1 图三棱锥P ABC中PC⊥面ABC△ABC正三角形
DEF分BCPBCA中点．
（1）证明面PBF⊥面PAC
（2）判断AE否行面PFD？说明理
（3）PC AB 2求三棱锥P DEF体积．
解：（1）∵PC⊥面ABCBF面ABC∴PC⊥BF．
∵△ABC正三角形F CA中点 ∴BF⊥AC．∵PC∩AC C．
∴BF⊥面PAC． ∵BF面PBF∴面PBF⊥面PAC．
（2）AE行面PFD．
反证法：假设AE∥面PFD．∵AB∥FDFD面PFDAB面PFD
∴AB∥面PFD．∵AEAB 面ABE两条相交直线
∴面ABE∥面PFD．
∵P∈面ABEP∈面PFD矛盾． 假设成立．AE行面PFD．
（3）∵DEF分BCPBCA中点PC⊥面ABC∴VP DEF VB DEF ．
VP DEF VP BDF ＝××S△ABC ×PC＝×××．
2 图直三棱柱中AB⊥BCEF分中点．
（1）求证：EF∥面ABC
（2）求证：面⊥面
（3）求三棱锥体积．
证明：（1）连结．
∵直三棱柱中矩形
∴点F中点．
△中∵EF分中点 ∴EF∥BC． ……………2分
∵BC 面ABC EF面ABCEF∥面ABC． ………………4分
（2）∵直三棱柱中面ABC∴BC．
∵EF∥BCAB⊥BC∴AB⊥EF EF． ………………………………6分
∵∴EF⊥面． ………………………………8分
∵EF 面AEF∴面AEF⊥面． ………………………………10分
（3） ………………………………12分
． ………………………………14分
2
（）面面垂直性质定理
1 图四棱锥中面底面行四边形两三等分点．
（Ⅰ）求证∥面
（Ⅱ）面面 求证： ．
2 图四棱锥P ABCD中四边形ABCD矩形面PCD⊥面ABCDMPC中点．求证：
（1）PA∥面MDB
（2）PD⊥BC．
3 E
A
D
B
C
F
P
图三棱锥P—ABC中面PAC面ABCEF分APAC中点点D棱AB．
求证：（1）面PBC（2）面DEF面PAC．
证（1）△PAC中EF分APAC中点
EF PC．………2分
面PBC面PBC
面PBC．………………5分
（2）连结CD．△ACD正三角形．
FAC中点．………………………………………7分
面PAC 面ABC面ABC面PAC 面ABC
面PAC． …………………………………………………………11分
面DEF面DEF面PAC．…………………………14分
4 图三棱锥中点分棱中点．
(1) 求证：面
(2) 面面求证：．
P
A
B
C
F
E
（1）中分中点
面面
面．……………………………………6分
（2）面点作垂足．
面面面面
面面………………8分
面……………………………………10分
面
面面…………………………………12分
面．…………………………………14分
（二）线面垂直判定定理（量化研究垂直）
A
F
C
B
D
C
B
1
1
1
E
1
1
1
A
1 直三棱柱ABC A1B1C1中AB AC AA1 3aBC 2aDBC中点EF分A1AC1C点AE CF 2a．
（1）求证：B1F⊥面ADF
（2）求三棱锥B1 ADF体积
（3）求证：BE∥面ADF．
（1）证明：∵AB ACDBC中点∴AD⊥BC．
直三棱柱ABC A1B1C1中
A
F
C
B
D
C
B
1
1
1
E
1
1
1
A
M
∵B1B⊥底面ABCAD底面ABC∴AD⊥B1B．
∵BCB1B B∴AD⊥面B1BCC1．
∵B1F面B1BCC1∴AD⊥B1F．
矩形B1BCC1中∵C1F CD aB1C1 CF 2a
∴Rt△DCF ≌ Rt△FC1B1．
∴ÐCFD ÐC1B1F．∴ÐB1FD 90°．∴B1F⊥FD．
∵ADFD D∴B1F⊥面AFD．
（2）∵B1F⊥面AFD
∴．
（3）连EFEC设连
∴四边形AEFC矩形中点．
