第十二章 复 数
●考点阐释
复数概念复数理基础解题活动中常思维突破口围绕复数代数形式三角形式出两类运算体现复数知识广泛联系性普遍渗透性两种形式运算处理复数问题提供代数思考方法三角思考方法复数概念运算意义处理复数问题问题复数化提供广阔空间正确进行复数种形式间转换选准复数表示形式灵活运复数知识处理复数三角复数复数方程综合题关键
●试题类编
※1（2003京春文7理3）设复数z1－1+iz2iarg等（ ）
A－π Bπ Cπ Dπ
2（2003海春14）复数z（m∈Ri虚数单位）复面应点位（ ）
A第象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
※3（2002京皖春4）果θ∈（π）复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）辐角值（ ）
Aθ＋ Bθ＋ Cθ Dθ＋
4．（2002全国2）复数（i）3值（ ）
A －i Bi C－1 D1
5（2002海13）图12—1复面中阴影部分（含边界）应复数集合（ ）
图12—1
※6（2001全国文5）已知复数ｚ＝arg（ ）
A B C D
※7（2000京皖春文11）设复数z1＝－1－i复面应量时针方旋转π量令应复数z2辐角值θtanθ等（ ）
A2－ B－2＋
C2＋ D－2－
※8（2000全国2）复面复数3－i应量时针方旋转量应复数（ ）
A2 B－2i
C－3i D3+i
※9（2000海理13）复数z＝（i虚数单位）三角形式（ ）
A3［cos（）＋isin（）］ B3（cos＋isin）
C3（cos＋isin） D3（cos＋isin）
10（2000京皖春1）复数z1＝3＋iz2＝1－iz＝z1·z2复面应点位（ ）
A第象限 B第二象限
C第三象限 D第四象限
11（2000京皖春理11）设复数z1＝2sinθ＋icosθ（＜θ＜复面应量时针方旋转π量应复数z2＝
r（cos＋isin）tan等（ ）
A B
C D
※12（1998全国8）复数－i立方根i外两立方根（ ）
A B
C± D±
13（1996全国4）复数等（ ）
A1+i B－1+i
C1－i D－1－i
14（1994海16）设复数z－i（i虚数单位）满足等式znz1正整数n中（ ）
A3 B4 C6 D7
15（1994全国9）果复数z满足|z+i|+|z－i|2|z+i+1|值（ ）
A1 B C2 D
二填空题
16（2003海春6）已知z复数z+＞2充条件z满足
17（2002京皖春16）意两复数z1＝x1＋y1iz2＝x2＋y2i（x1y1x2y2实数）定义运算⊙：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1w2复面应点分P1P2点O坐标原点．果w1⊙w2＝0△P1OP2中∠P1OP2 ．
18（2002海1）z∈C（3＋z）i＝1（i虚数单位）z＝ ．
19（2001海春2）复数z满足方程ii－1（i虚数单位）z_____
20（1997海理9）已知a（i虚数单位）a4_____
21（1995海20）复数z满足（1+2i）4+3iz_____
三解答题
22（2002海春17）已知zw复数（1＋3i）z纯虚数w＝|w|＝5求w．
23（2002江苏17）已知复数z＝1＋i求实数abaz＋2b＝（a＋2z）2．
24（2001京皖春18）已知z7＝1（z∈Cz≠1）
（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0
（Ⅱ）设z辐角α求cosα＋cos2α＋cos4α值
※25（2001全国理18）已知复数z1＝i（1－i）3
（Ⅰ）求argz1|z1|
（Ⅱ）复数z满足|z|＝1求|z－z1|值
26（2001海理20）意非零复数z定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1n∈N｝．
（Ⅰ）设α方程x＋根试列举法表示集合Mα
（Ⅱ）设复数ω∈Mz求证：MωMz．
27（2001海文20）意非零复数z定义集合Mz＝｛w|w＝znn∈N｝．
（Ⅰ）设z方程x+0根试列举法表示集合Mz．Mz中取两数求零概率P
（Ⅱ）集合Mz中3元素试写出满足条件z值说明理．
28（2000海春18）设复数z满足|z|＝5（3＋4i）z复面应点第二四象限角分线|z－m|＝5（m∈R）求zm值
29（2000海理22）已知复数z0＝1－mi（M＞0）z＝x＋yiω＝x′＋y′i中xyx′y′均实数i虚数单位意复数zω＝·|ω|＝2|z|．
（Ⅰ）试求m值分写出x′y′xy表示关系式
（Ⅱ）（xy）作点P坐标（x′y′）作点Q坐标述关系式作坐标面点变换：面点P变面点Q
点P直线yx+1移动时试求点P该变换点Q轨迹方程
（Ⅲ）否存样直线：面点述变换点该直线存试求出直线存说明理
※30（1999全国理20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ求函数y＝θ－argz（0＜θ＜）值应θ值
