导数定义
例1． 处导
思路： 处导必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)xa处导f′(a)b求列极限：
（1） （2）
分析：导数定义中增量△x形式种样△x选择种形式△y必须选择相应形式利函数f(x)处导条件已定极限式恒等变形转化导数定义结构形式
解：（1）
（2）
例3．观察否判断导奇函数导函数偶函数导偶函数导函数奇函数
解：偶函数 令
∴ 导偶函数导函数奇函数
证：
已知函数定义域导设点函数图象距离原点点
(1) 点坐标 求证：
(2) 函数图象通坐标原点 证明直线函数图象点处切线垂直
证：(1)设Q(x f (x) )y f (x)动点|OQ| 2 x2 + f 2 ( x )
设F(x) x2 + f 2 ( x )
F＇(x)2x +2f (x)f ＇ ( x )
已知Py f(x) 图形距离原点O点
∴|OP|2F(x)值F(x) x a处值 F(x) x a处极值
∴ F＇(a)0 2a+2f (a)f ＇ (a)0
(2) 线段OP斜率yf(x)图形P点切线l斜率f ＇ (a)
(1)知f (a)f ＇(a) – a
∴图象原点∴a ¹ 0∴f ＇(a) –1
∴OP⊥l直线OPyf(x)图形P点切线垂直
利导数证明等式
例6．求证列等式
（1） （相减）
（2） （相）
（3）
证：（1）
∴ ∴ 恒成立
∴
∴ ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
（理做）设a≥0f (x)x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x）讨F（x）（0＋∞）单调性求极值
（Ⅱ）求证：x>1时恒x>ln2x－2a ln x＋1
（Ⅰ）解：根求导法
列表：
2
0
极值
知减函数增函数处取极值．
（Ⅱ）证明：知极值．
表知切恒．
时恒单调增加．
时．(利单调性证明等式）
时恒．
（全国卷22）（题满分14分）已知函数f(x)ln(1+x)xg(x)xlnx
(i)求函数f(x)值(ii)设0．(I)解：函数f(x)定义域(1∞)令解x01x>0时f(0)0仅x0时f(x)取值值0
(II)证法：
(I)结知题设0
综
(II)证法二：设
0a时F(x)(a+∞)增函数xa时F(x)极值F(a)F(a)0b>aF(b)>0
设x>0时G(x)(0+∞)减函数G(a)0b>aG(b)<0
（2009全国卷Ⅱ理）(题满分12分)设函数两极值点
（I）求取值范围讨单调性（II）证明：
解 （I）
令称轴题意知方程两均相等实根充条件
⑴时增函数
⑵时减函数
⑶时增函数
（II）（I）
设
⑴时单调递增
⑵时单调递减
．
已知函数
（1）证明：时恒
（2）时等式恒成立求实数k取值范围
解：（1）设
时函数（0单调递增
处连续
（2）设
（0恒0
根0
区间（0根0
单调递减
（0 恒0矛盾
（0单调递增
满足题设条件
（1）已知：求证
（2）已知：求证：
（1）令x>0∴t>1
原等式等价
令f(t)t1lnt
∵时∴函数f(t)递增
∴f(t)>f(1) t1令
∴g(t)递增∴g(t)>g(1)0
∴
综
（2）（1）令x12……(n1)相加
利导数求
例7．利导数求：
（1）
（2）
分析：两问题分通错位相减法利二项式定理解决转换思维角度求导公式联想外式导数利导数运算问题解决更加简捷
解：（1）x1时
x≠1时
两边关x函数求导
（2）∵
两边关x函数求导
令x1
单调区间讨
例．设求函数单调区间
分析：题考查导数概念计算应导数研究函数性质方法推理运算力
解：
时
（i）时
时单调递增
（ii）时
时（01）单调递增知函数x1处连续
函数（0+）单调递增
（iii）时令
解
函数区间单调递增区间
单调递增
令解
函数区间单调递减
（2009安徽卷理） 已知函数讨单调性
① 时
方程两实根
+
0
_
0
+
单调递增
极
单调递减
极
单调递增
时单调递增 单调递减 单调递增
3设函数处取极值曲线点处切线垂直直线．（Ⅰ）求值（Ⅱ）函数讨单调性．
（3）方程两相等实根
wwwks5uc函数时减函数
时增函数
(2009山东卷文)已知函数中 （1）满足什条件时取极值（2）已知区间单调递增试表示出取值范围
时
x
(∞x1)
x 1
(x1x2)
x2
(x2+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极值
减函数
极值
增函数
x 1 x2处分取极值极值
时
x
(∞x2)
x 2
(x2x1)
x1
(x1+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极值
增函数
极值
减函数
x 1 x2处分取极值极值综满足时 取极值
(2)区间单调递增需恒成立
恒成立
设
令(舍)
时时单调增函数
时单调减函数
时取值
时时区间恒成立区间单调递增时值
综时 时
