导数题型目录
1导数意义
2导数四运算构造新函数
3利导数研究函数单调性
4利导数研究函数极值值
5知零点数求参数范围含参数讨零点数
6函数极值点偏移问题
7导函数零点求问题
8双变量处理策略
9等式恒成立求参数范围
10等式证明策略
11双量词处理策略
12绝值导数结合问题
导数专题 导数意义
知识点睛
导数意义：函数yf（x）点xx0 处导数f’（x0）意义曲线点xx0 处切线斜率
二方法点拨：
1求切线
①点切点 ：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出 y0 (2)求出导数f′(x)x0代入导数求函数y＝f(x)点xx0处导数f′(x0)(3)根直线点斜式方程切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
②点（x0y0）切点求切线：（1）设曲线切点(x1y1) (2)根切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利点（x0y0）切线求出（x1y1） (4)（x1y1）代入切线方程求切线
2 求参数需根切线斜率切线方程切点关系列方程：①切线斜率kf′(x0) ②切点曲线③切点切线
三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线点直线距离距离(5)利切线放缩法证等式
四．踪练
1 （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)偶函数x＜0时f(x)f（x）+3x曲线yf（x）点（13）处切线方程
2 （2014新课标全国Ⅱ）设曲线yaxln（x+1）点（00）处切线方程y2xa A 0 B1 C2 D3
3 （2016全国卷Ⅱ）直线ykx+b曲线ylnx+2切线曲线yln（x+1）切线b
4（2014江西）曲线yex 点P处切线行直线2x+y+10点P坐标
5（2014江苏）面直角坐标系中曲线yax2+（ab常数）点P（25）该曲线点P处切线直线7x+2y+30行a+b
6（2012新课标全国）设点P曲线yex点Q曲线yln（2x）▕PQ▏值
A1ln2 B（1ln2） C1+ln2 D(1+ln2)
7 存点（10）直线曲线yx3yax2+x9相切a等
8 抛物线yx2点直线xy20短距离
A B C D 1
9 已知点P曲线yα曲线点P处切线倾斜角α取值范围
10 已知函数f（x）2x33x（1）求f（x）区间[21]值（2） 点P（1t）存3条直线曲线yf（x）相切求t取值范围
11 已知函数f（x）4xx4x∈R
(1) 求f（x）单调区间
(2) 设曲线yf（x）x轴正半轴交点P曲线点P处切线方程yg（x）求证： 意实数xf（x）≤g（x）
(3) 方程f（x）a（a实数）两实数根x1x2x1＜x2求证：x2x1≤+4
导数专题二 利导数四运算构造新函数
． 知识点睛
导数四运算法：
[f(x)±g（x）]’f′(x)±g′(x) [f(x)·g（x）]’f′(x)·g(x) +f(x)·g′(x)
[ ]′
二． 方法点拨
解抽象等式较时原函数单调性解题没帮助时构造新函数研究新函数单调性解抽象等式较
方法1：移项含导数等式进行移项处理等式右边0（导数0决定函数单调性）
2：观察①等式左边含f′(x)式子差函数求导法构造
②等式左边含f′(x)f(x)中间+积函数求导法构造 ③等式左边含f′(x)f(x)中间商函数求导法构造
方法二：根题目出抽象等式者较两式子进行构造进行构造时结构抽象等式两边者较式子结构相化根相结构构造x元新函数
三．常考题型：构造新函数解等式较
四．踪练
1 (2015广东调研)函数f（x）定义域Rf（1）2意x∈Rf’（x）＞2
f（x）＞2x+4解集 （差）
2(2016贵州遵义)设函数f’（x）函数f（x）导函数意x∈Rf（x）+f’（x）＞0x1 ＜x2时结正确（积）
A ex2f（x1）＞ex1f（x2） B ex2f（x1）＜ex1f（x2）
C ex1f（x1）＞ex2f（x2） D ex1f（x1）＜ex2f（x2）
3定义R函数f（x）满足f（x）+f’（x）＞1f（0）4等式f（x）＞+1解集 （积差）
4函数yf（x）R导满足等式xf’（x）＞﹣f（x）恒成立常数ab满足a＞b列等式定成立（积）
A af（b）＞bf(a) Baf(a)＞b(b) C af(a)＜bf(b) D a(b)＜b(a)
5（2015济南）已知函数f（x）定义域（0+∞）f’（x）f（x）导函数满足f（x）＜﹣xf’（x）等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）解集 （积）
6(2015新课标全国卷Ⅱ)设函数f’（x）奇函数f（x）（x∈R）导函数f（1）0x＞0时xf’（x） f（x）＜0f（x）＞0成立x取值范围（商）
A (∞1)∪（01） B（10）∪（1+∞）
C(∞1)∪（10） D（01）∪（1+∞）
7设函数R奇函数f（1）0x＞0时（x2+1）f’（x）2xf(x)＜0等式f（x）＞0解集 （商）
8已知定义R函数f（x）满足3f（x）＞f’（x）恒成立f（1）e3列结正确（商）
Af（0)1 Bf(0)＜1 Cf(2)＜e6 Df(2)＞e6
9已知定义R奇函数f（x）满足2016f（x）＜f’（x）恒成立f（1）e2016列结正确（商）
Af(2016)＜0 Bf(2016)＜
Cf(2)＜0 Df（2）＞ e4032
10 已知定义（0+∞）函数f（x）导函数f’（x）满足xf’（x）+f（x）f（e）中e然数底数等式f（x）+e＞x+解集（）
A （0） B （0e） C（e） D（+∞）
11 已知函数F（x）lnx（x＞1）图G（x） 图关直线yx称设函数f（x）导函数 f’（x）（x＞0） f’（3）0x ＞0 时f（x）
A极值极值 B极值极值
C极值极值 D极值极值
导数专题三 利导数研究函数单调性
． 知识点睛
1 函数导数单调性间联系：
①般设函数yf（x）某区间导果区间f′(x)＞0函数yf（x）区间增函数果区间f′(x)＜0函数yf（x）区间减函数
②反果导函数yf（x）某区间单调递增区间f′(x)≥0恒成立单调递减区间f′(x)≤0恒成立
2 利导数研究函数单调性步骤：1求定义域2求导3令f′(x)＞0解等式增区间令f′(x)＜0解等式求减区间注意函数果单调增（减）区间中间∪连接
二． 方法点拨
1已知具体函数确定单调区间直接求导解等式确定单调区间
2已知含参数函数单调性求参数值参数范围处理方法：①分离参数转化
f′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨
3已知含参数函数确定单调性需参数范围进行分类讨分类讨4标准：①二次项系数正负②f′(x)0根数③f′(x)0根④f′(x)0根定区间位置关系外需优先判断否利式分解法求出根