※31（1999海理19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）实数根bza+bi求复数（1－ci）（c＞0）辐角值取值范围
※32（1999海文19）设复数z满足4z+23+iωsinθ－icosθ（θ∈R）求
z值|z－ω|取值范围
※33（1998海文18）已知复数z1满足（z1－2）i1+i复数z2虚部2z1·z2实数求复数z2模
※34（1998海理18）已知量表示复数z满足（z－2）i1+i绕原点O时针方旋转设表示复数z′求复数z′+i辐角值
※35（1997全国文20）已知复数ziwi求复数zw+zw3模辐角值
36（1997全国理20）已知复数ziωi复数zz2ω3复数面应点分PQ证明：△OPQ等腰直角三角形（中O原点）
37（1997海理20）设虚数z1z2满足z12z2
（1）z1z2实系数元二次方程两根求z1z2
※（2）z11+mi（m＞0i虚数单位）ωz2－2ω辐角值θ求θ取值范围
38（1996海理22）设z虚数wz+实数－1＜ω＜2
（Ⅰ）求|z|值z实部取值范围
（Ⅱ）设u求证：u纯虚数
（Ⅲ）求w－u2值
39（1995海22）已知复数z1z2满足|z1||z2|＝1z1+z2i求z1z2值
※40（1995全国文22）设复数zcosθ+isinθθ∈（π2π）求复数z2+z模辐角
※41（1995全国理21）复面正方形四顶点逆时针方次Z1Z2Z3O（中O原点）已知Z2应复数z21+i求Z1Z3应复数
※42（1994全国理21）已知z1+i
（Ⅰ）设wz2+3－4求w三角形式
（Ⅱ）果1－i求实数ab值
43（1994海22）设w复数辐角值π实数求复数w
答案解析
1答案：B
解析：通复数复面应点关系分求出z1z2辐角值argz1πargz2
arg∈［02π）
∴argπ
解析二：
复面应点第象限选B
评述：题考查复数运算法意义辐角值等概念时考查灵活运知识解题力体现数形结合思想方法
2答案：A
解析：已知z［（m－4）－2（m+1）i］复面应点果第象限等式组解复面应点位第象限
3答案：B
解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝（cos＋isin）（cosθ＋isinθ）
＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］
∵θ∈（π） ∴θ＋∈（）
∴该复数辐角值θ＋．
4答案：C
解法：（i）3＝（cos60°＋isin60°）3＝cos180°＋isin180°＝－1
解法二：
∴
5答案：D
6答案：D
解法：
解法二： ∴
∴应第四象限tanθ＝θ＝arg．
∴argπ．
7答案：C
解析：∵argz1＝πargz2＝π
∴tanθ＝tan＝tan75°＝tan（45°＋30°）＝．
8答案：B
解析：根复数法意义求复数
．
9答案：C
解法：采观察排法复数应点第二象限选项AB中复数应点第象限排选项D复数三角形式排选C
解法二：复数直接化复数三角形式
10答案：D
解析：．
11答案：A
解析：设z1＝2sinθ＋icosθ＝|z1|（cosα＋isinα）
中|z1|＝
sinα＝（）．
∴z2＝|z1|·［cos（α）＋isin（α）］
＝r（cos＋isin）．
∴tan＝
12答案：D
解法：∵－icos+isin
∴－i三立方根cos（k012）
k0时
k1时
k2时
选D
解法二：复数开方意义i－i外两立方根表示点均匀分布原点圆心1半径圆外两立方根虚部必－排ABC选D
评述：题考查复数开方运算代数方法求解方法求解题干中提示法解题较简捷
13答案：B
解法：
（2+2i）426（cosπ+isinπ）－261－
选B
解法二：原式
∴应选B
解法三：2+2i辐角值45°（2+2i）4辐角180°1－i辐角－60°（1－i）5辐角－300°辐角480°第二象限排ACD选B
评述：题考查复数基运算定深刻性尤选择项设计隐藏着益提示作考查考生观察问题思考问题分析问题综合力
14答案：B
解析：z－iz31根记zωω4ω选B
15答案：A
解析：设复数z复面应点z|z+i|+|z－i|2点Z集合y轴Z1（0－1）Z2（01）端点线段
|z+1+λ|表示线段Z1Z2点点（－1－1）距离距离值点Z1（0－1）点（－1－1）距离距离1
评述：题考查两复数差模意义复面两点间距离
16答案：Rez＞1
解析：设za+bi果z+＞22a＞2
∴a＞1反果a＞1z+2a＞2z+＞2充条件Rez＞1
评述：题考查复数基概念基运算充条件判断方法
17答案：
解析：设
∵w1⊙w2＝0 ∴定义x1x2＋y1y2＝0
∴OP1⊥OP2 ∴∠P1OP2＝．
18答案：z＝－3－i
解析：∵（3＋z）i＝1 ∴3＋z＝－i ∴z＝－3－i
19答案：1－i
解析：∵ii－1∴（i－1）（－i）1+i
∴z1－i
20答案：－4
解析：a4［（）2］2［］4（）4
（－1+i）4（－2i）2－4
21答案：2+i
解析：已知
z2+i
22解法：设z＝a＋bi（ab∈R）（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
题意a＝3b≠0．
∵|ω|＝
∴|z|＝．