命题立意题三次函数利求导方法研究函数极值单调性函数值函数区间单调函数导函数该区间符号确定转等式恒成立转函数研究值运函数方程思想化思想分类讨思想解答问题
（2009浙江文）已知函数 ．
（I）函数图象原点原点处切线斜率求值 （II）函数区间单调求取值范围．
解析 （Ⅰ）题意
解
（Ⅱ）函数区间单调等价
导函数取0实数取0实数
函数存零点根零点存定理
：
整理：解
分离常数
已知函数（Ⅰ）求值（Ⅱ）求实数取值范围学科网
解：定义域 导数 令解令解单调递减单调递增时取值 学科网
（Ⅱ）解法：令 学科网
① 时学科网
增函数时学科网
② 方程根 时该区间减函数时题设相矛盾 综满足条件取值范围 学科网
解法二：题意恒成立等式恒成立 令 时
增函数 值取值范围
[广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题]（题满分14分）
已知
(Ⅰ)求函数单调区间
(Ⅱ)求函数值
(Ⅲ)切恒成立求实数取值范围
(Ⅰ)
……2分
……4分
(Ⅱ)(ⅰ)0(ⅱ)0(ⅲ)时
……9分
……10分
(Ⅲ)题意恒成立
……11分（分离常数）
设
……12分
令(舍)
时时
时取值 2……13分
已知函数设．（Ⅰ）求函数单调区间学科网
（Ⅱ）函数图意点切点切线斜率恒成立求实数值学科网
解析：（I）∵∴单调递增 ∴单调递减∴单调递减区间单调递增区间学科网
（II）恒成立学科网（分离常数）
时取值∴∴学科网
设函数时取极值．（Ⅰ）求ab值（Ⅱ）意成立求c取值范围．学科网
时值．意恒成立 解 取值范围．学科网
18（2009全国卷Ⅰ理）题满分12分设函数两极值点（I）求满足约束条件面坐标面画出满足条件点区域(II)证明：
分析（I）问考查二次函数根分布线性规划作行域力部分考生思路够分题意知方程两根
右图中阴影部分满足条件点区域
(II)问考生易分定区分度原含字母较易找突破口题利消元手段消目标中（果消会较繁琐）利范围助（I）中约束条件进求解较强技巧性
解析 题意．①
．．．②（消元）
消．
21．[浙江省富阳新中2008（）高三期中考试数学（理科）试卷第22题] (题满分15分)
设函数中
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）果定义域极值极值求实数取值范围
（Ⅲ）否存正整数时等式恒成立
21．[浙江省富阳新中2008（）高三期中考试数学（理科）试卷第22题]
解：（Ⅰ）题意知定义域
时（舍）
时时
时单调递减时单调递增
……………………………5分
（Ⅱ）题意两等实根
两等实根
设解…………10分
（Ⅲ）b1时函数
令函数
函数单调递增时恒
恒成立取恒成立
显然存正整数N1
时等式恒成立 ……………15tesoon
天·星om
权
天·星om
权
Tesooncom
天星版权
tesoon
tesoon
tesoon
天星
分
（天津文 21）
设函数（）中．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时求函数极值极值
（Ⅲ）时证明存等式意恒成立．
题考查运导数研究函数性质曲线切线方程函数极值解等式等基础知识考查综合分析解决问题力分类讨思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：时
．
曲线点处切线方程整理
．
（Ⅱ）解：
．
令解．
分两种情况讨．
（1）变化时正负表：
函数处取极值
函数处取极值
．
（2）变化时正负表：
函数处取极值
函数处取极值
．
（Ⅲ）证明：时
．
（Ⅱ）知减函数
①
设函数值．
①式恒成立必须．
区间存意恒成立．
求取值范围
（2009江西卷文）设函数． （1）意实数恒成立求值（2）方程仅实根求取值范围．
解析 (1) 恒成立 值
(2) 时 时 时
时取极值 时取极值
时 方程仅实根 解
（2009天津卷文）设函数（Ⅰ）曲线处切线斜率（Ⅱ）求函数单调区间极值（Ⅲ）已知函数三互相零点0意恒成立求m取值范围
解析 曲线处切线斜率1
（2）解析令
x变化时变化情况表：
+
0
0
+
极值
极值
减函数增函数
函数处取极值
函数处取极值
（3）解析 题设
方程0两相异实根解
合题意
意
函数值0意恒成立充条件解
综m取值范围
2009宁夏海南卷文）（题满分12分）已知函数设求函数极值(2)时12a恒成立试确定取值范围
请考生第（22）（23）（24）三题中选题作答果做做第题计分作答时2B铅笔答题卡选题目应题号涂黑
（21）解析（Ⅰ）a1时函数求导数
令 列表讨变化情况：
（13）
3
+
0
—
0
+
极值6
极值26
极值极值
（Ⅱ）图条开口抛物线关xa称
增函数
值值
a>1恒成立
恒成立a取值范围
已知函数f(x)
(Ⅰ)时 求值
(Ⅱ) 设 图象两点连线斜率否存实数恒成立存求取值范围存请说明理
(Ⅰ)2≤<时0x1
显然1≤x1<－
≤x≤x2时≥0单调递增
x2∴max(x2)
(Ⅱ)答 存符合条件
解
