二面角种求法
二面角求法中知识综合性较强方法灵活性较般言二面角转化面角化三角形角求解程中利面立体三角函数等重知识求二面角关键根问题出背景恰时选择方法作出二面角面角时直接运射影面积公式求出二面角
I 寻找棱二面角面角方法 ( 定义法三垂线法垂面法射影面积法 )
定义法：利二面角面角定义二面角棱取点（特殊点）该点两半面作垂直棱射线两射线成角二面角面角种基方法注意二面角面角定义三特征找出面角
P
B
α
C
A
E
F
D
例 空间三条射线CACPCB∠PCA∠PCB60o∠ACB90o求二面角BPCA
解：PC点D分作DE⊥ACEDF⊥BCF连EF
∴∠EDF二面角BPCA面角设CDa∵∠PCA∠PCB600
∴CECF2aDEDF∵∠ACB900∴EF
∴∠EDF
1 三棱锥PABC中APBBPCCPA600求二面角APBC余弦值
A
B
C
N
M
P
Q
P
O
B
A
2 图已知二面角αаβ等120°PA⊥αA∈αPB⊥βB∈β求∠APB
3 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPAABa求二面角BPCD
二三垂线法：已知二面角中面点面垂线三垂线定理逆定理作出二面角面角
例 四棱锥PABCD中ABCD行四边形PA⊥面ABCDPAABa∠ABC30°求二面角PBCA
解：图PA⊥面BDA作AH⊥BCH连结PHPH⊥BC
AH⊥BC∠PHA二面角PBCA面角
Rt△ABH中AHABsin∠ABCaSin30°
Rt△PHA中tan∠PHAPAAH∠PHAarctan2
5 四棱锥PABCD中ABCD行四边形PA⊥面ABCDPAABa∠ABC30°求二面角PBCA
C
B
MB
A
P
N
K
6 图三棱锥PABC中PA⊥面ABCPAABACBC1∠ACB900MPB中点(1)求证：BC⊥PC(2)面MAC面ABC成二面角正切
7 ΔABC中∠A90°AB4AC3面ABC外点P面ABC射影AB中点M二面角P—AC—B45°求（1）二面角P—BC—A（2）二面角C—PB—A
C
D
P
M
B
A
8 图已知△ABC中AB⊥BCS面ABC外点SA⊥面ABCAM⊥SBMAN⊥SCN(1)求证面SAB⊥面SBC (2)求证∠ANM二面角A－SC－B面角
A
B
C
M
N
S
9 第8题变式：图已知△ABC中AB⊥BCS面ABC外点SA⊥面ABC∠ACB＝600SA＝AC＝a(1)求证面SAB⊥面SBC (2)求二面角A－SC－BC正弦值
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
O
10 图ABCDA1B1C1D1长方体侧棱AA1长1底面正方体边长2E棱BC中点求面C1DE面CDE成二面角正切值
图4
B1
A
A1
B
L
E
F
11 图4面⊥面∩lA∈B∈点A直线l射影A1点Bl射影B1已知AB2AA11BB1求：二面角A1－AB－B1
三垂面法：已知二面角点两面垂线时两垂线作面两半面交线成角面角知二面角面角面棱垂直
例 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPAABa求BPCD
解：（垂面法）图PA⊥面BD BD⊥AC
BD⊥BC BD作面BDH⊥PCHPC⊥DHBH
∠BHD二面角BPCD面角
PBaBCaPCa PB·BCS△PBCPC·BHBHDH BD△BHD中余弦定理：
cos∠BHD＝0＜∠BHD＜π
∠BHD二面角BPCD
P
l
C
B
A
12 空间点P二面角面棱l距离分43求二面角
13．图三棱锥S－ABC中SA⊥底面ABCAB⊥BCDE垂直分SC分交ACSCDESA＝ABSB＝BC求二面角E－BD－C度数
A
B
C
S
D
II 寻找棱二面角面角方法 ( 射影面积法移延长(展)线(面)法 )
四射影面积法：利面积射影公式S射＝S原cos中面角方法必图形中画出面角
例 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a求面PBA面PDC成二面角
解：（面积法）图
时BC⊥面BPAB △PBA△PCD面PBA射影
设面PBA面PDC成二面角θ
cosθ θ45°
A
H
M
D1
C1
B1
A1
B
C
D
14 图设M正方体ABCDA1B1C1D1棱CC1中点求面BMD1底面ABCD成二面角
15 图αβ成角600CBAC＝3BD＝4CD＝2求AB两点间距离
A
l
D
C
α
β
A
l
B
C
α
β
E
B
D
五移延长（展）线（面）法：类没出棱二面角应先延伸两半面相交出现棱然选述方法（尤考虑射影法）