a＝3b代入解a＝±15b＝±15．
ω＝±＝±（7－i）．
解法二：题意设（1＋3i）z＝kik≠0k∈R
ω＝．
∵|ω|＝5∴k＝±50．
ω＝±（7－i）．
23解：∵z＝1＋i
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i
ab实数az＋2b＝（a＋2z）2
两式相加整理a2＋6a＋8＝0
解a1＝－2a2＝－4
应b1＝－1b2＝2．
求实数a＝－2b＝－1a＝－4b＝2．
24（Ⅰ）解法：zz2z3…z7等数列
∴等数列求公式：
∴1＋z＋z2＋z3＋…＋z6＝0
解法二：S＝1＋z＋z2＋…＋z6 ①
zS＝z＋z2＋z3＋…+z6＋z7 ②
∴①－②（1－z）S＝1－z7＝0
∴S＝＝0
（Ⅱ）z7＝1z＝cosα＋isinα
∴z7＝cos7α＋isin7α＝17α＝2kπ
z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6
＝－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－
2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］
＝－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα）
∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）＝－1
cosα＋cos2α＋cos4α＝－
解法二：z2·z5＝1z2＝
理z3＝z＝
∴z＋z2＋z4＝－1－－－
∴z＋＋＋z＋＋z＝－1
∴cos2α＋cosα＋cos4α＝
25（Ⅰ）解：z1＝i（1－i）3＝i（－2i）（1－i）＝2（1－i）
∴|z1|＝argz1＝2（cosπ＋isinπ）
图12—2
∴argz1＝π
（Ⅱ）解法：|z|＝1∴设z＝cosθ＋isinθ
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
sin（θ）＝1时|z－z1|2取值9＋4
|z－z1|值2＋1
解法二：|z|＝1成z半径1圆心（00）圆
z1成坐标系中点（2－2）
∴|z－z1|值成点（2－2）圆点距离图12—2知：|z－z1|max＝2＋1
26（Ⅰ）解：∵α方程x2－x＋1＝0根
∴α1＝（1＋i）α2＝（1－i）
α1＝（1＋i）时∵α12＝iα12n－1＝
∴
α2＝（1－i）时∵α22＝－i
∴
∴Mα＝｝
（Ⅱ）证明：∵ω∈Mz∴存M∈Nω＝z2m－1
意n∈Nω2n－1＝z(2m－1)(2n－1)
（2m－1）（2n－1）正奇数ω2n－1∈Mz∴MωMz．
27解：（Ⅰ）∵z方程x2＋1＝0根
∴z1＝iz2＝－iz1＝iz2＝－i
Mz＝｛ii2i3i4｝＝｛i－1－i1｝
P＝．
（Ⅱ）取z＝
z2＝iz3＝1．
Mz＝｛zz2z3｝取z＝i．（说明：需写出正确答案）．
28解：设z＝x＋yi（xy∈R）
∵|z|＝5∴x2＋y2＝25
（3＋4i）z＝（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）＋（4x＋3y）i
∵（3＋4i）z复面应点第二四象限角分线
∴3x－4y＋4x＋3y＝0y＝7x
∴x＝±y＝±
z＝±（＋i）z＝±（1＋7i）．
z＝1＋7i时|1＋7i－m|＝5
（1－m）2＋72＝50
m0m2
z＝－（1＋7i）时理m＝0m＝－2．
29解：（Ⅰ）题设|ω|＝|·|＝|z0||z|＝2|z|
∴|z0|＝2
1＋m2＝4m＞0m＝
x′＋y′i＝·
关系式
（Ⅱ）设点P（xy）直线yx+1变换点Q（x′y′）满足
消xy′＝（2－）x′－2＋2
点Q轨迹方程y＝（2－）x－2＋2．
（Ⅲ）假设存样直线
∵行坐标轴直线显然满足条件
∴求直线设ykx+b（k≠0）
解：∵该直线点P（xy）变换点Q（x＋yx－y）该直线
∴x－y＝k（x＋y）＋b
－（k＋1）y＝（k－）x＋b
b≠0时方程组解
样直线存
b＝0
k2＋2k＝0
解k＝k＝
样直线存方程y＝xy＝x
评述：题考查复数关概念参数方程普通方程互化变换化思想方法分类讨思想方法定系数法等
30解：0＜θ＜tanθ＞0．
z＝3cosθ＋i·2sinθ0＜argz＜tan（argz）＝tanθ
tany＝tan（θ－argz）＝
∵＋2tanθ≥2
∴≤
仅＝2tanθ（0＜θ＜）时
tanθ＝时式取等号
θ＝arctan时函数tany取值
y＝θ－argzy∈（）．
（）正切函数递增函数函数y取值arctan．
评述：题考查复数基概念三角公式等式等基础知识考查综合运学数学知识解决问题力明考复数实三角语言简练情景新颖提高考生数学素质求命题方
31解：∵方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）实根b
∴b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0
b2＋4b＋4＋（b＋a）i＝0
∴
za+bi2－2i
