2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体
20177某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
201611面正方体顶点面面面成角正弦值（ ）
（A） （B） （C） （D）
20166图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
20156九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题：委米垣角周八尺高五尺问：积米？意思：屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少？已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放米约
（A）14斛 （B）22斛
（C）36斛 （D）66斛
201511圆柱面截部分半球(半径)组成体该体三视图中正视图俯视图图示 该体表面积（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
201412图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体条棱中长棱长度
6 4
20136图水放置透明盖正方体容器容器高8 cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6 cm果计容器厚度球体积( )．
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
20138某体三视图图示该体体积( )．
A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π
20127图网格纸正方形边长1粗线画出某体三视图体体积
A．6 B．9 C．12 D．15
201211已知三棱锥S－ABC顶点球O球面△ABC边长1正三角形SC球O直径SC2棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
20116体三视图中正视图俯视图右图示相应侧视图（ ）
二填空题
201115已知矩形顶点半径4球球面棱锥体积
三解答题
201718图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值．
201618图顶点五面体中面
正方形二面
角二面角．
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）求二面角余弦值．
201518图四边形菱形面侧两点⊥面⊥面
（I）证明：面⊥面
（II）求直线直线成角余弦值
201419图三棱柱中侧面菱形
(Ⅰ) 证明：
（Ⅱ）ABBC
求二面角余弦值
201318图三棱柱ABC－A1B1C1中CA＝CBAB＝AA1∠BAA1＝60°
(1)证明：AB⊥A1C
(2)面ABC⊥面AA1B1BAB＝CB求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
201219图直三棱柱ABC－A1B1C1中ACBCAA1D棱AA1中点DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC
（2）求二面角A1－BD－C1
201118图四棱锥PABCD中底面ABCD行四边形∠DAB60°AB2ADPD⊥底面ABCD
(Ⅰ)证明：PA⊥BD
(Ⅱ)PDAD求二面角APBC余弦值
2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体（解析版）
20177某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
（7）解析三视图画出立体图该立体图面两相
梯形面选B
201611面正方体顶点面面 面成角正弦值（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：图示：
∵∴设面面
∵面∥面结合面面
∴理：
成角成角相等．
（均面交线）．
选A．
20166图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：原立体图图示：球切掉左角三视图
表面积球面面积三扇形面积
选A．
20156九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题：委米垣角周八尺高五尺问：积米？意思：屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少？已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放米约
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
解析：圆锥底面半径米堆体积堆放米约选（B）
201511圆柱面截部分半球(半径)组成体该体三视图中正视图俯视图图示 该体表面积（ ）
（A）1（B）2（C）4（D）8
解析：正视图俯视图知该体半球半圆柱组合体圆柱半径球半径圆柱高表面积解选（B）
201412图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体条棱中长棱长度
6 4
答案C