例 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a求面PBA面PDC成二面角（补形化定义法）
解：（补形化定义法）图四棱锥PABCD补形正方体ABCDPQMN
PQ⊥PAPD∠APD两面成二面角面角
Rt△PAD中PAAD∠APD45°
面BAP面PDC成二面角45°
16 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a求面PBA面PDC成二面角
六量法
解立体中种十分简捷非常传统解法说立体题量法求解量法解立体题时通常建立空间直角坐标系写出点坐标然图中线段写成坐标法表示量进行量计算解题
例（2009天津卷理）图五面体ABCDEF中FA 面ABCD ADBCFEABAD
MEC中点AFABBCFEAD
(I)求异面直线BFDE成角
(II) 证明面AMD面CDE
(III)求二面角ACDE余弦值
解：图示建立空间直角坐标系点坐标原点设题意
（I）
异面直线成角
（II）证明：
（III）
题设面法量
18（2008湖北）图直三棱柱中面侧面
(I) 求证：
(II) 直线面成角二面角
试判断关系予证明
分析：已知条件知：面ABB1 A1⊥面BCC1 B1⊥面ABC容易想B 点空间坐标原点建立坐标系相关线段写成坐标表示量先求出二面角两半面法量利两量夹角公式求解
（答案：）
见二面角类型求法框图展现：
分析：求二面角底面ABC位置关妨利定义求解
略解：二面角棱PB取点Q半面PBA半面PBC作QMPBQNPB定义MQN二面角面角设PMaRtPQMRtPQN中求QMQNaPQNPQMPNa正三角形PMN中MNa三角形MQN中余弦定理cosMQN二面角余弦值
ABADa
B作BH⊥PCH连结DH
DH⊥PC ∠BHD二面角BPCD面角
PBaBCaPCaPB·BCS△PBCPC·BHBHDHBD△BHD中余弦定理：
cos∠BHD＝0＜∠BHD＜π ∠BHD二面角BPCD
[基础练]
1． 二面角指（ ）
A 两面相交组成图形
B 面绕面条直线旋转组成图形
C 面条直线出发半面面组成图形
D 条直线出发两半面组成图形
2．面α面βγ相交三面（ ）
A 1条2条交线 B 2条3条交线
C 仅2条交线 D 1条2条3条交线
3．300二面角面点面距离10棱距离( )
A 5 B 20 C D
4．直二面角αlβ中RtΔABC面α斜边BC棱lAB面β成角600AC面β成角（ ）
A 300 B 450 C 600 D 1200
A
B
C
D
5．图射线BDBABC两两互相垂直ABBC1BD
弧度数二面角（ ）
A DACB B ACDB C ABCD D ABDC
6．△ABC面α射影△A1B1C1果△ABC面面α成θ角( )
A S△A1B1C1S△ABC·sinθ B S△A1B1C1 S△ABC·cosθ
C S△ABC S△A1B1C1·sinθ D S△ABC S△A1B1C1·cosθ
A
B
M
N
P
l
7．图P二面角MlN面N点PB⊥lB垂足Al点∠PABαPA面M成角β二面角MlNγ（ ）
A sinαsinβsinγ B sinβsinαsinγ
C sinγsinαsinβ D
8．600二面角棱两点ABACBD分二面角两面垂直AB线段已知：AB6AC3BD4CD
9．已知△ABC面α∠A300∠B600AB2ABα面ABCα成角300点C面α距离
10．正方体ABCD—A1B1C1D1中面AA1C1C面A1BCD1成二面角（锐角）
11．已知菱形角600边长a菱形较短角线折成600二面角菱形中含600角两顶点间距离
α
A
B
C1
C
12．图△ABC面α射影△ABC1 ∠ABC1θBC1a面ABC面α成角ψ求点C面α距离
13．二面角αABβ面α直线AC棱AB成450角AC面β成300角求二面角αABβ度数
[深化练]
14．二面角点二面角两面距离分a棱距离2a二面角度数
15．等腰直角三角形ABC斜边BC高AD折成二面角∠BAC600二面角度数
A
F
E
B
D
C
16．图已知正方形ABCD正方形ABEF面成600二面角求直线BD面ABEF成角正弦值
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
17．图棱长a正方体ABCD—A1B1C1D1中求：（1）面A1ABB1面ABCD成角（2）二面角C1—BD—C正切值
练参考答案 1—7 DDBA ABB 8 7cm 9 10 11 12 13 450 14 7001650 15 900 16正弦值 17(1)900 (2)正切值
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二面角种求法
