．
左边
6．

7．已知a b c > 0 a2 + b2 c2求证：an + bn < cn (n≥3 nÎR*)
∵a b c > 0 ∴
∴
8．设0 < a b c < 2求证：(2 a)c (2 b)a (2 c)b时1
仿例四
9．x y > 0x + y >2中少2
反设≥2≥2 ∵x y > 0x + y ≤2 x + y >2矛盾
第十教时
教材：等式证明六（构造法方法）
目：求学生逐步熟悉利构造法等方法证明等式
程：
十三 构造法：
1．构造函数法
例已知x > 0求证：
证：构造函数 设2≤a
显然 ∵2≤a 0 ab 1 > 0 ab > 0 ∴式 > 0
∴f (x)单调递增∴左边
例二求证：
证：设
定义法证：f (t)单调递增
令：3≤t1∴
2．构造方程法：
例三已知实数a b c满足a + b + c 0abc 2求证：a b c中少2
证：题设：显然a b c中必正数妨设a > 0
b c二次方程两实根
∴ ：a≥2
例四求证：
证：设 ：(y 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y 1) 0
y 1时命题显然成立
y ¹ 1时△ (y + 1)2 4(y 1)2 (3y 1)(y 3)≥0
∴
综述原式成立（法称判式法）
3．构造图形法：
例五已知0 < a < 10 < b < 1求证：

A
B
C
D
O
1b
b
a
1a
证：构造单位正方形O正方形点
OAD AB距离a b
|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|
中


：
∴
十四 作业：证明列等式：
5．
令 (y 1)x2 + (y + 1)x + (y 1) 0
△法分情况讨
6． 已知关x等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 < 0 (aÎR)意实数x恒成立求证：
分a2 1 0 讨
7． x > 0 y > 0 x + y 1
左边 令 t xy
单调递减 ∴
8． a2 < a b
令单调递增
∴
A
B
C
D
F
9． 记a > b > 0| f (a) f (b) | < | a b|
构造矩形ABCD FCD
|AB| a |DF| b |AD| 1
|AC| |AF| < |CF|
10． x y z > 0
作ÐAOB ÐBOC ÐCOA 120° 设|OA| x |OB| y |OC| z
第十二教时
教材：等式证明综合练
目：系统结等式证明种常方法渗透化类换元等数学思想
程：
十五 简述等式证明种常方法
较综合分析换元反证放缩构造
十六 例已知0 < x < 1 0 < a < 1试较
解：

∵0 < 1 x2 < 1 ∴
∴
解二：

∵0 < 1 x2 < 1 1 + x > 1 ∴
∴ ∴
解三：∵0 < x < 1 ∴0 < 1 x < 1 1 < 1 + x < 2
∴
∴左 右
∵0 < 1 x2 < 1 0 < a < 1 ∴
∴
变题：a取值范围改a > 0a ¹ 1余条件变
例二已知x2 a2 + b2y2 c2 + d2字母均正求证：xy≥ac + bd
证：（分析法）∵a b c d x y正数
∴证：xy≥ac + bd
需证：(xy)2≥(ac + bd)2
：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
：a2d2 + b2c2≥2abcd 基等式显然成立
∴xy≥ac + bd
证二：（综合法）xy
≥
证三：（三角代换法）
∵x2 a2 + b2∴妨设a xsina b xcosa
y2 c2 + d2 c ysinb d ycosb
∴ac + bd xysinasinb + xycosacosb xycos(a b)≤xy
例三已知x1 x2均正数求证：
证：（分析法）等式两边均正数方须证：

：
方：
化简整理： （显然成立）
∴原式成立
证二：（反证法）假设
A
B
C
D
P
M
化简： （）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形ABCD
AB CD 1 BP x1 PC x2
ÐAPB ÐDPC时AP + PD短
取BC中点MÐAMB ÐDMC BM MC
∴ AP + PD ≥ AM + MD
：
∴
十七 作业： 2000版 高二课课练 第6课
第十三教时
教材：复元次等式
目：通复求学生熟练解答元次元二次等式尤含参数元次元二次等式正确参数分区间讨
程：
十二 提出课题：等式解法（复）：元次元二次等式
板演：1．解等式：
2．解等式组： （）
3．解等式：
4．解等式：
5．解等式：
十三 含参数等式
例解关x等式
解：原等式展开整理：
讨：时
时≥0时<0时
时
例二解关x等式
解：原等式化：



例三关x等式解集
求关x等式解集．
解：题设
变形
： ∴
例四关x等式 恒成立
求a取值范围．s
解：a>0时合 a0合
∴必：
例五函数定义域R求实数k
取值范围
解：显然k0时满足 k<0时满足

∴k取值范围[01]
十四 简单绝等式
例六（课64 例1）解等式
解集：
十五 结
十六 作业：64 练 12 P25 题64 1
补充：1．解关x等式：
1° 2°
2．等式解集求a b ()
3．等式恒成立求a取值 (a>4)
4．已知 BÍA 求p取值范围 (p≥4)
5．已知 1≤x≤1时y正负求a取值范围

第十四教时
教材：高次等式分式等式
目：求学生熟练运列表法标根法解分式等式高次等式
程：
十七 提出课题：分式等式高次等式
十八 例(P2223) 解等式
略解（分析法）