解析：图示原体三棱锥
中长棱长度选C
20136图水放置透明盖正方体容器容器高8 cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6 cm果计容器厚度球体积( )．
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
答案：A
解析：设球半径R题知RR－2正方体棱长半构成直角三角形△OBA直角三角形图．
BC＝2BA＝4OB＝R－2OA＝R
R2＝(R－2)2＋42R＝5
球体积(cm3)选A
20138某体三视图图示该体体积( )．
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案：A
解析：三视图知该体半圆柱放长方体图中数知圆柱底面半径r＝2长4长方体中长4宽2高2体体积πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16选A
20127图网格纸正方形边长1粗线画出某体三视图体体积（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
解析三视图知该体
三棱锥ABCD 底面△BCD
底边6高3等腰三角形
侧面ABD⊥底面BCD
AO⊥底面BCD
体体积
选择B
201211已知三棱锥S－ABC顶点球O球面△ABC边长1正三角形SC球O直径SC2棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
解析图示根球性质
知面
直角中
三棱锥S－ABC体积
选择A
20116体三视图中正视图俯视图右图示相应侧视图（ ）
解析：条件应体底面棱长r正四棱锥底面角线截出部分底面半径r圆锥称轴截出部分构成选D
二填空题
201115已知矩形顶点半径4球球面棱锥体积
解析：设ABCD截面圆圆心MAM
OM
三解答题
201718图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值．
（18）解析（1）证明：∵∴
∵∴∵面
∴面面∴面面．
（2）取中点中点连接∵
∴四边形行四边形∴
（1）知面∴面
面∴
∵∴∴两两垂直
∴坐标原点建立图示空间直角坐标系
设∴
∴
设面法量
令面法量
∵∴知面面
∴∴面面法量
∴
图知二面角钝角余弦值．
201618图顶点五面体中面
正方形二面
角二面角．
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）求二面角余弦值．
解析：⑴ ∵正方形∴∵∴∵
∴面面∴面面
⑵ ⑴知
∵面面
∴面面
∵面面
∴∴
∴四边形等腰梯形
原点图建立坐标系设
设面法量
设面法量
设二面角
二面角余弦值
201518图四边形菱形面侧两点⊥面⊥面
（I）证明：面⊥面
（II）求直线直线成角余弦值
解：（Ⅰ）证明：连接设连接
菱形中妨设⊥面知
中中
直角梯形中
面
面面⊥面 ……6分
（Ⅱ）图坐标原点分方轴轴正方单位长度建立空间直角坐标系
（Ⅰ）
直线直线成角余弦值 ……12分
201419图三棱柱中侧面菱形
(Ⅰ) 证明：
（Ⅱ）ABBC
求二面角余弦值
解析：(Ⅰ)连结交O连结AO．侧面菱形^O中点．面 ………6分
（Ⅱ）O中点AOCO ABBC
OA⊥OB^OAOB两两互相垂直．
O坐标原点OB方x轴正方OB单位长建立图示空间直角坐标系O． 等边三角形．ABBC
设面法量
取
设面法量理取
二面角余弦值
201318图三棱柱ABC－A1B1C1中CA＝CBAB＝AA1∠BAA1＝60°
(1)证明：AB⊥A1C
(2)面ABC⊥面AA1B1BAB＝CB求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
(1)证明：取AB中点O连结OCOA1A1B
CA＝CBOC⊥AB
AB＝AA1∠BAA1＝60°
△AA1B等边三角形
OA1⊥AB
OC∩OA1＝OAB⊥面OA1C
A1C面OA1CAB⊥A1C
(2)解：(1)知OC⊥ABOA1⊥AB
面ABC⊥面AA1B1B交线AB
OC⊥面AA1B1B
OAOA1OC两两相互垂直．
O坐标原点方x轴正方||单位长建立图示空间直角坐标系O－xyz
题设知A(100)A1(00)C(00)B(－100)．
＝(10)＝＝(－10)＝(0)．
设n＝(xyz)面BB1C1C法量
取n＝(1－1)．
cos〈n〉＝＝
A1C面BB1C1C成角正弦值
201219图直三棱柱ABC－A1B1C1中ACBCAA1D棱AA1中点DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC
（2）求二面角A1－BD－C1
解析（1）中
：
理：
：
DC1⊥BD
面
面
（2）解法：（法）
面
取中点连接
面面面
DC1⊥BD面面
BD⊥DC1二面角A1－BD－C1面角
设
直角△
二面角
解法二：（量法）
面
面
C点原点CACBCC1直线分
轴轴轴建立空间直角坐标系
妨设AA12ACBCAA11
A1（102）D（101）
B（010）C1（002）
设面法量
令
设面法量
令
解
二面角锐角二面角
201118图四棱锥PABCD中底面ABCD行四边形∠DAB60°AB2ADPD⊥底面ABCD
(Ⅰ)证明：PA⊥BD
(Ⅱ)PDAD求二面角APBC余弦值
（18）解：（I）余弦定理
底面
面
（II）图坐标原点长单位长射线轴正半轴建立空间直角坐标系
设面法量
取
设面法量取
二面角余弦值