妨设意两点中
知 1+
1+
存符合条件
已知函数
（1）求函数y f(x)反函数导数
（2）假设意成立求实数m取值范围
解：（1）
（2）
令：
增函数时值值等式②成立仅
解法二：
设
原等式恒成立等价 ③…7分
注意
均
单调递增等式③成立仅
点晴求参数取值范围涉函数单调性值问题时导数知识解决较简单
www设函数．
（Ⅰ）证明：导数
（Ⅱ）求取值范围．
解：（Ⅰ）导数．
．
（仅时等号成立）．
（Ⅱ）令
（ⅰ）时
增函数
时．
（ⅱ）方程正根
时该区间减函数．
时题设相矛盾．
综满足条件取值范围．
ks5ucom
导数数列
已知函数方程f(x)0两根f(x)导数设（n12……）
（1）求值
（2）证明：意正整数n>a
（3）记（n12……）求数列{bn}前n项Sn
解析：（1）∵方程f(x)0两根
∴
（2）
∵∴基等式知（仅时取等号）∴样……（n12……）
（3）
理
导数解析
3（2009安徽卷理）已知函数R满足曲线
点处切线方程 ( )
A B C D
答案 A
解析
∴∴∴切线方程选A
（2009江西卷理）设函数曲线点处切线方程曲线点处切线斜率 ( )
A． B． C． D．
答案 A
解析已知选A
曲线存垂直轴切线实数取值范围
解析 解析 题意该函数定义域存垂直轴切线时斜率问题转化范围导函数存零点
解法1 （图法）转化存交点符合题意时图1数形结合显然没交点图2时正交点应填
(2009陕西卷理)设曲线点（11）处切线x轴交点横坐标令值
答案 2
19（2009浙江文）已知函数 ．
（I）函数图象原点原点处切线斜率求值 （II）函数区间单调求取值范围．
解析 （Ⅰ）题意
解
（Ⅱ）函数区间单调等价
导函数取0实数取0实数
函数存零点根零点存定理
：
整理：解
零点
(07广东)
已知a实数函数果函数区间零点求a取值范围
解： 显然没零点
令 解
① 时 恰零点
②时
恰零点
③两零点时
解
综求实数取值范围
函数时函数极值
（1）求函数解析式（2）函数3解求实数取值范围．
（2009福建卷理）（题满分14分）已知函数 (1) 试含代数式表示b求单调区间（2）令设函数处取极值记点M ()N()P() 请仔细观察曲线点P处切线线段MP位置变化趋势解释问题：（I）意m
( x)线段MP曲线f(x)均异MP公点试确定t值证明结（II）存点Q(n f(n)) x n< m线段PQ曲线f(x)异PQ公点请直接写出m取值范围（必出求解程）
解法(Ⅰ)题意
令
①a>1时 x变化时变化情况表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
函数单调增区间单调减区间
②时时恒成立仅处函数单调增区间R
③时理函数单调增区间单调减区间
综：时函数单调增区间单调减区间
时函数单调增区间R
时函数单调增区间单调减区间
(Ⅱ)令
（1）增区间单调减区间函数处取极值M（）N（）观察图象现象：①
m1（含1）变化3时线段MP斜率曲线点P处切线斜率差Kmp值正连续变负
②线段MP曲线否异HP公点Kmp－m正负着密切关联
③Kmp－0应位置界点推测：满足Kmp－m求t值面出证明确定t值曲线点处切线斜率
线段MP斜率KmpKmp－0时解
直线MP方程 令
时零点判断函数单调递增单调递减没零点线段MP曲线没异MP公点时存MP曲线异MP公点 综t值2
（2）类似（1）中观察m取值范围
解法二：
（1）解法
（2）令（1）单调增区间单调减区间函数处取极值M()N()
(Ⅰ) 直线MP方程
线段MP曲线异MP公点等价述方程(－1m)根函数零点函数三次函数三零点两极值点 零点等价恰极值点极值点两相等实数根
等价
m 取值范围(23)满足题设条件r值2
已知函数．（1）求曲线点处切线方程
（2）设果点作曲线三条切线证明：．
解：（1）求函数导数．
曲线点处切线方程：．
（2）果条切线点存．
点作曲线三条切线
方程三相异实数根．
记 ．
变化时变化情况表：
0
0
0
增
极值
减
极值
增
单调性极值极值时方程实数根
时解方程方程两相异实数根
时解方程方程两相异实数根．综果作曲线三条切线三相异实数根 ．
已知函数．图象点P(20)点P处公切线．
(1)求f(x)g(x)表达式点P处公切线方程
(2)设中求F(x)单调区间．
解：(1)∵点∴a8
∴切线斜率
∵图点∴4b+2c0
∵解：b8c16
∴
切线方程．16xy320
(2) ∵
m<0时∵m<0 ∴
x>1 时 时
∴F(x)单调减区间
∴F(x)单调增区间(1)
m<0时F(x)单调递增区间(1)单调减区间()
2．已知函数f(x)1n xg(x)(a常数)直线lyf(x)yg(x)图象相切lyf(x)图象相切定点P（1f（1））．
（1）求直线l方程a 值
（2）k∈R时讨关x方程f(x2+1)g(x)k实数解数．
解：（1）∵f′(x)∴f（1）1 ∴k11切点P（1f（1）（10）
∴l解析式yx1
yx1
∵lyg(x)相切 消yx22x+2a+20
y
∴△（2）24（2a+2）0a