∴
解二：（列表法）原等式化列表（见P23略）
注意：根排列
解三：（标根法）作数轴标根画曲线定解
1
0
1
2
3
4
2


结：某区间式子0（0）取决式子式区间符号区间分界线式根述列表法标根法理分式高次等式中值推荐标根法
例二 解等式
解：原等式化
∴原等式解
例三 解等式
解：∵恒成立
∴原等式等价 1例四 解等式
解：原等式等价
∴原等式解
原题目改呢？
例五 解等式
解：原等式等价
：


∴
十九 例六 解等式
解：原等式等价
∴原等式解：
例七 k值时式恒成立：
解：原等式化：

∴原等式等价
1二十 结：列表法标根法分析法
二十 作业：P24 练 P25 题64 234
补充：
1．k值时等式意实数x恒成立

2．求等式解集

3．解等式

4．求适合等式x整数解 (x2)
5．等式解求值

第十五教时
教材：理等式
目：通分析典型类型例题讨解法求学生正确解答理等式
程：
二十二 提出课题：理等式 — 关键解变形理等式组
二十三
例 解等式
解：∵根式意义 ∴必须：
∵ 原等式化
两边方： 解：
∴
二十四
例二 解等式
解：原等式等价列两等式组解集集：
Ⅰ： Ⅱ：

解Ⅰ： 解Ⅱ：
∴原等式解集
二十五
例三 解等式
解：原等式等价

特提醒注意：取等号情况
二十六 例四 解等式
解 ：等式意义必须：
原等式变形 两边均非负
∴
∵x+1≥0 ∴等式解2x+1≥0
例五 解等式
解：等式意义必须：
0≤x≤3 0≤≤3 0≤≤3
∴>3 等式两边均非负
两边方： >x
两边非负次方： 解0综合 ：原等式解集0例六 解等式
解：定义域 x1≥0 x≥1
原等式化：
两边立方整理：
条件两边方 整理：
解联系定义域原等式解
二十七 结
二十八 作业：P24 练 123 P25 题 64 5
补充：解列等式
1．
2．
3． ()s
4．
5．
第十六教时（机动）
教材：指数等式数等式
目：通复求学生较熟练掌握指数等式数等式解法
程：
二十九 提出课题：指数等式数等式
强调：利指数等式数等式单调性解题
必须注意底定义域
三十 例 解等式
解：原等式化： ∵底数2>1
∴ 整理：
解等式解集{x|3 例二 解等式
解：原等式化：
： 解：
∴x>2 ∴等式解集{x|x>2}
例三 解等式
解：原等式等价
解：4∴原等式解集{x|4例四 解关x等式：
解：原等式化
a>1时
（实中间等式省）
0∴a>1时等式解集
0例五 解关x 等式
解：原等式等价
Ⅰ： Ⅱ：
解Ⅰ： 解Ⅱ： ∴
a>1时0a
∴原等式解集{x|01}{x|x>a 0例六 解等式
解：两边取a底数：
0∴ ∴
a>1时原等式化：
∴
∴ ∴
∴原等式解集

三十 结：注意底（单调性）定义域s
三十二 作业： 补充：解列等式
1．
(a>1时 02．
(23． (14．
5．求等式： (a6．求证：
7． (18．时解关x等式
()
第十七教时
教材：含绝值等式
目：求学生掌握差绝值绝值差性质证明关含绝值等式
程：复：绝值定义含绝值等式解法
a>0时
二定理：
证明：∵
①
∵aa+bb |b||b|
①|a||a+bb|≤|a+b|+|b| |a||b|≤|a+b| ②
综合①②
注意：1° 左边加强样成立
2° 等式俗称三角等式——三角形中两边第三边两边差第三边
3° ab号时右边取ab异号时左边取
推1：≤
推2：
证明：定理中b代b：
：
三应举例
例 例三见课P2627略
例四 设|a|<1 |b|<1 求证|a+b|+|ab|<2
证明：a+bab号时|a+b|+|ab||a+b+ab|2|a|<2
a+bab异号时|a+b|+|ab||a+b(ab)|2|b|<2
∴|a+b|+|ab|<2
例五 已知 a¹b时 求证：
证：


O
A
B
a
b
1
证二：（构造法）
图：


三角形两边差第三边：
四结：三角等式
五作业：P28 练题65
第十八教时
教材：含参数等式解法
目：解含参数等式时求学生根参数位置正确分组讨解等式
程：课题：含参数等式解法
二例 解关x等式
解：原等式等价 ：
∴
a>1
0例二 解关x等式
解：原等式化
：s
m>1时 ∴
m1时 ∴xÎφ
0m≤0时 x<0
例三 解关x等式
解：原等式等价
时
∴
时 ∴x¹6
时 xÎR
例四 解关x等式
解：qÎ(0)时 ∴x>2x<1
q时 xÎφ
qÎ()时 ∴1例五 满足x集合A满足x
集合B 1° AÌB 求a取值范围 2° AÊB 求a取
值范围 3° A∩B仅含元素集合求a值
解：A[12] B{x|(xa)(x1)≤0}
a≤1时 B[a1] a>1时 B[1a]
a>2时 AÌB
1≤a≤2时 AÊB
a≤1时 A∩B仅含元素
例六 方程相异两实根
求a取值范围
解：原等式化
令：
设 ∵a>0

三结
四作业：
1．

2．
求a取值范围 (a≥1)
3．
4．

5．a什范围方程：两
负根
6．方程两根2求实数m范围


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