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8．立体
20177某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
201611面正方体顶点面面面成角正弦值（ ）
（A） （B） （C） （D）
20166图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
20156九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题：委米垣角周八尺高五尺问：积米？意思：屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少？已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放米约
（A）14斛 （B）22斛
（C）36斛 （D）66斛
201511圆柱面截部分半球(半径)组成体该体三视图中正视图俯视图图示 该体表面积（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
201412图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体条棱中长棱长度
6 4
20136图水放置透明盖正方体容器容器高8 cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6 cm果计容器厚度球体积( )．
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
20138某体三视图图示该体体积( )．
A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π
20127图网格纸正方形边长1粗线画出某体三视图体体积
A．6 B．9 C．12 D．15
201211已知三棱锥S－ABC顶点球O球面△ABC边长1正三角形SC球O直径SC2棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
20116体三视图中正视图俯视图右图示相应侧视图（ ）
二填空题
201115已知矩形顶点半径4球球面棱锥体积
三解答题
201718图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值．
201618图顶点五面体中面
正方形二面
角二面角．
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）求二面角余弦值．
201518图四边形菱形面侧两点⊥面⊥面
（I）证明：面⊥面
（II）求直线直线成角余弦值
201419图三棱柱中侧面菱形
(Ⅰ) 证明：
（Ⅱ）ABBC
求二面角余弦值
201318图三棱柱ABC－A1B1C1中CA＝CBAB＝AA1∠BAA1＝60°
(1)证明：AB⊥A1C
(2)面ABC⊥面AA1B1BAB＝CB求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
201219图直三棱柱ABC－A1B1C1中ACBCAA1D棱AA1中点DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC
（2）求二面角A1－BD－C1
201118图四棱锥PABCD中底面ABCD行四边形∠DAB60°AB2ADPD⊥底面ABCD
(Ⅰ)证明：PA⊥BD
(Ⅱ)PDAD求二面角APBC余弦值
2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
8．立体（解析版）
20177某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
（7）解析三视图画出立体图该立体图面两相
梯形面选B
201611面正方体顶点面面 面成角正弦值（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：图示：
∵∴设面面
∵面∥面结合面面
∴理：
成角成角相等．
（均面交线）．
选A．
20166图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：原立体图图示：球切掉左角三视图
表面积球面面积三扇形面积
选A．
20156九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题：委米垣角周八尺高五尺问：积米？意思：屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少？已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放米约
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
解析：圆锥底面半径米堆体积堆放米约选（B）
201511圆柱面截部分半球(半径)组成体该体三视图中正视图俯视图图示 该体表面积（ ）
（A）1（B）2（C）4（D）8
解析：正视图俯视图知该体半球半圆柱组合体圆柱半径球半径圆柱高表面积解选（B）
201412图网格纸正方形边长1粗实线画出某面体三视图该面体条棱中长棱长度
6 4
答案C
解析：图示原体三棱锥
中长棱长度选C