中点．
面．面面
2 已知四棱锥底面边长2正方形侧面等边三角形侧面
斜边直角三角形中点中点．
（1）求证：面
（2）求证：面
（3）求三棱锥体积．
设置意图：（1）量化方法研究线线垂直关系
（2）第二问设置第三问研究提供暗示
（3）体积法进行转化
第3题变式立体中类体积问题探究
1（2013年高考预测题）图圆直径点圆矩
形面圆面互相垂直
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）设中点求证：面
（Ⅲ）设面体分成两锥体体积分求
．
（1）证明： 面面
面面面
面
圆直径 面
（2）设中点
行四边形
面面
面
（3）点作面面
面
面
2 图四棱锥中面面
．
（1）证明：
（2）求四棱锥体积．
解：（1）面面面面
面面．
（2）作交题
中
．
（三）线面行性质定理
1 图三棱锥中面．已知点分
中点．
（1）求证：面
（2）线段满足面求值．
161．图三棱锥P ABC中PC⊥面ABC△ABC正三角形DEF分BCPBCA中点．
（1）证明面PBF⊥面PAC
（2）判断AE否行面PFD？说明理
（3）PC AB 2求三棱锥P DEF体积．
162 图三棱锥P ABC中∠CAB 90°PA PBDAB中点PD⊥面ABCPD AB 2AC 1．
（1）求证：面PAB⊥面PAC
（2）点M棱PB动点求△MAC周长值
163 图长方体中底面正方形
棱意点中点．
（1）证明：
（2）AF∥面C1DE求值．
3 空间立体
（）折叠问题
1 图（1）等腰直角三角形ABC底边AB4点D线段ACDE⊥ABE现△ADEDE折起△PDE位置（图（2））．
（Ⅰ）求证：PB⊥DE
（Ⅱ）PE⊥BE直线PD面PBC成角30°求PE长．
[源ZxxkCom]
（二）空间体表面积体积
1 底面边长2侧棱底面成60°正四棱锥侧面积____．
2 图边长a等边三角形ABC中线AF中位线DE交点G已知△A¢DE△ADE绕DE旋转程中图形（点A¢面ABC）列命题中正确 ．
①动点A¢ 面ABC射影线段AF
②BC∥面A¢DE③三棱锥A¢FED体积值．
① ② ③
3 图长方体中三棱锥体积 ．3
71．底面边长2侧棱底面成60°正四棱锥侧面积____．
72．已知正三棱锥底面边长6侧棱长5三棱锥体积 ．
四棱锥P ABCD 底面ABCD边长2正方形PA⊥底面ABCDPA 4PC
底面ABCD成角正切值 ．
73．图透明塑料制成长方体ABCD A1B1C1D1容器灌进水容器底面边BC固定面容器倾斜着倾斜度列三说法：①水形状始终呈棱柱形状②水面四边形EFGH面积改变③E∈AA1时AE + BF定值．中正确说法 ．
4 已知正三棱锥P－ABC点PABC半径球面PAPBPC两两相互垂直三棱锥P－ABC体积 ．
5 四棱锥中底面边长菱形侧棱底面中点四面体体积
6 圆锥底面半径1高2圆锥侧面积 ．
7 正三棱锥底面边长侧棱长1三棱锥体积 ．
8（2008浙招）圆锥形容器正放高圆锥水面高度圆锥倒置求倒置水面高度
解：开始放时面水部分圆锥设体积原圆锥体积水部分体积倒置水部分原圆锥体积高
9 已知△ABC等腰直角三角形斜边BC中线AD 2△ABCAD折成60°二面角连结BC三棱锥C ABD体积 ．
选择性填空题：
1．已知两条直线两面列四命题：
① ②∥
③∥ ④∥∥
正确命题序号 ．
2 出列命题：
（1）两面行中面直线定行面
（2）两面行垂直中面直线定垂直面
（3）两面垂直垂直中面直线定行面
（4）两面垂直中面直线定垂直面．
中真命题序号 ．（1）（2）
3 已知mn重合两条直线αβ重合两面．列命题：
①α⊥βm⊥αm∥β ②m⊥αm⊥βα∥β
③m∥αm⊥nn⊥α ④m∥αmβα∥β．
中真命题序号 ．②
常规问题：
1
1
1
H
A
B
C
G
F
E
C
B
A
（第16题）