∴．
0≤c≤1时复数（1－ci）实部0虚部0
∴复数（1－ci）辐角值［0
范围arg［（1－ci）］＝arctan＝arctan（－1）
∵0＜c≤1∴0≤－1＜1
0≤arctan（－1）＜
∴0≤arg［（1－ci）］＜．
c＞1时复数（1－ci）实部0虚部0
∴复数（1－ci）辐角值（2π）
范围arg［（1－ci）］＝2π＋arctan＝2π＋arctan（－1）．
∵c＞1∴－1＜－1＜0
＜arctan（－1）＜0
∴＜arg［（1－ci）］＜2π．
综复数（1－ci）（c＞0）辐角值取值范围［0∪（2π）．
评述：题考查复数基概念考生运算力强调考生思维严谨性
32解：设za+bi（ab∈R）a－bi代入4z+23+i
4（a+bi）+2（a－bi）3+i
∴∴zi
|z－ω||i－（sinθ－icosθ）|
∵－1≤sin（θ－）≤1∴0≤2－2sin（θ－）≤4
∴0≤|z－ω|≤2
评述：题考查复数轭复数概念两复数相等充条件复数模复数模取值范围等基础知识综合运知识力
33解：（z1－2）i1+iz1+2（1+i）（－i）+23－i
∵z2虚部2
∴设z2a+2i（a∈R）
z1·z2（3－i）（a+2i）（3a+2）+（6－a）i实数
∴6－a0a6
z26+2i|z2|
34解：（z－2）i1+iz+23－i
∴z′z［cos（－）+isin（－）］（3－i）（i）－2i
z′+i－i2（i）2（cosπ+isinπ）
∴arg（z1+i）π
评述：题考查复数法意义复数辐角值概念
35解法：zw+zw3zw（1+w2）（i）（i）（1+i）
（1+i）2（i）
复数zw+zw3模辐角值
解法二：wicos+isin
zw+zw3z（w+w3）z［（cos+isin）+（cos+isin）3］
z［（cos+isin）+（cos+isin）］z（）
复数zw+zw3模辐角值π
评述：题考查复数关概念复数基运算力
36证法：
ω
zωcos+isin cos（－）+isin（－）
z2ω3［cos（－）+isin（－）］×（cosπ+isinπ）cosπ+isinπ
OPOQ夹角π－（－）
OP⊥OQ
|OP|||1|OQ||z2ω3||z|2|ω|31
∴|OP||OQ|
知△OPQ等腰直角三角形
证法二：∵zcos（－）+isin（－）
∴z3－i
ω
∴ω4－1
OP⊥OQ|OP||OQ|
△OPQ等腰直角三角形
37解：（1）z1z2实系数元二次方程两根z1z2轭复数
设z1a+bi（ab∈Rb≠0）z2a－bi
（a+bi）2（a－bi）
解
∴
（2）z11+mi（m＞0）z12z2z2（1－m2）+2mi
∴ω－（1+m2）+2mi
tanθ－
m＞0知m+≥2－1≤tanθ≤0
－（m2+1）＜02m＞0π≤θ＜π
求θ取值范围［ππ）
38解：（Ⅰ）设za+biab∈Rb≠0
wa+bi+
w实数b≠0a2＋b21
|z|1
w2a－1＜w2a＜2－＜a＜1
z实部取值范围（－1）
（Ⅱ）
a∈（－1）b≠0u纯虚数
（Ⅲ）
a∈（－1）a+1＞0
w－u2≥2·2－34－31
a+1a0时w－u2取值1
39解：|z1＋z2|1（z1+z2）（）1|z1||z2|1z1+z2－1z1实部z2实部－|z2|1z2虚部±
z2－±iz2z1
z1+z1
z11z2z1z21
40解法：z2+z（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθcos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
2cosθcos+i·2sincos2cos（cosθ+isinθ）
－2cos［cos（π+θ）+isin（π+θ）］
∵θ∈（π2π）∴∈（π）∴－2cos＞0
∴复数z2+z模－2cos辐角2kπ+π+θ（k∈Z）
解法二：z2+zz（1+z）（cosθ+isinθ）（1+cosθ+isinθ）
（cosθ+isinθ）（2cos2+i·2sincos）
图12—3
2cos（cosθ+isinθ）（cos+isin）2cos（cosθ+isinθ）
解法
41解法：图12—3设Z1Z3应复数分z1z3复数法意义z1＝z2［cos（）＋isin（）］
＝
z3＝．
注：求出z1z3＝iz1＝
解法二：设Z1Ｚ3应复数分z1z3根复数加法法意义题意
∴z1＝z2（1－i）＝（1－i）（1－i）＝i
z3＝z2－z1＝（1＋i）－（i）＝i
评述：题考查复数基概念意义运算力题复面简单图形背景考查复数量表示复数运算意义等基知识侧重概念性质理解掌握运算力转化思想复数教学良导作
42解：（Ⅰ）z1+iw（1+i）2＋3（1－i）－4－1－iw三角形式
（cos）
（Ⅱ）z1+i
＝（a＋2）－（a＋b）i
题设条件知（a+2）－（a+b）i1－i
根复数相等定义
解
实数ab值分－12
评述：题考查轭复数复数三角形式等基础知识运算力
43解：w复数argw＝设wr（cos＋isin）
4－r2＝0r2
w＝2（cos＝－＋i．
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●考点阐释