二面角求法中知识综合性较强方法灵活性较般言二面角转化面角化三角形角求解程中利面立体三角函数等重知识求二面角关键根问题出背景恰时选择方法作出二面角面角时直接运射影面积公式求出二面角
I 寻找棱二面角面角方法 ( 定义法三垂线法垂面法射影面积法 )
定义法：利二面角面角定义二面角棱取点（特殊点）该点两半面作垂直棱射线两射线成角二面角面角种基方法注意二面角面角定义三特征找出面角
P
B
α
C
A
E
F
D
例 空间三条射线CACPCB∠PCA∠PCB60o∠ACB90o求二面角BPCA
解：PC点D分作DE⊥ACEDF⊥BCF连EF
∴∠EDF二面角BPCA面角设CDa∵∠PCA∠PCB600
∴CECF2aDEDF∵∠ACB900∴EF
∴∠EDF
1 三棱锥PABC中APBBPCCPA600求二面角APBC余弦值
A
B
C
N
M
P
Q
P
O
B
A
2 图已知二面角αаβ等120°PA⊥αA∈αPB⊥βB∈β求∠APB
3 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPAABa求二面角BPCD
二三垂线法：已知二面角中面点面垂线三垂线定理逆定理作出二面角面角
例 四棱锥PABCD中ABCD行四边形PA⊥面ABCDPAABa∠ABC30°求二面角PBCA
解：图PA⊥面BDA作AH⊥BCH连结PHPH⊥BC
AH⊥BC∠PHA二面角PBCA面角
Rt△ABH中AHABsin∠ABCaSin30°
Rt△PHA中tan∠PHAPAAH∠PHAarctan2
5 四棱锥PABCD中ABCD行四边形PA⊥面ABCDPAABa∠ABC30°求二面角PBCA
C
B
MB
A
P
N
K
6 图三棱锥PABC中PA⊥面ABCPAABACBC1∠ACB900MPB中点(1)求证：BC⊥PC(2)面MAC面ABC成二面角正切
7 ΔABC中∠A90°AB4AC3面ABC外点P面ABC射影AB中点M二面角P—AC—B45°求（1）二面角P—BC—A（2）二面角C—PB—A
C
D
P
M
B
A
8 图已知△ABC中AB⊥BCS面ABC外点SA⊥面ABCAM⊥SBMAN⊥SCN(1)求证面SAB⊥面SBC (2)求证∠ANM二面角A－SC－B面角
A
B
C
M
N
S
9 第8题变式：图已知△ABC中AB⊥BCS面ABC外点SA⊥面ABC∠ACB＝600SA＝AC＝a(1)求证面SAB⊥面SBC (2)求二面角A－SC－BC正弦值
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
O
10 图ABCDA1B1C1D1长方体侧棱AA1长1底面正方体边长2E棱BC中点求面C1DE面CDE成二面角正切值
图4
B1
A
A1
B
L
E
F
11 图4面⊥面∩lA∈B∈点A直线l射影A1点Bl射影B1已知AB2AA11BB1求：二面角A1－AB－B1
三垂面法：已知二面角点两面垂线时两垂线作面两半面交线成角面角知二面角面角面棱垂直
例 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPAABa求BPCD
解：（垂面法）图PA⊥面BD BD⊥AC
BD⊥BC BD作面BDH⊥PCHPC⊥DHBH
∠BHD二面角BPCD面角
PBaBCaPCa PB·BCS△PBCPC·BHBHDH BD△BHD中余弦定理：
cos∠BHD＝0＜∠BHD＜π
∠BHD二面角BPCD
P
l
C
B
A
12 空间点P二面角面棱l距离分43求二面角
13．图三棱锥S－ABC中SA⊥底面ABCAB⊥BCDE垂直分SC分交ACSCDESA＝ABSB＝BC求二面角E－BD－C度数
A
B
C
S
D
II 寻找棱二面角面角方法 ( 射影面积法移延长(展)线(面)法 )
四射影面积法：利面积射影公式S射＝S原cos中面角方法必图形中画出面角
例 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a求面PBA面PDC成二面角
解：（面积法）图
时BC⊥面BPAB △PBA△PCD面PBA射影
设面PBA面PDC成二面角θ
cosθ θ45°
A
H
M
D1
C1
B1
A1
B
C
D
14 图设M正方体ABCDA1B1C1D1棱CC1中点求面BMD1底面ABCD成二面角
15 图αβ成角600CBAC＝3BD＝4CD＝2求AB两点间距离
A
l
D
C
α
β
A
l
B
C
α
β
E
B
D
五移延长（展）线（面）法：类没出棱二面角应先延伸两半面相交出现棱然选述方法（尤考虑射影法）