1 图三棱柱中已知分棱中点面垂足．求证：
（1）∥面
（2）面．
（1）证明：取中点连结
∥∥ ∥
四边形行四边形 ∥面面
∥面
（2）三棱柱中分中点
∥四边形行四边形 ∥
∴∵
面
面面
图正方体中面面
棱条数 ▲ ．5
已知αβ重合面mn重合直线列命题：
①m∥nn∥αm∥α ②m⊥αm⊥βα∥β
③α∩β＝nm∥αm∥βm∥n ④α⊥βm⊥αn⊥βm⊥n．
中真命题 ▲ ． (填写正确命题序号) 234
思考：证明3？
设球表面四点满足两两垂直
球表面积 ▲ ．
图边长2cm正六边形角线折起cm
第1题图（1）
第1题图（2）
五面体体积 cm．4
图三棱锥P ABC中已知PA AB直角PA^BC点DE分PBBC中点．
（Ⅰ）求证：AD^面PBC
（Ⅱ）F线段AC求证：
AD∥面PEF．
证明：（Ⅰ）∵直角AB^BC
PA^BC
∴BC^ 面PAB． ……………… 3分
∵AD面PAB∴AD^ BC．……………… 4分
∵PA AB点DPB中点
∴AD^ PB． ……………… 5分
∵∴AD^面PBC．……… 7分
（Ⅱ）取BE中点M连DMAM
∵点DPB中点∴DM ∥PE ∵DM面PEFPE面PEF
∴DM∥面PEF． ……………… 9分
∴AM ∥FE ∵AM面PEFFE面PEF
∴AM∥面PEF． ……………… 11分
∵DMAM面DAM∴面DAM∥面PEF …… 13分
∵AD面DAM∴AD∥面PEF． ……………… 14分
图三棱柱中侧面菱形 中点．
（1）求证：面面
（2）求证：∥面．
（1）证明：∵ 菱形
∴△正三角形．
中点∴．
∵中点∴ ．
∴面．
∵面∴面面．
（2）证明：连结设连结．
∵三棱柱侧面行四边形∴中点．
△中∵中点∴∥．
∵面面∴ ∥面．
（第16题）
（2014苏州二模）图正四棱锥P ABCD高POPO AB 2．EF分棱PBCD中点Q棱PC点．
（1）求证：EF∥面PAD
（2）PC⊥面QDB求PQ．
P
A
B
C
D
O
E
（第16题图）
（2013南京三模）图四棱锥P－ABCD中OACBD交点AB^面PAD△
PAD正三角形 DCABDA＝DC＝2AB
（1）点E棱PA点OE∥面PBC求值
（2）求证：面PBC^面PDC
证 （1）OE∥面PBCOEÌ面PAC面PAC∩面PBC＝PCOE∥PC
AO∶OC＝AE∶EP． ………………3分
DCABDC＝2ABAO∶OC＝AB∶DC＝1∶2
＝． …………………6分
（2）法：取PC中点F连结FBFD．
△PAD正三角形DA＝DCDP＝DC．
FPC中点DF⊥PC ……………………8分
AB^面PADAB⊥PAAB⊥ADAB⊥PD．
DCABDC⊥DPDC⊥DA．
设AB＝a等腰直角三角形PCD中DF＝PF＝a．
Rt△PAB中PB＝a．
直角梯形ABCD中BD＝BC＝a．
BC＝PB＝a点FPC中点PC⊥FB．
Rt△PFB中FB＝a．
△FDB中DF＝aFB＝aBD＝a知DF2＋FB2＝BD2FB⊥DF．
DF⊥PCDF⊥FBPC∩FB＝FPCFBÌ面PBCDF⊥面PBC．
DFÌ面PCD面PBC^面PDC． ………………………14分
法二：取PDPC中点分MF连结AMFBMF
MF∥DCMF＝DC．
DCABAB＝DCMF∥ABMF＝AB
四边形ABFM行四边形AM∥BF． ……………………8分
正三角形PAD中MPD中点AM⊥PD．
AB⊥面PADAB⊥AM．
DCABDC⊥AM．
BFAMBF⊥PDBF⊥CD．
PD∩DC＝DPDDCÌ面PCDBF⊥面PCD．……………12分
BFÌ面PBC面PBC^面PDC ……………………14分
专题：线面行证明方法认识
（1）线线
（2）面面
（3）截剖（延伸）（通连结延伸构造行关系形成新截剖关系）
(第16题图)
A
C
D
F
E
M
O
B