复数概念复数理基础解题活动中常思维突破口围绕复数代数形式三角形式出两类运算体现复数知识广泛联系性普遍渗透性两种形式运算处理复数问题提供代数思考方法三角思考方法复数概念运算意义处理复数问题问题复数化提供广阔空间正确进行复数种形式间转换选准复数表示形式灵活运复数知识处理复数三角复数复数方程综合题关键
●试题类编
※1（2003京春文7理3）设复数z1－1+iz2iarg等（ ）
A－π Bπ Cπ Dπ
2（2003海春14）复数z（m∈Ri虚数单位）复面应点位（ ）
A第象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
※3（2002京皖春4）果θ∈（π）复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）辐角值（ ）
Aθ＋ Bθ＋ Cθ Dθ＋
4．（2002全国2）复数（i）3值（ ）
A －i Bi C－1 D1
5（2002海13）图12—1复面中阴影部分（含边界）应复数集合（ ）
图12—1
※6（2001全国文5）已知复数ｚ＝arg（ ）
A B C D
※7（2000京皖春文11）设复数z1＝－1－i复面应量时针方旋转π量令应复数z2辐角值θtanθ等（ ）
A2－ B－2＋
C2＋ D－2－
※8（2000全国2）复面复数3－i应量时针方旋转量应复数（ ）
A2 B－2i
C－3i D3+i
※9（2000海理13）复数z＝（i虚数单位）三角形式（ ）
A3［cos（）＋isin（）］ B3（cos＋isin）
C3（cos＋isin） D3（cos＋isin）
10（2000京皖春1）复数z1＝3＋iz2＝1－iz＝z1·z2复面应点位（ ）
A第象限 B第二象限
C第三象限 D第四象限
11（2000京皖春理11）设复数z1＝2sinθ＋icosθ（＜θ＜复面应量时针方旋转π量应复数z2＝
r（cos＋isin）tan等（ ）
A B
C D
※12（1998全国8）复数－i立方根i外两立方根（ ）
A B
C± D±
13（1996全国4）复数等（ ）
A1+i B－1+i
C1－i D－1－i
14（1994海16）设复数z－i（i虚数单位）满足等式znz1正整数n中（ ）
A3 B4 C6 D7
15（1994全国9）果复数z满足|z+i|+|z－i|2|z+i+1|值（ ）
A1 B C2 D
二填空题
16（2003海春6）已知z复数z+＞2充条件z满足
17（2002京皖春16）意两复数z1＝x1＋y1iz2＝x2＋y2i（x1y1x2y2实数）定义运算⊙：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1w2复面应点分P1P2点O坐标原点．果w1⊙w2＝0△P1OP2中∠P1OP2 ．
18（2002海1）z∈C（3＋z）i＝1（i虚数单位）z＝ ．
19（2001海春2）复数z满足方程ii－1（i虚数单位）z_____
20（1997海理9）已知a（i虚数单位）a4_____
21（1995海20）复数z满足（1+2i）4+3iz_____
三解答题
22（2002海春17）已知zw复数（1＋3i）z纯虚数w＝|w|＝5求w．
23（2002江苏17）已知复数z＝1＋i求实数abaz＋2b＝（a＋2z）2．
24（2001京皖春18）已知z7＝1（z∈Cz≠1）
（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0
（Ⅱ）设z辐角α求cosα＋cos2α＋cos4α值
※25（2001全国理18）已知复数z1＝i（1－i）3
（Ⅰ）求argz1|z1|
（Ⅱ）复数z满足|z|＝1求|z－z1|值
26（2001海理20）意非零复数z定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1n∈N｝．
（Ⅰ）设α方程x＋根试列举法表示集合Mα
（Ⅱ）设复数ω∈Mz求证：MωMz．
27（2001海文20）意非零复数z定义集合Mz＝｛w|w＝znn∈N｝．
（Ⅰ）设z方程x+0根试列举法表示集合Mz．Mz中取两数求零概率P
（Ⅱ）集合Mz中3元素试写出满足条件z值说明理．
28（2000海春18）设复数z满足|z|＝5（3＋4i）z复面应点第二四象限角分线|z－m|＝5（m∈R）求zm值
29（2000海理22）已知复数z0＝1－mi（M＞0）z＝x＋yiω＝x′＋y′i中xyx′y′均实数i虚数单位意复数zω＝·|ω|＝2|z|．
（Ⅰ）试求m值分写出x′y′xy表示关系式
（Ⅱ）（xy）作点P坐标（x′y′）作点Q坐标述关系式作坐标面点变换：面点P变面点Q
点P直线yx+1移动时试求点P该变换点Q轨迹方程
（Ⅲ）否存样直线：面点述变换点该直线存试求出直线存说明理
※30（1999全国理20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ求函数y＝θ－argz（0＜θ＜）值应θ值