4已知函数n单调区间求参数范围等方程f′(x)0区间n1根根重根
5已知函数定区间单调 f′(x)区间异号零点
f′(x)0根（根重根）
6已知函数定区间单调区间等f′(x) ＞0f′(x) ＜ 0定区间解
常考题型：⑴利导数研究已知函数单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数单调区间问题
三． 踪练
1 已知函数f（x）kx3+3（k1）x2k2+1（k＞0）单调减区间（04）k值
2（2016全国卷Ⅰ）函数f（x）xsin2x+asinx（∞+∞）单调递增a取值范围
A [11] B[1] C[] D[1]
3(2015四川)果函数f（x）（m2）x2+（n8）x+1（m≥0n≥0）区间[2]单调递减mn值
A16 B18 C25 D
4（2014新课标全国Ⅱ）函数f（x）kxlnx区间（1+∞）单调递增k取值范围
A (∞2] B(∞1] C[2+∞) D[1+∞]
5(2016全国卷⒈第题)已知函数f（x）（x2）ex+a（x1）2讨函数f（x）单调性
6设函数f（x)ax2+bx+k(k＞0)x0处取极值曲线yf（x）点（1f（1））处切线垂直直线x+2y+10
（Ⅰ）求ab值
（Ⅱ）函数g（x）讨g（x）单调性
7已知函数f（x）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（ab∈R）
（Ⅰ）函数f（x）图原点原点处切线斜率3求ab值
（Ⅱ）函数f（x）区间（11）单调求a取值范围
8 设a实数函数f（x）ax3ax2+（a21）x（∞0）（1+∞）增函数求a取值范围
9 设f（x）ax3+x恰三单调区间试确定a取值范围求出3单调区间
10已知函数f（x）x+alnxx1处切线直线x+2y0垂直函数g（x）f(x)+x2bx (1)求实数a值
(2)函数g(x)存单调递减区间求实数b取值范围(3)设x1x2（x1＜ x2）函数
g（x）两极值点b≥求g（x1）g（x2）值
导数专题四 利导数研究函数极值值
． 知识点睛
1 导函数极值：
①果函数yf(x)点xa函数值f(a)点xa附点函数值f′(a)0点xa附左侧f′(x)＜0右侧f′(x)＞0a做函数极值点f(a)做函数极值
②果函数yf(x)点xb函数值f(b)点xb附点函数值f′(b)0点xb附左侧f′(x)＞0右侧f′(x)＜0b做函数极值点f(b)做函数极值
注意：①导函数yf（x）点x0取极值充条件f′(x0)0点x0左侧右侧f′(x)异号
②导数0点定极值点yx3导数0点该点极值点必条件充分条件
③极值点处导数存定0
2 求导函数极值步骤：①确定函数定义域②求导f′(x)③求方程f′(x)0根④定义域划分部分区间列成表格检查f′(x)方程根左右符号果左正右负f（x）根处取极值果左负右正f（x）根处取极值
二． 方法点拨：
1 已知具体函数求极值
2 已知含参函数极值点极值确定参数：①极值点处导数0②极值点极值组成坐标曲线两点建立关参数方程求出参数值须检验参数否符合函数取极值条件
3 已知含参函数极值点数确定参数范围
函数f（x）极值点 导函数 f′(x) 异号零点 f′(x)0根 函数yk函数yg（x）图交点横坐标
注意：导函数f′(x)零点函数f（x）极值点导函数f′(x)异号零点应函数f（x）极值点方程f′(x)0根函数yk函数yg（x）图交点横坐标必须应 f′(x) 异号零点
方法总结：解决函数零点极值点方程根关系问题时优先考虑分离参数法分离参数容易实现者分离然解决问题考虑解题思路：（1）研究函数图X轴位置关系⑵研究非水动直线（定点直线系者斜率0行直线系）固定函数曲线位置关系⑶研究动态曲线曲线位置关系
4 含参数函数极值（值）问题常情况需分类讨：
（1）导数0时变量确定需讨（2）导数0时变量否定区间确定需讨（3）端点处函数值极值确定需讨（4）参数取值范围导致函数区间单调性变化确定需讨
常考题型：⑴已知函数解析式求极值⑵根极值点极值求参数⑶根极值数求参数范围（4）求极值函数值
三．进练
1 （2016四川）已知a函数f（x）x312x极值点a
A 4 B2 C4 D2
2 （2015东北八校月考）已知函数f（x）x3+3ax2+3bx+cx2处极值图x1处切线行直线6x+2y+50f（x）极值极值差
3 （2016山东模拟）已知函数f（x）a＞0函数f（x）区间（aa+）存极值求实数a取值范围
4 函数f（x）e3x+me2x+（2m+1）ex+1两极值点实数m取值范围
5 函数yx32ax+a区间（01）极值实数a取值范围
6 已知函数f（x）x33ax1a≠0
（Ⅰ）求f（x）单调区间
（Ⅱ）f（x）x1处取极值直线ymyf（x）图三交点求m取值范围
7 设函数f(x)x2+aln(1+x)两极值点x1x2x1 ＜ x2
(Ⅰ)求a取值范围讨f(x)单调性（Ⅱ）证明：f（ x2）＞
导数专题五 知零点数求参数范围
． 知识点睛：
(1)函数f（x）零点 方程f（x）0根 函数f（x）图x轴交点横坐标 函数g（x）h（x）图交点横坐标（f（x）g（x）h（x））
(2)零点存性定理果函数yf（x）区间[ab]图连续断条曲线f（a）·f（b）＜0函数yf（x）区间（ab）零点存c∈（ab）f（c）0c方程f（x）0根
二 方法点拨：
1根零点情况求参数值范围
（1） 数形结合法：函数解析式（方程）适变形转化图易函数含参函数差等式坐标系中画出两函数图结合函数单调性周期性奇偶性等性质图求解
（2） 分离参数法：参数分离化ag（x）形式进转化求函数值问题解答题种解法需零点存性定理严格证明数
（3） 直接法：直接根题设条件构建关参数等式通等式确定参数范围
2 解答题中零点存区间端点选取方法
定区间寻找函数g（x）通先证明f（x）≥g(x)(f（x）≤g(x)）求
g（x）零点x0找x0g（x0)＞0（g（x0)＜0）f（x0）≥0
（f（x0）≤0）
踪练：
1 （2015安徽）设x3+ax+b0中ab均实数列条件中该三次方程仅实根
①a3b3②a3b2③a3b＞2④a0b2⑤a1b2
2 （2015新课标全国Ⅰ）设函数f（x）ex（2x1）ax+a中a＜1存唯整数x0f（x0）＜0a取值范围
A [1） B[） C[）D[1）
3 方程x36x2+9x100实根数（ ）
A3 B2 C1 D0
4 （2013年山东卷）设函数f（x）+c（1）求f（x）单调区间值（2）讨关x方程▕ lnx▕f（x）根数
5 （2016全国卷Ⅰ）已知函数f（x）（x2）ex+a
(Ⅰ)讨f（x）单调性（Ⅱ）f（x）两零点求a取值范围
6 （2015全国卷Ⅰ）已知函数f（x）x3+ax+g（x）lnx（1）a值时x轴曲线yf（x）切线（2）min｛mn}表示mn中值设函数h（x）
min｛f（x）g（x）}（x＞0）讨h（x）零点数
专题六 极值点偏移问题
．知识点睛
（1）产生原：函数极值点左右两边图升降速度样导致极值点发生偏移
（2）极值点x0偏左：极值点附图左陡右缓f（x1）f（x2)x1+x2 ＞2x0x处切线x轴行