（2）令h（x）f(x2+1)g(x)1n(x2+1)
∵h′(x)x增函数
1＜x＜0x＞1时
x±1时h（x）取极值1n2 x0时h（x）取极值
k∈（1n2+∞）原方程解k1n2时原方程两解＜k＜1n2时原方程四解k时原方程三解k＜时原方程两解
已知函数区间极值点．
（I）求值
（II）时设函数点处切线点处穿函数图象（动点点附曲线运动点
时侧进入侧）求函数表达式．
解：（I）函数区间分极值点分实根
设两实根（）．
时等号成立．值16．
（II）解法：知点处切线方程
切线点处空图象
两边附函数值异号
极值点．
．
极值点．
．
解法二：解法
．
切线点处穿图象两边附函数值异号存（）．
时时
时时．
设
时时
时时．
知极值点
．
导数等式综合
已知二次函数导数意实数值（ C ）
A．3 B． C．2 D．
设二次函数方程两根满足．
（I）求实数取值范围
（II）试较．说明理．
题考查二次函数二次方程基性质二次等式解法考查推理运算力．
解法1：（Ⅰ）令
题意．
求实数取值范围．
（II）令．
时单调增加时
．
解法2：（I）解法1．
（II）（I）知
．
．
解法3：（I）方程韦达定理
．
求实数取值范围．
（II）题意设
．
已知函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）时求证
（Ⅰ）解：
令
时 时
仅时取值0
（Ⅱ）证明：
（1）知
（2009辽宁卷文）（题满分12分）设曲线y＝f（x）x＝1处切线x轴行(1)求a值讨f（x）单调性(2)证明：
解析（Ⅰ）条件知
2分
时＜0 时＞0
单调减少单调增加………6分
（Ⅱ）（Ⅰ）知单调增加值
值 意 …10分
时 …12分
（2009辽宁卷理）（题满分12分）已知函数f(x)x－ax+(a－1)（1）讨函数单调性 （2）证明：意xxxx
解析 (1)定义域2分
（i）单调增加
(ii)时
时单调减少单调增加
(iii)理单调减少单调增加
(II)考虑函数
1（2009宁夏海南卷理）（题满分12分）已知函数（1）求单调区间（1）单调增加单调减少证明＜6
(Ⅱ)
条件：
右边展开左边较系数
．已知函数．
（Ⅰ）试确定函数单调区间
（Ⅱ）意恒成立试确定实数取值范围
（Ⅲ）设函数求证：．
解：（Ⅰ）．
单调递增区间
单调递减区间．
（Ⅱ）知偶函数．
等价意成立．．
①时时单调递增．
符合题意．
②时．变化时变化情况表：
单调递减
极值
单调递增
．
题意．综合①②实数取值范围．
（Ⅲ）
．
设定义域导函数意正数均
(Ⅰ) 判断函数单调性
(Ⅱ) 设较证明结
（Ⅲ）设较证明结
解：(Ⅰ)
增函数
(Ⅱ)增函数
∴（1）
理 （2）
（1）+（2）：
（Ⅲ）证法1 增函数
∴
理
……………
等式相加：
证法2：数学纳法
（1）时（Ⅱ）知等式成立
（2）时等式成立
成立
时 +
(Ⅱ)结 +
+
等式意然数均成立
已知函数定义域I导数满足常数方程实数根常数方程实数根
（I）意存等式
成立求证：方程存异实数根
（II）求证：时总成立
（III）意满足
求证：
证明：（I）假设方程异实根m
成立
必矛盾方程存异实数根………………4分
（II）令 ∴函数减函数
∴时成立………………8分
（III）妨设 增函数
∴函数减函数
设函数
(Ⅰ)x6时求展开式中二项式系数项
(Ⅱ)意实数x证明＞
(Ⅲ)否存an＜＜恒成立存试证明结求出a值存请说明理
题考察函数等式导数二项式定理组合数计算公式等容数学思想方法考查综合推理证分析解决问题力创新意识
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数项第4项项
（Ⅱ）证法：
证法二：
需进行较
令
时单调递减时单调递增处极值
时
恒成立
原等式成立
（Ⅲ）
∵成立
存恒成立
构造
1 已知函数
(1) 函数图象意两点连线斜率1
(2) [01]函数图象点切线斜率求时取值范围
解答（1）设A（B（函数图象意两点显然妨设构造函数R减函数R恒成立解
（2）[01]时意[01][01]成立必需满足
解
导数二项式定理
． 已知函数f (x ) x2 + lnx
（I）求函数f (x )[1e]值
（II）求证：区间[1+∞函数f (x )图象函数g (x ) x3图象方
（III）求证：[(x )]n－(xn)≥2n－2（n∈N*）
解：（I）易知f (x )[1e]增函数
∴ f (x )max f (e ) e2 + 1f (x )min f (1 )
（II）设F (x ) x2 + lnx－x3(x ) x +－2x2
∵ x＞1∴ (x )＜0F (x )(1+∞)减函数
F (1) －＜0∴ (1+∞)F (x )＜0
x2 + lnx＜x3函数f (x )图象函数g (x ) x3图象方
（III）n 1时等式显然成立
n≥2时：[(x )]n－(xn) (x +)n－(xn +)
xn－1·+xn－2·+ … +x·xn－2 +xn－4 + … +x·