例 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a求面PBA面PDC成二面角（补形化定义法）
解：（补形化定义法）图四棱锥PABCD补形正方体ABCDPQMN
PQ⊥PAPD∠APD两面成二面角面角
Rt△PAD中PAAD∠APD45°
面BAP面PDC成二面角45°
16 四棱锥PABCD中ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a求面PBA面PDC成二面角
六量法
解立体中种十分简捷非常传统解法说立体题量法求解量法解立体题时通常建立空间直角坐标系写出点坐标然图中线段写成坐标法表示量进行量计算解题
例（2009天津卷理）图五面体ABCDEF中FA 面ABCD ADBCFEABAD
MEC中点AFABBCFEAD
(I)求异面直线BFDE成角
(II) 证明面AMD面CDE
(III)求二面角ACDE余弦值
解：图示建立空间直角坐标系点坐标原点设题意
（I）
异面直线成角
（II）证明：
（III）
题设面法量
18（2008湖北）图直三棱柱中面侧面
(I) 求证：
(II) 直线面成角二面角
试判断关系予证明
分析：已知条件知：面ABB1 A1⊥面BCC1 B1⊥面ABC容易想B 点空间坐标原点建立坐标系相关线段写成坐标表示量先求出二面角两半面法量利两量夹角公式求解
（答案：）
见二面角类型求法框图展现：
分析：求二面角底面ABC位置关妨利定义求解
略解：二面角棱PB取点Q半面PBA半面PBC作QMPBQNPB定义MQN二面角面角设PMaRtPQMRtPQN中求QMQNaPQNPQMPNa正三角形PMN中MNa三角形MQN中余弦定理cosMQN二面角余弦值
ABADa
B作BH⊥PCH连结DH
DH⊥PC ∠BHD二面角BPCD面角
PBaBCaPCaPB·BCS△PBCPC·BHBHDHBD△BHD中余弦定理：
cos∠BHD＝0＜∠BHD＜π ∠BHD二面角BPCD
[基础练]
1． 二面角指（ ）
A 两面相交组成图形
B 面绕面条直线旋转组成图形
C 面条直线出发半面面组成图形
D 条直线出发两半面组成图形
2．面α面βγ相交三面（ ）
A 1条2条交线 B 2条3条交线
C 仅2条交线 D 1条2条3条交线
3．300二面角面点面距离10棱距离( )
A 5 B 20 C D
4．直二面角αlβ中RtΔABC面α斜边BC棱lAB面β成角600AC面β成角（ ）
A 300 B 450 C 600 D 1200
A
B
C
D
5．图射线BDBABC两两互相垂直ABBC1BD
弧度数二面角（ ）
A DACB B ACDB C ABCD D ABDC
6．△ABC面α射影△A1B1C1果△ABC面面α成θ角( )
A S△A1B1C1S△ABC·sinθ B S△A1B1C1 S△ABC·cosθ
C S△ABC S△A1B1C1·sinθ D S△ABC S△A1B1C1·cosθ
A
B
M
N
P
l
7．图P二面角MlN面N点PB⊥lB垂足Al点∠PABαPA面M成角β二面角MlNγ（ ）
A sinαsinβsinγ B sinβsinαsinγ
C sinγsinαsinβ D
8．600二面角棱两点ABACBD分二面角两面垂直AB线段已知：AB6AC3BD4CD
9．已知△ABC面α∠A300∠B600AB2ABα面ABCα成角300点C面α距离
10．正方体ABCD—A1B1C1D1中面AA1C1C面A1BCD1成二面角（锐角）
11．已知菱形角600边长a菱形较短角线折成600二面角菱形中含600角两顶点间距离
α
A
B
C1
C
12．图△ABC面α射影△ABC1 ∠ABC1θBC1a面ABC面α成角ψ求点C面α距离
13．二面角αABβ面α直线AC棱AB成450角AC面β成300角求二面角αABβ度数
[深化练]
14．二面角点二面角两面距离分a棱距离2a二面角度数
15．等腰直角三角形ABC斜边BC高AD折成二面角∠BAC600二面角度数
A
F
E
B
D
C
16．图已知正方形ABCD正方形ABEF面成600二面角求直线BD面ABEF成角正弦值
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
17．图棱长a正方体ABCD—A1B1C1D1中求：（1）面A1ABB1面ABCD成角（2）二面角C1—BD—C正切值
练参考答案 1—7 DDBA ABB 8 7cm 9 10 11 12 13 450 14 7001650 15 900 16正弦值 17(1)900 (2)正切值
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