f（x）凸（f′(x) 递减）f′()＜ f′(x0)0f（x）凸（f′(x) 递增）f′() ＞f′(x0)0
（3）极值点x0偏右：极值点附图左缓右陡 f（x1）f（x2)x1+x2 ＜2x0x处切线x轴行
f（x）凸（f′(x) 递减）f′()＞f′(x0)0f（x）凸（f′(x) 递增）f′() ＜f′(x0)0
二方法点睛
1含参极值点偏移问题
方法：1构造函数F（x）f（x）f（2x0x）（x＞x0）
2函数F（x）求导判断导数符号确定F（x）单调性
3结合F（x0）0判断F（x）符号确定f（x）f（2x0x）（x＞x0）关系
4f（x1）f（x2)＜f（2x0x2）f（x1）＜f（2x0x2） 者 f（x1）f（x2)＞f（2x0x2）f（x1）＞f（2x0x2）
5结合f(x)单调性x1＞2x0x2 x1＜2x0x2x1 +x2＞2x0x1 +x2＜2x0
方法二：利数均等式 ＜＜（a＞0b＞0a≠b）
指数均等式 e＜＜
利数均值等式证明极值点偏移问题关键通变形三式子：x1+x2x1x2
方法三：引入变量t结合题目条件解出x1x2证明变量等式转化单变量t等式构造函数g（t）等式变g（t）＞0者g（t）＜0求出g（t）值证明
2 含参数极值点偏移问题
含参数极值点偏移问题原双变量x1x2基础参数首先想（1）根f（x1）f（x2）建立等式（2）消参数果等式关指数式考虑两边取数通加减等恒等变形消参数（3）利数均等式求解者参数媒介构造变元新函数般说引入变元t
三． 进练
1 已知a＞b＞0ab ba四结：
①b＜e②b＞e③ab 满足ab＜e2④ab＞e2正确结序号 A②③ B①④ C②④ D①③
2(2015长春四模拟)已知函数f（x）exax两零点x1＜x2列说法错误（）
Aa＞e Bx1+x2＞2 C x1x2＞1 D极值点x0x1+x2＜2x0
3（2016新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）（x2）ex +a（x1）2 两零点
(1)求a取值范围
(2)设x1x2f（x）两零点证明：x1+x2＜2
4（2017届安徽第三次联考）已知函数f（x）2ln（x+1）+mx2（m+1）x极值
（1）求实数m取值范围 （2）f（x1）f（x2）（x1≠x2）求证：x1+x2＞2
5已知函数f（x）exkx+k(k∈R) (1)试讨函数f（x）单调性（2）该函数两零点x1x2试求（Ⅰ）实数k取值范围
（Ⅱ）证明：x1+x2＞4
6（2014年江苏南通二模）设函数f（x）exax+a（a∈R）图x轴交A（x10）B（x20）两点x1＜x2
（Ⅰ）求a取值范围（Ⅱ）证明：f′（）＜0
7 (2016年3月兰州诊)已知函数f（x）exax1(a常数)曲线yf（x）y轴交点A处切线斜率1
（Ⅰ）求a值函数yf（x）单调区间 （Ⅱ）x1＜ln2x2＞ln2f（x1）f（x2）试证明：x1+x2＜2ln2
专题七 导函数零点求问题
． 知识点睛
利导数求函数单调区间者极值时会发现方程f′(x) 0超越方程二次方程法求出方程根者求出根复杂时手处理呢？
二． 方法点拨
方法 特值探点 导数零点求时特殊值进行试探涉lnx复合函数时令xet尤令x1者e进行试探涉ex 复合函数中令xlnt尤令x0者1进行试探
方法二 虚设零点
1假设x0方程f′(x) 0根反代消参构造关零点单函数
①果问题求解证明结参数关虚设零点般参数表示零点反零点表示参数然极值函数变成关零点单函数构造新函数求值
②果f′(x) 0二次方程两根x1x2利韦达定理建立x1+x2x1x2参数关系式考虑零点表示参数利恒等变形构造
出令t极值函数转化单变量t函数
③整体代换超越式转化般式 f′(x) 0超越方程法求出根具体值虚设f′(x0)0通整体代换超越式化成普通代数式
方法三 次求导
顾名思义次求导导数式变越越简单解决零点问题
方法四 局部求导：f′(x)难判断正负求出零点分离构造函数g（x）f′(x)
g（x）·M（x）中M（x）恒正恒负（2）求函数g（x）导数 g′(x) 研究
g′(x)零点g（x）性质（3）函数g（x）性质分析确定函数f（x）性质
方法五 整合重组
法常见利构造法证明等式果直接构造函数难求出导数零点通整合重组函数解析式原函数转化简单易求导数零点函数
三． 进练
1（2015年新课标Ⅰ卷）设函数f（x）e2xalnx（1）谈f（x）导函数 f′(x)零点数（2）证明：a＞0时f（x）≥2a+aln
2 (2014新课标全国Ⅰ卷) 设函数f（x）aexlnx+曲线yf（x）点（1f（1））处切线方程ye（x1）+2
（Ⅰ）求ab（Ⅱ）证明：f（x）＞1
3 （2015年四川高考文科试题）已知函数f（x）2xlnx+x22ax+a2中a＞0
（Ⅰ）设g（x）f（x）导函数谈g（x）单调性
（Ⅱ）证明：存a∈（01）f（x）≥0区间（1+∞）恒成立f（x）0区间（1+∞）唯解
4 （2015江苏卷）已知函数f（x）x3+ax2+b（ab∈R）
（1） 试讨f（x）单调性
（2） bca（实数ca关常数）函数f（x）三零点时a取值范围恰（∞3）∪（1）∪（+∞）求c值
5 （2014甘肃二诊）设函数f（x）exax2
（1） 求f（x）单调区间
（2） a1k整数x＞0时（xk）f′(x)+x+1＞0求k值
专题八 双变量处理策略
． 知识点睛
求值式子者证明等式中两变量类题型通常变量数变少转化含单变量问题
二方法点拨
方法：证明等式中含两变量x1x2指定中变量x1元x2常数构造单变量函数
方法二：整体代换通换元化双变量单变量
方法三：整合结构结构相化构造新函数
方法四：划值域值思想
三进训练
1 （2015新课标全国Ⅱ）设函数f（x）emx+x2mx
（Ⅰ）证明：f（x）（∞0）单调递减（0+∞）单调递增
（Ⅱ）意x1x2 ∈[11]≤e1求m取值范围
2 定义：设函数f（x）（ab）导f′(x)区间（ab）增函数称f（x）（ab）凸函数
（Ⅰ）已知f（x）exax3+x（0+∞）凸函数试求实数a取值范围
（Ⅱ）设f（x）（ab）凸函数求证：意正数λ1λ2 λ1+λ2 1等式f（λ1x1+λ2x2 ）≤λ1f（x1）+λ2 f（x2）意x1x2 ∈（ab）恒成立
3 已知函数f（x）x1alnx（a∈R）
（1） 曲线yf（x）x1处切线方程3xy30求实数a值
（2） 求证：f（x）≥0恒成立充条件a1
（3） a＜0意x1x2 ∈（01]f（x1）f（x2）≤4求实数a取值范围
4 已知函数f（x）x2ax+（a1）lnxa＞1
（Ⅰ）讨函数f（x）单调性
（Ⅱ）证明：a＜5意x1x2 ∈（0+∞）x1≠x2 ＞1
专题九 等式含参恒成立问题
． 知识点睛
等式恒成立求参数范围类题型构造新函数求函数值联系起
二． 方法点拨
1分离参数法 通恒等变形含变量参数式子分放等式两边转化求含参函数值问题利导数求该函数值根求求范围
2含参分类讨 构造新函数利导数研究函数单调性导数中含参数时参数范围进行分类讨