[(xn－2 +) +(xn－4 +) + … +(+ xn－2)]
≥(2+ 2+ … + 2) 2n－2
注：第二问数学纳法证
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例1． 处导
思路： 处导必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)xa处导f′(a)b求列极限：
（1） （2）
分析：导数定义中增量△x形式种样△x选择种形式△y必须选择相应形式利函数f(x)处导条件已定极限式恒等变形转化导数定义结构形式
解：（1）
（2）
例3．观察否判断导奇函数导函数偶函数导偶函数导函数奇函数
解：偶函数 令
∴ 导偶函数导函数奇函数
证：
已知函数定义域导设点函数图象距离原点点
(1) 点坐标 求证：
(2) 函数图象通坐标原点 证明直线函数图象点处切线垂直
证：(1)设Q(x f (x) )y f (x)动点|OQ| 2 x2 + f 2 ( x )
设F(x) x2 + f 2 ( x )
F＇(x)2x +2f (x)f ＇ ( x )
已知Py f(x) 图形距离原点O点
∴|OP|2F(x)值F(x) x a处值 F(x) x a处极值
∴ F＇(a)0 2a+2f (a)f ＇ (a)0
(2) 线段OP斜率yf(x)图形P点切线l斜率f ＇ (a)
(1)知f (a)f ＇(a) – a
∴图象原点∴a ¹ 0∴f ＇(a) –1
∴OP⊥l直线OPyf(x)图形P点切线垂直
利导数证明等式
例6．求证列等式
（1） （相减）
（2） （相）
（3）
证：（1）
∴ ∴ 恒成立
∴
∴ ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
（理做）设a≥0f (x)x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x）讨F（x）（0＋∞）单调性求极值
（Ⅱ）求证：x>1时恒x>ln2x－2a ln x＋1
（Ⅰ）解：根求导法
列表：
2
0
极值
知减函数增函数处取极值．
（Ⅱ）证明：知极值．
表知切恒．
时恒单调增加．
时．(利单调性证明等式）
时恒．
（全国卷22）（题满分14分）已知函数f(x)ln(1+x)xg(x)xlnx
(i)求函数f(x)值(ii)设0
(II)证法：
(I)结知题设0
综
(II)证法二：设
0
设x>0时G(x)(0+∞)减函数G(a)0b>aG(b)<0
（2009全国卷Ⅱ理）(题满分12分)设函数两极值点
（I）求取值范围讨单调性（II）证明：
解 （I）
令称轴题意知方程两均相等实根充条件
⑴时增函数
⑵时减函数
⑶时增函数
（II）（I）
设
⑴时单调递增
⑵时单调递减
．
已知函数
（1）证明：时恒
（2）时等式恒成立求实数k取值范围
解：（1）设
时函数（0单调递增
处连续
（2）设
（0恒0
根0
区间（0根0
单调递减
（0 恒0矛盾
（0单调递增
满足题设条件
（1）已知：求证
（2）已知：求证：
（1）令x>0∴t>1
原等式等价
令f(t)t1lnt
∵时∴函数f(t)递增
∴f(t)>f(1) t1
∴g(t)递增∴g(t)>g(1)0
∴
综
（2）（1）令x12……(n1)相加
利导数求
例7．利导数求：
（1）
（2）
分析：两问题分通错位相减法利二项式定理解决转换思维角度求导公式联想外式导数利导数运算问题解决更加简捷
解：（1）x1时
x≠1时
两边关x函数求导
（2）∵
两边关x函数求导
令x1
单调区间讨
例．设求函数单调区间
分析：题考查导数概念计算应导数研究函数性质方法推理运算力
解：
时
（i）时
时单调递增
（ii）时
时（01）单调递增知函数x1处连续
函数（0+）单调递增
（iii）时令
解
函数区间单调递增区间
单调递增
令解
函数区间单调递减
（2009安徽卷理） 已知函数讨单调性
① 时
方程两实根
+
0
_
0
+
单调递增
极
单调递减
极
单调递增
时单调递增 单调递减 单调递增
3设函数处取极值曲线点处切线垂直直线．（Ⅰ）求值（Ⅱ）函数讨单调性．
（3）方程两相等实根
wwwks5uc函数时减函数
时增函数
(2009山东卷文)已知函数中 （1）满足什条件时取极值（2）已知区间单调递增试表示出取值范围
时
x
(∞x1)
x 1
(x1x2)
x2
(x2+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极值
减函数
极值
增函数
x 1 x2处分取极值极值
时
x
(∞x2)
x 2
(x2x1)
x1
(x1+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极值
增函数
极值
减函数
x 1 x2处分取极值极值综满足时 取极值
(2)区间单调递增需恒成立
恒成立
设
令(舍)
时时单调增函数
时单调减函数