例1． 图AB圆O直径点EF圆四边形ABCD矩形AB∥EF∠BAFMBD中点面ABCD⊥面ABEF．求证：
(1) BF面DAF
(2) ME∥面DAF．
解：(1)四边形ABCD矩形DA⊥AB．
面ABCD⊥面ABEFDA面ABCD面ABCD∩面ABEFAB
DA⊥面ABEF． ············································································3分
BF面ABEFDA⊥BF． ···························································4分
AB直径BF⊥AF．
DAAF面DAF两条相交直线BF面DAF．·····················7分
(2)∠BAFAB∥EFEF．··················································8分
取DA中点N连NFMNMBD中点
MN∥ABMN四边形MNFE行四边形
ME∥NF．···················································································11分
NF面DAFME面DAF
ME∥面DAF．·············································································14分
注：第(2)问先证明ME∥面MOE．
题考虑：延长交点证明
变式：四棱锥中面中点
（1）求证：
（2）求证：面（形成截剖）
（3）求三棱锥体积
A
B
C
D
E
P
P
A
B
C
D
E
第(2)问改探求题BD否存点MME∥面DAF？出结进行证明．
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DEF分BCPBCA中点．
（1）证明面PBF⊥面PAC
（2）判断AE否行面PFD？说明理
（3）PC AB 2求三棱锥P DEF体积．
解：（1）∵PC⊥面ABCBF面ABC∴PC⊥BF．
∵△ABC正三角形F CA中点 ∴BF⊥AC．∵PC∩AC C．
∴BF⊥面PAC． ∵BF面PBF∴面PBF⊥面PAC．
（2）AE行面PFD．
反证法：假设AE∥面PFD．∵AB∥FDFD面PFDAB面PFD
∴AB∥面PFD．∵AEAB 面ABE两条相交直线
∴面ABE∥面PFD．
∵P∈面ABEP∈面PFD矛盾． 假设成立．AE行面PFD．
（3）∵DEF分BCPBCA中点PC⊥面ABC∴VP DEF VB DEF ．
VP DEF VP BDF ＝××S△ABC ×PC＝×××．
2 图直三棱柱中AB⊥BCEF分中点．
（1）求证：EF∥面ABC
（2）求证：面⊥面
（3）求三棱锥体积．
证明：（1）连结．
∵直三棱柱中矩形
∴点F中点．
△中∵EF分中点 ∴EF∥BC． ……………2分
∵BC 面ABC EF面ABCEF∥面ABC． ………………4分
（2）∵直三棱柱中面ABC∴BC．
∵EF∥BCAB⊥BC∴AB⊥EF EF． ………………………………6分
∵∴EF⊥面． ………………………………8分
∵EF 面AEF∴面AEF⊥面． ………………………………10分
（3） ………………………………12分
． ………………………………14分
2
（）面面垂直性质定理
1 图四棱锥中面底面行四边形两三等分点．
（Ⅰ）求证∥面
（Ⅱ）面面 求证： ．
2 图四棱锥P ABCD中四边形ABCD矩形面PCD⊥面ABCDMPC中点．求证：
（1）PA∥面MDB
（2）PD⊥BC．
3 E
A
D
B
C
F
P
图三棱锥P—ABC中面PAC面ABCEF分APAC中点点D棱AB．