※31（1999海理19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）实数根bza+bi求复数（1－ci）（c＞0）辐角值取值范围
※32（1999海文19）设复数z满足4z+23+iωsinθ－icosθ（θ∈R）求
z值|z－ω|取值范围
※33（1998海文18）已知复数z1满足（z1－2）i1+i复数z2虚部2z1·z2实数求复数z2模
※34（1998海理18）已知量表示复数z满足（z－2）i1+i绕原点O时针方旋转设表示复数z′求复数z′+i辐角值
※35（1997全国文20）已知复数ziwi求复数zw+zw3模辐角值
36（1997全国理20）已知复数ziωi复数zz2ω3复数面应点分PQ证明：△OPQ等腰直角三角形（中O原点）
37（1997海理20）设虚数z1z2满足z12z2
（1）z1z2实系数元二次方程两根求z1z2
※（2）z11+mi（m＞0i虚数单位）ωz2－2ω辐角值θ求θ取值范围
38（1996海理22）设z虚数wz+实数－1＜ω＜2
（Ⅰ）求|z|值z实部取值范围
（Ⅱ）设u求证：u纯虚数
（Ⅲ）求w－u2值
39（1995海22）已知复数z1z2满足|z1||z2|＝1z1+z2i求z1z2值
※40（1995全国文22）设复数zcosθ+isinθθ∈（π2π）求复数z2+z模辐角
※41（1995全国理21）复面正方形四顶点逆时针方次Z1Z2Z3O（中O原点）已知Z2应复数z21+i求Z1Z3应复数
※42（1994全国理21）已知z1+i
（Ⅰ）设wz2+3－4求w三角形式
（Ⅱ）果1－i求实数ab值
43（1994海22）设w复数辐角值π实数求复数w
答案解析
1答案：B
解析：通复数复面应点关系分求出z1z2辐角值argz1πargz2
arg∈［02π）
∴argπ
解析二：
复面应点第象限选B
评述：题考查复数运算法意义辐角值等概念时考查灵活运知识解题力体现数形结合思想方法
2答案：A
解析：已知z［（m－4）－2（m+1）i］复面应点果第象限等式组解复面应点位第象限
3答案：B
解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝（cos＋isin）（cosθ＋isinθ）
＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］
∵θ∈（π） ∴θ＋∈（）
∴该复数辐角值θ＋．
4答案：C
解法：（i）3＝（cos60°＋isin60°）3＝cos180°＋isin180°＝－1
解法二：
∴
5答案：D
6答案：D
解法：
解法二： ∴
∴应第四象限tanθ＝θ＝arg．
∴argπ．
7答案：C
解析：∵argz1＝πargz2＝π
∴tanθ＝tan＝tan75°＝tan（45°＋30°）＝．
8答案：B
解析：根复数法意义求复数
．
9答案：C
解法：采观察排法复数应点第二象限选项AB中复数应点第象限排选项D复数三角形式排选C
解法二：复数直接化复数三角形式
10答案：D
解析：．
11答案：A
解析：设z1＝2sinθ＋icosθ＝|z1|（cosα＋isinα）
中|z1|＝
sinα＝（）．
∴z2＝|z1|·［cos（α）＋isin（α）］
＝r（cos＋isin）．
∴tan＝
12答案：D
解法：∵－icos+isin
∴－i三立方根cos（k012）
k0时
k1时
k2时
选D
解法二：复数开方意义i－i外两立方根表示点均匀分布原点圆心1半径圆外两立方根虚部必－排ABC选D
评述：题考查复数开方运算代数方法求解方法求解题干中提示法解题较简捷
13答案：B
解法：
（2+2i）426（cosπ+isinπ）－261－
选B
解法二：原式
∴应选B
解法三：2+2i辐角值45°（2+2i）4辐角180°1－i辐角－60°（1－i）5辐角－300°辐角480°第二象限排ACD选B
评述：题考查复数基运算定深刻性尤选择项设计隐藏着益提示作考查考生观察问题思考问题分析问题综合力
14答案：B
解析：z－iz31根记zωω4ω选B
15答案：A
解析：设复数z复面应点z|z+i|+|z－i|2点Z集合y轴Z1（0－1）Z2（01）端点线段
|z+1+λ|表示线段Z1Z2点点（－1－1）距离距离值点Z1（0－1）点（－1－1）距离距离1
评述：题考查两复数差模意义复面两点间距离
16答案：Rez＞1
解析：设za+bi果z+＞22a＞2
∴a＞1反果a＞1z+2a＞2z+＞2充条件Rez＞1
评述：题考查复数基概念基运算充条件判断方法
17答案：
解析：设
∵w1⊙w2＝0 ∴定义x1x2＋y1y2＝0
∴OP1⊥OP2 ∴∠P1OP2＝．
18答案：z＝－3－i
解析：∵（3＋z）i＝1 ∴3＋z＝－i ∴z＝－3－i
19答案：1－i
解析：∵ii－1∴（i－1）（－i）1+i
∴z1－i
20答案：－4
解析：a4［（）2］2［］4（）4
（－1+i）4（－2i）2－4
21答案：2+i
解析：已知
z2+i
22解法：设z＝a＋bi（ab∈R）（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
题意a＝3b≠0．
∵|ω|＝
∴|z|＝．