3端点验证法 例意x∈[x0+∞）f（x）≥0求参数取值范围果验证区间端点值f（x0）0等式f（x）≥0转化f（x）≥f（x0）接先
f（x）单调递增求参数取值范围验证参数范围时等式恒成立
4数形结合法 f（x）≥g（x）恒成立需图参数什范围取值时意x∈R函数f（x）图g（x）图方者相切
三．进训练
1定义R函数f（x）果存函数g（x）ax+b（ab常数）f（x）≥g（x）切实数x成立称g（x）函数f（x）承托函数出命题：
lnxx＞0
（1）函数g（x）2函数f（x） 承托函数
1x≤0
（2） 函数g（x）x1函数f（x）x+sinx承托函数
（3） 函数g（x）ax函数f（x）ex承托函数a取值范围[0e]
（4） 值域R函数f（x）存承托函数中正确命题序号
2 （2014辽宁）x∈[21]时等式ax3x2+4x+3≥0恒成立实数a取值范围
A[53] B[6] C[62] D[43]
3（2015山东）设函数f（x）ln（x+1）+a（x2x）中a∈R
（Ⅰ）讨函数f（x）极值点数说明理（Ⅱ）∀x＞0f（x）≥0成立求a取值范围
4（2016全国卷Ⅱ文）已知函数f（x）（x+1）lnxa（x1）
（Ⅰ）a4时求曲线yf（x）（1f（1））处切线方程
（Ⅱ）x∈（1+∞）时f（x）＞0求a取值范围
5（2016四川卷）设函数f（x）ax2alnx中a∈R
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）确定a取值f（x）＞e1x区间（1+∞）恒成立（e2718…然数底数）
专题十 等式证明
． 知识点睛
等式证明实质考查利导数研究函数单调性值等式放缩
二． 方法点拨
1 构造函数法
①直接作差 例f（x）≥g（x）含变量涉两函数通移项作差f（x）g（x）≥0构造新函数h（x）f（x）g（x）
转化证函数h（x）min≥0
②构造形似函数：通等式解变形移项通分取数等式转化左右两边相结构式子根相结构构造新函数
构造函数程中涉lnxex项应lnx单独分离出ex函数组合样便判断导函数符号
③适放缩构造：构造函数值易求解证明等式进行放缩重新构造新函数
④构造双函数：直接构造函数求导难判断符号导数零点易求单调性极值点易获构造f（x）g（x）利值求解
⑤换元构造新函数果等式较复杂涉变量考虑整体换元等式化简证明换元等式运算显相简单
2 数形结合
证f（x）≥g（x）恒成立需图知x∈R时函数f（x）图g（x）图方者相切
三．进训练
1 （2014新课标Ⅰ卷）设函数f（x）aexlnx+曲线yf（x）点（1f（1））处切线方程ye（x1）+2
（Ⅰ）求ab
（Ⅱ）证明：f（x）＞1
2 （2016新课标卷Ⅰ）（Ⅰ）讨函数f（x）ex单调性证明x＞0时
（x2）ex+x+2＞0
（Ⅱ）证明：a∈[01）时函数g（x）（x＞0）值设g（x）值h（a）求函数h（a）值域
3 （2016全国卷Ⅲ）设函数f（x）αcos2x+（α1）·（cosx+1）中α＞0记值A
（Ⅰ）求f′(x) （Ⅱ）求A （Ⅲ）证明≤2A
4 (2013新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)exln(x+m)
（Ⅰ）求设x0f(x)极值点求m讨f(x)单调性（Ⅱ）m≤2时证明f(x)＞0
专题十 量词处理策略
． 知识点睛
常见量词两：全称量词∀存量词∃
二． 方法点睛
双量词问题单量词问题转化求函数值
单量词问题
类型 ∀x∈Df（x）≥g（x）①构造辅助函数h（x）f（x）g（x）问题等价h（x）min≥0恒成立②分离参数变成形h（x）≥m（t）形式问题等价h（x）min≥m（t）关参数t等式解等式求参数t范围
类型二 ∃x∈Df（x）≥g（x）①构造辅助函数h（x）f（x）g（x）问题等价h（x）max≥0②分离参数变成形h（x）≥m（t）形式问题等价h（x）max≥m（t）
类型三 ∃x∈Df（x）tt∈｛yyf（x）x∈D}
双量词问题
类型 ∀x1∈D1∀x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）min＞g（x）max
类型二 ∀x1∈D1∃x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）min＞g（x）min
类型三 ∃x1∈D1∀x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）max＞g（x）max
类型四 ∃x1∈D1∃x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）max＞g（x）min
类型五 ∀x1∈D1∃x2∈D2f（x1）g（x2）range f（x）range g（x）
类型六 ∃x1∈D1∃x2∈D2f（x1）g（x2）range f（x）range g（x）≠∅
三． 进训练
1 已知函数f（x）g（x）lnxx2+实数ab满足a＜b＜1∀x1∈[ab]∃x2∈(0+∞)f（x1）g（x2）成立ba值
2 已知函数f（x）x2 ax3（a＞0）x∈R
（1） 求f（x）单调区间极值
（2） 意x1∈（2+∞)存x2∈（1+∞）f（x1）·f（x2）1求a取值范围
3 已知函数f（x）ax+lnx（a∈R）
(1) a2求曲线yf（x）x1处切线方程
(2) 求f（x）单调区间
(3) 设g（x）x22x+2意x1∈（0+∞）均存x2∈[01]f（x1）＜g（x2）求a取值范围
专题十二 绝值导数结合问题
． 知识点睛
①绝值法：正数绝值身负数绝值相反数0绝值0
②绝值意义：表示数a点原点距离表示数x点表示数a点距离
③绝值等式： ≤ ≤
二． 方法点拨
类型 ≤a转化f（x）max－f(x)min≤a
类型二 ≤a先假设x1≤x2利函数f（x）单调性绝值掉f（x）单调递增转化f（x1）－f（x2）≤ax2－ax1移项两边结构化相变f（x1）+ax1≤f（x2）+ax2构造辅助函数g（x）f(x)+ax函数g（x）单调递增 f（x）单调递减转化f（x2）－f（x1）≤ax2－ax1移项两边结构化相变f（x1）－ax1≥f（x2）－ax2构造辅助函数g（x）f(x)－ax函数g（x）单调递减
类型三 ≤先假设x1≤x2利单调性进行转化构造新函数
进训练
1 （2015新课标Ⅱ）函数f（x）emx+x2mx
（1） 证明：函数f（x）（∞0）单调递减（0+∞）单调递增
（2） 意x1x2∈[11]≤e1求m取值范围
2 （2016天津卷理科）设函数f（x）（x1）3axbx∈R中ab∈R
（1） 求f（x）单调区间
（2） f（x）存极值点x0f（x1）f（x0）中x1≠x0求证：x1+2x03
（3） 设a＞0函数g（x）求证：g（x）区间[02]值
3 已知函数f（x）x33ax29a2x+a3
(1) 设a1求函数f（x）极值
(2) a＞x∈[14a]时≤12a恒成立试确定a取值范围