求证：（1）面PBC（2）面DEF面PAC．
证（1）△PAC中EF分APAC中点
EF PC．………2分
面PBC面PBC
面PBC．………………5分
（2）连结CD．△ACD正三角形．
FAC中点．………………………………………7分
面PAC 面ABC面ABC面PAC 面ABC
面PAC． …………………………………………………………11分
面DEF面DEF面PAC．…………………………14分
4 图三棱锥中点分棱中点．
(1) 求证：面
(2) 面面求证：．
P
A
B
C
F
E
（1）中分中点
面面
面．……………………………………6分
（2）面点作垂足．
面面面面
面面………………8分
面……………………………………10分
面
面面…………………………………12分
面．…………………………………14分
（二）线面垂直判定定理（量化研究垂直）
A
F
C
B
D
C
B
1
1
1
E
1
1
1
A
1 直三棱柱ABC A1B1C1中AB AC AA1 3aBC 2aDBC中点EF分A1AC1C点AE CF 2a．
（1）求证：B1F⊥面ADF
（2）求三棱锥B1 ADF体积
（3）求证：BE∥面ADF．
（1）证明：∵AB ACDBC中点∴AD⊥BC．
直三棱柱ABC A1B1C1中
A
F
C
B
D
C
B
1
1
1
E
1
1
1
A
M
∵B1B⊥底面ABCAD底面ABC∴AD⊥B1B．
∵BCB1B B∴AD⊥面B1BCC1．
∵B1F面B1BCC1∴AD⊥B1F．
矩形B1BCC1中∵C1F CD aB1C1 CF 2a
∴Rt△DCF ≌ Rt△FC1B1．
∴ÐCFD ÐC1B1F．∴ÐB1FD 90°．∴B1F⊥FD．
∵ADFD D∴B1F⊥面AFD．
（2）∵B1F⊥面AFD
∴．
（3）连EFEC设连
∴四边形AEFC矩形中点．
中点．
面．面面
2 已知四棱锥底面边长2正方形侧面等边三角形侧面
斜边直角三角形中点中点．
（1）求证：面
（2）求证：面
（3）求三棱锥体积．
设置意图：（1）量化方法研究线线垂直关系
（2）第二问设置第三问研究提供暗示
（3）体积法进行转化
第3题变式立体中类体积问题探究
1（2013年高考预测题）图圆直径点圆矩
形面圆面互相垂直
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）设中点求证：面
（Ⅲ）设面体分成两锥体体积分求
．
（1）证明： 面面
面面面
面
圆直径 面
（2）设中点
行四边形
面面
面
（3）点作面面
面
面
2 图四棱锥中面面
．
（1）证明：
（2）求四棱锥体积．
解：（1）面面面面
面面．
（2）作交题
中
．
（三）线面行性质定理
1 图三棱锥中面．已知点分
中点．
（1）求证：面
（2）线段满足面求值．
161．图三棱锥P ABC中PC⊥面ABC△ABC正三角形DEF分BCPBCA中点．
（1）证明面PBF⊥面PAC
（2）判断AE否行面PFD？说明理
（3）PC AB 2求三棱锥P DEF体积．
162 图三棱锥P ABC中∠CAB 90°PA PBDAB中点PD⊥面ABCPD AB 2AC 1．
（1）求证：面PAB⊥面PAC
（2）点M棱PB动点求△MAC周长值
163 图长方体中底面正方形
棱意点中点．
（1）证明：
（2）AF∥面C1DE求值．
3 空间立体
（）折叠问题
1 图（1）等腰直角三角形ABC底边AB4点D线段ACDE⊥ABE现△ADEDE折起△PDE位置（图（2））．
（Ⅰ）求证：PB⊥DE
（Ⅱ）PE⊥BE直线PD面PBC成角30°求PE长．
[源ZxxkCom]
（二）空间体表面积体积
1 底面边长2侧棱底面成60°正四棱锥侧面积____．