时取值
时时区间恒成立区间单调递增时值
综时 时
命题立意题三次函数利求导方法研究函数极值单调性函数值函数区间单调函数导函数该区间符号确定转等式恒成立转函数研究值运函数方程思想化思想分类讨思想解答问题
（2009浙江文）已知函数 ．
（I）函数图象原点原点处切线斜率求值 （II）函数区间单调求取值范围．
解析 （Ⅰ）题意
解
（Ⅱ）函数区间单调等价
导函数取0实数取0实数
函数存零点根零点存定理
：
整理：解
分离常数
已知函数（Ⅰ）求值（Ⅱ）求实数取值范围学科网
解：定义域 导数 令解令解单调递减单调递增时取值 学科网
（Ⅱ）解法：令 学科网
① 时学科网
增函数时学科网
② 方程根 时该区间减函数时题设相矛盾 综满足条件取值范围 学科网
解法二：题意恒成立等式恒成立 令 时
增函数 值取值范围
[广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题]（题满分14分）
已知
(Ⅰ)求函数单调区间
(Ⅱ)求函数值
(Ⅲ)切恒成立求实数取值范围
(Ⅰ)
……2分
……4分
(Ⅱ)(ⅰ)0
……9分
……10分
(Ⅲ)题意恒成立
……11分（分离常数）
设
……12分
令(舍)
时时
时取值 2……13分
已知函数设．（Ⅰ）求函数单调区间学科网
（Ⅱ）函数图意点切点切线斜率恒成立求实数值学科网
解析：（I）∵∴单调递增 ∴单调递减∴单调递减区间单调递增区间学科网
（II）恒成立学科网（分离常数）
时取值∴∴学科网
设函数时取极值．（Ⅰ）求ab值（Ⅱ）意成立求c取值范围．学科网
时值．意恒成立 解 取值范围．学科网
18（2009全国卷Ⅰ理）题满分12分设函数两极值点（I）求满足约束条件面坐标面画出满足条件点区域(II)证明：
分析（I）问考查二次函数根分布线性规划作行域力部分考生思路够分题意知方程两根
右图中阴影部分满足条件点区域
(II)问考生易分定区分度原含字母较易找突破口题利消元手段消目标中（果消会较繁琐）利范围助（I）中约束条件进求解较强技巧性
解析 题意．①
．．．②（消元）
消．
21．[浙江省富阳新中2008（）高三期中考试数学（理科）试卷第22题] (题满分15分)
设函数中
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）果定义域极值极值求实数取值范围
（Ⅲ）否存正整数时等式恒成立
21．[浙江省富阳新中2008（）高三期中考试数学（理科）试卷第22题]
解：（Ⅰ）题意知定义域
时（舍）
时时
时单调递减时单调递增
……………………………5分
（Ⅱ）题意两等实根
两等实根
设解…………10分
（Ⅲ）b1时函数
令函数
函数单调递增时恒
恒成立取恒成立
显然存正整数N1
时等式恒成立 ……………15tesoon
天·星om
权
天·星om
权
Tesooncom
天星版权
tesoon
tesoon
tesoon
天星
分
（天津文 21）
设函数（）中．
（Ⅰ）时求曲线点处切线方程
（Ⅱ）时求函数极值极值
（Ⅲ）时证明存等式意恒成立．
题考查运导数研究函数性质曲线切线方程函数极值解等式等基础知识考查综合分析解决问题力分类讨思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：时
．
曲线点处切线方程整理
．
（Ⅱ）解：
．
令解．
分两种情况讨．
（1）变化时正负表：
函数处取极值
函数处取极值
．
（2）变化时正负表：
函数处取极值
函数处取极值
．
（Ⅲ）证明：时
．
（Ⅱ）知减函数
①
设函数值．
①式恒成立必须．
区间存意恒成立．
求取值范围
（2009江西卷文）设函数． （1）意实数恒成立求值（2）方程仅实根求取值范围．
解析 (1) 恒成立 值
(2) 时 时 时
时取极值 时取极值
时 方程仅实根 解
（2009天津卷文）设函数（Ⅰ）曲线处切线斜率（Ⅱ）求函数单调区间极值（Ⅲ）已知函数三互相零点0意恒成立求m取值范围
解析 曲线处切线斜率1
（2）解析令
x变化时变化情况表：
+
0
0
+
极值
极值
减函数增函数
函数处取极值
函数处取极值
（3）解析 题设
方程0两相异实根解
合题意
意
函数值0意恒成立充条件解
综m取值范围
2009宁夏海南卷文）（题满分12分）已知函数设求函数极值(2)时12a恒成立试确定取值范围
请考生第（22）（23）（24）三题中选题作答果做做第题计分作答时2B铅笔答题卡选题目应题号涂黑
（21）解析（Ⅰ）a1时函数求导数
令 列表讨变化情况：
（13）
3
+
0
—
0
+
极值6
极值26
极值极值
（Ⅱ）图条开口抛物线关xa称
增函数
值值
a>1恒成立
恒成立a取值范围
已知函数f(x)
(Ⅰ)时 求值
(Ⅱ) 设 图象两点连线斜率否存实数恒成立存求取值范围存请说明理
(Ⅰ)2≤<时0x1
显然1≤x1<
≤x≤x2时≥0单调递增
x2
(Ⅱ)答 存符合条件
解
妨设意两点中
知 1+
1+
存符合条件
已知函数