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1导数意义
2导数四运算构造新函数
3利导数研究函数单调性
4利导数研究函数极值值
5知零点数求参数范围含参数讨零点数
6函数极值点偏移问题
7导函数零点求问题
8双变量处理策略
9等式恒成立求参数范围
10等式证明策略
11双量词处理策略
12绝值导数结合问题
导数专题 导数意义
知识点睛
导数意义：函数yf（x）点xx0 处导数f’（x0）意义曲线点xx0 处切线斜率
二方法点拨：
1求切线
①点切点 ：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出 y0 (2)求出导数f′(x)x0代入导数求函数y＝f(x)点xx0处导数f′(x0)(3)根直线点斜式方程切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
②点（x0y0）切点求切线：（1）设曲线切点(x1y1) (2)根切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利点（x0y0）切线求出（x1y1） (4)（x1y1）代入切线方程求切线
2 求参数需根切线斜率切线方程切点关系列方程：①切线斜率kf′(x0) ②切点曲线③切点切线
三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线点直线距离距离(5)利切线放缩法证等式
四．踪练
1 （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)偶函数x＜0时f(x)f（x）+3x曲线yf（x）点（13）处切线方程
2 （2014新课标全国Ⅱ）设曲线yaxln（x+1）点（00）处切线方程y2xa A 0 B1 C2 D3
3 （2016全国卷Ⅱ）直线ykx+b曲线ylnx+2切线曲线yln（x+1）切线b
4（2014江西）曲线yex 点P处切线行直线2x+y+10点P坐标
5（2014江苏）面直角坐标系中曲线yax2+（ab常数）点P（25）该曲线点P处切线直线7x+2y+30行a+b
6（2012新课标全国）设点P曲线yex点Q曲线yln（2x）▕PQ▏值
A1ln2 B（1ln2） C1+ln2 D(1+ln2)
7 存点（10）直线曲线yx3yax2+x9相切a等
8 抛物线yx2点直线xy20短距离
A B C D 1
9 已知点P曲线yα曲线点P处切线倾斜角α取值范围
10 已知函数f（x）2x33x（1）求f（x）区间[21]值（2） 点P（1t）存3条直线曲线yf（x）相切求t取值范围
11 已知函数f（x）4xx4x∈R
(1) 求f（x）单调区间
(2) 设曲线yf（x）x轴正半轴交点P曲线点P处切线方程yg（x）求证： 意实数xf（x）≤g（x）
(3) 方程f（x）a（a实数）两实数根x1x2x1＜x2求证：x2x1≤+4
导数专题二 利导数四运算构造新函数
． 知识点睛
导数四运算法：
[f(x)±g（x）]’f′(x)±g′(x) [f(x)·g（x）]’f′(x)·g(x) +f(x)·g′(x)
[ ]′
二． 方法点拨
解抽象等式较时原函数单调性解题没帮助时构造新函数研究新函数单调性解抽象等式较
方法1：移项含导数等式进行移项处理等式右边0（导数0决定函数单调性）
2：观察①等式左边含f′(x)式子差函数求导法构造
②等式左边含f′(x)f(x)中间+积函数求导法构造 ③等式左边含f′(x)f(x)中间商函数求导法构造
方法二：根题目出抽象等式者较两式子进行构造进行构造时结构抽象等式两边者较式子结构相化根相结构构造x元新函数
三．常考题型：构造新函数解等式较
四．踪练
1 (2015广东调研)函数f（x）定义域Rf（1）2意x∈Rf’（x）＞2
f（x）＞2x+4解集 （差）
2(2016贵州遵义)设函数f’（x）函数f（x）导函数意x∈Rf（x）+f’（x）＞0x1 ＜x2时结正确（积）
A ex2f（x1）＞ex1f（x2） B ex2f（x1）＜ex1f（x2）
C ex1f（x1）＞ex2f（x2） D ex1f（x1）＜ex2f（x2）
3定义R函数f（x）满足f（x）+f’（x）＞1f（0）4等式f（x）＞+1解集 （积差）
4函数yf（x）R导满足等式xf’（x）＞﹣f（x）恒成立常数ab满足a＞b列等式定成立（积）
A af（b）＞bf(a) Baf(a)＞b(b) C af(a)＜bf(b) D a(b)＜b(a)
5（2015济南）已知函数f（x）定义域（0+∞）f’（x）f（x）导函数满足f（x）＜﹣xf’（x）等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）解集 （积）
6(2015新课标全国卷Ⅱ)设函数f’（x）奇函数f（x）（x∈R）导函数f（1）0x＞0时xf’（x） f（x）＜0f（x）＞0成立x取值范围（商）
A (∞1)∪（01） B（10）∪（1+∞）
C(∞1)∪（10） D（01）∪（1+∞）
7设函数R奇函数f（1）0x＞0时（x2+1）f’（x）2xf(x)＜0等式f（x）＞0解集 （商）
8已知定义R函数f（x）满足3f（x）＞f’（x）恒成立f（1）e3列结正确（商）
Af（0)1 Bf(0)＜1 Cf(2)＜e6 Df(2)＞e6
9已知定义R奇函数f（x）满足2016f（x）＜f’（x）恒成立f（1）e2016列结正确（商）
Af(2016)＜0 Bf(2016)＜
Cf(2)＜0 Df（2）＞ e4032
10 已知定义（0+∞）函数f（x）导函数f’（x）满足xf’（x）+f（x）f（e）中e然数底数等式f（x）+e＞x+解集（）
A （0） B （0e） C（e） D（+∞）
11 已知函数F（x）lnx（x＞1）图G（x） 图关直线yx称设函数f（x）导函数 f’（x）（x＞0） f’（3）0x ＞0 时f（x）
A极值极值 B极值极值
C极值极值 D极值极值
导数专题三 利导数研究函数单调性
． 知识点睛
1 函数导数单调性间联系：
①般设函数yf（x）某区间导果区间f′(x)＞0函数yf（x）区间增函数果区间f′(x)＜0函数yf（x）区间减函数
②反果导函数yf（x）某区间单调递增区间f′(x)≥0恒成立单调递减区间f′(x)≤0恒成立
2 利导数研究函数单调性步骤：1求定义域2求导3令f′(x)＞0解等式增区间令f′(x)＜0解等式求减区间注意函数果单调增（减）区间中间∪连接
二． 方法点拨
1已知具体函数确定单调区间直接求导解等式确定单调区间
2已知含参数函数单调性求参数值参数范围处理方法：①分离参数转化
f′(x)≥（≤0）恒成立问题②导数含参分类讨
3已知含参数函数确定单调性需参数范围进行分类讨分类讨4标准：①二次项系数正负②f′(x)0根数③f′(x)0根④f′(x)0根定区间位置关系外需优先判断否利式分解法求出根