20136图水放置透明盖正方体容器容器高8 cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6 cm果计容器厚度球体积( )．
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
答案：A
解析：设球半径R题知RR－2正方体棱长半构成直角三角形△OBA直角三角形图．
BC＝2BA＝4OB＝R－2OA＝R
R2＝(R－2)2＋42R＝5
球体积(cm3)选A
20138某体三视图图示该体体积( )．
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案：A
解析：三视图知该体半圆柱放长方体图中数知圆柱底面半径r＝2长4长方体中长4宽2高2体体积πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16选A
20127图网格纸正方形边长1粗线画出某体三视图体体积（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
解析三视图知该体
三棱锥ABCD 底面△BCD
底边6高3等腰三角形
侧面ABD⊥底面BCD
AO⊥底面BCD
体体积
选择B
201211已知三棱锥S－ABC顶点球O球面△ABC边长1正三角形SC球O直径SC2棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
解析图示根球性质
知面
直角中
三棱锥S－ABC体积
选择A
20116体三视图中正视图俯视图右图示相应侧视图（ ）
解析：条件应体底面棱长r正四棱锥底面角线截出部分底面半径r圆锥称轴截出部分构成选D
二填空题
201115已知矩形顶点半径4球球面棱锥体积
解析：设ABCD截面圆圆心MAM
OM
三解答题
201718图四棱锥PABCD中ABCD
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC求二面角APBC余弦值．
（18）解析（1）证明：∵∴
∵∴∵面
∴面面∴面面．
（2）取中点中点连接∵
∴四边形行四边形∴
（1）知面∴面
面∴
∵∴∴两两垂直
∴坐标原点建立图示空间直角坐标系
设∴
∴
设面法量
令面法量
∵∴知面面
∴∴面面法量
∴
图知二面角钝角余弦值．
201618图顶点五面体中面
正方形二面
角二面角．
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）求二面角余弦值．
解析：⑴ ∵正方形∴∵∴∵
∴面面∴面面
⑵ ⑴知
∵面面
∴面面
∵面面
∴∴
∴四边形等腰梯形
原点图建立坐标系设
设面法量
设面法量
设二面角
二面角余弦值
201518图四边形菱形面侧两点⊥面⊥面
（I）证明：面⊥面
（II）求直线直线成角余弦值
解：（Ⅰ）证明：连接设连接
菱形中妨设⊥面知
中中
直角梯形中
面
面面⊥面 ……6分
（Ⅱ）图坐标原点分方轴轴正方单位长度建立空间直角坐标系
（Ⅰ）
直线直线成角余弦值 ……12分
201419图三棱柱中侧面菱形
(Ⅰ) 证明：
（Ⅱ）ABBC
求二面角余弦值
解析：(Ⅰ)连结交O连结AO．侧面菱形^O中点．面 ………6分
（Ⅱ）O中点AOCO ABBC
OA⊥OB^OAOB两两互相垂直．
O坐标原点OB方x轴正方OB单位长建立图示空间直角坐标系O． 等边三角形．ABBC
设面法量
取
设面法量理取
二面角余弦值
201318图三棱柱ABC－A1B1C1中CA＝CBAB＝AA1∠BAA1＝60°
(1)证明：AB⊥A1C
(2)面ABC⊥面AA1B1BAB＝CB求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
(1)证明：取AB中点O连结OCOA1A1B
CA＝CBOC⊥AB
AB＝AA1∠BAA1＝60°
△AA1B等边三角形
OA1⊥AB
OC∩OA1＝OAB⊥面OA1C
A1C面OA1CAB⊥A1C
(2)解：(1)知OC⊥ABOA1⊥AB
面ABC⊥面AA1B1B交线AB
OC⊥面AA1B1B
OAOA1OC两两相互垂直．
O坐标原点方x轴正方||单位长建立图示空间直角坐标系O－xyz
题设知A(100)A1(00)C(00)B(－100)．
＝(10)＝＝(－10)＝(0)．
设n＝(xyz)面BB1C1C法量
取n＝(1－1)．
cos〈n〉＝＝
A1C面BB1C1C成角正弦值
201219图直三棱柱ABC－A1B1C1中ACBCAA1D棱AA1中点DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC
（2）求二面角A1－BD－C1
解析（1）中
：
理：
：
DC1⊥BD
面
面
（2）解法：（法）
面
取中点连接
面面面
DC1⊥BD面面
BD⊥DC1二面角A1－BD－C1面角
设
直角△
二面角
解法二：（量法）
面
面
C点原点CACBCC1直线分
轴轴轴建立空间直角坐标系
妨设AA12ACBCAA11
A1（102）D（101）
B（010）C1（002）
设面法量
令
设面法量
令
解
二面角锐角二面角
201118图四棱锥PABCD中底面ABCD行四边形∠DAB60°AB2ADPD⊥底面ABCD
(Ⅰ)证明：PA⊥BD
(Ⅱ)PDAD求二面角APBC余弦值
（18）解：（I）余弦定理
底面
面
（II）图坐标原点长单位长射线轴正半轴建立空间直角坐标系
设面法量
取
设面法量取
二面角余弦值
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