2 图边长a等边三角形ABC中线AF中位线DE交点G已知△A¢DE△ADE绕DE旋转程中图形（点A¢面ABC）列命题中正确 ．
①动点A¢ 面ABC射影线段AF
②BC∥面A¢DE③三棱锥A¢FED体积值．
① ② ③
3 图长方体中三棱锥体积 ．3
71．底面边长2侧棱底面成60°正四棱锥侧面积____．
72．已知正三棱锥底面边长6侧棱长5三棱锥体积 ．
四棱锥P ABCD 底面ABCD边长2正方形PA⊥底面ABCDPA 4PC
底面ABCD成角正切值 ．
73．图透明塑料制成长方体ABCD A1B1C1D1容器灌进水容器底面边BC固定面容器倾斜着倾斜度列三说法：①水形状始终呈棱柱形状②水面四边形EFGH面积改变③E∈AA1时AE + BF定值．中正确说法 ．
4 已知正三棱锥P－ABC点PABC半径球面PAPBPC两两相互垂直三棱锥P－ABC体积 ．
5 四棱锥中底面边长菱形侧棱底面中点四面体体积
6 圆锥底面半径1高2圆锥侧面积 ．
7 正三棱锥底面边长侧棱长1三棱锥体积 ．
8（2008浙招）圆锥形容器正放高圆锥水面高度圆锥倒置求倒置水面高度
解：开始放时面水部分圆锥设体积原圆锥体积水部分体积倒置水部分原圆锥体积高
9 已知△ABC等腰直角三角形斜边BC中线AD 2△ABCAD折成60°二面角连结BC三棱锥C ABD体积 ．
选择性填空题：
1．已知两条直线两面列四命题：
① ②∥
③∥ ④∥∥
正确命题序号 ．
2 出列命题：
（1）两面行中面直线定行面
（2）两面行垂直中面直线定垂直面
（3）两面垂直垂直中面直线定行面
（4）两面垂直中面直线定垂直面．
中真命题序号 ．（1）（2）
3 已知mn重合两条直线αβ重合两面．列命题：
①α⊥βm⊥αm∥β ②m⊥αm⊥βα∥β
③m∥αm⊥nn⊥α ④m∥αmβα∥β．
中真命题序号 ．②
常规问题：
1
1
1
H
A
B
C
G
F
E
C
B
A
（第16题）
1 图三棱柱中已知分棱中点面垂足．求证：
（1）∥面
（2）面．
（1）证明：取中点连结
∥∥ ∥
四边形行四边形 ∥面面
∥面
（2）三棱柱中分中点
∥四边形行四边形 ∥
∴∵
面
面面
图正方体中面面
棱条数 ▲ ．5
已知αβ重合面mn重合直线列命题：
①m∥nn∥αm∥α ②m⊥αm⊥βα∥β
③α∩β＝nm∥αm∥βm∥n ④α⊥βm⊥αn⊥βm⊥n．
中真命题 ▲ ． (填写正确命题序号) 234
思考：证明3？
设球表面四点满足两两垂直
球表面积 ▲ ．
图边长2cm正六边形角线折起cm
第1题图（1）
第1题图（2）
五面体体积 cm．4
图三棱锥P ABC中已知PA AB直角PA^BC点DE分PBBC中点．
（Ⅰ）求证：AD^面PBC
（Ⅱ）F线段AC求证：
AD∥面PEF．
证明：（Ⅰ）∵直角AB^BC
PA^BC
∴BC^ 面PAB． ……………… 3分
∵AD面PAB∴AD^ BC．……………… 4分
∵PA AB点DPB中点
∴AD^ PB． ……………… 5分
∵∴AD^面PBC．……… 7分
（Ⅱ）取BE中点M连DMAM
∵点DPB中点∴DM ∥PE ∵DM面PEFPE面PEF
∴DM∥面PEF． ……………… 9分
∴AM ∥FE ∵AM面PEFFE面PEF
∴AM∥面PEF． ……………… 11分
∵DMAM面DAM∴面DAM∥面PEF …… 13分
∵AD面DAM∴AD∥面PEF． ……………… 14分
图三棱柱中侧面菱形 中点．
（1）求证：面面
（2）求证：∥面．
（1）证明：∵ 菱形
∴△正三角形．
中点∴．
∵中点∴ ．
∴面．
∵面∴面面．
（2）证明：连结设连结．
∵三棱柱侧面行四边形∴中点．
△中∵中点∴∥．
∵面面∴ ∥面．
（第16题）
（2014苏州二模）图正四棱锥P ABCD高POPO AB 2．EF分棱PBCD中点Q棱PC点．
（1）求证：EF∥面PAD
（2）PC⊥面QDB求PQ．