4已知函数n单调区间求参数范围等方程f′(x)0区间n1根根重根
5已知函数定区间单调 f′(x)区间异号零点
f′(x)0根（根重根）
6已知函数定区间单调区间等f′(x) ＞0f′(x) ＜ 0定区间解
常考题型：⑴利导数研究已知函数单调性⑵导数含参求单调区间⑶已知含参函数单调性求参数范围⑷函数单调区间问题
三． 踪练
1 已知函数f（x）kx3+3（k1）x2k2+1（k＞0）单调减区间（04）k值
2（2016全国卷Ⅰ）函数f（x）xsin2x+asinx（∞+∞）单调递增a取值范围
A [11] B[1] C[] D[1]
3(2015四川)果函数f（x）（m2）x2+（n8）x+1（m≥0n≥0）区间[2]单调递减mn值
A16 B18 C25 D
4（2014新课标全国Ⅱ）函数f（x）kxlnx区间（1+∞）单调递增k取值范围
A (∞2] B(∞1] C[2+∞) D[1+∞]
5(2016全国卷⒈第题)已知函数f（x）（x2）ex+a（x1）2讨函数f（x）单调性
6设函数f（x)ax2+bx+k(k＞0)x0处取极值曲线yf（x）点（1f（1））处切线垂直直线x+2y+10
（Ⅰ）求ab值
（Ⅱ）函数g（x）讨g（x）单调性
7已知函数f（x）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（ab∈R）
（Ⅰ）函数f（x）图原点原点处切线斜率3求ab值
（Ⅱ）函数f（x）区间（11）单调求a取值范围
8 设a实数函数f（x）ax3ax2+（a21）x（∞0）（1+∞）增函数求a取值范围
9 设f（x）ax3+x恰三单调区间试确定a取值范围求出3单调区间
10已知函数f（x）x+alnxx1处切线直线x+2y0垂直函数g（x）f(x)+x2bx (1)求实数a值
(2)函数g(x)存单调递减区间求实数b取值范围(3)设x1x2（x1＜ x2）函数
g（x）两极值点b≥求g（x1）g（x2）值
导数专题四 利导数研究函数极值值
． 知识点睛
1 导函数极值：
①果函数yf(x)点xa函数值f(a)点xa附点函数值f′(a)0点xa附左侧f′(x)＜0右侧f′(x)＞0a做函数极值点f(a)做函数极值
②果函数yf(x)点xb函数值f(b)点xb附点函数值f′(b)0点xb附左侧f′(x)＞0右侧f′(x)＜0b做函数极值点f(b)做函数极值
注意：①导函数yf（x）点x0取极值充条件f′(x0)0点x0左侧右侧f′(x)异号
②导数0点定极值点yx3导数0点该点极值点必条件充分条件
③极值点处导数存定0
2 求导函数极值步骤：①确定函数定义域②求导f′(x)③求方程f′(x)0根④定义域划分部分区间列成表格检查f′(x)方程根左右符号果左正右负f（x）根处取极值果左负右正f（x）根处取极值
二． 方法点拨：
1 已知具体函数求极值
2 已知含参函数极值点极值确定参数：①极值点处导数0②极值点极值组成坐标曲线两点建立关参数方程求出参数值须检验参数否符合函数取极值条件
3 已知含参函数极值点数确定参数范围
函数f（x）极值点 导函数 f′(x) 异号零点 f′(x)0根 函数yk函数yg（x）图交点横坐标
注意：导函数f′(x)零点函数f（x）极值点导函数f′(x)异号零点应函数f（x）极值点方程f′(x)0根函数yk函数yg（x）图交点横坐标必须应 f′(x) 异号零点
方法总结：解决函数零点极值点方程根关系问题时优先考虑分离参数法分离参数容易实现者分离然解决问题考虑解题思路：（1）研究函数图X轴位置关系⑵研究非水动直线（定点直线系者斜率0行直线系）固定函数曲线位置关系⑶研究动态曲线曲线位置关系
4 含参数函数极值（值）问题常情况需分类讨：
（1）导数0时变量确定需讨（2）导数0时变量否定区间确定需讨（3）端点处函数值极值确定需讨（4）参数取值范围导致函数区间单调性变化确定需讨
常考题型：⑴已知函数解析式求极值⑵根极值点极值求参数⑶根极值数求参数范围（4）求极值函数值
三．进练
1 （2016四川）已知a函数f（x）x312x极值点a
A 4 B2 C4 D2
2 （2015东北八校月考）已知函数f（x）x3+3ax2+3bx+cx2处极值图x1处切线行直线6x+2y+50f（x）极值极值差
3 （2016山东模拟）已知函数f（x）a＞0函数f（x）区间（aa+）存极值求实数a取值范围
4 函数f（x）e3x+me2x+（2m+1）ex+1两极值点实数m取值范围
5 函数yx32ax+a区间（01）极值实数a取值范围
6 已知函数f（x）x33ax1a≠0
（Ⅰ）求f（x）单调区间
（Ⅱ）f（x）x1处取极值直线ymyf（x）图三交点求m取值范围
7 设函数f(x)x2+aln(1+x)两极值点x1x2x1 ＜ x2
(Ⅰ)求a取值范围讨f(x)单调性（Ⅱ）证明：f（ x2）＞
导数专题五 知零点数求参数范围
． 知识点睛：
(1)函数f（x）零点 方程f（x）0根 函数f（x）图x轴交点横坐标 函数g（x）h（x）图交点横坐标（f（x）g（x）h（x））
(2)零点存性定理果函数yf（x）区间[ab]图连续断条曲线f（a）·f（b）＜0函数yf（x）区间（ab）零点存c∈（ab）f（c）0c方程f（x）0根
二 方法点拨：
1根零点情况求参数值范围
（1） 数形结合法：函数解析式（方程）适变形转化图易函数含参函数差等式坐标系中画出两函数图结合函数单调性周期性奇偶性等性质图求解
（2） 分离参数法：参数分离化ag（x）形式进转化求函数值问题解答题种解法需零点存性定理严格证明数
（3） 直接法：直接根题设条件构建关参数等式通等式确定参数范围
2 解答题中零点存区间端点选取方法
定区间寻找函数g（x）通先证明f（x）≥g(x)(f（x）≤g(x)）求
g（x）零点x0找x0g（x0)＞0（g（x0)＜0）f（x0）≥0
（f（x0）≤0）
踪练：
1 （2015安徽）设x3+ax+b0中ab均实数列条件中该三次方程仅实根
①a3b3②a3b2③a3b＞2④a0b2⑤a1b2
2 （2015新课标全国Ⅰ）设函数f（x）ex（2x1）ax+a中a＜1存唯整数x0f（x0）＜0a取值范围
A [1） B[） C[）D[1）
3 方程x36x2+9x100实根数（ ）
A3 B2 C1 D0
4 （2013年山东卷）设函数f（x）+c（1）求f（x）单调区间值（2）讨关x方程▕ lnx▕f（x）根数
5 （2016全国卷Ⅰ）已知函数f（x）（x2）ex+a
(Ⅰ)讨f（x）单调性（Ⅱ）f（x）两零点求a取值范围
6 （2015全国卷Ⅰ）已知函数f（x）x3+ax+g（x）lnx（1）a值时x轴曲线yf（x）切线（2）min｛mn}表示mn中值设函数h（x）
min｛f（x）g（x）}（x＞0）讨h（x）零点数
专题六 极值点偏移问题
．知识点睛
（1）产生原：函数极值点左右两边图升降速度样导致极值点发生偏移
（2）极值点x0偏左：极值点附图左陡右缓f（x1）f（x2)x1+x2 ＞2x0x处切线x轴行