a＝3b代入解a＝±15b＝±15．
ω＝±＝±（7－i）．
解法二：题意设（1＋3i）z＝kik≠0k∈R
ω＝．
∵|ω|＝5∴k＝±50．
ω＝±（7－i）．
23解：∵z＝1＋i
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i
ab实数az＋2b＝（a＋2z）2
两式相加整理a2＋6a＋8＝0
解a1＝－2a2＝－4
应b1＝－1b2＝2．
求实数a＝－2b＝－1a＝－4b＝2．
24（Ⅰ）解法：zz2z3…z7等数列
∴等数列求公式：
∴1＋z＋z2＋z3＋…＋z6＝0
解法二：S＝1＋z＋z2＋…＋z6 ①
zS＝z＋z2＋z3＋…+z6＋z7 ②
∴①－②（1－z）S＝1－z7＝0
∴S＝＝0
（Ⅱ）z7＝1z＝cosα＋isinα
∴z7＝cos7α＋isin7α＝17α＝2kπ
z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6
＝－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－
2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］
＝－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα）
∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）＝－1
cosα＋cos2α＋cos4α＝－
解法二：z2·z5＝1z2＝
理z3＝z＝
∴z＋z2＋z4＝－1－－－
∴z＋＋＋z＋＋z＝－1
∴cos2α＋cosα＋cos4α＝
25（Ⅰ）解：z1＝i（1－i）3＝i（－2i）（1－i）＝2（1－i）
∴|z1|＝argz1＝2（cosπ＋isinπ）
图12—2
∴argz1＝π
（Ⅱ）解法：|z|＝1∴设z＝cosθ＋isinθ
|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
sin（θ）＝1时|z－z1|2取值9＋4
|z－z1|值2＋1
解法二：|z|＝1成z半径1圆心（00）圆
z1成坐标系中点（2－2）
∴|z－z1|值成点（2－2）圆点距离图12—2知：|z－z1|max＝2＋1
26（Ⅰ）解：∵α方程x2－x＋1＝0根
∴α1＝（1＋i）α2＝（1－i）
α1＝（1＋i）时∵α12＝iα12n－1＝
∴
α2＝（1－i）时∵α22＝－i
∴
∴Mα＝｝
（Ⅱ）证明：∵ω∈Mz∴存M∈Nω＝z2m－1
意n∈Nω2n－1＝z(2m－1)(2n－1)
（2m－1）（2n－1）正奇数ω2n－1∈Mz∴MωMz．
27解：（Ⅰ）∵z方程x2＋1＝0根
∴z1＝iz2＝－iz1＝iz2＝－i
Mz＝｛ii2i3i4｝＝｛i－1－i1｝
P＝．
（Ⅱ）取z＝
z2＝iz3＝1．
Mz＝｛zz2z3｝取z＝i．（说明：需写出正确答案）．
28解：设z＝x＋yi（xy∈R）
∵|z|＝5∴x2＋y2＝25
（3＋4i）z＝（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）＋（4x＋3y）i
∵（3＋4i）z复面应点第二四象限角分线
∴3x－4y＋4x＋3y＝0y＝7x
∴x＝±y＝±
z＝±（＋i）z＝±（1＋7i）．
z＝1＋7i时|1＋7i－m|＝5
（1－m）2＋72＝50
m0m2
z＝－（1＋7i）时理m＝0m＝－2．
29解：（Ⅰ）题设|ω|＝|·|＝|z0||z|＝2|z|
∴|z0|＝2
1＋m2＝4m＞0m＝
x′＋y′i＝·
关系式
（Ⅱ）设点P（xy）直线yx+1变换点Q（x′y′）满足
消xy′＝（2－）x′－2＋2
点Q轨迹方程y＝（2－）x－2＋2．
（Ⅲ）假设存样直线
∵行坐标轴直线显然满足条件
∴求直线设ykx+b（k≠0）
解：∵该直线点P（xy）变换点Q（x＋yx－y）该直线
∴x－y＝k（x＋y）＋b
－（k＋1）y＝（k－）x＋b
b≠0时方程组解
样直线存
b＝0
k2＋2k＝0
解k＝k＝
样直线存方程y＝xy＝x
评述：题考查复数关概念参数方程普通方程互化变换化思想方法分类讨思想方法定系数法等
30解：0＜θ＜tanθ＞0．
z＝3cosθ＋i·2sinθ0＜argz＜tan（argz）＝tanθ
tany＝tan（θ－argz）＝
∵＋2tanθ≥2
∴≤
仅＝2tanθ（0＜θ＜）时
tanθ＝时式取等号
θ＝arctan时函数tany取值
y＝θ－argzy∈（）．
（）正切函数递增函数函数y取值arctan．
评述：题考查复数基概念三角公式等式等基础知识考查综合运学数学知识解决问题力明考复数实三角语言简练情景新颖提高考生数学素质求命题方
31解：∵方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）实根b
∴b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0
b2＋4b＋4＋（b＋a）i＝0
∴
za+bi2－2i
∴．