（1）求函数y f(x)反函数导数
（2）假设意成立求实数m取值范围
解：（1）
（2）
令：
增函数时值值等式②成立仅
解法二：
设
原等式恒成立等价 ③…7分
注意
均
单调递增等式③成立仅
点晴求参数取值范围涉函数单调性值问题时导数知识解决较简单
www设函数．
（Ⅰ）证明：导数
（Ⅱ）求取值范围．
解：（Ⅰ）导数．
．
（仅时等号成立）．
（Ⅱ）令
（ⅰ）时
增函数
时．
（ⅱ）方程正根
时该区间减函数．
时题设相矛盾．
综满足条件取值范围．
ks5ucom
导数数列
已知函数方程f(x)0两根f(x)导数设（n12……）
（1）求值
（2）证明：意正整数n>a
（3）记（n12……）求数列{bn}前n项Sn
解析：（1）∵方程f(x)0两根
∴
（2）
∵∴基等式知（仅时取等号）∴样……（n12……）
（3）
理
导数解析
3（2009安徽卷理）已知函数R满足曲线
点处切线方程 ( )
A B C D
答案 A
解析
∴∴∴切线方程选A
（2009江西卷理）设函数曲线点处切线方程曲线点处切线斜率 ( )
A． B． C． D．
答案 A
解析已知选A
曲线存垂直轴切线实数取值范围
解析 解析 题意该函数定义域存垂直轴切线时斜率问题转化范围导函数存零点
解法1 （图法）转化存交点符合题意时图1数形结合显然没交点图2时正交点应填
(2009陕西卷理)设曲线点（11）处切线x轴交点横坐标令值
答案 2
19（2009浙江文）已知函数 ．
（I）函数图象原点原点处切线斜率求值 （II）函数区间单调求取值范围．
解析 （Ⅰ）题意
解
（Ⅱ）函数区间单调等价
导函数取0实数取0实数
函数存零点根零点存定理
：
整理：解
零点
(07广东)
已知a实数函数果函数区间零点求a取值范围
解： 显然没零点
令 解
① 时 恰零点
②时
恰零点
③两零点时
解
综求实数取值范围
函数时函数极值
（1）求函数解析式（2）函数3解求实数取值范围．
（2009福建卷理）（题满分14分）已知函数 (1) 试含代数式表示b求单调区间（2）令设函数处取极值记点M ()N()P() 请仔细观察曲线点P处切线线段MP位置变化趋势解释问题：（I）意m
( x)线段MP曲线f(x)均异MP公点试确定t值证明结（II）存点Q(n f(n)) x n< m线段PQ曲线f(x)异PQ公点请直接写出m取值范围（必出求解程）
解法(Ⅰ)题意
令
①a>1时 x变化时变化情况表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
函数单调增区间单调减区间
②时时恒成立仅处函数单调增区间R
③时理函数单调增区间单调减区间
综：时函数单调增区间单调减区间
时函数单调增区间R
时函数单调增区间单调减区间
(Ⅱ)令
（1）增区间单调减区间函数处取极值M（）N（）观察图象现象：①
m1（含1）变化3时线段MP斜率曲线点P处切线斜率差Kmp值正连续变负
②线段MP曲线否异HP公点Kmp－m正负着密切关联
③Kmp－0应位置界点推测：满足Kmp－m求t值面出证明确定t值曲线点处切线斜率
线段MP斜率KmpKmp－0时解
直线MP方程 令
时零点判断函数单调递增单调递减没零点线段MP曲线没异MP公点时存MP曲线异MP公点 综t值2
（2）类似（1）中观察m取值范围
解法二：
（1）解法
（2）令（1）单调增区间单调减区间函数处取极值M()N()
(Ⅰ) 直线MP方程
线段MP曲线异MP公点等价述方程(－1m)根函数零点函数三次函数三零点两极值点 零点等价恰极值点极值点两相等实数根
等价
m 取值范围(23)满足题设条件r值2
已知函数．（1）求曲线点处切线方程
（2）设果点作曲线三条切线证明：．
解：（1）求函数导数．
曲线点处切线方程：．
（2）果条切线点存．
点作曲线三条切线
方程三相异实数根．
记 ．
变化时变化情况表：
0
0
0
增
极值
减
极值
增
单调性极值极值时方程实数根
时解方程方程两相异实数根
时解方程方程两相异实数根．综果作曲线三条切线三相异实数根 ．
已知函数．图象点P(20)点P处公切线．
(1)求f(x)g(x)表达式点P处公切线方程
(2)设中求F(x)单调区间．
解：(1)∵点∴a8
∴切线斜率
∵图点∴4b+2c0
∵解：b8c16
∴
切线方程．16xy320
(2) ∵
m<0时∵m<0 ∴
x>1 时 时
∴F(x)单调减区间
∴F(x)单调增区间(1)
m<0时F(x)单调递增区间(1)单调减区间()
2．已知函数f(x)1n xg(x)(a常数)直线lyf(x)yg(x)图象相切lyf(x)图象相切定点P（1f（1））．
（1）求直线l方程a 值
（2）k∈R时讨关x方程f(x2+1)g(x)k实数解数．
解：（1）∵f′(x)∴f（1）1 ∴k11切点P（1f（1）（10）
∴l解析式yx1
yx1
∵lyg(x)相切 消yx22x+2a+20
y
∴△（2）24（2a+2）0a
（2）令h（x）f(x2+1)g(x)1n(x2+1)