f（x）凸（f′(x) 递减）f′()＜ f′(x0)0f（x）凸（f′(x) 递增）f′() ＞f′(x0)0
（3）极值点x0偏右：极值点附图左缓右陡 f（x1）f（x2)x1+x2 ＜2x0x处切线x轴行
f（x）凸（f′(x) 递减）f′()＞f′(x0)0f（x）凸（f′(x) 递增）f′() ＜f′(x0)0
二方法点睛
1含参极值点偏移问题
方法：1构造函数F（x）f（x）f（2x0x）（x＞x0）
2函数F（x）求导判断导数符号确定F（x）单调性
3结合F（x0）0判断F（x）符号确定f（x）f（2x0x）（x＞x0）关系
4f（x1）f（x2)＜f（2x0x2）f（x1）＜f（2x0x2） 者 f（x1）f（x2)＞f（2x0x2）f（x1）＞f（2x0x2）
5结合f(x)单调性x1＞2x0x2 x1＜2x0x2x1 +x2＞2x0x1 +x2＜2x0
方法二：利数均等式 ＜＜（a＞0b＞0a≠b）
指数均等式 e＜＜
利数均值等式证明极值点偏移问题关键通变形三式子：x1+x2x1x2
方法三：引入变量t结合题目条件解出x1x2证明变量等式转化单变量t等式构造函数g（t）等式变g（t）＞0者g（t）＜0求出g（t）值证明
2 含参数极值点偏移问题
含参数极值点偏移问题原双变量x1x2基础参数首先想（1）根f（x1）f（x2）建立等式（2）消参数果等式关指数式考虑两边取数通加减等恒等变形消参数（3）利数均等式求解者参数媒介构造变元新函数般说引入变元t
三． 进练
1 已知a＞b＞0ab ba四结：
①b＜e②b＞e③ab 满足ab＜e2④ab＞e2正确结序号 A②③ B①④ C②④ D①③
2(2015长春四模拟)已知函数f（x）exax两零点x1＜x2列说法错误（）
Aa＞e Bx1+x2＞2 C x1x2＞1 D极值点x0x1+x2＜2x0
3（2016新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）（x2）ex +a（x1）2 两零点
(1)求a取值范围
(2)设x1x2f（x）两零点证明：x1+x2＜2
4（2017届安徽第三次联考）已知函数f（x）2ln（x+1）+mx2（m+1）x极值
（1）求实数m取值范围 （2）f（x1）f（x2）（x1≠x2）求证：x1+x2＞2
5已知函数f（x）exkx+k(k∈R) (1)试讨函数f（x）单调性（2）该函数两零点x1x2试求（Ⅰ）实数k取值范围
（Ⅱ）证明：x1+x2＞4
6（2014年江苏南通二模）设函数f（x）exax+a（a∈R）图x轴交A（x10）B（x20）两点x1＜x2
（Ⅰ）求a取值范围（Ⅱ）证明：f′（）＜0
7 (2016年3月兰州诊)已知函数f（x）exax1(a常数)曲线yf（x）y轴交点A处切线斜率1
（Ⅰ）求a值函数yf（x）单调区间 （Ⅱ）x1＜ln2x2＞ln2f（x1）f（x2）试证明：x1+x2＜2ln2
专题七 导函数零点求问题
． 知识点睛
利导数求函数单调区间者极值时会发现方程f′(x) 0超越方程二次方程法求出方程根者求出根复杂时手处理呢？
二． 方法点拨
方法 特值探点 导数零点求时特殊值进行试探涉lnx复合函数时令xet尤令x1者e进行试探涉ex 复合函数中令xlnt尤令x0者1进行试探
方法二 虚设零点
1假设x0方程f′(x) 0根反代消参构造关零点单函数
①果问题求解证明结参数关虚设零点般参数表示零点反零点表示参数然极值函数变成关零点单函数构造新函数求值
②果f′(x) 0二次方程两根x1x2利韦达定理建立x1+x2x1x2参数关系式考虑零点表示参数利恒等变形构造
出令t极值函数转化单变量t函数
③整体代换超越式转化般式 f′(x) 0超越方程法求出根具体值虚设f′(x0)0通整体代换超越式化成普通代数式
方法三 次求导
顾名思义次求导导数式变越越简单解决零点问题
方法四 局部求导：f′(x)难判断正负求出零点分离构造函数g（x）f′(x)
g（x）·M（x）中M（x）恒正恒负（2）求函数g（x）导数 g′(x) 研究
g′(x)零点g（x）性质（3）函数g（x）性质分析确定函数f（x）性质
方法五 整合重组
法常见利构造法证明等式果直接构造函数难求出导数零点通整合重组函数解析式原函数转化简单易求导数零点函数
三． 进练
1（2015年新课标Ⅰ卷）设函数f（x）e2xalnx（1）谈f（x）导函数 f′(x)零点数（2）证明：a＞0时f（x）≥2a+aln
2 (2014新课标全国Ⅰ卷) 设函数f（x）aexlnx+曲线yf（x）点（1f（1））处切线方程ye（x1）+2
（Ⅰ）求ab（Ⅱ）证明：f（x）＞1
3 （2015年四川高考文科试题）已知函数f（x）2xlnx+x22ax+a2中a＞0
（Ⅰ）设g（x）f（x）导函数谈g（x）单调性
（Ⅱ）证明：存a∈（01）f（x）≥0区间（1+∞）恒成立f（x）0区间（1+∞）唯解
4 （2015江苏卷）已知函数f（x）x3+ax2+b（ab∈R）
（1） 试讨f（x）单调性
（2） bca（实数ca关常数）函数f（x）三零点时a取值范围恰（∞3）∪（1）∪（+∞）求c值
5 （2014甘肃二诊）设函数f（x）exax2
（1） 求f（x）单调区间
（2） a1k整数x＞0时（xk）f′(x)+x+1＞0求k值
专题八 双变量处理策略
． 知识点睛
求值式子者证明等式中两变量类题型通常变量数变少转化含单变量问题
二方法点拨
方法：证明等式中含两变量x1x2指定中变量x1元x2常数构造单变量函数
方法二：整体代换通换元化双变量单变量
方法三：整合结构结构相化构造新函数
方法四：划值域值思想
三进训练
1 （2015新课标全国Ⅱ）设函数f（x）emx+x2mx
（Ⅰ）证明：f（x）（∞0）单调递减（0+∞）单调递增
（Ⅱ）意x1x2 ∈[11]≤e1求m取值范围
2 定义：设函数f（x）（ab）导f′(x)区间（ab）增函数称f（x）（ab）凸函数
（Ⅰ）已知f（x）exax3+x（0+∞）凸函数试求实数a取值范围
（Ⅱ）设f（x）（ab）凸函数求证：意正数λ1λ2 λ1+λ2 1等式f（λ1x1+λ2x2 ）≤λ1f（x1）+λ2 f（x2）意x1x2 ∈（ab）恒成立
3 已知函数f（x）x1alnx（a∈R）
（1） 曲线yf（x）x1处切线方程3xy30求实数a值
（2） 求证：f（x）≥0恒成立充条件a1
（3） a＜0意x1x2 ∈（01]f（x1）f（x2）≤4求实数a取值范围
4 已知函数f（x）x2ax+（a1）lnxa＞1
（Ⅰ）讨函数f（x）单调性
（Ⅱ）证明：a＜5意x1x2 ∈（0+∞）x1≠x2 ＞1
专题九 等式含参恒成立问题
． 知识点睛
等式恒成立求参数范围类题型构造新函数求函数值联系起
二． 方法点拨
1分离参数法 通恒等变形含变量参数式子分放等式两边转化求含参函数值问题利导数求该函数值根求求范围
2含参分类讨 构造新函数利导数研究函数单调性导数中含参数时参数范围进行分类讨