0≤c≤1时复数（1－ci）实部0虚部0
∴复数（1－ci）辐角值［0
范围arg［（1－ci）］＝arctan＝arctan（－1）
∵0＜c≤1∴0≤－1＜1
0≤arctan（－1）＜
∴0≤arg［（1－ci）］＜．
c＞1时复数（1－ci）实部0虚部0
∴复数（1－ci）辐角值（2π）
范围arg［（1－ci）］＝2π＋arctan＝2π＋arctan（－1）．
∵c＞1∴－1＜－1＜0
＜arctan（－1）＜0
∴＜arg［（1－ci）］＜2π．
综复数（1－ci）（c＞0）辐角值取值范围［0∪（2π）．
评述：题考查复数基概念考生运算力强调考生思维严谨性
32解：设za+bi（ab∈R）a－bi代入4z+23+i
4（a+bi）+2（a－bi）3+i
∴∴zi
|z－ω||i－（sinθ－icosθ）|
∵－1≤sin（θ－）≤1∴0≤2－2sin（θ－）≤4
∴0≤|z－ω|≤2
评述：题考查复数轭复数概念两复数相等充条件复数模复数模取值范围等基础知识综合运知识力
33解：（z1－2）i1+iz1+2（1+i）（－i）+23－i
∵z2虚部2
∴设z2a+2i（a∈R）
z1·z2（3－i）（a+2i）（3a+2）+（6－a）i实数
∴6－a0a6
z26+2i|z2|
34解：（z－2）i1+iz+23－i
∴z′z［cos（－）+isin（－）］（3－i）（i）－2i
z′+i－i2（i）2（cosπ+isinπ）
∴arg（z1+i）π
评述：题考查复数法意义复数辐角值概念
35解法：zw+zw3zw（1+w2）（i）（i）（1+i）
（1+i）2（i）
复数zw+zw3模辐角值
解法二：wicos+isin
zw+zw3z（w+w3）z［（cos+isin）+（cos+isin）3］
z［（cos+isin）+（cos+isin）］z（）
复数zw+zw3模辐角值π
评述：题考查复数关概念复数基运算力
36证法：
ω
zωcos+isin cos（－）+isin（－）
z2ω3［cos（－）+isin（－）］×（cosπ+isinπ）cosπ+isinπ
OPOQ夹角π－（－）
OP⊥OQ
|OP|||1|OQ||z2ω3||z|2|ω|31
∴|OP||OQ|
知△OPQ等腰直角三角形
证法二：∵zcos（－）+isin（－）
∴z3－i
ω
∴ω4－1
OP⊥OQ|OP||OQ|
△OPQ等腰直角三角形
37解：（1）z1z2实系数元二次方程两根z1z2轭复数
设z1a+bi（ab∈Rb≠0）z2a－bi
（a+bi）2（a－bi）
解
∴
（2）z11+mi（m＞0）z12z2z2（1－m2）+2mi
∴ω－（1+m2）+2mi
tanθ－
m＞0知m+≥2－1≤tanθ≤0
－（m2+1）＜02m＞0π≤θ＜π
求θ取值范围［ππ）
38解：（Ⅰ）设za+biab∈Rb≠0
wa+bi+
w实数b≠0a2＋b21
|z|1
w2a－1＜w2a＜2－＜a＜1
z实部取值范围（－1）
（Ⅱ）
a∈（－1）b≠0u纯虚数
（Ⅲ）
a∈（－1）a+1＞0
w－u2≥2·2－34－31
a+1a0时w－u2取值1
39解：|z1＋z2|1（z1+z2）（）1|z1||z2|1z1+z2－1z1实部z2实部－|z2|1z2虚部±
z2－±iz2z1
z1+z1
z11z2z1z21
40解法：z2+z（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθcos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
2cosθcos+i·2sincos2cos（cosθ+isinθ）
－2cos［cos（π+θ）+isin（π+θ）］
∵θ∈（π2π）∴∈（π）∴－2cos＞0
∴复数z2+z模－2cos辐角2kπ+π+θ（k∈Z）
解法二：z2+zz（1+z）（cosθ+isinθ）（1+cosθ+isinθ）
（cosθ+isinθ）（2cos2+i·2sincos）
图12—3
2cos（cosθ+isinθ）（cos+isin）2cos（cosθ+isinθ）
解法
41解法：图12—3设Z1Z3应复数分z1z3复数法意义z1＝z2［cos（）＋isin（）］
＝
z3＝．
注：求出z1z3＝iz1＝
解法二：设Z1Ｚ3应复数分z1z3根复数加法法意义题意
∴z1＝z2（1－i）＝（1－i）（1－i）＝i
z3＝z2－z1＝（1＋i）－（i）＝i
评述：题考查复数基概念意义运算力题复面简单图形背景考查复数量表示复数运算意义等基知识侧重概念性质理解掌握运算力转化思想复数教学良导作
42解：（Ⅰ）z1+iw（1+i）2＋3（1－i）－4－1－iw三角形式
（cos）
（Ⅱ）z1+i
＝（a＋2）－（a＋b）i
题设条件知（a+2）－（a+b）i1－i
根复数相等定义
解
实数ab值分－12
评述：题考查轭复数复数三角形式等基础知识运算力
43解：w复数argw＝设wr（cos＋isin）
4－r2＝0r2
w＝2（cos＝－＋i．
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