∵h′(x)x增函数
1＜x＜0x＞1时
x±1时h（x）取极值1n2 x0时h（x）取极值
k∈（1n2+∞）原方程解k1n2时原方程两解＜k＜1n2时原方程四解k时原方程三解k＜时原方程两解
已知函数区间极值点．
（I）求值
（II）时设函数点处切线点处穿函数图象（动点点附曲线运动点
时侧进入侧）求函数表达式．
解：（I）函数区间分极值点分实根
设两实根（）．
时等号成立．值16．
（II）解法：知点处切线方程
切线点处空图象
两边附函数值异号
极值点．
．
极值点．
．
解法二：解法
．
切线点处穿图象两边附函数值异号存（）．
时时
时时．
设
时时
时时．
知极值点
．
导数等式综合
已知二次函数导数意实数值（ C ）
A．3 B． C．2 D．
设二次函数方程两根满足．
（I）求实数取值范围
（II）试较．说明理．
题考查二次函数二次方程基性质二次等式解法考查推理运算力．
解法1：（Ⅰ）令
题意．
求实数取值范围．
（II）令．
时单调增加时
．
解法2：（I）解法1．
（II）（I）知
．
．
解法3：（I）方程韦达定理
．
求实数取值范围．
（II）题意设
．
已知函数
（Ⅰ）求函数值
（Ⅱ）时求证
（Ⅰ）解：
令
时 时
仅时取值0
（Ⅱ）证明：
（1）知
（2009辽宁卷文）（题满分12分）设曲线y＝f（x）x＝1处切线x轴行(1)求a值讨f（x）单调性(2)证明：
解析（Ⅰ）条件知
2分
时＜0 时＞0
单调减少单调增加………6分
（Ⅱ）（Ⅰ）知单调增加值
值 意 …10分
时 …12分
（2009辽宁卷理）（题满分12分）已知函数f(x)x－ax+(a－1)（1）讨函数单调性 （2）证明：意xxxx
解析 (1)定义域2分
（i）单调增加
(ii)时
时单调减少单调增加
(iii)理单调减少单调增加
(II)考虑函数
1
(Ⅱ)
条件：
右边展开左边较系数
．已知函数．
（Ⅰ）试确定函数单调区间
（Ⅱ）意恒成立试确定实数取值范围
（Ⅲ）设函数求证：．
解：（Ⅰ）．
单调递增区间
单调递减区间．
（Ⅱ）知偶函数．
等价意成立．．
①时时单调递增．
符合题意．
②时．变化时变化情况表：
单调递减
极值
单调递增
．
题意．综合①②实数取值范围．
（Ⅲ）
．
设定义域导函数意正数均
(Ⅰ) 判断函数单调性
(Ⅱ) 设较证明结
（Ⅲ）设较证明结
解：(Ⅰ)
增函数
(Ⅱ)增函数
∴（1）
理 （2）
（1）+（2）：
（Ⅲ）证法1 增函数
∴
理
……………
等式相加：
证法2：数学纳法
（1）时（Ⅱ）知等式成立
（2）时等式成立
成立
时 +
(Ⅱ)结 +
+
等式意然数均成立
已知函数定义域I导数满足常数方程实数根常数方程实数根
（I）意存等式
成立求证：方程存异实数根
（II）求证：时总成立
（III）意满足
求证：
证明：（I）假设方程异实根m
成立
必矛盾方程存异实数根………………4分
（II）令 ∴函数减函数
∴时成立………………8分
（III）妨设 增函数
∴函数减函数
设函数
(Ⅰ)x6时求展开式中二项式系数项
(Ⅱ)意实数x证明＞
(Ⅲ)否存an＜＜恒成立存试证明结求出a值存请说明理
题考察函数等式导数二项式定理组合数计算公式等容数学思想方法考查综合推理证分析解决问题力创新意识
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数项第4项项
（Ⅱ）证法：
证法二：
需进行较
令
时单调递减时单调递增处极值
时
恒成立
原等式成立
（Ⅲ）
∵成立
存恒成立
构造
1 已知函数
(1) 函数图象意两点连线斜率1
(2) [01]函数图象点切线斜率求时取值范围
解答（1）设A（B（函数图象意两点显然妨设构造函数R减函数R恒成立解
（2）[01]时意[01][01]成立必需满足
解
导数二项式定理
． 已知函数f (x ) x2 + lnx
（I）求函数f (x )[1e]值
（II）求证：区间[1+∞函数f (x )图象函数g (x ) x3图象方
（III）求证：[(x )]n－(xn)≥2n－2（n∈N*）
解：（I）易知f (x )[1e]增函数
∴ f (x )max f (e ) e2 + 1f (x )min f (1 )
（II）设F (x ) x2 + lnx－x3(x ) x +－2x2
∵ x＞1∴ (x )＜0F (x )(1+∞)减函数
F (1) －＜0∴ (1+∞)F (x )＜0
x2 + lnx＜x3函数f (x )图象函数g (x ) x3图象方
（III）n 1时等式显然成立
n≥2时：[(x )]n－(xn) (x +)n－(xn +)
xn－1·+xn－2·+ … +x·xn－2 +xn－4 + … +x·
[(xn－2 +) +(xn－4 +) + … +(+ xn－2)]
≥(2+ 2+ … + 2) 2n－2
注：第二问数学纳法证
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