P
A
B
C
D
O
E
（第16题图）
（2013南京三模）图四棱锥P－ABCD中OACBD交点AB^面PAD△
PAD正三角形 DCABDA＝DC＝2AB
（1）点E棱PA点OE∥面PBC求值
（2）求证：面PBC^面PDC
证 （1）OE∥面PBCOEÌ面PAC面PAC∩面PBC＝PCOE∥PC
AO∶OC＝AE∶EP． ………………3分
DCABDC＝2ABAO∶OC＝AB∶DC＝1∶2
＝． …………………6分
（2）法：取PC中点F连结FBFD．
△PAD正三角形DA＝DCDP＝DC．
FPC中点DF⊥PC ……………………8分
AB^面PADAB⊥PAAB⊥ADAB⊥PD．
DCABDC⊥DPDC⊥DA．
设AB＝a等腰直角三角形PCD中DF＝PF＝a．
Rt△PAB中PB＝a．
直角梯形ABCD中BD＝BC＝a．
BC＝PB＝a点FPC中点PC⊥FB．
Rt△PFB中FB＝a．
△FDB中DF＝aFB＝aBD＝a知DF2＋FB2＝BD2FB⊥DF．
DF⊥PCDF⊥FBPC∩FB＝FPCFBÌ面PBCDF⊥面PBC．
DFÌ面PCD面PBC^面PDC． ………………………14分
法二：取PDPC中点分MF连结AMFBMF
MF∥DCMF＝DC．
DCABAB＝DCMF∥ABMF＝AB
四边形ABFM行四边形AM∥BF． ……………………8分
正三角形PAD中MPD中点AM⊥PD．
AB⊥面PADAB⊥AM．
DCABDC⊥AM．
BFAMBF⊥PDBF⊥CD．
PD∩DC＝DPDDCÌ面PCDBF⊥面PCD．……………12分
BFÌ面PBC面PBC^面PDC ……………………14分
专题：线面行证明方法认识
（1）线线
（2）面面
（3）截剖（延伸）（通连结延伸构造行关系形成新截剖关系）
(第16题图)
A
C
D
F
E
M
O
B
例1． 图AB圆O直径点EF圆四边形ABCD矩形AB∥EF∠BAFMBD中点面ABCD⊥面ABEF．求证：
(1) BF面DAF
(2) ME∥面DAF．
解：(1)四边形ABCD矩形DA⊥AB．
面ABCD⊥面ABEFDA面ABCD面ABCD∩面ABEFAB
DA⊥面ABEF． ············································································3分
BF面ABEFDA⊥BF． ···························································4分
AB直径BF⊥AF．
DAAF面DAF两条相交直线BF面DAF．·····················7分
(2)∠BAFAB∥EFEF．··················································8分
取DA中点N连NFMNMBD中点
MN∥ABMN四边形MNFE行四边形
ME∥NF．···················································································11分
NF面DAFME面DAF
ME∥面DAF．·············································································14分
注：第(2)问先证明ME∥面MOE．
题考虑：延长交点证明
变式：四棱锥中面中点
（1）求证：
（2）求证：面（形成截剖）
（3）求三棱锥体积
A
B
C
D
E
P
P
A
B
C
D
E
第(2)问改探求题BD否存点MME∥面DAF？出结进行证明．
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