3端点验证法 例意x∈[x0+∞）f（x）≥0求参数取值范围果验证区间端点值f（x0）0等式f（x）≥0转化f（x）≥f（x0）接先
f（x）单调递增求参数取值范围验证参数范围时等式恒成立
4数形结合法 f（x）≥g（x）恒成立需图参数什范围取值时意x∈R函数f（x）图g（x）图方者相切
三．进训练
1定义R函数f（x）果存函数g（x）ax+b（ab常数）f（x）≥g（x）切实数x成立称g（x）函数f（x）承托函数出命题：
lnxx＞0
（1）函数g（x）2函数f（x） 承托函数
1x≤0
（2） 函数g（x）x1函数f（x）x+sinx承托函数
（3） 函数g（x）ax函数f（x）ex承托函数a取值范围[0e]
（4） 值域R函数f（x）存承托函数中正确命题序号
2 （2014辽宁）x∈[21]时等式ax3x2+4x+3≥0恒成立实数a取值范围
A[53] B[6] C[62] D[43]
3（2015山东）设函数f（x）ln（x+1）+a（x2x）中a∈R
（Ⅰ）讨函数f（x）极值点数说明理（Ⅱ）∀x＞0f（x）≥0成立求a取值范围
4（2016全国卷Ⅱ文）已知函数f（x）（x+1）lnxa（x1）
（Ⅰ）a4时求曲线yf（x）（1f（1））处切线方程
（Ⅱ）x∈（1+∞）时f（x）＞0求a取值范围
5（2016四川卷）设函数f（x）ax2alnx中a∈R
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）确定a取值f（x）＞e1x区间（1+∞）恒成立（e2718…然数底数）
专题十 等式证明
． 知识点睛
等式证明实质考查利导数研究函数单调性值等式放缩
二． 方法点拨
1 构造函数法
①直接作差 例f（x）≥g（x）含变量涉两函数通移项作差f（x）g（x）≥0构造新函数h（x）f（x）g（x）
转化证函数h（x）min≥0
②构造形似函数：通等式解变形移项通分取数等式转化左右两边相结构式子根相结构构造新函数
构造函数程中涉lnxex项应lnx单独分离出ex函数组合样便判断导函数符号
③适放缩构造：构造函数值易求解证明等式进行放缩重新构造新函数
④构造双函数：直接构造函数求导难判断符号导数零点易求单调性极值点易获构造f（x）g（x）利值求解
⑤换元构造新函数果等式较复杂涉变量考虑整体换元等式化简证明换元等式运算显相简单
2 数形结合
证f（x）≥g（x）恒成立需图知x∈R时函数f（x）图g（x）图方者相切
三．进训练
1 （2014新课标Ⅰ卷）设函数f（x）aexlnx+曲线yf（x）点（1f（1））处切线方程ye（x1）+2
（Ⅰ）求ab
（Ⅱ）证明：f（x）＞1
2 （2016新课标卷Ⅰ）（Ⅰ）讨函数f（x）ex单调性证明x＞0时
（x2）ex+x+2＞0
（Ⅱ）证明：a∈[01）时函数g（x）（x＞0）值设g（x）值h（a）求函数h（a）值域
3 （2016全国卷Ⅲ）设函数f（x）αcos2x+（α1）·（cosx+1）中α＞0记值A
（Ⅰ）求f′(x) （Ⅱ）求A （Ⅲ）证明≤2A
4 (2013新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)exln(x+m)
（Ⅰ）求设x0f(x)极值点求m讨f(x)单调性（Ⅱ）m≤2时证明f(x)＞0
专题十 量词处理策略
． 知识点睛
常见量词两：全称量词∀存量词∃
二． 方法点睛
双量词问题单量词问题转化求函数值
单量词问题
类型 ∀x∈Df（x）≥g（x）①构造辅助函数h（x）f（x）g（x）问题等价h（x）min≥0恒成立②分离参数变成形h（x）≥m（t）形式问题等价h（x）min≥m（t）关参数t等式解等式求参数t范围
类型二 ∃x∈Df（x）≥g（x）①构造辅助函数h（x）f（x）g（x）问题等价h（x）max≥0②分离参数变成形h（x）≥m（t）形式问题等价h（x）max≥m（t）
类型三 ∃x∈Df（x）tt∈｛yyf（x）x∈D}
双量词问题
类型 ∀x1∈D1∀x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）min＞g（x）max
类型二 ∀x1∈D1∃x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）min＞g（x）min
类型三 ∃x1∈D1∀x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）max＞g（x）max
类型四 ∃x1∈D1∃x2∈D2f（x1）＞g（x2）f（x）max＞g（x）min
类型五 ∀x1∈D1∃x2∈D2f（x1）g（x2）range f（x）range g（x）
类型六 ∃x1∈D1∃x2∈D2f（x1）g（x2）range f（x）range g（x）≠∅
三． 进训练
1 已知函数f（x）g（x）lnxx2+实数ab满足a＜b＜1∀x1∈[ab]∃x2∈(0+∞)f（x1）g（x2）成立ba值
2 已知函数f（x）x2 ax3（a＞0）x∈R
（1） 求f（x）单调区间极值
（2） 意x1∈（2+∞)存x2∈（1+∞）f（x1）·f（x2）1求a取值范围
3 已知函数f（x）ax+lnx（a∈R）
(1) a2求曲线yf（x）x1处切线方程
(2) 求f（x）单调区间
(3) 设g（x）x22x+2意x1∈（0+∞）均存x2∈[01]f（x1）＜g（x2）求a取值范围
专题十二 绝值导数结合问题
． 知识点睛
①绝值法：正数绝值身负数绝值相反数0绝值0
②绝值意义：表示数a点原点距离表示数x点表示数a点距离
③绝值等式： ≤ ≤
二． 方法点拨
类型 ≤a转化f（x）max－f(x)min≤a
类型二 ≤a先假设x1≤x2利函数f（x）单调性绝值掉f（x）单调递增转化f（x1）－f（x2）≤ax2－ax1移项两边结构化相变f（x1）+ax1≤f（x2）+ax2构造辅助函数g（x）f(x)+ax函数g（x）单调递增 f（x）单调递减转化f（x2）－f（x1）≤ax2－ax1移项两边结构化相变f（x1）－ax1≥f（x2）－ax2构造辅助函数g（x）f(x)－ax函数g（x）单调递减
类型三 ≤先假设x1≤x2利单调性进行转化构造新函数
进训练
1 （2015新课标Ⅱ）函数f（x）emx+x2mx
（1） 证明：函数f（x）（∞0）单调递减（0+∞）单调递增
（2） 意x1x2∈[11]≤e1求m取值范围
2 （2016天津卷理科）设函数f（x）（x1）3axbx∈R中ab∈R
（1） 求f（x）单调区间
（2） f（x）存极值点x0f（x1）f（x0）中x1≠x0求证：x1+2x03
（3） 设a＞0函数g（x）求证：g（x）区间[02]值
3 已知函数f（x）x33ax29a2x+a3
(1) 设a1求函数f（x）极值
(2) a＞x∈[14a]时≤12a恒成立试确定a取值范围
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